Bertrand Lemaire Mathématiques, bât. 425 Université de Paris Sud 91405 Orsay cedex bertrand.lemaire@math.u-psud.fr

ENDOSCOPIE ET CHANGEMENT DE CARACTÉRISTIQUE D’après J.-L. Waldspurger

Dans son article Endoscopie et changement de caractéristique [W2], Waldspurger montre qu’une “certaine conjecture de transfert” pour les algèbres de Lie en caractéristique positive implique la même conjecture en caractéristique nulle. Comme conséquence de ce résultat, il obtient que le lemme fondamental (pour les algèbres de Lie) en caractéristique positive implique le lemme fondamental en caractéristique nulle. Rappelons que dans un travail antérieur [W1], Waldspurger a montré qu’en caractéristique nulle, le lemme fondamental implique la conjecture de transfert pour les groupes. Tout cela n’est valable que si la caractéristique résiduelle du corps local en question est grande par rapport au rang du groupe. Dans [W2], Waldspurger prouve en fait que sous cette hypothèse, une “certaine conjecture de transfert” pour les algèbres de Lie ne dépend pas vraiment du corps local mais seulement de son corps résiduel. Notons qu’en caractéristique nulle, cette hypothèse n’est pas vraiment gênante puisque dans les situations relatives à un corps de nombres que l’on a en vue, elle est vérifiée en presque toutes les places finies.

1. Le principe de la démonstration (introduction)

1.1. Dans tout ce papier, F désigne un corps commutatif localement compact non archimédien, de caractéristique résiduelle p. On note 𝔬_{F} son anneau d’entiers, 𝔭_{F} l’idéal maximal de 𝔬_{F}, et κ_{F} = 𝔬_{F} /𝔭_{F} le corps résiduel. On note ω_{F} la valuation sur F normalisée par ω_{F} (F^{×}) = ℤ, et l’on pose |x|_{F} = q^{−ω_{F} (x)} (x ∈ F) où q est le cardinal de κ_{F}. Pour toute extension algébrique E de F, on définit de la même manière 𝔬_{E}, 𝔭_{E} et κ_{E}, et l’on note encore ω_{F} l’unique valuation de E prolongeant ω_{F}.

Si X est un espace topologique totalement discontinu, on note C_{c}^{∞}(X) l’espace des fonctions complexes sur X qui sont localement constantes et à support compact. Si de plus X est compact (resp. fini), on écrit simplement C^{∞}(X) (resp. C(X)). Le dual algébrique Hom_{ℂ}(C_{c}^{∞}(X), ℂ) est l’espace des distributions sur X; on le note D(X).

Si Γ est un groupe opérant sur un ensemble X, on note X^{Γ} ⊂ X le sous-ensemble formé des éléments fixés par Γ, et Γ_{X} ⊂ Γ le sous-groupe {γ ∈ Γ : γ(x) = x, ∀x ∈ X}.

Pour tout groupe algébrique H défini sur un corps κ, on note 𝔥 (même lettre gothique) son algébre de Lie, vue comme espace affine défini sur κ.

1.2. Soit F comme en 1.1, et soit G un groupe algébrique réductif connexe défini sur F (fixé jusqu’à la fin du numéro 1.3). On pose 𝔤 = Lie(G), et pour r ∈ ℝ, on note Φ_{F} (r) l’ensemble des r-facettes généralisées ([D] 3.2.2) de l’immeuble étendu ℑ(G, F). On rappelle que deux points x, y ∈ ℑ(G, F) sont dans la même r-facette généralisée ϕ si et seulement si 𝔤(F)_{x,r} = 𝔤(F)_{y,r} et 𝔤(F)_{x,r^{+}} = 𝔤(F)_{y,r^{+}} ; on pose alors 𝔤(F)_{ϕ} = 𝔤(F)_{x,r} et 𝔤(F)_{ϕ^{+}} = 𝔤(F)_{x,r^{+}}. Soient

S_{F} = ⨁_{r∈ℝ} S_{F} (r), S_{F} (r) = ⨁_{ϕ∈Φ_{F} (r)} C(𝔤(F)_{ϕ}/𝔤(F)_{ϕ^{+}}).

Les inclusions C(𝔤(F)_{ϕ}/𝔤(F)_{ϕ^{+}}) ⊂ C^{∞}(𝔤(F)_{ϕ}) ⊂ C_{c}^{∞}(𝔤(F)) définissent une application linéaire S_{F} → C_{c}^{∞}(𝔤(F)), φ ↦ φ̃.

Si T est un tore défini sur une extension algébrique E de F, on note ω_{𝔱,F} : 𝔱(E) → ℚ ∪ {+∞} la valuation sur 𝔱(E) définie par ω_{𝔱,F} (0) = +∞ et

ω_{𝔱,F} (X) = inf{ω_{F} (α(X)) : α ∈ X^{∗}(T)} (X ∈ 𝔱(E) ∖ {0}).

Et pour s ∈ ℝ, on pose 𝔱(E)_{s} = {X ∈ 𝔱(E) : ω_{𝔱,F} (X) ≥ s} et 𝔱(E)_{s^{+}} = ⋃_{s′>s} 𝔱(E)_{s′}.

1.3. Soit un élément X ∈ 𝔤(F) semisimple régulier. Notons T = G_{X}^{∘} le centralisateur connexe de X dans 𝔤; c’est un tore maximal de G défini sur F. Via le choix d’une mesure G(F)-invariante dḡ_{X} sur l’espace homogène T (F)\G(F), pour f ∈ C_{c}^{∞}(𝔤(F)), on définit l’intégrale orbitale

Λ^{G(F)}(f, X) = Δ(X) ∫_{T (F)\G(F)} f(Ad g^{−1}(X))dḡ_{X}

où Δ(X) désigne le facteur de normalisation habituel : Δ(X) = | det_{F} (ad(X); 𝔱(F)\𝔤(F))|_{F}^{− \frac{1}{2}} . L’intégrale ci-dessus est absolument convergente, et l’application φ ↦ Λ^{G(F)}(φ̃, X) est une forme linéaire sur S_{F}.

On suppose que “p est grand par rapport au rang de G” ; en particulier, on suppose que T se déploie sur une extension modérément ramifiée de F. Posons r(X) = ω_{𝔱,F} (X), et soit une fonction φ ∈ C(𝔤(F)_{ϕ}/𝔤(F)_{ϕ^{+}}) pour un r ∈ ℝ et une r-facette généralisée ϕ. Si r(X) < r, alors la G(F)- orbite de X n’intersecte pas le support de φ̃; par conséquent Λ^{G(F)}(X, φ̃) = 0. On peut donc supposer r(X) ≥ r. On distingue alors deux cas :

Cas 1 : r(X) > r. D’après les travaux de DeBacker [D], il existe une fonction φ_{+} ∈ ⊕_{s>r} S_{F} (s) telle que Λ^{G(F)}(φ̃, X) = Λ^{G(F)}(φ̃_{+}, X).

Cas 2 : r(X) = r. Notons G′ ⊂ G le “r-centralisateur” de X dans G, c’est-à-dire le sous-groupe engendré par T et par les sous-groupes radiciels de G associés aux racines α ∈ Σ(G, T) telles que ω_{𝔱,F} (α(X)) > r. Le groupe G′ est réductif connexe et défini sur F. D’après les travaux de Kim-Murnaghan [KM], il existe un élément X′ ∈ 𝔤′(F) semisimple régulier et une fonction φ′ ∈ S′_{F} (r), tels que Λ^{G(F)}(φ̃, X) = Λ^{G′(F)}(φ̃′, X′) ; où S′_{F} (r) désigne l’analogue de S_{F} (r) pour G′.

On peut donc ramener le “calcul” de Λ^{G(F)}(X, φ̃) à celui d’une intégrale orbitale semisimple régulière sur un groupe plus petit. L’idée est de montrer (par récurrence sur r(X) − r et sur le rang de G) que les applications linéaires S_{F} (r) → ⊕_{s>r} S_{F} (s), φ ↦ φ_{+} et S_{F} (r) → S′_{F} (r), φ ↦ φ′ ci-dessus, ne dépendent pas vraiment des données F, G, X, mais seulement de \overline{𝔽}_{q}, d’une donnée radicielle sur \overline{𝔽}_{q} (etc.). Le même principe s’applique aux intégrales orbitales stables et aux intégrales orbitales endoscopiques.

1.4. Décrivons brièvement comment sont organisés les résultats.

Dans la section 2, le groupe de Galois Γ de l’extension modérément ramifiée maximale F^{mod} de F, est décrit en termes indépendants de F. Via le choix d’uniformisantes, on a une décomposition Γ = I ⋊ Θ. On note F^{nr} = (F^{mod})^{I} la sous-extension non ramifiée maximale de F^{mod}.

Dans la section 3, au lieu de se donner le groupe G défini sur F, on fixe une donnée de racines D = (X^{∗}, Σ, Δ, X_{∗}, Σ̌, Δ̌) munie d’une action de Γ. On suppose que “p est grand par rapport au rang de D” (i.e. le rang commun de X^{∗} et de X_{∗} sur ℤ). On note W le groupe de Weyl de Σ. À cette donnée D est associée un groupe réductif connexe G, défini sur F et quasi-déployé sur F. On note V l’espace X_{∗} ⊗_{ℤ} ℝ. Le groupe Γ opère sur V via son action sur X_{∗}, et le sous-espace V^{nr} = V^{I} ⊂ V s’identifie à un appartement de l’immeuble étendu ℑ(G, F^{nr}). L’action du stabilisateur N(F^{nr}) de V^{nr} dans G(F^{nr}) est décrite en termes indépendants de F ; en particulier, elle se factorise à travers un groupe N^{nr} indépendant de F.

