septembre 2023

25 septembre (Jussieu) James Arthur (University of Toronto)
On the universal groups of harmonic analysis and arithmetic geometry
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This pair of lectures follows the one hour talk that was recorded last week at the Luminy conference in honour of Jean-Pierre Labesse. I hope to be able to expand here on the various topics that were introduced there, and to say more about some of their consequences. At the heart of the theory is how fundamental relations between harmonic analysis (automorphic forms) and arithmetic geometry (motives) can be made explicit in a conjectural construction of the automorphic and motivic Galois groups. We shall introduce these groups, and describe some of their basic properties. We shall then describe how they might extend to two broader theories, those of mixed motives and exponential motives. The groups also seem to have implications for the beyond endoscopic comparison of trace formulas, an undeveloped theory that might serve as a foundation for the future proofs, even though not much can be said at present.

octobre 2023

02 octobre (PRG) Pierre Charollois (IMJ-PRG)
Sur le rêve de jeunesse d'Eisenstein pour les corps cubiques complexes
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Dans un article méconnu de 1844, G. Eisenstein suggère une piste pour étendre la théorie des fonctions elliptiques au cas de "réseaux de rang 3". Il indique également que la nouvelle classe de produits infinis méromorphes qu'il considère possède de riches applications arithmétiques. Je présenterai des résultats de nature expérimentale et théorique qui donnent à penser qu'il avait effectivement mis à jour un analogue pour les corps cubiques complexes de la théorie CM des unités elliptiques. Il s'agit d'un travail en commun avec Nicolas Bergeron et Luis Garcia.
09 octobre (Jussieu) Yuichiro Hoshi (Kyoto University)
On the geometricity of adelic Galois sections of hyperbolic curves
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A Galois section of a hyperbolic curve over a field is defined to be a continuous section of the natural continuous surjective outer homomorphism from the etale fundamental group of the given curve to the absolute Galois group of the basefield. Grothendieck's section conjecture states that, for a given hyperbolic curve over a number field, an arbitrary Galois section of the curve is geometric, i.e., the image of an arbitrary Galois section of the curve is contained in a decomposition subgroup associated to a closed point of the curve. After a brief state of the background, this talk will report on recent and future developments concerning this conjecture. In particular, I will explain a proof of the geometricity of an adelic Galois section of a "sufficiently small" hyperbolic curve over a number field. This talk is based on a joint work with Shinichi Mochizuki.
16 octobre (PRG) Valentin Hernandez (Orsay)
Formes automorphes non-classiques et géométrie locale
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Les formes automorphes $p$-adiques sont désormais un outil essentiel en théorie des nombres, et de nombreux résultats consistent à montrer que certaines formes automorphes $p$-adiques qui ont un comportement similaire à celui d'une forme classique le sont aussi. Dans cet exposé j'expliquerai un exemple pour le groupe $U(3)$ où cela n'est pas le cas. Il s'agit en fait d'une conséquence de la structure de la cohomologie complétée pour ce groupe et de la géométrie d'un espace de déformation local pour des formes automorphes très critiques. Si le temps le permet, j'essaierai de relier cet espace à la variété de Steinberg et de faire le lien avec une construction de Bezrukavnikov. Il s'agit d'un travail en commun avec Eugen Hellmann et Benjamin Schraen.
23 octobre (Jussieu) David Urbanik (IHES)
Arithmetic Deformation of Line Bundles
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We introduce a new method to study mixed characteristic deformations of line bundles. In particular, given a sufficiently large family of smooth projective varieties defined over a ring of integers, we produce an explicit proper closed locus in the base outside of which all line bundles defined on positive characteristic fibres lift to a line bundle on a characteristic zero fibre. Joint work with Ziquan Yang.
30 octobre relâche (vacances de Toussaint)

