Enseignement (année universitaire 2023-2024)
J'interviens en préparation à l'agrégation de mathématiques (leçons, développements, écrits et oraux blancs), j'assure le cours d'algèbre du premier semestre de L3
(UE 3M270) et encadre un des groupes de TD de cette UE, et j'assure aussi un TD du cours Théorie des nombres 1 de M1 au second semestre, dont le professeur sera
Javier Fresán .
Licence
3 de Sorbonne-Université, premier semestre : Algèbre
Ma référence sera ce
polycopié. Il couvre un contenu bien plus important que celui de ce cours, et nous ne devrions en traiter essentiellement que les chapitres
1,2,3,4,5 et 7, pas nécessairement dans cet ordre. J'indiquerai précisément sur cette page après chaque séance les parties du poly que j'aurai abordées.
Examens
Le premier contrôle continu aura lieu pendant une séance de TD la semaine du 9 octobre ; votre chargé(e) de TD vous indiquera la séance précise. L'épreuve durera une heure, sans documents.
Le programme portera sur les trois premières séances de cours (décrites ci-dessous). Le sujet pourra comporter une ou deux petites questions de cours.
L'examen partiel aura lieu le 23 octobre, à l'heure habituelle du cours (13h45). L'épreuve durera 1h30 (et donc 2h00 pour les élèves bénéficiant d'un tiers-temps), sans documents.
Le programme portera sur les quatre premières séances de cours (décrites ci-dessous). Le sujet pourra comporter une ou deux petites questions de cours.
Examen du 23 octobre : le sujet et son
corrigé.
Le second contrôle continu aura lieu pendant une séance de TD la semaine du 27 novembre; votre chargé(e) de TD vous indiquera la séance précise. L'épreuve durera une heure, sans documents.
Le programme portera sur tout le cours jusqu'à la séance du 6 novembre inclus (le programme pourra éventuellement être un peu allégé en fonctions de là où vous en êtes en TD, c'est à voir groupe par groupe). Le sujet pourra comporter une ou deux petites questions de cours.
L'examen terminal aura lieu le 8 janvier. Au programme : tout le cours jusqu'à la théorie des groupes de Sylow incluse, c'est-à-dire toutes les séances juqu'à celle du 20 novembre incluse.
Examen du 8 janvier : le sujet et son
corrigé.
Déroulement du
cours
Le 4 septembre : j'ai commencé par le chapitre 2 (j'aborderai une partie du chapitre 1 plus tard), que j'ai essentiellement
traité jusqu'à 2.7.5. J'ai également énoncé et démontré le lemme 3.4.2, au moment où je donnais différents exemples de sous-groupes.
J'ai omis de parler des groupes produit (exemple 2.1.11, je l'évoquerai sans doute à un moment ou un autre dans le cours, vous pouvez y jeter un coup d'œil dès
à présent), et de la structure de groupe sur Hom(G,H) quand H est abélien (2.6), que je mentionnerai un peu plus tard lorsque j'en aurai besoin.
Le 11 septembre : je suis allé de 2.8 jusqu'au théorème 2.10.2, mais après avoir passé un long moment sur les relations d'équivalence.
Concernant celles-ci, j'ai essentiellement traité ce qui est fait de 1.3 à 1.3.8. Je n'ai pas parlé de l'unicité du quotient à bijection unique près (1.3.9), vous pouvez le lire par curiosité si vous le souhaitez.
Et j'ai évoqué 1.3.12 oralement à un moment où j'en avais besoin, sans en donner la justification rigoureuse.
J'ai passé un peu de temps sur un exemple explicite de quotient (avec descriptions des classes à gauche et à droite), à savoir celui du groupe des permutations de {1,2,3} par son sous-groupe engendré par la permutation
qui échange 1 et 2 et fixe 3.
Le 18 septembre : j'ai terminé le chapitre 2, avec quelques omissions : je n'ai pas évoqué 2.12 ni 2.15 et ne le ferai pas. J'ai ensuite commencé le chapitre 3.