Dans la section 4, grâce aux travaux de Kottwitz, on attache à D un ensemble D de cocycles de Θ à valeurs dans N^{nr}, qui paramétrise l’ensemble H^{1}(Θ, G(F^{nr})) = H^{1}(Γ, G(F^{mod})). À chaque d ∈ D est associé un cocycle d_{F} ∈ Z^{1}(Θ, G(F^{nr})), lequel définit un torseur intérieur _{d}ξ : _{d}G → G défini sur F^{nr}. Soit d ∈ D, vu comme un cocycle de Γ trivial sur I. L’espace V muni de l’action tordue Γ × V → V, (θ, v) ↦ d(γ) · γ(v), est noté _{d}V. Le sous-espace _{d}W = (_{d}V)^{Γ} ⊂ V^{nr} s’identifie à un appartement de l’immeuble étendu ℑ(_{d}G, F).

Dans les sections 5 et 6, on décrit les quotients de la filtration de Moy-Prasad {_{d}𝔤(F)_{v,r} : r ∈ ℝ} dans _{d}𝔤(F) = Lie(_{d}G)(F) associée à un point v ∈ _{d}W, en termes indépendants de F. Notons ℤ_{(p)} le localisé de ℤ en p, et posons _{d}W_{(p)} = _{d}W ∩ (X_{∗} ⊗_{ℤ} ℤ_{(p)}) ; c’est un sous-ensemble dense de _{d}W. Pour (v, r) ∈ _{d}W_{(p)} × ℤ_{(p)}, on définit un \overline{𝔽}_{q}-espace vectoriel _{d}\underline{𝔤}_{v,r} muni d’une action de Θ, tel que le 𝔽_{q}-espace vectoriel _{d}\underline{𝔤}_{v,r}^{Θ} s’identifie canoniquement à _{d}𝔤(F)_{v,r}/_{d}𝔤(F)_{v,r^{+}}. L’espace V^{nr} × ℝ est muni d’une décomposition en facettes, indépendante de F, vérifiant les propriétés suivantes : notons _{d}Φ l’ensemble de ces facettes qui sont invariantes pour l’action de Θ sur V^{nr} tordue par d. Pour toute facette ϕ ∈ _{d}Φ, l’intersection ϕ ∩ (_{d}W_{(p)} × ℤ_{(p)}) est dense dans ϕ ∩ (_{d}W × ℝ) ; et pour tous (v, r), (v′, r′) ∈ ϕ ∩ (_{d}W_{(p)} × ℤ_{(p)}), on a _{d}𝔤(F)_{v,r} = _{d}𝔤(F)_{v′,r′}, _{d}𝔤(F)_{v,r^{+}} = _{d}𝔤(F)_{v′,r^{′+}} et d\underline{𝔤}_{v,r}^{Θ} = _{d}\underline{𝔤}_{v′,r′}^{Θ}. On peut donc remplacer la paire d’indices “v, r” par un indice “ϕ” dans les notations. Posons _{d}S = ⊕_{ϕ∈_{d}Φ} _{d}S_{ϕ} avec _{d}S_{ϕ} = C(_{d}\underline{𝔤}_{ϕ}^{Θ}). Via les identifications C(_{d}\underline{𝔤}_{ϕ}^{Θ}) = C(_{d}𝔤(F)_{ϕ}/_{d}𝔤(F)_{ϕ^{+}}) pour ϕ ∈ _{d}Φ, on obtient une application linéaire _{d}rea_{F} : _{d}S → C_{c}^{∞}(_{d}𝔤(F)).

Dans la section 7, on montre la version indépendante de F du cas 1 de 1.3. Pour X ∈ _{d}𝔤(F) semisimple régulier, le centralisateur T_{X} de X dans _{d}G est un tore maximal défini sur F, et l’espace homogène T_{X}(F)\_{d}G(F) est muni d’une mesure _{d}G(F)-invariante canonique ; la distribution Λ^{_{d}G(F)}(·, X) sur _{d}𝔤(F) est donc bien définie. À toute facette ϕ ⊂ V^{nr} × ℝ est associée un invariant r(ϕ) ∈ ℤ_{(p)}. Pour r ∈ ℤ_{(p)}, posant_{d}S_{r} = ⊕_{ϕ∈_{d}Φ,r(ϕ)≥r} _{d}S_{ϕ} ⊂ _{d}S et_{d}S_{r^{+}} = ⊕_{ϕ∈_{d}Φ,r(ϕ)>r} _{d}S_{ϕ} ⊂ _{d}S_{r}, on montre qu’il existe une application linéaire _{d}l_{r}^{+} : _{d}S_{r} → _{d}S_{r^{+}} telle que l’application _{d}rea_{F} ∘_{d}l_{r}^{+} “réalise” l’application φ ↦ φ_{+} de 1.3 (proposition 7.4).

Dans les sections 8 et 9, on montre la version indépendante de F du cas 2 de 1.3. On commence par décrire le centralisateur d’un “bon élément” (au sens de [KM]) de _{d}𝔤(F), en termes indépendants de F. On considère des quadruplets (D′, ψ, r, \underline{Z}′) où D′ = (X^{′∗}, Σ′, Δ′, X′_{∗}, Σ̌′, Δ̌′) est une donnée de racines munie d’une action de Γ ; ψ est une paire d’isomorphismes de ℤ-modules (X^{′∗} → X^{∗}, X′_{∗} → X_{∗}) en dualité ; r ∈ ℤ_{(p)} ; et \underline{Z}′ ∈ \underline{𝔱}′(r)^{Γ} où \underline{𝔱}′(r) désigne le \overline{𝔽}_{q}-espace vectoriel X′_{∗} ⊗_{ℤ} \overline{𝔽}_{q} munie d’une certaine action tordue de Γ définie par r. On demande que D′ s’identifie via ψ à un sous-système de Levi standard de D; que pour tout γ ∈ Γ, il existe un w_{ψ}(γ) ∈ W tel que ψ ∘ γ = w_{ψ}(γ) ∘ γ ∘ ψ; et que l’ensemble \{α ∈ Σ : α ∘ ψ(\underline{Z}′) = 0\} coïncide avec ψ(Σ′). Affectons d’un exposant “′” les objets attachés à D′ comme précédemment. On a une application naturelle ψ_{D′} : D′ → D. Pour d′ ∈ D′, posant d = ψ_{D′}(d′), on montre qu’il existe une application linéaire _{d′}l′_{r} : _{d}S_{r} → _{d′}S′_{r} telle que l’application _{d′}rea′_{F} ∘_{d′}l′_{r} “réalise” l’application φ ↦ φ′ de 1.3 (proposition 9.3).

Dans la section 10 est montré le théorème principal de [W2]. On considère simultanément toutes les formes tordues _{d}G pour d ∈ D. On sait que les classes de conjugaison stable semisimples régulières dans _{D}𝔤(F) = ∐_{d∈D} _{d}𝔤(F) sont paramétrées par l’ensemble Z_{F} = (𝔱_{reg}^{mod}/W)^{Γ} où 𝔱_{reg}^{mod} désigne l’ensemble des éléments W -réguliers de 𝔱^{mod} = X_{∗} ⊗_{ℤ} F^{mod}. Pour z_{F} ∈ Z_{F}, on note O_{st}(z_{F}) ⊂ _{D}𝔤(F) la classe de conjugaison stable associée à z_{F}. On construit (de manière indépendante de F) un ensemble Z, et pour chaque z ∈ Z, un groupe fini D_{z}, vérifiant les propriétés suivantes : il existe une application surjective ζ_{F} : Z_{F} → Z, et pour tout z_{F} ∈ Z_{F}, il existe une application surjective δ_{z_{F}} : O_{st}(z_{F}) → D_{ζ_{F} (z_{F})} dont les fibres sont exactement les classes de conjugaison ordinaire dans O_{st}(z_{F}). Posons S = ⊕_{d∈D} _{d}S, C_{F} = ⊕_{d∈D} C_{c}^{∞}(_{d}𝔤(F)), et notons rea_{F} l’application linéaire ⊕_{d∈D} _{d}rea_{F} : S → C_{F}. Pour f ∈ C_{F} et X ∈ _{D}𝔤(F) semisimple régulier, on pose Λ^{_{D}G(F)}(f, X) = Λ^{_{d}G(F)}(f_{d}, X) où d est l’élément de D tel que X ∈ _{d}𝔤(F), et f_{d} est la composante de f sur _{d}𝔤(F). Pour z ∈ Z et δ ∈ D_{z}, on montre qu’il existe une forme linéaire Λ^{D}(·, z, δ) sur S telle que pour tous z_{F} ∈ ζ_{F}^{−1}(z) et X ∈ δ_{z_{F}}^{−1}(δ), on ait l’égalité Λ^{_{D}G(F)}(rea_{F} (·), X) = Λ^{D}(·, z, δ) (théorème 10.7).