novembre 2023

06 novembre (Jussieu) Tadashi Ochiai (Tokyo Institute of Technology)
Les fonctions $L$ d’Artin $p$-adiques sur un corps CM
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Soit $K$ un corps de nombres CM de degré $2d$ sur le corps des rationnels. En 1978, Katz a construit les fonctions $L$ $p$-adiques de $d + 1$-variables associées aux caractères de Hecke algébriques sur $K$. Sous certaines conditions techniques, on construit les fonctions $L$ d’Artin $p$-adiques sur un corps CM pour les représentations d'Artin du groupe de Galois absolu de $K$, qui généralisent les fonctions $L$ $p$-adiques de Katz. On démontre aussi la conjecture principale d'Iwasawa pour notre fonction $L$ $p$-adique (i.e. Conjecture Principale d'Iwasawa pour les représentations d'Artin) qui insiste sur l'égalité de l'idéal de la fonction $L$ $p$-adique et de l'idéal caractéristique du groupe de Selmer. Notre travail est un analogue pour les corps CM du travail de Greenberg qui a construit les fonctions $L$ d’Artin $p$-adiques sur un corps totalement réel. C'est un travail commun avec Takashi Hara (Tsuda University)
13 novembre (PRG) Long Liu (IMJ-PRG)
Chow trace of 1-motives and the Lang-Néron groups
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We show that in the case of primary field extensions, the extension of scalars of Deligne 1-motives admits a left adjoint, called Chow image, and a right adjoint, called Chow trace. This generalises W.-L. Chow’s results on abelian varieties. Then we study the Chow trace in the framework of Voevodsky’s triangulated category of motives. With respect to the 1-motivic t-structure on the category of Voevodsky’s homological 1-motives, the zero-th direct image of an abelian variety is given by the Chow trace, and the first direct image is the 0-motive defined by the (geometric) Lang-Néron group.
20 novembre (Jussieu) (Annulé) Elisa Lorenzo García (Université de Neuchâtel)
(Annulé) Bornes inférieures pour le nombre maximal de points rationnels des courbes sur les corps finis
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Pour un genre $g>0$ donné, nous donnons des bornes inférieures pour le nombre maximal de points rationnels d'une courbe projective lisse absolument irréductible de genre $g$ sur le corps fini $\mathbb{F}_q$. D'abord, on donne une construction explicite qui produit des courbes de genre $g$ sur $\mathbb{F}_q$ avec au moins $1+q+4\sqrt{q}-32$ points. Puis en utilisant les sommes de puissances des traces de Frobenius des courbes hyperelliptiques, on obtient une borne inférieure de la forme $1+q+1.71\sqrt{q}$ valable pour $g>2$ et $q>9$ impair. Enfin, et comme conséquence de la théorie de Katz-Sarnak, on obtient pour tout $g>0$ donné, tout $\epsilon>0$ et tout $q$ suffisamment grand, l'existence d'une courbe de genre $g$ sur $\mathbb{F}_q$ avec au moins $1+q+(2g−\epsilon)\sqrt{q}$ points rationnels. En plus, on ira au-delà de cette théorie pour essayer d'expliquer les asymétries observées dans la distribution du nombre de points et qui ne sont pas détectées par Katz-Sarnak. Celui-ci est un travail conjoint avec J. Bergström, E. Howe et C. Ritzenthaler.
27 novembre relâche. Séminaire de Théorie des Nombres Paris Londres les 28 et 29/11.
Orateurs : Mladen Dimitrov, Olivier Fouquet, Matteo Tamiozzo, Luis Garcia, Holly Green, Michael Harris.

