septembre 2023
25 septembre (Jussieu) | James Arthur
(University of Toronto)
On the universal groups of harmonic analysis and arithmetic geometry affiche]
[This pair of lectures follows the one hour talk that was
recorded last week at the Luminy conference in honour of
Jean-Pierre Labesse. I hope to be able to expand here on the
various topics that were introduced there, and to say more about
some of their consequences. At the heart of the theory is how
fundamental relations between harmonic analysis (automorphic
forms) and arithmetic geometry (motives) can be made explicit in a
conjectural construction of the automorphic and motivic Galois
groups. We shall introduce these groups, and describe some of
their basic properties. We shall then describe how they might
extend to two broader theories, those of mixed motives and
exponential motives. The groups also seem to have implications for
the beyond endoscopic comparison of trace formulas, an undeveloped
theory that might serve as a foundation for the future proofs,
even though not much can be said at present. |
octobre 2023
02 octobre (PRG) | Pierre Charollois
(IMJ-PRG)
Sur le rêve de jeunesse d'Eisenstein pour les corps cubiques complexes affiche]
[Dans un article méconnu de 1844, G. Eisenstein suggère une
piste pour étendre la théorie des fonctions elliptiques au cas de
"réseaux de rang 3". Il indique également que la nouvelle classe
de produits infinis méromorphes qu'il considère possède de riches
applications arithmétiques. Je présenterai des résultats de
nature expérimentale et théorique qui donnent à penser qu'il avait
effectivement mis à jour un analogue pour les corps cubiques
complexes de la théorie CM des unités elliptiques.
Il s'agit d'un travail en commun avec Nicolas Bergeron et Luis
Garcia. |
09 octobre (Jussieu) | Yuichiro Hoshi
(Kyoto University)
On the geometricity of adelic Galois sections of hyperbolic curves affiche]
[A Galois section of a hyperbolic curve over a field is
defined to be a continuous section of the natural continuous
surjective outer homomorphism from the etale fundamental group of
the given curve to the absolute Galois group of the basefield.
Grothendieck's section conjecture states that, for a given
hyperbolic curve over a number field, an arbitrary Galois section
of the curve is geometric, i.e., the image of an arbitrary Galois
section of the curve is contained in a decomposition subgroup
associated to a closed point of the curve. After a brief state of
the background, this talk will report on recent and future
developments concerning this conjecture. In particular, I will
explain a proof of the geometricity of an adelic Galois section of
a "sufficiently small" hyperbolic curve over a number field. This
talk is based on a joint work with Shinichi Mochizuki.
|
16 octobre (PRG) | Valentin Hernandez
(Orsay)
Formes automorphes non-classiques et géométrie locale affiche]
[Les formes automorphes $p$-adiques sont désormais un outil
essentiel en théorie des nombres, et de nombreux résultats
consistent à montrer que certaines formes automorphes $p$-adiques
qui ont un comportement similaire à celui d'une forme classique le
sont aussi. Dans cet exposé j'expliquerai un exemple pour le
groupe $U(3)$ où cela n'est pas le cas. Il s'agit en fait d'une
conséquence de la structure de la cohomologie complétée pour ce
groupe et de la géométrie d'un espace de déformation local pour
des formes automorphes très critiques. Si le temps le permet,
j'essaierai de relier cet espace à la variété de Steinberg et de
faire le lien avec une construction de Bezrukavnikov. Il s'agit
d'un travail en commun avec Eugen Hellmann et Benjamin
Schraen. |
23 octobre (Jussieu) | David Urbanik
(IHES)
Arithmetic Deformation of Line Bundles affiche]
[We introduce a new method to study mixed characteristic
deformations of line bundles. In particular, given a sufficiently
large family of smooth projective varieties defined over a ring of
integers, we produce an explicit proper closed locus in the base
outside of which all line bundles defined on positive
characteristic fibres lift to a line bundle on a characteristic
zero fibre. Joint work with Ziquan Yang. |
30 octobre | relâche (vacances de Toussaint) |
novembre 2023
06 novembre (Jussieu) | Tadashi Ochiai
(Tokyo Institute of Technology)
Les fonctions $L$ d’Artin $p$-adiques sur un corps CM affiche]
[Soit $K$ un corps de nombres CM de degré $2d$ sur le corps
des rationnels.
