Parcours de M2 algèbres d’opérateurs, géométrie non commutative


Présentation

Un parcours dans la filière algèbres d’opérateurs, géométrie non commutative contenant 3 cours de 9 ECTS chacun est proposé. Ce parcours s’appuie sur les liens profond existant entre les algèbres d’opérateurs, la théorie géométrique et la théorie mesurée des groupes discrets dénombrables. Les algèbres d’opérateurs, introduites par Murray et von Neumann entre 1940 et 1950 dans l’optique de formaliser les concepts de la mécanique quantique, ont connu des progrès spectaculaires, en lien avec la théorie ergodique et la théorie des groupes, ces 15 dernières années. Ce parcours présentera quelques uns de ces résultats très récents ainsi que les techniques modernes qui permettent de les obtenir.

Le premier cours de ce parcours est une introduction aux algèbres d’opérateurs : C*-algèbres et algèbres de von Neumann. Dans le second cours, différentes propriétés d’approximations pour les groupes et algèbres de von Neumann, dont l’utilisation permet d’obtenir des résultats surprenant de rigidité, seront présentées et étudiées en détails. Enfin, le dernier cours portera sur les sous algèbres abéliennes maximales d’une algèbre de von Neumann finie. On verra le lien entre ces dernières et les actions préservant une mesure de probabilité de groupes dénombrables. Plusieurs résultats profonds, tels que l’unicité de la Cartan dans le facteur hyperfini II₁ (Connes-Feldman-Weiss, 1981) et la trivialité du groupe fondamental de L(SL₂(Z)⋉Z²) (Popa, 2001), seront démontrés.

Programme
I. Algèbres d’opérateurs - Georges Skandalis (9 ECTS), septembre-octobre.

II. Propriétés d’approximations des groupes et algèbres de von Neumann - Pierre Fima (9 ECTS), novembre-décembre.

III. Sous-algèbres maximales abéliennes et équivalence orbitale - François Le Maître (9 ECTS), janvier-février.

Connaissances requises

Une connaissance de l’analyse fonctionnelle de M1 est utile.

Bibliographie

Partie I : Un polycopié sera distribué pour la Partie I.

Partie II :

Partie III :