Dans la section 11, on généralise le théorème principal au transfert endoscopique. On introduit la notion (indépendante de F) de donnée endoscopique de D, c’est-à-dire un triplet (D_{♮}, η, s) où D_{♮} = (X_{♮}^{∗}, Σ_{♮}, Δ_{♮}, X_{∗,♮}, Σ̌_{♮}, Δ̌_{♮}) est une donnée de racines munie d’une action de Γ, etc. (cf. 11.1). Un tel triplet détermine un triplet endoscopique (G_{♮}, η̂, s) de G. Mieux : (G_{♮}, η̂, s) est un triplet endoscopique de_{d}G pour tout d ∈ D. Affectons d’un indice “♮” les objets relatifs à la donnée D_{♮}. De η se déduit un isomorphisme 𝔱_{♮}^{mod} → 𝔱^{mod}, qui n’est en général pas Γ-équivariant. Notons 𝔱_{♮,D−reg}^{mod} l’image réciproque de 𝔱_{reg}^{mod}, et posons Z_{♮,D−reg,F} = (𝔱_{♮,D−reg}^{mod}/W_{♮})^{Γ}. On a une application naturelle η_{F} : Z_{♮,D−reg,F} → Z_{F}, mais il n’existe en général pas d’application Z_{♮} → Z qui lui corresponde. Pour résoudre cette difficulté, on construit (de manière indépendante de F) un ensemble Y muni d’applications η_{Y} : Y → Z et ϵ : Y → Z_{♮}, et pour chaque y ∈ Y, un groupe fini D_{y} muni d’identifications canoniques D_{η_{Y} (y)} = D_{y} = D_{ϵ(y)}, vérifiant les propriétés suivantes : il existe une application surjective τ_{F} : Z_{♮,D−reg,F} → Y telle que η_{Y} ∘ τ_{F} = ζ_{F} ∘ η_{F} et ϵ ∘ τ_{F} = ζ_{♮,F} |_{Z_{♮,D−reg,F}} ; et pour tout z_{♮,F} ∈ Z_{♮,D−reg,F}, posant z_{F} = η_{F} (z_{♮,F}), y = τ_{F} (z_{♮,F}) et z = η_{Y}(y) = ζ_{F} (z_{F}), il existe un s_{y} ∈ Hom(D_{y}, ℂ^{×}) tel que pour X ∈ O_{st}(z_{F}), le facteur de transfert de Langlands-Shelstad Δ(z_{♮,F} , X) coïncide avec s_{y}(δ_{z_{F}} (X)^{−1}). Pour f ∈ C_{F} et z_{♮,F} ∈ Z_{♮,D−reg,F}, on définit l’intégrale orbitale endoscopique

Λ^{_{D}G(F),G_{♮}(F)}(f, z_{♮,F}) = ∑_{X} Δ(z_{♮,F} , X)Λ^{_{D}G(F)}(f, X)

où X parcourt un système de représentants dans O_{st}(X) des classes de conjugaison ordinaire. Pour y ∈ Y, le théorème 10.7 implique qu’il existe une forme linéaire Λ^{D,D^{♮}}(·, y) sur S telle que pour tout z_{♮,F} ∈ τ_{F}^{−1}(y), on ait l’égalité Λ^{_{D}G(F),G_{♮}(F)}(rea_{F} (·), z_{♮,F}) = Λ^{D,D_{♮}}(·, y) (proposition 11.4). On en déduit que la conjecture de transfert pour les fonctions dans l’image des applications rea_{F} et rea_{♮,F}, est indépendante de F (corollaire 11.4). Si maintenant les données D et D_{♮} sont non ramifiées, en supposant toujours que p est grand par rapport au rang de D, on obtient que le lemme fondamental pour les algèbres de Lie est une conjecture indépendante de F (corollaire 11.5).

2. L’extension modérément ramifiée maximale d’un corps local

2.1. Fixons un nombre premier p et une puissance q = p^{r} de p. Fixons aussi une clôture algébrique \overline{𝔽}_{q} de 𝔽_{q}. Posons Θ = ℤ̂ et notons θ_{1} le générateur topologique canonique de Θ (θ_{1} = 1). Le groupe Θ s’identifie au groupe de Galois de \overline{𝔽}_{q}/𝔽_{q}, θ_{1} s’identifiant au Frobénius.

Notons P l’ensemble des entiers e ≥ 1 qui sont premiers à p. Posons I = \underleftarrow{lim}_{e∈P} ζ_{e}(\overline{𝔽}_{q}) où, pour tout corps κ, ζ_{e}(κ) désigne le groupe des racines e-ièmes de l’unité dans κ; la limite projective étant prise par rapport aux morphismes de transition ζ_{ee′}(\overline{𝔽}_{q}) → ζ_{e}(\overline{𝔽}_{q}), μ ↦ μ^{e′} (e, e′ ∈ P). Pour σ ∈ I, on note σ_{e} l’image de σ dans ζ_{e}(\overline{𝔽}_{q}). Et pour e ∈ P, on note I(e) l’unique sous-groupe de I d’indice e. On munit I de l’action de Θ donnée par θ_{1}(σ) = σ^{q}, et l’on pose Γ = Θ ⋉ I.

Notons ℤ_{(p)} le localisé de ℤ en p, et

I × ℤ_{(p)} → \overline{𝔽}_{q}^{×}, (σ, r) ↦ r(σ)

la forme bilinéaire définie comme suit : pour (σ, r) ∈ I ×ℤ_{(p)}, on écrit r = \frac{n}{e} avec n ∈ ℤ et e ∈ P, et l’on pose r(σ) = σ_{e}^{−n}. Enfin, posons F^{∗} = ℤ_{(p)}×\overline{𝔽}_{q}^{×} et munissons F^{∗} de l’action de Γ définie comme suit : pour (r, x) ∈ ℤ_{(p)} × \overline{𝔽}_{q}^{×} et (θ, σ) ∈ Θ ⋉ I, on pose θ(r, x) = (r, θ(x)) et σ(r, x) = (r, r(σ)^{−1}x).

2.2 On suppose que κ_{F} est de cardinal q. Fixons une clôture séparable \overline{F} de F, et notons F^{nr} (resp. F^{mod}) la sous-extension non ramifiée (resp. modérément ramifiée) maximale de \overline{F} /F. On a donc les inclusions F ⊂ F^{nr} ⊂ F^{mod} ⊂ \overline{F}. Posons \overline{κ}_{F} = κ_{F^{nr}} = κ\overline{F}. On a une identification canonique Gal(F^{nr}/F) = Θ. Fixons un isomorphisme ι : \overline{κ}_{F} → \overline{𝔽}_{q}. Pour e ∈ P, la composée de ι et de la réduction modulo 𝔭_{F^{nr}}, induit une identification ζ_{e}(F^{nr}) = ζ_{e}(\overline{𝔽}_{q}). Fixons une uniformisante ϖ_{1} de F, et pour tout e ∈ P, fixons un élément ϖ_{\frac{1}{e}} ∈ F^{mod} de sorte que pour e, e′ ∈ P, on ait l’égalité (ϖ_{\frac{1}{ee′}})^{e′} = ϖ_{\frac{1}{e}}. Alors on a

F^{mod} = ⋃_{e∈P} F^{nr}(ϖ_{\frac{1}{e}}).

Pour r ∈ ℤ_{(r)}, on écrit r = \frac{n}{e} avec n ∈ ℤ et e ∈ P, et l’on pose ϖ_{r} = (ϖ_{\frac{1}{e}})^{n}.

On identifie Γ au groupe de Galois Gal(F^{mod}/F) de la manière suivante : le groupe Θ opère naturellement sur F^{nr} (via l’identification Θ = Gal(F^{nr}/F)) ; le groupe I fixe tout élément de F^{nr} ; et pour σ ∈ I et e ∈ P, on a σ(ϖ_{\frac{1}{e}}) = σ_{e}ϖ_{\frac{1}{e}}. Pour (σ, r) ∈ I × ℤ_{(p)}, on a donc

r(σ) = σ(ϖ_{−r})ϖ_{r}.

On définit un homomorphisme r_{F} : F^{mod,×} → F^{∗} de la manière suivante : pour e ∈ P, on pose r_{F} (ϖ_{\frac{1}{e}}) = (\frac{1}{e}, 1) ; et pour x ∈ F^{mod} tel que ω_{F} (x) = 0, notant x̄ l’image de x dans \overline{κ}_{F}, on pose r_{F} (x) = (0, ι(\overline{x})). Notons U_{F^{mod}}^{+} le sous-groupe de U_{F^{mod}} = 𝔬_{F^{mod}}^{×} formé des x tels que ω_{F} (1 − x) > 0. On a la suite exacte courte

1 → U_{F^{mod}}^{+} → F^{mod,×} ⟶^{r_{F}} F^{∗} → 1.

De plus, l’homomorphisme r_{F} est Γ-équivariant. On définit une section s_{F} : ℤ_{(p)} → F^{mod,×} de r au-dessus de ℤ_{(p)} : pour r ∈ ℤ_{(p)}, on pose s_{F} (r) = ϖ_{r}.

Pour e ∈ P, on note F^{e} ⊂ F^{mod} le sous-corps fixé par I(e) ; on a F^{e} = F (ϖ_{\frac{1}{e}}). Pour alléger l’écriture, on écrit 𝔬^{e}, 𝔭^{e} au lieu de 𝔬_{F^{e}}, 𝔭_{F^{e}}. Et si e = 1, on remplace l’exposant “^{e}” par un exposant “^{nr}” : 𝔬^{nr}, 𝔭^{nr}.