J'ai évoqué 3.1.1et 3.1.2, mais pas 3.1.3, 3.1.4, 3.1.5 ni 3.1.6 (et je ne le ferai pas, mais vous pouvez y jeter un coup d'œil, surtout à 3.1.5 et 3.1.6). J'ai traité 3.2 ( à l'exception de 3.2.3, que vous pouvez lire si vous voulez),
puis 3.3 (et j'ai à cette occasion donné la définition du groupe produit). Concernant 3.4, j'ai brièvement mentionné qu'un sous-groupe de Z en était aussi un idéal, j'ai rappelé le lemme 3.4.2 démontré lors de la séance du 04/09, puis je suis passé à 3.5 (le reste de 3.4, à savoir les rappels d'arithmétique sur le PGCD, le PPCM, etc.
sera fait lors de la prochaine séance), que j'ai juste commencé : je suis allé jusqu'à 3.5.4, sans mentionner que la bijection construite est un isomorphisme de groupes, ce sera fait là encore à la prochaine séance.
Le 25 septembre : j'ai tout traité de 3.5.5 à 3.6.7, et j'ai également indiqué à cette occasion que Hom(G,H) a une structure de groupe abélien quand H est abélien (2.6.1) et que si G est abélien, la composition fait du groupe abélien End G un anneau
(2.6.2). Puis j'ai abordé l'arithmétique, c'est-à-dire essentiellement tous les paragraphes de 3.4.3 à 3.4.11, avec quelques omissions (je n'ai pas énoncé 3.4.7, j'ai énoncé le théorème 3.4.8 sans démonstration, je n'ai pas énoncé le lemme 3.4.10, et je n'ai énoncé le lemme chinois
(3.4.12) qu'avec deux entiers premiers entre eux). Vous pouvez si vous le souhaiter lire pour vous-même tous ces points omis, voire essayer de les faire en exercice avant de regarder leurs preuves. Puis j'ai étudié les sous-groupes de Z/nZ et l'indicateur d'Euler (de 3.7 à 3.7.7).
Le 2 octobre. J'ai traité toute la section 3.9 jusqu'au théorème final 3.9.4.
Concernant celui-ci, j'ai fait intégralement la preuve de l'existence, mais pour l'unicité, j'ai seulement esquissé une preuve différente de celle du poly (jetez à l'occasion un coup d'œil à cette dernière)
et je n'y reviendrai pas en cours ; l'exercice 5 de la feuille de TD numéro 4 lui est toutefois consacré.
Le 9 octobre. J'ai commencé par revenir sur le fait qu'on utilise souvent indifféremment les notations ⊕ G_i et Π G_i
lorsque l'ensemble d'indices est fini, et par expliquer pourquoi. Puis j'ai donné quelques exemples de classification des groupes abéliens à isomorphisme près en petit cardinal,
et ai expliqué sur un exemple comment déduire du théorème 3.9.4 et du lemme chinois que tout groupe abélien fini est isomorphe à un produit fini de la forme
Π Z/p_j^{n_j}Z, où les p_j sont des nombres premiers et, inversement, comment retrouver la décomposition du lemme 3.9.4 à partir de l'écriture Π Z/p_j^{n_j}Z. (Ces deux points
ne figurent pas dans le poly, mais j'ai tapé un
petit texte sur le sujet). J'ai ensuite commencé le chapitre sur les groupes opérant sur un ensemble. Plus précisément j'ai tout traité
du début du chapitre 4 jusqu'à 4.1.11.3, n'ai pas évoqué 4.1.12 ni 4.1.13 (et ne le ferai pas), et ai ensuite introduit la notion de stabilisateur (4.3.1). Je n'ai pas encore parlé d'orbites
(de 4.2 à 4.2.6), ce sera fait la prochaine fois.
Le 16 octobre. J'ai traité le paragraphe 4.2 (sauf l'exemple 4.2.5 que je ne traiterai pas, regardez-le si vous voulez).
Concernant les stabilisateurs j'ai traité le premier exemple de 4.3.3 (pas le second), puis j'ai tout fait de 4.3.5 à 4.3.10. J'ai énoncé et démontré la proposition 4.3.11
(mais sans évoquer l'équivariance, qui est une notion que je n'ai pas abordée). Je n'ai pas traité l'exemple 4.3.12 ni le commentaire 4.3.13 qui le suit (et je ne le ferai pas),
puis j'ai tout fait de 4.4 à 4.4.8 mais n'ai pas abordé 4.4.9 ni 4.4.10 (et je ne le ferai pas en cours, ça pourra être évoqué en TD). J'ai ensuite commencé le chapitre 5, j'ai tout traité
de 5.1 à 5.1.7 à l'exception de 5.1.5 dont je parlerai à l'occasion, puis je suis passé directement à 5.3.1 (j'ai donc décrit le produit d'un nombre fini de permutations à supports
deux à deux disjoints avant de parler de cycle, notion qui ne sera vue que la prochaine fois).