En 1978, Katz a construit les fonctions $L$ $p$-adiques de $d +
1$-variables associées aux caractères de Hecke algébriques sur
$K$.
Sous certaines conditions techniques, on construit les fonctions
$L$ d’Artin $p$-adiques sur un corps CM pour les représentations
d'Artin du groupe de Galois absolu de $K$, qui généralisent les
fonctions $L$ $p$-adiques de Katz.
On démontre aussi la conjecture principale d'Iwasawa pour notre
fonction $L$ $p$-adique (i.e. Conjecture Principale d'Iwasawa pour
les représentations d'Artin) qui insiste sur l'égalité de l'idéal
de la fonction $L$ $p$-adique et de l'idéal caractéristique du
groupe de Selmer. Notre travail est un analogue pour les corps CM
du travail de Greenberg qui a construit les fonctions $L$ d’Artin
$p$-adiques sur un corps totalement réel.
C'est un travail commun avec Takashi Hara (Tsuda
University) |
13 novembre (PRG) | Long Liu
(IMJ-PRG)
Chow trace of 1-motives and the Lang-Néron groups affiche]
[We show that in the case of primary field extensions, the
extension of scalars of Deligne 1-motives admits a left adjoint,
called Chow image, and a right adjoint, called Chow trace. This
generalises W.-L. Chow’s results on abelian varieties. Then we
study the Chow trace in the framework of Voevodsky’s triangulated
category of motives. With respect to the 1-motivic t-structure on
the category of Voevodsky’s homological 1-motives, the zero-th
direct image of an abelian variety is given by the Chow trace, and
the first direct image is the 0-motive defined by the (geometric)
Lang-Néron group. |
20 novembre (Jussieu) | (Annulé) Elisa Lorenzo García
(Université de Neuchâtel)
(Annulé) Bornes inférieures pour le nombre maximal de points rationnels des courbes sur les corps finis affiche]
[Pour un genre $g>0$ donné, nous donnons des bornes
inférieures pour le nombre maximal de points rationnels d'une
courbe projective lisse absolument irréductible de genre $g$ sur
le corps fini $\mathbb{F}_q$.
D'abord, on donne une construction explicite qui produit des
courbes de genre $g$ sur $\mathbb{F}_q$ avec au moins
$1+q+4\sqrt{q}-32$ points.
Puis en utilisant les sommes de puissances des traces de Frobenius
des courbes hyperelliptiques, on obtient une borne inférieure de
la forme $1+q+1.71\sqrt{q}$ valable pour $g>2$ et $q>9$ impair.
Enfin, et comme conséquence de la théorie de Katz-Sarnak, on
obtient pour tout $g>0$ donné, tout $\epsilon>0$ et tout $q$
suffisamment grand, l'existence d'une courbe de genre $g$ sur
$\mathbb{F}_q$ avec au moins $1+q+(2g−\epsilon)\sqrt{q}$ points
rationnels. En plus, on ira au-delà de cette théorie pour essayer
d'expliquer les asymétries observées dans la distribution du
nombre de points et qui ne sont pas détectées par Katz-Sarnak.
Celui-ci est un travail conjoint avec J. Bergström, E. Howe et
C. Ritzenthaler. |
27 novembre |
relâche.
Séminaire de Théorie des Nombres Paris Londres les 28 et
29/11.