2.3. On a adjoint à F (tel que κ_{F} soit de cardinal q) des données \overline{F}, ι et \{ϖ_{\frac{1}{e}} \}_{e∈P}, obtenant ainsi

un quadruplet \underline{F} = (F, \overline{F} , ι, \{ϖ_{\frac{1}{e}} \}). Deux quadruplets \underline{F} = (F, \overline{F} , ι, \{ϖ_{\frac{1}{e}} \}) et \underline{F}′ = (F′, \overline{F}′, ι′, \{ϖ′_{\frac{1}{e}} \})

sont dits isomorphes s’il existe un isomorphisme de corps λ : \overline{F} → \overline{F}′ tel que λ(F) = F′ (ce qui entraîne λ(F^{nr}) = F^{′nr} et λ(F^{mod}) = F^{′mod}), ι′ ∘ λ̄′ = λ̄ où λ̄ : \overline{κ}_{F} → \overline{κ}_{F′} désigne l’isomorphisme de corps déduit de λ par restriction et passage aux quotients, et λ(ϖ_{\frac{1}{e}}) = ϖ′_{\frac{1}{e}} pour tout e ∈ P. On fixe un ensemble CL_{q} de représentants des classes d’isomorphisme de tels quadruplets. Pour alléger l’écriture, on considérera les éléments de CL_{q} comme des corps locaux F munis de “données supplémentaires occultes” \overline{F}, ι et \{ϖ_{\frac{1}{e}} \}.

3. Groupes et données radicielles

3.1. Soit une donnée de racines D = (X^{∗}, Σ, Δ, X_{∗}, Σ̌, Δ̌) munie d’une action de Γ. C’est-à-dire que X^{∗} et X_{∗} sont des ℤ-modules libres de type fini en dualité, Σ est un système de racines réduit dans X^{∗}, Δ ⊂ Σ est une base de racines simples, et Σ̌ (resp. Δ̌) est l’ensemble des coracines associé à Σ (resp. Δ) dans X_{∗}. La base Δ détermine un sous-ensemble de racines positives Σ^{+} ⊂ Σ. On note W le groupe de Weyl de Σ. Le rang de D, noté rg(D), est par définition le rang commun de X^{∗} et de X_{∗} sur ℤ.

De D se déduisent de la manière habituelle des données de racines D_{sc} = (X_{sc}^{∗}, Σ, Δ, X_{∗,sc}, Σ̌, Δ̌) et D_{der} = (X_{der}^{∗}, Σ, Δ, X_{∗,der}, Σ̌, Δ̌) munies d’une action de Γ. Ici, X_{∗,sc} ⊂ X_{∗} désigne le réseau engendré par Δ̌, et X_{sc}^{∗} ⊂ X^{∗} ⊗_{ℤ} ℚ celui engendré par les poids fondamentaux ; et l’on pose X_{∗,der} = X_{∗} ∩ (X_{∗,sc} ⊗_{ℤ} ℚ) et X_{der}^{∗} = Hom_{ℤ}(X_{∗,der}, ℤ).

On suppose que p est “grand par rapport au rang de D”. Pour tout système de racines Σ′ dans un espace vectoriel réel V′ qu’il engendre, introduisons l’ensemble des coracines Σ̌′ dans l’espace dual de V′, et le réseau X̌′ engendré par Σ̌′. Si Σ′ est réduit et irréductible, on sait définir le nombre de Coxeter h(Σ′) de Σ′. Si Σ′ est seulement réduit, on écrit Σ′ = ∐_{i=1}^{n} Σ′_{i} où Σ′_{i} est une composante irréductible de Σ′, et l’on pose h(Σ′) = max{h(Σ′_{i}) : i = 1, …, n}. On définit les conditions : (P_{Σ′}^{1}) pour tout sous-ensemble linéairement indépendant A ⊂ Σ′, l’indice du réseau ℤ[A] dans le

réseau ℚ[A] ∩ Hom_{ℤ}(X̌′, ℤ) est premier à p; (P_{Σ′}^{2}) pour tout sous-ensemble linéairement indépendant A ⊂ Σ′ et toute famille {c_{α}}_{α∈A} de

nombres rationnels telle que ∑_{α∈A} c_{α} ∈ Σ′, on a ω_{ℚ_{p}}(1 − ∑_{α∈A} c_{α}) ∈ {0, +∞}; (P_{Σ′}) si Σ′ est réduit, on a p > 3(h(Σ′) − 1). Pour N ∈ ℕ, on définit la condition : (P_{N}) p ≥ N + 2, et pour tout système de racines Σ′ de rang ≤ N, les conditions (P_{Σ′}^{1}), (P_{Σ′}^{2}),

(P_{Σ′}) sont vérifiées. L’hypothèse “p est grand par rapport au rang de D” est précisément la suivante : la condition (P_{rg(D)}) est vérifiée.

3.2. Soit k un corps commutatif de caractéristique 0 ou p. Fixons une clôture séparable \overline{k} de k, et supposons qu’il existe un homomorphisme Γ_{k} = Gal(\overline{k}/k) → Γ. Ainsi Γ_{k} opère sur D, et il existe un groupe réductif connexe G, un sous groupe de Borel B de G et un tore maximal T ⊂ B de G, tous trois définis sur F et vérifiant la condition suivante : il existe un couple d’isomorphismes de ℤ[Γ_{k}]-modules j^{∗} : X^{∗} → X^{∗}(T) et j_{∗} : X_{∗} → X_{∗}(T) en dualité, tel que j^{∗}(Σ) = Σ(G, T), j_{∗}(Σ̌) = Σ̌(G, T) et j^{∗}(Δ) = Δ(G, B, T). Posant j = (j^{∗}, j_{∗}), le quadruplet (G, B, T, j) est unique à isomorphisme près. Via j, on identifie X^{∗} à X^{∗}(T) et X_{∗} à X_{∗}(T).

Pour α ∈ Σ, on note 𝔤_{α} le sous-espace radiciel de 𝔤 associé à α. Fixons un épinglage {E_{α}}_{α∈Δ} de 𝔤 défini sur k : pour (α, γ) ∈ Δ × Γ, on a E_{α} ∈ 𝔤_{α}(\overline{k}) ∖ \{0\} et γ(E_{α}) = E_{γ(α)}. Le quintuplet (G, B, T, j, {E_{α}}_{α∈Δ}) est unique à isomorphisme unique près.

Pour α ∈ Δ, notons E_{−α} l’unique élément de 𝔤_{−α}(\overline{k}) tel que [E_{α}, E_{−α}] = α̌. Posons N = N_{G}(T). Le quotient N/T = N(\overline{k})/T (\overline{k}) s’identifie à W. Puisque p ≫ rg(D), on peut définir l’exponentielle exp(X) ∈ G(\overline{k}) d’un élément nilpotent X ∈ 𝔤(\overline{k}). On définit une section ensembliste de la projection canonique

n : W → N(\overline{k}),

caractérisée par les propriétés suivantes (cf. [Sp] 11.2.9) :

- pour α ∈ Δ, on a n(s_{α}) = exp(E_{α})exp(−E_{−α})exp(E_{α}), où s_{α} ∈ W désigne la symmétrie associée à la racine α;

- pour tous w, w′ ∈ W tels que l(ww′) = l(w) + l(w′), on a n(ww′) = n(w)n(w′), où l : W → ℕ désigne l’application longueur.

Plus généralement (cf. [LS] 2.1.A), pour tous w, w′ ∈ W, posant

Σ_{w,w′}^{+} = {α ∈ Σ^{+} : w^{−1}(α) < 0, w^{′−1}w^{−1}(α) > 0},

on a n(w)n(w′) = ν(w, w′)n(ww′) avec ν(w, w′) = ∏_{α} α̌(−1) où α parcourt les éléments de Σ_{w,w′}^{+}. Notons que par construction, la section n est Γ-équivariante. On sait que l’on peut prolonger la famille {E_{α}}_{α∈±Δ} en une famille {E_{α}}_{α∈Σ} vérifiant les conditions suivantes (cf. [Sp] 11.3.6) :

- pour α ∈ Σ, E_{α} ∈ 𝔤_{α}(\overline{k}) ;

- pour (α, γ) ∈ Σ × Γ, il existe un ϵ ∈ {±1} tel que γ(E_{α}) = ϵE_{γ(α)} ;

- pour (α, w) ∈ Σ × W, il existe un ϵ ∈ {±1} tel que Ad(n(w))(E_{α}) = ϵE_{w(α)}. Le prolongement est unique au remplacement près de certains E_{α} par leurs opposés.

On note ρ : G_{sc} → G le revêtement simplement connexe du groupe dérivé G_{der}. Notons que G_{sc} est “le” groupe associé à la donnée de racines D_{sc}. On note B_{sc}, T_{sc} (etc.) les images réciproques de B, T (etc.) dans G_{sc}, et l’on définit comme ci-dessus une section ensembliste n_{sc} : W → N_{sc} de la projection canonique N_{sc} → W. On a l’égalité n = ρ ∘ n_{sc}.

3.3. Appliquons la construction de 3.2 au corps k = 𝔽_{q} et à l’homomorphisme Θ ↪ Γ. On obtient un groupe réductif connexe défini sur 𝔽_{q}, que l’on note \underline{G}. Plus généralement, on souligne par un trait “ ” tous les objets associés à D en 3.2 : \underline{B}, \underline{T} (etc.). Et comme en 3.2, on fixe un épinglage \{\underline{E}_{α}\}_{α∈Δ} de \underline{𝔤} défini sur 𝔽_{q}, que l’on prolonge en une famille \{\underline{E}_{α}\}_{α∈Σ}.

Si \underline{H} est un groupe algébrique défini sur une sous-extension de \overline{𝔽}_{q}/𝔽_{q}, on l’identifie (comme d’habitude) au groupe de ses points \overline{𝔽}_{q}-rationnels \underline{H}(\overline{𝔽}_{q}).