décembre 2023

04 décembre relâche
11 décembre (PRG) Lucile Devin (Université du Littoral Côte d’Opale)
Biais de Tchebychev exceptionnels (pour les polynômes irréductibles)
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Tchebychev a observé que lorsque l'on énumère les nombres premiers par ordre croissant, on a souvent l'impression d'en croiser plus qui soient congrus à 3 qu'à 1 modulo 4. Cette observation est maintenant bien comprise et expliquée, notamment par les travaux de Rubinstein et Sarnak. Dans cet exposé, nous étudierons un analogue dans l'anneau des polynômes à coefficients dans un corps fini. Dans ce cadre, Cha a aussi établi l'existence d'un biais dans la répartition de type Tchebychev sous une hypothèse d'indépendance linéaire des zéros de fonctions L. Cependant, quelques comportements exceptionnels ont été observés dans le cas où cette hypothèse n'est pas satisfaite. Nous présenterons notamment des cas de "biais complet" et de "biais inversé", et nous expliquerons pourquoi il y a une proportion petite (tendant vers 0 lorsque la taille du corps est grande) de tels comportements. Les résultats présentés sont principalement issus d'un travail joint avec Alexandre Bailleul, Daniel Keliher et Wanlin Li.
18 décembre relâche
25 décembre relâche (vacances de Noël)

janvier 2024

01 janvier relâche (vacances de Noël)
08 janvier relâche
15 janvier (Jussieu) Asbjørn Nordentoft (Orsay)
Horizontal p-adic L-functions
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Goldfeld’s Conjecture predicts that exactly 50% of quadratic twists of a fixed elliptic curve will have L-function vanishing at the central point. When considering the non-vanishing of higher order twists of elliptic curve L-functions, it has been predicted by David-Fearnly-Kisilevsky that 100% should be non-vanishing. Very little was previously known beyond the quadratic case as the problem lies beyond the current technology of analytic number theory. In this talk I will present a p-adic approach relying on the construction of a ‘horizontal p-adic L-function’. This yields strong quantitative non-vanishing results for general order twists. In particular, we obtain the best bound towards Goldfeld's Conjecture for one hundred percent of elliptic curves (improving on a result of Ono). I will also present applications to simultaneous non-vanishing. This is joint work with Daniel Kriz.
22 janvier (PRG) Weizhe Zheng (Morningside Center for Mathematics)
Cohomologie ultraproduit et théorème de décomposition
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Nous présentons une variante du théorème de décomposition de Beilinson, Bernstein, Deligne et Gabber en cohomologie l-adique entière pour l assez grand. Elle implique en particulier que la cohomologie d'intersection l-adique entière d'une variété propre est sans torsion pour l assez grand. La démonstration repose sur une théorie de coefficients en cohomologie ultraproduit, basée notamment sur le théorème d'uniformité d'Orgogozo. Travail en commun avec Anna Cadoret.
29 janvier (Jussieu) Elisa Lorenzo García (Université de Neuchâtel)
Bornes inférieures pour le nombre maximal de points rationnels des courbes sur les corps finis
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Pour un genre $g>0$ donné, nous donnons des bornes inférieures pour le nombre maximal de points rationnels d'une courbe projective lisse absolument irréductible de genre $g$ sur le corps fini $\mathbb{F}_q$. D'abord, on donne une construction explicite qui produit des courbes de genre $g$ sur $\mathbb{F}_q$ avec au moins $1+q+4\sqrt{q}-32$ points. Puis en utilisant les sommes de puissances des traces de Frobenius des courbes hyperelliptiques, on obtient une borne inférieure de la forme $1+q+1.71\sqrt{q}$ valable pour $g>2$ et $q>9$ impair. Enfin, et comme conséquence de la théorie de Katz-Sarnak, on obtient pour tout $g>0$ donné, tout $\epsilon>0$ et tout $q$ suffisamment grand, l'existence d'une courbe de genre $g$ sur $\mathbb{F}_q$ avec au moins $1+q+(2g−\epsilon)\sqrt{q}$ points rationnels. En plus, on ira au-delà de cette théorie pour essayer d'expliquer les asymétries observées dans la distribution du nombre de points et qui ne sont pas détectées par Katz-Sarnak. Celui-ci est un travail conjoint avec J. Bergström, E. Howe et C. Ritzenthaler.

