Quelques imperfections se sont glisséees dans le
traitement qui est proposé de cette notion importante. Déjà
dans les premières lignes du paragraphe 0.8.1.2., page 20, il y
a une maladresse qu'il est facile de corriger soi-même. Un quotient
catégorique pour la variété X, munie d'une action
de G, est en fait la donnée d'une flèche Phi: X-->Y, constante
sur les orbites et qui factorise (uniquement) toute application X--> Z
constante sur les orbites. Il est important de ne pas se contenter de l'ensemble
Y mais de tenir compte de l'application Phi. Pour les besoins de
la chose, on pourra se contenter dans un premier temps à ce que
Y et Z soient affines (on obtient alors un quotient catégorique
qui n'est pas nécessairement le même que celui qu'on obtiendrait
en omettant cette condition!). Cette condition ne figure pas dans le texte
mais elle nous permettra d'éviter certaines difficultés.
Entre autres, elle nous permettra de mieux comprendre pourquoi dans certains
cas, l'application Phi n'est pas surjective: cela sera dû tout simplement
à ce que l'image n'est pas une variété affine, un
peu comme dans le cas ExF--> E tensor F, où l'image n'est pas un
espace vectoriel. Un quotient catégorique n'existe pas en général,
mais si le groupe G est réductif et X elle-même affine alors
le quotient catégorique existe et sera noté X//G. On a donc
deux foncteurs en présence, adjoints l'un de l'autre. Le premier
F applique toute G-variété affine sur la variété
affine X//G et le second L applique toute variété affine
sur la G-variété triviale associée.
On peut alors écrire $Hom_G(X,L(Y)) = Hom_{aff}(F(X),Y)$.
Toujours page 20. Ligne 23, il faut préciser que Phi est
constante sur les orbites et X irréductible.
Page 21, juste avant la note en bas de page, lire:
Le complémentaire de l'ouvert U est de codimension plus
grande ou égale à deux dans la variété (normale)
X, les fonctions régulières définies sur U et
à valeurs dans une variété affine sont donc des restrictions
de fonctions polynomiales définies sur X...
Toujours sur la notion de quotient catégorique et dans les exercices,
voir page 53, exercice 0.11.55 b).
Il faut lire:
Que se passe-t-il quand G=SL(n,K) et X remplacé par GL(n,K)xM(n,K)?
Le fermé $V_1$ doit alors être vu dans $GL(n,K)oplus K_x^2$
Telle quelle, l'indication était fausse; pour la sauver, nous venons de changer la question!! Il faut alors renoncer à la question b) de l'exercice suivant.
La question b) de 0.11.55 reste intéressante à poser;
je n'ai pas de solution pour le moment.
Exercice: Chercher le quotient catégorique de l'action par homothéties
scalaires du groupe multiplicatif K* sur l'ouvert principal $O_1$ des n-uplets
de K^n dont la première composante est non nulle.
Indication: il est donné par $phi: O_1--->K^{n-1}$ où
$phi(x_1,x_2,...,x_n)=(x_2/x_1,....,x_n/x_1)$
Dans l'exercice 0.11.2, nous avons commis l'erreur suivante (dans la question b)); nous avons admis à tort que si un conjugué $K=xHx^-1$ d'un sous-groupe H de G est contenu dans H alors il lui est égal. Cette assertion est souvent vérifiée et l'est en tout cas dans tous les cas rencontrés dans le livre. Elle l'est évidemment si le groupe H est fini, mais aussi si le groupe H est algébrique affine ou encore un groupe de Lie ayant un nombre fini de composantes connexes . C'est un exercice non trivial que c'est encore le cas si G est compact . Le contre-exemple classique semble figurer dans Bourbaki. Le groupe symétrique de l'ensemble des entiers naturels N, opère transitivement sur les parties qui sont infinies et de complémentaire infini. Deux telles parties ont donc des groupes fixateurs conjugués et deux telles parties incluses l'une strictement dans l'autre ont des fixateurs emboîtés et distincts! .
Cette erreur se répercute dans la question b) de 0.11.76 page 77.
Remarque: un K[X]-module est cyclique s'il est de la forme K[X]/(P).
Il est bien connu que tout K[X]-module E_u, où u est dans L(E) et
E de dimension finie sur K, est somme directe de modules cycliques (voir
page 187).
9) page 137; Il est dit que quotient de GL(2,C) par le sous-groupe a
deux elements engendre par -Id
est isomorphe au groupe des similitudes sur Q(E) qui est de dimension
3. Cela est exact mais l'affirlmation que cela entraine l'isomorphisme
avec le produit semi-direct de O(3,C) avec C* est fausse. En fait, le groupe
des similitudes est isomorphe au produit direct interne SO(3,C)xC*
on a donc GL(2,C)/{Id;-Id} isomorphe à SO(3,C)xC*
Par contre, la suite exacte naturelle 1 -->
O(3,C) --> Sim(3,C) --> C* --> 1
n'est pas scindable (Keller).