Puisque le groupe I opère sur D, il opère aussi sur \underline{G}. Soit σ ∈ I. De l’action de σ sur X_{∗} se déduit une action sur \underline{T} = X_{∗} ⊗_{ℤ} \overline{𝔽}_{q}^{×}. Cette action se prolonge à \underline{G} de sorte que pour α ∈ Δ, on ait σ(\underline{E}_{α}) = \underline{E}_{σ(α)}. Plus généralement, pour α ∈ Σ, il existe un ϵ ∈ \{±1\} tel que σ(\underline{E}_{α}) = ϵ\underline{E}_{σ(α)}. Puisque I ne commute pas à Θ, l’action de I sur \underline{G} n’est en général pas définie sur 𝔽_{q}; mais les actions de I et de Θ se combinent néanmoins en une action de Γ sur \underline{G}. Notons en particulier que la section ensembliste \underline{n} : W → \underline{N} est Γ-équivariante.

Posons T_{ϖ} = X_{∗} ⊗_{ℤ} ℤ_{(p)} et T = X_{∗} ⊗_{ℤ} F^{∗}. Le groupe \underline{N} opère sur X_{∗} via sa projection sur W ; il opère donc aussi sur T_{ϖ}. On pose N = \underline{N} ⋉ T_{ϖ} et l’on note \underline{π} : N → \underline{N} la projection sur le premier facteur. On a les égalités T = T_{ϖ}\underline{T} et N = T_{ϖ}\underline{N} = T\underline{N} = T\underline{n}(W).

Des actions de Γ sur X_{∗} et sur F^{∗}, on déduit une action sur T. D’autre part l’action de Γ sur \underline{G} se restreint en une action sur \underline{N}. Les deux actions coïncident sur \underline{T} = T ∩ \underline{N}. On en déduit donc une action de Γ sur N. Notons que T_{ϖ} n’est pas Γ-stable pour cette action : pour λ ⊗ r ∈ T_{w} et σ ∈ I, on a σ(λ ⊗ r) = σ(λ) ⊗ r(σ)^{−1}r ∈ T. L’application \underline{π} n’est donc pas Γ-équivariante.

Posons V = X_{∗} ⊗_{ℤ} ℝ et V_{(p)} = X_{∗} ⊗_{ℤ} ℤ_{(p)} ⊂ V. On note

N × V → V, (n, v) ↦ n_{ℝ}(v)

l’action de N sur V définie comme suit : pour t ∈ T_{w} (= V_{(p)}), on pose t_{ℝ}(v) = v − t; et le groupe \underline{N} opère via l’action de son quotient W sur X_{∗}. De l’action de Γ sur X_{∗} se déduit une action sur V qui stabilise V_{(p)}. Et pour (n, v) ∈ N × V et γ ∈ Γ, on a γ(n_{ℝ}(v)) = γ(n)_{ℝ}(γ(v)).

On peut faire les mêmes constructions pour le groupe \underline{G}_{sc} ; on définit en particulier N_{sc} et V_{sc}. Posons V_{cent} = {v ∈ V : α(v) pour tout α ∈ Σ}; c’est un sous-espace vectoriel Γ-stable de V, et l’on a la décomposition V = V_{cent} ⊕ V_{sc}. Si u est un automorphisme affine de V_{sc}, on identifie u à un automorphisme affine de V en le prolongeant par l’identité sur V_{cent}. Alors pour n ∈ N_{sc}, n_{ℝ} s’identifie à ρ(n)_{ℝ}.

Soit e ∈ P. On note Σ^{e} l’ensemble des orbites de I(e) dans Σ, et W^{e} ⊂ W, V^{e} ⊂ V, N^{e} ⊂ N (etc.) les sous-ensembles formés des points fixés par I(e). L’action de N^{e} sur V stabilise V^{e}, et l’on note W^{e} le groupe d’automorphismes affines de V^{e} image de N^{e} par cette action. On définit W_{sc}^{e} de la même manière. Comme ci-dessus, on identifie W_{sc}^{e} à un groupe d’automorphismes affines de V^{e}. Toute paire (α, r) ∈ Σ^{e} × ℝ définit une fonction affine α + r sur V^{e}, et l’on pose H_{α+r}^{e} = {v ∈ V : α(v) + r = 0}. On note Σ_{aff}^{e} l’ensemble de ces fonctions α + r pour lesquelles il existe un élément w ∈ W_{sc}^{e} tel que H_{α+r}^{e} = {v ∈ V^{e} : w(v) = v}. Les hyperplans H_{ψ}^{e} pour ψ ∈ Σ_{aff}^{e} définissent une décomposition en facettes. L’action de W^{e} sur V^{e} conserve Σ_{aff}^{e} et la décomposition en facettes. On note C^{e} la chambre qui contient ϵρ̌ pour ϵ > 0 assez petit, avec ρ̌ = \frac{1}{2} ∑_{α∈Σ_{+}^{e}} α̌ où Σ_{+}^{e} ⊂ Σ^{e} désigne l’ensemble des orbites de I(e) dans Σ_{+}. Cette chambre est Γ-stable. On note W_{C}^{e} le stabilisateur de C^{e} dans W^{e}, et N_{C}^{e} son image réciproque dans N^{e}.

Si e = 1, on remplace l’exposant “^{e}” par un exposant “^{nr}” : Σ^{nr}, W^{nr}, V^{nr} (etc.). On utilisera souvent cette convention d’écriture dans la suite du papier, sans la réintroduire explicitement.

3.4. Soit F ∈ CL_{q}. Appliquons la construction de 3.2 au corps k = F et à l’homorphisme Gal(\overline{F} /F) ↠ Gal(F^{mod}/F) = Γ. On obtient un groupe réductif connexe G défini sur F et déployé sur F^{mod} ; un sous-groupe de Borel B de G et un tore maximal T ⊂ B de G, tous deux définis sur F. On fixe un épinglage {E_{α}}_{α∈Δ} de 𝔤 défini sur F, que l’on prolonge en une famille {E_{α}}_{α∈Σ}. Puisque G est déployé sur F^{mod}, on peut supposer que {E_{α}}_{α∈Δ} ⊂ 𝔤(F^{mod}) ; alors pour α ∈ Σ, on a E_{α} ∈ 𝔤(F^{mod}). On pose G^{mod} = G(F^{mod}), B^{mod} = B(F^{mod}) (etc.). Pour e ∈ P, on pose G^{e} = G(F^{e}), B^{e} = B(F^{e}) (etc.).

Pour toute extension algébrique E de F, on pose

T (E)_{+} = {x ∈ T (E) : ω_{F} (χ(x) − 1) > 0, ∀χ ∈ X^{∗}}.

Si E = F^{mod} (resp. F^{e} pour e ∈ P, F^{nr}), on écrit T_{+}^{mod} (resp. T_{+}^{e}, T_{+}^{nr}). De l’homomorphisme r_{F} : F^{mod,×} → F^{∗} se déduit un homomorphisme r_{T,F} : T^{mod} = X_{∗} ⊗_{ℤ} F^{mod,×} → X_{∗} ⊗_{ℤ} F^{∗} = T. On a la suite exacte courte :

1 → T_{+}^{mod} → T^{mod} ⟶^{r_{T,F}} T → 1.

D’après 3.2, l’homomorphisme r_{T,F} se prolonge en un homomorphisme r_{N,F} : N^{mod} → N qui, pour tout w ∈ W, vérifie r_{T,F} (n(w)) = \underline{n}(w). On a ker r_{N,F} = ker r_{T,F}, et r_{N,F} est Γ-équivariant. Pour tout sous-groupe fermé Γ′ de Γ, on a H^{i}(Γ′, T_{+}^{mod}) = 0 (i ∈ ℤ_{≥1}). Par conséquent pour e ∈ P, on a la suite exacte courte :

1 → T_{+}^{e} → N^{e} ⟶^{r_{N,F}} N^{e} → 1.

De la section s_{F} de r_{F} au-dessus de ℤ_{(p)} définie en 2.2, se déduit une section s_{T,F} : T_{ϖ} → T^{mod} de r_{T,F} au-dessus de T_{ϖ}.

Soit e ∈ P. On note ℑ_{F}^{e} l’immeuble étendu ℑ(G, F^{e}) ; c’est un G^{e} ⋊ Gal(F^{e}/F)-ensemble. Pour v ∈ ℑ_{F}^{e}, il existe un 𝔬^{e}-schéma en groupes affine lisse G_{v}^{e} de fibre générique G ×_{F} F^{e}, unique à isomorphisme unique près, tel que le groupe de ses points 𝔬^{e}-rationnels G_{v}^{e} = G_{v}^{e}(𝔬^{e}) coïncide avec le stabilisateur de v dans G^{e}. On note \overline{G}_{v}^{e} sa fibre spéciale G_{v}^{e} ×_{𝔬^{e}} \overline{κ}_{F}, et 𝔾_{v}^{e} le quotient réductif maximal de \overline{G}_{v}^{e}. Ainsi 𝔾_{v}^{e} est un groupe réductif (en général non connexe) défini sur une sous-extension finie de \overline{κ}_{F}/κ_{F}. Comme en 3.3, on identifie \overline{G}_{v}^{e}, 𝔾_{v}^{e} (etc.) à \overline{G}_{v}^{e}(\overline{κ}_{F}), 𝔾_{v}^{e}(\overline{κ}_{F}) (etc.).