février 2024

05 février (PRG) Wataru Kai (Tohoku University)
Linear patterns of prime elements in number fields
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I will discuss my recent result that gives a sufficient condition for a set of finitely many polynomials of degree 1 with coefficients in a number ring to attain simultaneous prime values. This extends a 2012 theorem of Green-Tao-Ziegler from the case of $\mathbb{Z}$ to the general case. Time permitting, I will mention how this can be applied to produce (modestly) new families of varieties over number fields which satisfy the Hasse principle for rational points by using the so-called fibration methods.
12 février (Jussieu) Dimitar Jetchev (École polytechnique fédérale de Lausanne)
Split Kolyvagin Systems for Conjugate-dual Galois Representations and Applications to the Bloch--Kato Conjectures (in memory of Jan Nekovar)
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We develop the formalism of Euler and Kolyvagin systems at split auxiliary primes that is used to study Selmer groups of Galois representations of the absolute Galois group of an imaginary quadratic field that are conjugate self-dual but that do not necessarily extend to the absolute Galois group of the rationals. Under the existence and non-triviality of such split Kolyvagin systems, we prove the Bloch--Kato conjecture in low analytic ranks (zero or one) as well as bounds on the Tate--Shafarevich group and one divisiblity in the Iwasawa main conjecture. We show multiple applications that were previously not accessible with the classical anticyclotomic Kolyvagin systems at inert primes, mainly, Selmer groups for adjoint representations and for modular forms twisted by anticyclotomic Hecke characters due to Alonso--Castella--Rodriguez and Castella--Tuan-Do, respectively, as well as recent constructions for cohomological Galois representations for unitary and orthogonal Shimura varieties due to Cornut, Jetchev, Boumasmoud, Graham--Shah and Zhao. This is joint work with Nekovar and Skinner devoted to the memory of Jan Nekovar.
19 février relâche (vacances d’hiver)
26 février (Jussieu) (Annulé) Christophe Breuil (Orsay)
(Annulé) Résultats et questions sur les représentations de $\textrm{GL}_2$ dans la cohomologie mod $p$
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Soit $p$ un nombre premier et $K$ une extension finie de $\mathbb{Q}_p$. Les représentations de $\textrm{GL}_2(K)$ dans les sous-espaces Galois isotypiques du $H^1$ mod $p$ des courbes de Shimura ne sont totalement comprises que pour $K=\mathbb{Q}_p$. Lorsque $K$ est non ramifié, je ferai le point sur deux questions importantes : (1) est-ce que ces représentations sont de longueur finie; (2) est-ce que ces représentations ne dépendent que de la représentation de $\textrm{Gal}(\overline{K}/K)$ sous-jacente ? Le coeur de l'exposé est un travail en commun avec F. Herzig, Y. Hu, S. Morra et B. Schraen.