Orateurs : Mladen Dimitrov, Olivier Fouquet, Matteo Tamiozzo, Luis Garcia, Holly Green, Michael Harris. |
décembre 2023
04 décembre | relâche |
11 décembre (PRG) | Lucile Devin
(Université du Littoral Côte d’Opale)
Biais de Tchebychev exceptionnels (pour les polynômes irréductibles) affiche]
[Tchebychev a observé que lorsque l'on énumère les nombres
premiers par ordre croissant, on a souvent l'impression d'en
croiser plus qui soient congrus à 3 qu'à 1 modulo 4. Cette
observation est maintenant bien comprise et expliquée, notamment
par les travaux de Rubinstein et Sarnak. Dans cet exposé, nous
étudierons un analogue dans l'anneau des polynômes à coefficients
dans un corps fini. Dans ce cadre, Cha a aussi établi l'existence
d'un biais dans la répartition de type Tchebychev sous une
hypothèse d'indépendance linéaire des zéros de fonctions
L. Cependant, quelques comportements exceptionnels ont été
observés dans le cas où cette hypothèse n'est pas satisfaite. Nous
présenterons notamment des cas de "biais complet" et de "biais
inversé", et nous expliquerons pourquoi il y a une proportion
petite (tendant vers 0 lorsque la taille du corps est grande) de
tels comportements. Les résultats présentés sont principalement
issus d'un travail joint avec Alexandre Bailleul, Daniel Keliher
et Wanlin Li. |
18 décembre | relâche |
25 décembre | relâche (vacances de Noël) |
janvier 2024
01 janvier | relâche (vacances de Noël) |
08 janvier | relâche |
15 janvier (Jussieu) | Asbjørn Nordentoft
(Orsay)
Horizontal p-adic L-functions affiche]
[Goldfeld’s Conjecture predicts that exactly 50% of
quadratic twists of a fixed elliptic curve will have L-function
vanishing at the central point. When considering the non-vanishing
of higher order twists of elliptic curve L-functions, it has been
predicted by David-Fearnly-Kisilevsky that 100% should be
non-vanishing. Very little was previously known beyond the
quadratic case as the problem lies beyond the current technology
of analytic number theory. In this talk I will present a p-adic
approach relying on the construction of a ‘horizontal p-adic
L-function’. This yields strong quantitative non-vanishing results
for general order twists. In particular, we obtain the best bound
towards Goldfeld's Conjecture for one hundred percent of elliptic
curves (improving on a result of Ono). I will also present
applications to simultaneous non-vanishing.
This is joint work with Daniel Kriz. |
22 janvier (PRG) | Weizhe Zheng
(Morningside Center for Mathematics)
Cohomologie ultraproduit et théorème de décomposition affiche]
[Nous présentons une variante du théorème de décomposition
de Beilinson, Bernstein, Deligne et Gabber en cohomologie l-adique
entière pour l assez grand. Elle implique en particulier que la
cohomologie d'intersection l-adique entière d'une variété propre
est sans torsion pour l assez grand. La démonstration repose sur
une théorie de coefficients en cohomologie ultraproduit, basée
notamment sur le théorème d'uniformité d'Orgogozo. Travail en
commun avec Anna Cadoret. |
29 janvier (Jussieu) | Elisa Lorenzo García
(Université de Neuchâtel)
Bornes inférieures pour le nombre maximal de points rationnels des courbes sur les corps finis affiche]
[Pour un genre $g>0$ donné, nous donnons des bornes
inférieures pour le nombre maximal de points rationnels d'une
courbe projective lisse absolument irréductible de genre $g$ sur
le corps fini $\mathbb{F}_q$.
D'abord, on donne une construction explicite qui produit des
courbes de genre $g$ sur $\mathbb{F}_q$ avec au moins
$1+q+4\sqrt{q}-32$ points.
Puis en utilisant les sommes de puissances des traces de Frobenius
des courbes hyperelliptiques, on obtient une borne inférieure de
la forme $1+q+1.71\sqrt{q}$ valable pour $g>2$ et $q>9$ impair.
Enfin, et comme conséquence de la théorie de Katz-Sarnak, on
obtient pour tout $g>0$ donné, tout $\epsilon>0$ et tout $q$
suffisamment grand, l'existence d'une courbe de genre $g$ sur
$\mathbb{F}_q$ avec au moins $1+q+(2g−\epsilon)\sqrt{q}$ points
rationnels. En plus, on ira au-delà de cette théorie pour essayer
d'expliquer les asymétries observées dans la distribution du
nombre de points et qui ne sont pas détectées par Katz-Sarnak.