Notons S_{e} le plus grang sous-tore de T déployé sur F^{e}; c’est un sous-tore F^{e}-déployé maximal de G×_{F} F^{e}. On a X_{∗}(S_{e}) = X_{∗}^{I(e)}, Z_{G}(S_{e}) = T et N_{G}(S_{e}) = N. Au tore S_{e} est associé un appartement A(G, S_{e}, F^{e}) de ℑ_{F}^{e}. Le stabilisateur de A(G, S_{e}, F^{e}) dans G^{e} est le groupe N^{e} (= N(F^{e})). On vérifie que l’on peut identifier les N^{e}-ensembles A(G, S_{e}, F^{e}) et V^{e} de sorte que l’action d’un élément n ∈ N^{e} soit r_{N,F} (n)_{ℝ}. L’immeuble ℑ_{F}^{e} s’identifie donc au quotient de G^{e} × V^{e} par la relation d’équivalence : (g, v) ∼ (g′, v′) si et seulement s’il existe un n ∈ N^{e} et un h ∈ G_{v}^{e} tels que v′ = r_{N,F} (n)_{ℝ}(v) et g′ = ghn^{−1}. Au tore S_{e} sont associés un ensemble de racines affines et un groupe de Weyl affine étendu, qui ne sont autres que Σ_{aff}^{e} et W^{e}. De plus, W_{sc}^{e} est le groupe de Weyl affine associé à Σ_{aff}^{e}, et l’on a la décomposition W^{e} = W_{sc}^{e} ⋊ W_{C}^{e}.

Soient maintenant e, e′ ∈ P tels que e divise e′. Puisque l’extension F^{e′}/F^{e} est modérément ramifiée, l’immeuble ℑ_{F}^{e} coïncide avec l’ensemble des points fixes (ℑ_{F}^{e′})^{Gal(F^{e′}/F^{e})} = (ℑ_{F}^{e′})^{I(e)}. Et pour v ∈ I(e), le groupe G_{v}^{e} n’est autre que le groupe des points fixes (G_{v}^{e′})^{I(e)} = G_{v}^{e′} ∩ G(F^{e}).

4. Torsion (d’après des constructions de Kottwitz)

Dans toute cette section, on fixe un corps F ∈ CL_{q}.

4.1. Soit e ∈ P. Appliquons la construction de 3.4 au cas G = T : pour tout v ∈ V^{e}, il existe un 𝔬^{e}-schéma en groupes affine lisse T_{v}^{e} de fibre générique T ×_{F} F^{e}, unique à isomorphisme unique près, tel que T_{v}^{e} = T_{v}^{e}(𝔬^{e}) coïncide avec le stabilisateur de v dans T^{e}. Puisque T_{v}^{e} = (X_{∗} ⊗_{ℤ} U_{F^{mod}})^{I(e)}, T_{v}^{e} est indépendant de v. Soit T^{e,∘} la composante neutre de T_{v}^{e}; c’est aussi la composante neutre du modèle de Néron de T ×_{F} F^{e}. Posons T^{e,∘} = T^{e,∘}(𝔬^{e}). On a l’inclusion T^{e,∘} ⊂ T_{v}^{e}. Si de plus I(e) opère trivialement sur D, alors on a T_{v}^{e} = X_{∗} ⊗_{ℤ} U_{F^{e}} = T^{e,∘}; de la valuation ω_{F} sur F^{e} se déduit un homomorphisme ω_{T,F}^{e} : T^{e} → \frac{1}{e}X_{∗}, et l’on a la suite exacte courte :

1 → T^{e,∘} → T^{e} ⟶^{ω_{T,F}^{e}} \frac{1}{e}X_{∗} → 1.

Dans le cas général, on construit de la manière suivante un homomorphisme ω_{T,F}^{e} : T^{e} → \frac{1}{e}X_{∗,I(e)} où X_{∗,I(e)} désigne le groupe des coinvariants de X_{∗} pour l’action de I(e) : on choisit un e′ ∈ P tel que e divise e′ et I(e′) opère trivialement sur D. L’application norme T^{e′} → T^{e} est surjective, et par fonctorialité, elle induit une application T^{e′,∘} → T^{e,∘}. La suite exacte ci-dessus se prolonge en un diagramme à carrés commutatifs dont les deux suites horizontales sont exactes :

\begin{aligned}1 & ⟶ & T^{e′,∘} & ⟶ & T^{e′} & ⟶^{ω_{T,F}^{e′}} & \frac{1}{e′} X_{∗} & ⟶ & 1 \\ & & ↓ & & ↓ & & ↓ \\ 1 & ⟶ & T^{e,∘} & ⟶ & T^{e} & ⟶^{ω_{T,F}^{e}} & \frac{1}{e}X_{∗,I(e)} & ⟶ & 1 \end{aligned} .

Les deux première flêches verticales sont les normes, la troisième est la composée de la surjection canonique \frac{1}{e}X_{∗} → \frac{1}{e}X_{∗,I(e)} et de la multiplication par \frac{e′}{e}. L’application ω_{T,F}^{e} est bien définie, i.e. elle ne dépend pas du choix de e′.

Puisque l’extension F^{e′}/F^{e} est modérément ramifiée, l’application norme T^{e′} → T^{e} induit une application surjective T_{+}^{e′} → T_{+}^{e}. Or T_{+}^{e′} = X_{∗} ⊗_{ℤ} U_{F^{e}}^{+} ⊂ T^{e′,∘}; d’où l’inclusion T_{+}^{e} ⊂ T^{e,∘}. Soit \underline{T}^{e,∘} = X_{∗}^{I(e)} ⊗_{ℤ} \overline{𝔽}_{q}^{×} la composante neutre du groupe algébrique \underline{T}^{e} = \underline{T}^{I(e)}. Via l’homorphisme r_{T,F}, le diagramme précédent induit le diagramme à carrés commutatifs et suites horizontales exactes suivant :

\begin{aligned}1 & ⟶ & \underline{T} & ⟶ & T^{e′} & ⟶^{ω_{T}^{e′}} & \frac{1}{e′} X_{∗} & ⟶ & 1 \\ & & ↓ & & ↓ & & ↓ \\ 1 & ⟶ & \underline{T}^{e,∘} & ⟶ & T^{e} & ⟶^{ω_{T}^{e}} & \frac{1}{e}X_{∗,I(e)} & ⟶ & 1 \end{aligned} .

Tout élément n ∈ N^{e} s’écrit de manière unique n = t\underline{n}(w) avec t ∈ T^{e} et w ∈ W^{e}. En envoyant n sur (ω_{T}^{e}(t), w), on définit un homomorphisme ω_{N}^{e} : N^{e} → \frac{1}{e}X_{∗,I(e)} ⋊ W^{e}. Et de la deuxième suite exacte du diagramme ci-dessus, on déduit la suite exacte courte :

1 → \underline{T}^{e,∘} → N^{e} ⟶^{ω_{N}^{e}} \frac{1}{e}X_{∗,I(e)} ⋊ W^{e} → 1.

4.2. Prenons e = 1, et considérons la surjection canonique X_{∗,I} → (X_{∗}/X_{∗,sc})_{I}. Elle est W^{nr}- équivariante pour les actions naturelles de W^{nr}. Or le groupe W opère trivialement sur X_{∗}/X_{∗,sc} : pour w ∈ W et λ ∈ X_{∗}, on a w(λ) − λ ∈ X_{∗,sc}. Par conséquent la surjection précédente se prolonge en un homomorphisme surjectif X_{∗,I} ⋊ W^{nr} → (X_{∗}/X_{∗,sc})_{I}. En composant ce dernier avec ω_{N}^{nr}, on obtient un homomorphisme surjectif ω̃_{N}^{nr} : N^{nr} → (X_{∗}/X_{∗,sc})_{I}. Le sous-groupe N_{C}^{nr} ⊂ N^{nr} défini en 3.3 contient \underline{T}^{nr} = \underline{T}^{I}; à fortiori, il contient la composante neutre \underline{T}^{nr,∘}. D’après le lemme 1.8.1 de [W2], on a la suite exacte courte

1 → \underline{T}^{nr,∘} → N_{C}^{nr} ⟶^{ω̃_{N}^{nr}} (X_{∗}/X_{∗,sc})_{I} → 1.

D’autre part, on a l’égalité H^{1}(Θ, (X_{∗}/X_{∗,sc})_{I}) = (X_{∗}/X_{∗,sc})_{Γ,tor} où (X_{∗}/X_{∗,sc})_{Γ,tor} désigne le sous-groupe de torsion de (X_{∗}/X_{∗,sc})_{Γ} : à un cocycle δ ∈ Z^{1}(Θ, (X_{∗}/X_{∗,sc})_{I}), on associe l’image de δ(θ_{1}) dans [(X_{∗}/X_{∗,sc})_{I}]_{Θ} = (X_{∗}/X_{∗,sc})_{Γ}. L’homomorphisme ω̃_{N}^{nr} est Θ-équivariant. Il induit donc une application H^{1}(Θ, N_{C}^{nr}) → (X_{∗}/X_{∗,sc})_{Γ,tor}. D’après le lemme 1.8.2 de [W2], cette application est bijective.

Fixons un sous-ensemble D ⊂ Z^{1}(Θ, N_{C}^{nr}) tel que l’application naturelle D → H^{1}(Θ, N_{C}^{nr}) soit bijective. On munit D de la structure de groupe déduite de celle de (X_{∗}/X_{∗,sc})_{Γ,tor} via la bijection D → (X_{∗}/X_{∗,sc})_{Γ,tor}. On considère aussi les éléments de D comme des cocycles de Γ triviaux sur I. Notons N_{C}^{nr} l’image réciproque de N_{C}^{nr} par l’homomorphisme r_{N,F}^{nr} . Ce dernier définit une application H^{1}(Θ, N_{C}^{nr}) → H^{1}(Θ, N_{C}^{nr}) qui, puisque H^{i}(Θ, T_{+}^{nr}) = 0 (i ∈ ℤ_{≥1}), est bijective. Plus précisément, tout cocycle de Θ à valeurs dans N_{C}^{nr} se relève en un cocycle de Θ à valeur dans N_{C}^{nr}. Pour chaque d ∈ D, on fixe un tel relèvement que l’on note d_{F}.