Le 6 novembre. J'ai traité toute la section 5.2 puis suis revenu à 5.3 où j'ai tout fait de la proposition 5.3.2 à la fin (5.3.9).
J'ai commencé la section 5.4 consacrée à la signature, je suis allé jusqu'à 5.4.1.3.
Le 13 novembre. J'ai terminé la signature (section 5.4) et n'ai pas abordé la section 5.5. Je suis alors passé directement au chapitre 7
(théorèmes de Sylow), le chapitre 6 (produit semi-direct) ne sera pas traité dans ce cours. Je suis allé jusqu'à 7.2.5 (à ceci près que je n'ai pas attiré l'attention sur le fait que deux p-Sylow sont isomorphes,
signalé en 7.2.4 ; je le mentionnerai explicitement lors du prochain cours).
Le 20 novembre. J'ai traité en détail les exemples 7.3.1, 7.3.2 et 7.3.3 de calculs de groupes de Sylow (j'ai rapidement étudié auparavant les p-Sylow de S_n pour n valant 0, 1, 2 ou 3).
J'ai ensuite traité 7.4.1, par la même méthode que dans le poly mais en présentant les choses de manière un peu plus terre-à-terre, sans référence à la notion générale de produit semi-direct.
Le 27 novembre. J'ai traité la sous-section 8.1 à l'exception des remarques 8.1.12 et 8.1.13 (lisez-les à l'occasion), et de la remarque 8.1.7 qui est l'objet de l'exercice 9(b)
de la feuille 3. Concernant la sous-section 8.2, je me suis contenté d'énoncer le théorème 8.2.4 sans démonstration. Puis je suis passé à 8.3 que j'ai traitée intégralement à
ceci près qu'à partir de 8.3.5 je n'ai parlé que des groupes D_i et pas des groupes
C_i (et je n'en parlerai pas). J'ai terminé la séance en énonçant et prouvant le théorème 8.4.1.
Le 4 décembre. J'ai terminé le cours en allant jusqu'à l'exemple 8.4.8 (mais je n'ai pas mentioné 8.4.6 ; j'ai par contre montré que S_3 est résoluble, et calculé son groupe dérivé).
Documents divers
Un
complément
sur les deux types de décomposition possibles d'un groupe abélien fini.
La
feuille
de TD numéro 1 et son corrigé.
La
feuille
de TD numéro 2 et son corrigé.
La
feuille
de TD numéro 3 et son corrigé.
La
feuille
de TD numéro 4 et son corrigé.
La
feuille
de TD numéro 5 et son corrigé.
La
feuille
de TD numéro 6 et son
corrigé.
La
feuille
de TD numéro 7 et son corrigé.
Archives : divers
documents pédagogiques
Le
polycopié de mes cours de M2 de géométrie algébrique donnés en 2019-2020, 2020-2021 et 2021-2022.
Un texte sur les torseurs, qui est un «complément culturel» de géométrie algébrique. Ce texte utilise plusieurs définitions et résultats de l'exercice 1
de l'examen de 2020 du cours Les outils de la géométrie algébrique (sujet, corrigé).
Le
polycopié d'un cours de L2 sur les groupes de permutation et d'isométries donné
en 2016-2017, 2017-2018 et 2018-2019.
Le polycopié d'un cours de géométrie affine de L3 donné à l'Université Pierre-et-Marie Curie
en 2011-2012.
Un texte sur l'utilisation des matrices échelonnées (rédigé pour le cours de L3 évoqué juste au-dessus).
Transvections
et groupe des commutateurs de GL_n(k) (prépa-agreg, Nice).
Construction
des polynômes cyclotomiques (prépa-agreg, Nice).
La
décomposition polaire (prépa-agreg, Nice).
La
simplicité de A_n pour n au moins égal à 5 : traduction de
la preuve de Jacobson dans Les
sous-groupes distingués de S_n pour n au moins égal à 5 (prépa-agreg, Nice).
Dénombrement
des parenthésages de n termes (prépa-agreg, Nice).
Irréductibilité
du polynôme déterminant (en n^2 variables X_ij) (prépa-agreg, Nice).
Discriminant
et loi de réciprocité quadratique (prépa-agreg, Nice).