| Résume | Les groupes (totalement et bilatéralement) ordonnés non-abéliens apparaissent à plus d'un titre en géométrie modérée. Une structure o-minimale à l'infini possède comme extension élémentaire l'ensemble des germes à l'infini de fonctions définissables en dimension 1. Son sous-ensemble des germes qui tendent vers l'infini en l'infini forme un groupe ordonné pour la composition des germes. Certaines théories o-minimales à l'infini comme les théories élémentaires du corps ordonné réel ou du corps ordonné, valué, différentiel des transséries admettent des modèles non-archimédiens qui sont des corps de séries formelles (séries de Puiseux, transséries) équippés de lois de compositions, pour lesquelles les éléments positifs infinis forment un groupe ordonné.
Ces objets partagent des propriétés dans le langage des groupes ordonnés, que l'on peut prendre comme axiomes pour une théorie de groupes dont les éléments représentent des “ordres de croissance” de fonctions strictement croissantes très régulières définies sur une droite. La résolution de l'inéquation f o g > g o f pour des ordres de croissance en est un exemple important. Existe-t-il une “bonne” théorie du premier ordre pour ces groupes, qui admette par exemple une modèle-complétion intéressante.
Je définirai une théorie de groupes ordonnés dont les deux exemples mentionnés sont des modèles naturels, et je présenterai un programme de recherche combinant algèbre, théorie des valuations et outils formels afin d'étudier ces groupes et de construire des exemples. |