4.3. Dans [K2] §7, Kottwitz a défini un homomorphisme ω_{G}^{nr} : G^{nr} → (X_{∗}/X_{∗,sc})_{I} qui possède les propriétés suivantes :

- la restriction de ω_{G}^{nr} à T^{nr} coïncide avec la composée de ω_{T}^{nr} et de la surjection canonique X_{∗,I} → (X_{∗}/X_{∗,sc})_{I};

- ρ(G_{sc}^{nr}) ⊂ ker ω_{G}^{nr}. On en déduit que la restriction de ω_{G}^{nr} à N^{nr} coïncide avec l’application composée ω̃_{N}^{nr} ∘ r_{N,F}^{nr} . D’autre par, on a les égalités

H^{1}(Gal(\overline{F} /F), G(\overline{F})) = H^{1}(Γ, G^{mod}) = H^{1}(Θ, G^{nr});

et ω_{G}^{nr} induit une application bijective

H^{1}(Θ, G^{nr}) → H^{1}(Θ, (X_{∗}/X_{∗,sc})_{I}) = (X_{∗}/X_{∗,sc})_{Γ,tor}.

D’après 4.2, l’inclusion N_{C}^{nr} ⊂ G^{nr} induit une application bijective H^{1}(Θ, N_{C}^{nr}) → H^{1}(Θ, G^{nr}). Ainsi l’application d ↦ d_{F} identifie D a un ensemble de cocycles représentant l’ensemble H^{1}(Θ, G^{nr}).

Tout élément d ∈ D définit une nouvelle structure de G sur F, notée _{d}G. Précisément, _{d}G est muni d’un isomorphisme de groupes algébriques _{d}ξ : _{d}G → G défini sur F^{nr} et vérifiant dξ ∘ θ = Ad(d_{F} (θ)) ∘ θ ∘_{d}ξ pour tout θ ∈ Θ ; i.e. vérifiant _{d}ξ ∘ γ = Ad(d_{F} (γ)) ∘ γ ∘_{d}ξ pour tout γ ∈ Γ. Notons _{d}T l’image réciproque de T par _{d}ξ. C’est un tore de _{d}G défini sur F. Soit _{d}S le plus grand sous-tore de _{d}T déployé sur F.

LEMME ([W2] lemme 1.9). — Le tore _{d}S est un sous-tore F -déployé maximal de _{d}G.

Notons _{d}V l’espace V muni de l’action de Γ suivante : (γ, v) ↦ d(γ)_{ℝ}(γ(v)) pour γ ∈ Γ et v ∈ V. Soit e ∈ P tel que I(e) opère trivialement sur D. De même que l’on a construit ℑ_{F}^{e} comme quotient de G^{e} × V (cf. 3.3), on construit l’immeuble étendu _{d}ℑ_{F}^{e} = ℑ(_{d}G, F^{e}) comme quotient de _{d}G(F^{e}) × _{d}V. D’ailleurs, via l’isomorphisme de groupes _{d}G(F^{e}) → G^{e} induit par _{d}ξ, les G^{e}- ensembles _{d}ℑ_{F}^{e} et ℑ_{F}^{e} sont isomorphes. L’action de Γ sur _{d}G(F^{e}) ×_{d}V passe au quotient et définit une action sur _{d}ℑ_{F}^{e}. Grâce au lemme précédent, l’immeuble _{d}ℑ_{F} = ℑ(_{d}G, F) s’identifie au sousensemble (_{d}ℑ_{F}^{e})^{Γ} ⊂ _{d}ℑ_{F}^{e} des points fixés par Γ. Au tore _{d}S est associé un appartement A(_{d}G,_{d}S, F) dans _{d}ℑ_{F}, qui n’est autre que le sous-ensemble _{d}W = (_{d}V)^{Γ} ⊂ _{d}V des points fixés par Γ.

Pour v ∈ _{d}W, il existe un 𝔬_{F} -schéma en groupes affine lisse _{d}G_{v} de fibre générique _{d}G, unique à isomorphisme unique près, tel que le groupe des points 𝔬^{nr}-rationnels _{d}G_{v}^{nr} = _{d}G_{v}(𝔬^{nr}) coïncide avec le stabilisateur de v dans _{d}G(F^{nr}). L’application _{d}ξ induit un isomorphisme _{d}G_{v}^{nr} ⟶^{∼} G_{v}^{nr}. Par fonctorialité, on en déduit qu’il existe un unique isomorphisme de 𝔬^{nr}-schémas en groupes dξ_{v} : _{d}G_{v} ×_{𝔬_{F}} 𝔬^{nr} → G_{v}^{nr} prolongeant _{d}ξ; i.e. tel que _{d}ξ_{v} ×_{𝔬^{nr}} F^{nr} = _{d}ξ.

On pose _{d}𝔤 = Lie(_{d}G) et _{d}𝔤^{nr} = _{d}𝔤(F^{nr}). Le groupe Θ opère naturellement sur _{d}𝔤^{nr}, et l’on a d𝔤^{nr} = (_{d}𝔤^{nr})^{Θ} ⊗_{F} F^{nr} avec (_{d}𝔤^{nr})^{Θ} = _{d}𝔤(F).

5. Filtrations de Moy-Prasad (sur F^{nr})

5.1. Posons V_{(p)}^{nr} = V_{(p)}^{I} (= X_{∗}^{I} ⊗_{ℤ} ℤ_{(p)}). De la forme bilinéaire I × ℤ_{(p)} → \overline{𝔽}_{q}^{×}, (σ, r) ↦ r(σ) définie en 2.1, on déduit une forme bilinéaire

I × V_{(p)}^{nr} → X_{∗}^{I} ⊗_{ℤ} \overline{𝔽}_{q}^{×} = \underline{T}^{nr,∘}, (σ, v) ↦ v(σ).

On peut aussi la définir autrement : pour v ∈ V_{(p)}, il existe un unique élément t_{v} ∈ T_{ϖ} tel que (t_{v})_{ℝ}(0) = v (avec l’identification T_{ϖ} = V_{(p)}, on a t_{v} = −v). Rappelons qu’on a défini en 3.3 une action de Γ sur T, pour laquelle T_{ϖ} n’est pas Γ-stable. Pour (σ, v) ∈ I × V_{(p)}^{nr}, on a

v(σ) = σ(t_{v})t_{v}^{−1}.

Soit v ∈ V_{(p)}^{nr}. Le groupe I opère sur \underline{G}, et pour σ ∈ I, on note \underline{ρ}_{v}(σ) le \overline{𝔽}_{q}-automorphisme Ad(v(σ)) ∘ σ de \underline{G}. L’application I → Aut_{\overline{κ}_{F} −gr}(\underline{G}), σ ↦ \underline{ρ}_{v} est un homomorphisme. Soit \underline{G}_{v} ⊂ \underline{G} le sous-groupe (en général non connexe) formé des éléments fixés par \underline{ρ}_{v}(σ) pour tout σ ∈ I.

Pour (v, r) ∈ V_{(p)}^{nr} × ℤ_{(p)}, on pose

\underline{𝔤}_{v,r} = \{X ∈ \underline{𝔤} : d(\underline{ρ}_{v}(σ))(X) = r(σ)X pour tout σ ∈ I\}.

Cet espace est stable sous l’action de \underline{G}_{v}. Et pour r = 0, on a \underline{𝔤}_{v,0} = Lie(\underline{G}_{v}).

Soient (v, r), (v′, r′) ∈ V_{(p)}^{nr} ×ℤ_{(p)}. Choisissons un entier e ∈ P tel que ev, ev′ ∈ X_{∗} et er, er′ ∈ ℤ. Posons λ = ev′ − ev. Pour x ∈ \overline{𝔽}_{q}^{×}, on a donc λ(x) ∈ \underline{T}. Pour i ∈ ℤ, posons

\underline{𝔤}[i] = \{X ∈ \underline{𝔤} : Ad(λ(x))(X) = x^{i}X pour tout x ∈ \overline{𝔽}_{q}^{×}\},
\underline{𝔤}[≥ i] = ⊕_{j≥i} \underline{𝔤}[j],
\underline{𝔤}[> i] = ⊕_{j>i} \underline{𝔤}[j].

On vérifie que pour i = er′ − er, les espaces \underline{𝔤}[i], \underline{𝔤}[≥ i] et \underline{𝔤}[> i], ne dépendant pas du choix de e; de plus on a \underline{𝔤}_{v,r} = ⊕_{i∈ℤ} (\underline{𝔤}_{v,r} ∩ \underline{𝔤}[i]). On pose

\underline{𝔪}_{v,r;v′,r′} = \underline{𝔤}_{v,r} ∩ \underline{𝔤}[er′ − er],
\underline{𝔭}_{v,r;v′,r′} = \underline{𝔤}_{v,r} ∩ \underline{𝔤}[≥ er′ − er],
\underline{𝔲}_{v,r;v′,r′} = \underline{𝔤}_{v,r} ∩ \underline{𝔤}[> er′ − er].