Celui-ci est un travail conjoint avec J. Bergström, E. Howe et
C. Ritzenthaler. |
février 2024
05 février (PRG) | Wataru Kai
(Tohoku University)
Linear patterns of prime elements in number fields affiche]
[I will discuss my recent result
that gives a sufficient condition for a set of finitely many
polynomials of degree 1 with coefficients in a number ring to attain
simultaneous prime values. This extends a 2012 theorem of
Green-Tao-Ziegler from the case of $\mathbb{Z}$ to the general case.
Time permitting, I will mention how this can be applied to produce
(modestly) new families of varieties over number fields which
satisfy the Hasse principle for rational points by using the
so-called fibration methods. |
12 février (Jussieu) | Dimitar Jetchev
(École polytechnique fédérale de Lausanne)
Split Kolyvagin Systems for Conjugate-dual Galois Representations and Applications to the Bloch--Kato Conjectures (in memory of Jan Nekovar) affiche]
[We develop the formalism of Euler and Kolyvagin systems at
split auxiliary primes that is used to study Selmer groups of
Galois representations of the absolute Galois group of an
imaginary quadratic field that are conjugate self-dual but that do
not necessarily extend to the absolute Galois group of the
rationals. Under the existence and non-triviality of such split
Kolyvagin systems, we prove the Bloch--Kato conjecture in low
analytic ranks (zero or one) as well as bounds on the
Tate--Shafarevich group and one divisiblity in the Iwasawa main
conjecture. We show multiple applications that were previously not
accessible with the classical anticyclotomic Kolyvagin systems at
inert primes, mainly, Selmer groups for adjoint representations
and for modular forms twisted by anticyclotomic Hecke characters
due to Alonso--Castella--Rodriguez and Castella--Tuan-Do,
respectively, as well as recent constructions for cohomological
Galois representations for unitary and orthogonal Shimura
varieties due to Cornut, Jetchev, Boumasmoud, Graham--Shah and
Zhao. This is joint work with Nekovar and Skinner devoted to the
memory of Jan Nekovar. |
19 février | relâche (vacances d’hiver) |
26 février (Jussieu) | (Annulé) Christophe Breuil
(Orsay)
(Annulé) Résultats et questions sur les représentations de $\textrm{GL}_2$ dans la cohomologie mod $p$ affiche]
[Soit $p$ un nombre premier et $K$ une extension finie de
$\mathbb{Q}_p$. Les représentations de $\textrm{GL}_2(K)$ dans les
sous-espaces Galois isotypiques du $H^1$ mod $p$ des courbes de
Shimura ne sont totalement comprises que pour
$K=\mathbb{Q}_p$. Lorsque $K$ est non ramifié, je ferai le point
sur deux questions importantes : (1) est-ce que ces
représentations sont de longueur finie; (2) est-ce que ces
représentations ne dépendent que de la représentation de
$\textrm{Gal}(\overline{K}/K)$ sous-jacente ? Le coeur de
l'exposé est un travail en commun avec F. Herzig, Y. Hu, S. Morra
et B. Schraen. |
mars 2024
04 mars (PRG) | Haoran Wang
(Capital Normal University)
On mod $p$ and $p$-adic representations of quaternion algebra over $\mathbb{Q}_p$ affiche]
[Let $D$ be the non-split quaternion algebra over
$\mathbb{Q}_p$. The classical Jacquet-Langlands correspondence
relates irreducible complex representations of $D^{\times}$ with
discrete series representations of $GL_2(\mathbb{Q}_p).$ About 10
years ago, using Lubin-Tate space, Scholze defined some
interesting functors which gave a candidate for mod $p$ (and
$p$-adic) Jacquet-Langlands correspondence, even for $GL_n$. We
will talk about some results on Scholze functors in the case of
$GL_2(\mathbb{Q}_p).$ The talk is based on joint works with
Yongquan Hu. |
11 mars (Jussieu) | Emanuele Tron
(IMJ-PRG)