mars 2024

04 mars (PRG) Haoran Wang (Capital Normal University)
On mod $p$ and $p$-adic representations of quaternion algebra over $\mathbb{Q}_p$
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Let $D$ be the non-split quaternion algebra over $\mathbb{Q}_p$. The classical Jacquet-Langlands correspondence relates irreducible complex representations of $D^{\times}$ with discrete series representations of $GL_2(\mathbb{Q}_p).$ About 10 years ago, using Lubin-Tate space, Scholze defined some interesting functors which gave a candidate for mod $p$ (and $p$-adic) Jacquet-Langlands correspondence, even for $GL_n$. We will talk about some results on Scholze functors in the case of $GL_2(\mathbb{Q}_p).$ The talk is based on joint works with Yongquan Hu.
11 mars (Jussieu) Emanuele Tron (IMJ-PRG)
Problèmes de PGCD dans les groupes algébriques
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Les problèmes de PGCD sont une classe de problèmes d'hauteur qui vient de la conjecture de Vojta (d'après Silverman) et peut s'attaquer avec le théorème du sous-espace (travaux de Bugeaud-Corvaja-Zannier). La contrepartie de ces bornes mais pour les petites valeurs, la conjecture d'Ailon-Rudnick, est encore ouverte. Nous allons voir comment autoriser des parties unipotentes non-triviales permet de montrer des cas arithmétiques de la conjecture ; en particulier, nous allons discuter une version de cette conjecture en présence de multiplication complexe, ainsi que la détermination des moments pour les tores.
18 mars (PRG) Élie Studnia (IMJ-PRG)
Courbes modulaires tordues et congruences de courbes elliptiques
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On dit que deux courbes elliptiques $E,F/\mathbb{Q}$ sont \emph{congrues modulo $p$} (pour un nombre premier $p$) si les sous-groupes de $p$-torsion $E[p]$ et $F[p]$ sont isomorphes comme $\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$-modules. La conjecture de Frey-Mazur affirme que lorsque $p$ est assez grand par rapport à $E$, toute courbe elliptique $F/\mathbb{Q}$ congrue à $E$ modulo $p$ est isogène à $E$. Nous verrons comment cet énoncé peut se reformuler en termes de points rationnels sur certaines tordues galoisiennes $X_E^{\alpha}(p)$ de la courbe modulaire $X(p)$. Lorsque l'action de Galois sur $E[p]$ a petite image, on peut utiliser les systèmes d'Euler connus pour $GL(2)$ et $GL(2) \times GL(2)$ pour démontrer la conjecture de Bloch-Kato pour certains quotients de la jacobienne des $X_E^{\alpha}(p)$.
25 mars (Jussieu) Gabriel Ribeiro (IMJ-PRG)
Cartier duality, character sheaves, and generic vanishing
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Since Green and Lazarsfeld's seminal work, generic vanishing theorems have influenced many fields ranging from birational geometry to analytic number theory. In this talk, I will present a new generic vanishing theorem for holonomic D-modules, that may shed new light on both of these worlds. Following ideas of Laumon, I'll explain how "character sheaves" play the role of topologically trivial line bundles and construct their moduli space based on a stacky version of Cartier duality.

avril 2024

01 avril relâche (lundi de Pâques)
08 avril relâche (vacances de Pâques)
15 avril relâche (vacances de Pâques)
22 avril (Jussieu) Rachid Caich (IMJ-PRG)
TBA
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TBA
29 avril (PRG) Pierre Le Boudec (Universität Basel)
TBA
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TBA

mai 2024

06 mai (Jussieu) Stephanie Chan (IST, Austria)
TBA
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TBA
13 mai (PRG) Jonathan Pila (University of Oxford)
TBA
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TBA
20 mai relâche (lundi de Pentecôte)
27 mai (PRG) Gérald Tenenbaum (Université de Lorraine)
TBA
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TBA

juin 2024

03 juin (Jussieu) Christophe Breuil (Orsay)
Résultats et questions sur les représentations de $\textrm{GL}_2$ dans la cohomologie mod $p$
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Soit $p$ un nombre premier et $K$ une extension finie de $\mathbb{Q}_p$. Les représentations de $\textrm{GL}_2(K)$ dans les sous-espaces Galois isotypiques du $H^1$ mod $p$ des courbes de Shimura ne sont totalement comprises que pour $K=\mathbb{Q}_p$. Lorsque $K$ est non ramifié, je ferai le point sur deux questions importantes : (1) est-ce que ces représentations sont de longueur finie; (2) est-ce que ces représentations ne dépendent que de la représentation de $\textrm{Gal}(\overline{K}/K)$ sous-jacente ? Le coeur de l'exposé est un travail en commun avec F. Herzig, Y. Hu, S. Morra et B. Schraen.
10 juin (PRG) David Solomon (King’s College London)
TBA
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17 juin (Jussieu) Luca Terenzi (ENS Lyon)
TBA
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TBA
24 juin (PRG)