Problèmes de PGCD dans les groupes algébriques affiche]
[Les problèmes de PGCD sont une classe de problèmes
d'hauteur qui vient de la conjecture de Vojta (d'après Silverman)
et peut s'attaquer avec le théorème du sous-espace (travaux de
Bugeaud-Corvaja-Zannier). La contrepartie de ces bornes mais pour
les petites valeurs, la conjecture d'Ailon-Rudnick, est encore
ouverte. Nous allons voir comment autoriser des parties
unipotentes non-triviales permet de montrer des cas arithmétiques
de la conjecture ; en particulier, nous allons discuter une
version de cette conjecture en présence de multiplication
complexe, ainsi que la détermination des moments pour les
tores. |
18 mars (PRG) | Élie Studnia
(IMJ-PRG)
Courbes modulaires tordues et congruences de courbes elliptiques affiche]
[On dit que deux courbes elliptiques $E,F/\mathbb{Q}$ sont
\emph{congrues modulo $p$} (pour un nombre premier $p$) si les
sous-groupes de $p$-torsion $E[p]$ et $F[p]$ sont isomorphes comme
$\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$-modules. La
conjecture de Frey-Mazur affirme que lorsque $p$ est assez grand
par rapport à $E$, toute courbe elliptique $F/\mathbb{Q}$ congrue
à $E$ modulo $p$ est isogène à $E$. Nous verrons comment cet
énoncé peut se reformuler en termes de points rationnels sur
certaines tordues galoisiennes $X_E^{\alpha}(p)$ de la courbe
modulaire $X(p)$. Lorsque l'action de Galois sur $E[p]$ a petite
image, on peut utiliser les systèmes d'Euler connus pour $GL(2)$
et $GL(2) \times GL(2)$ pour démontrer la conjecture de Bloch-Kato
pour certains quotients de la jacobienne des
$X_E^{\alpha}(p)$. |
25 mars (Jussieu) | Gabriel Ribeiro
(IMJ-PRG)
Cartier duality, character sheaves, and generic vanishing affiche]
[Since Green and Lazarsfeld's seminal work, generic
vanishing theorems have influenced many fields ranging from
birational geometry to analytic number theory. In this talk, I
will present a new generic vanishing theorem for holonomic
D-modules, that may shed new light on both of these
worlds. Following ideas of Laumon, I'll explain how "character
sheaves" play the role of topologically trivial line bundles and
construct their moduli space based on a stacky version of Cartier
duality. |
avril 2024
01 avril | relâche (lundi de Pâques) |
08 avril | relâche (vacances de Pâques) |
15 avril | relâche (vacances de Pâques) |
22 avril (Jussieu) | Rachid Caich
(IMJ-PRG)
TBA affiche]
[TBA |
29 avril (PRG) | Pierre Le Boudec
(Universität Basel)
TBA affiche]
[TBA |
mai 2024
06 mai (Jussieu) | Stephanie Chan
(IST, Austria)
TBA affiche]
[TBA |
13 mai (PRG) | Jonathan Pila
(University of Oxford)
TBA affiche]
[TBA |
20 mai | relâche (lundi de Pentecôte) |
27 mai (PRG) | Gérald Tenenbaum
(Université de Lorraine)
TBA affiche]
[TBA |
juin 2024
03 juin (Jussieu) | Christophe Breuil
(Orsay)
Résultats et questions sur les représentations de $\textrm{GL}_2$ dans la cohomologie mod $p$ affiche]
[Soit $p$ un nombre premier et $K$ une extension finie de
$\mathbb{Q}_p$. Les représentations de $\textrm{GL}_2(K)$ dans les
sous-espaces Galois isotypiques du $H^1$ mod $p$ des courbes de
Shimura ne sont totalement comprises que pour
$K=\mathbb{Q}_p$. Lorsque $K$ est non ramifié, je ferai le point
sur deux questions importantes : (1) est-ce que ces
représentations sont de longueur finie; (2) est-ce que ces
représentations ne dépendent que de la représentation de
$\textrm{Gal}(\overline{K}/K)$ sous-jacente ? Le coeur de
l'exposé est un travail en commun avec F. Herzig, Y. Hu, S. Morra
et B. Schraen. |
10 juin (PRG) | David Solomon
(King’s College London)
TBA affiche]
[TBA |
17 juin (Jussieu) | Luca Terenzi
(ENS Lyon)
TBA affiche]
[TBA |
24 juin (PRG) |