On a \underline{𝔭}_{v,r;v′,r′} = \underline{𝔪}_{v,r;v′,r′} ⊕ \underline{𝔪}_{v,r;v′,r′}. Si de plus r = r′ = 0, alors \underline{𝔭}_{v,r;v′,r′} est une sous-\overline{𝔽}_{q}-algèbre parabolique de \underline{𝔤}_{v,r} de radical nilpotent \underline{𝔲}_{v,r;v′,r′}, et \underline{𝔪}_{v,r;v′,r′} est une composante de Levi de \underline{𝔭}_{v,r;v′,r′}.

5.2. Pour α ∈ Σ^{nr}, on note \underline{𝔤}_{α} l’espace ⊕_{β} \underline{𝔤}_{β} où β parcourt les éléments de Σ appartenant à l’orbite α. On pose Σ̃^{nr} = Σ^{nr} ∪ \{0\} et \underline{𝔤}_{0} = \underline{𝔱} avec (rappel) \underline{𝔱} = Lie(\underline{T}). Pour α ∈ Σ̃^{nr}, on note R_{α} l’ensemble des r ∈ ℤ_{(p)} pour lesquels il existe un X ∈ \underline{𝔤}_{α} ∖ \{0\} tel que σ(X) = r(σ)X pour tout σ ∈ I. L’ensemble R_{α} est stable par translation par ℤ et son image dans ℤ_{(p)} est finie. La collection des hyperplans H_{α,r} = {(v, r′) ∈ V^{nr} × ℝ : r′ − α(v) = r} ⊂ V^{nr} × ℝ pour α ∈ Σ̃^{nr} et r ∈ R_{α}, définit une décomposition en facette. On note Φ l’ensemble de ces facettes. Pour (v, r) ∈ V^{nr} × ℝ, on note ϕ_{v,r} ∈ Φ la facette à laquelle appartient (v, r). Chaque facette est stable par translation par l’espace V_{cent}^{nr} = (V_{cent})^{I} (cf. 3.3). Posons \overline{V}^{nr} = V^{nr}/V_{cent}^{nr}. Pour ϕ ∈ Φ, le sous-ensemble ϕ̄ = ϕ/V_{cent}^{nr} de \overline{V}^{nr} × ℝ est relativement compact, et sa projection sur ℝ est un intervalle borné de ℝ dont on note r(ϕ) la borne supérieure. La condition (P_{rg(D)}) implique le

LEMME ([W2] lemmes 2.4.1 et 2.4.2). — Pour ϕ ∈ Φ, l’intersection ϕ ∩ (V_{(p)}^{nr} × ℤ_{(p)}) est dense dans ϕ, et l’on a r(ϕ) ∈ ℤ_{(p)}. De plus, il existe un e ∈ P tel que er(ϕ) ∈ ℤ pour tout ϕ ∈ Φ.

Pour ϕ ∈ Φ, on note ω_{ϕ} l’ensemble (fini) des facettes ϕ′ ∈ Φ dont l’adhérence contient ϕ; et pour (v, r) ∈ V^{nr} × ℝ, on pose ω_{v,r} = ω_{ϕ_{v,r}}.

5.3. Soit F ∈ CL_{q} (fixé jusqu’à la fin de la section 5), et soit e ∈ P tel que I(e) opère trivialement sur D. Le point v = 0 ∈ V = V^{e} est hyperspécial, par conséquent la fibre spéciale \overline{G}_{0}^{e} du 𝔬^{e}-schéma en groupes G_{0}^{e} associé à 0 en 3.4, est réductive et connexe ; i.e. on a 𝔾_{0}^{e} = \overline{G}_{0}^{e} et \overline{G}_{0}^{e} est un groupe algébrique connexe. D’autre part, puisque T est déployé sur F^{e}, on a T_{v′}^{e} = T^{e,∘} pour tout v′ ∈ V. Notons π_{0}^{e} : G_{0}^{e} = G_{0}^{e}(𝔬^{e}) → 𝔾_{0}^{e} = 𝔾_{0}^{e}(\overline{κ}_{F}) la projection canonique (réduction modulo 𝔭^{e}). Alors 𝔹_{0}^{e} = π_{0}^{e}(B^{e} ∩ G_{0}^{e}) et 𝕋_{0}^{e} = π_{0}^{e}(T^{e} ∩ G_{0}^{e}) sont respectivement un sous-groupe de Borel et un tore maximal de 𝔾_{0}^{e}. On a une identification canonique X_{∗}(𝕋_{0}^{e}) = X_{∗}; et via cette identification, Σ(𝔾_{0}^{e}, 𝕋_{0}^{e}) s’identifie à Σ. La famille {d(π_{0}^{e})(E_{α})}_{α∈Δ} est un épinglage de Lie(𝔾_{0}^{e}). On peut donc identifier les groupes 𝔾_{0}^{e} et \underline{G} de sorte que :

- 𝕋_{0}^{e} s’identifie à \underline{T} de manière compatible avec les identifications X_{∗}(𝕋_{0}^{e}) = X_{∗} = X_{∗}(\underline{T}) ;

- pour α ∈ Δ, d(π_{0}^{e})(E_{α}) s’identifie à \underline{E}_{α}. Alors on vérifie que :

- l’intersection N^{e} ∩ G^{e} est l’image réciproque de \underline{N} par l’application N^{e} ⟶^{r_{N,F}} N^{e};

- les applications r_{N,F} et π_{0}^{e} coïncident sur cette intersection. La famille \{d(π_{0}^{e})(E_{α})\}_{α∈Σ} prolonge l’épinglage \{\underline{E}_{α}\}_{α∈Δ} de \underline{𝔤} au sens de 3.2, c’est-à-dire qu’elle vérifie les trois conditions imposées à la fin de 3.2. Pour α ∈ Δ, on a nécessairement d(π_{0}^{e})(E_{−α}) = \underline{E}_{−α}. Et d’après 3.2, quitte à remplacer la famille de départ \{E_{α}\}_{α∈Σ} en la multipliant par certains signes, on peut supposer que d(π_{0}^{e})(E_{α}) = \underline{E}_{α} pour tout α ∈ Σ.

5.4. Soit v ∈ V_{(p)}^{nr}. Choisissons un entier e ∈ P tel que ev ∈ X_{∗} et I(e) opère trivialement sur D. On a vu en 3.4 que (G_{v}^{e})^{I} = G_{v}^{nr}. L’action de I sur G_{v}^{e} se descend en une action (algébrique) de I sur la fibre spéciale 𝔾_{v}^{e}, et puisque l’extension F^{e}/F^{nr} est modérément ramifiée, l’égalité (G_{v}^{e})^{I} = G_{v}^{nr} se complète en le diagramme commutatif suivant (cf. [L] 3.5) :

G_{v}^{nr} ⟶^{π_{v}^{nr}} 𝔾_{v}^{nr}
∥  ∥
(G_{v}^{e})^{I} ⟶^{π_{v}^{e}} (𝔾_{v}^{e})^{I}

où π_{v}^{nr} est la composée des projections canoniques G_{v}^{nr} → \overline{G}_{v}^{nr} = \overline{G}_{v}^{nr}(\overline{κ}_{F}) (réduction modulo 𝔭^{nr}) et \overline{G}_{v}^{nr} → 𝔾_{v}^{nr}.

Posons t_{F,v} = s_{T,F} (t_{v}) ∈ T^{mod} où t_{v} est l’élément de T_{ϖ} défini en 5.1, et s_{T,F} est la section de r_{T,F} au-dessus de T_{ϖ} définie en 3.4. On vérifie que t_{F,v} ∈ T^{e}, puis que G_{v}^{e} = Ad(t_{F,v})(G_{0}^{e}). Notons ˜\underline{ι}_{v} : G_{v}^{nr} → \underline{G} l’homomorphisme composé de l’application π_{0}^{e} ∘ Ad(t_{F,v}^{−1}) et de l’inclusion G_{v}^{nr} ⊂ G_{v}^{e}. D’après le lemme 2.3.1 de [W2], on a ˜ \underline{ι}_{v}(G_{v}^{nr}) = \underline{G}_{v} et ˜ \underline{ι}_{v} se quotiente en un isomorphisme

\underline{ι}_{v} : 𝔾_{v}^{nr} ⟶^{∼} \underline{G}_{v}

qui ne dépend pas du choix de e. On pose \underline{π}_{v} = \underline{ι}_{v} ∘ π_{v}^{nr} : G_{v}^{nr} ↠ \underline{G}_{v}.

Notons que pour n ∈ N^{mod} ∩ G_{v}^{e} = N^{e} ∩ G_{v}^{e}, on a

π_{0}^{e} ∘ Ad(t_{F,v}^{−1})(n) = Ad(t_{v}^{−1})(r_{N,F} (n)) = \underline{π} ∘ r_{N,F} (n).

La première égalité résulte de ce que π_{0}^{e} et r_{N,F} coïncident sur l’intersection N^{e} ∩ G_{0}^{e}; et puisque N^{e} ∩ G_{0}^{e} coïncide avec l’image réciproque de \underline{N} par la surjection N^{e} ⟶^{r_{N,F}} N^{e}, on a Ad(t_{v}^{−1})(r_{N,F} (n)) ∈ \underline{N}. Or \underline{π} se restreint en l’identité sur \underline{N}, et \underline{π}(t_{v}) = 1, d’où la seconde égalité.

5.5. Soit e ∈ P. Pour (v, r) ∈ V^{e} × ℝ, Moy et Prasad ont défini un 𝔬^{e}-réseau 𝔤_{v,r}^{e} = 𝔤(F^{e})_{v,r} dans 𝔤(F^{e}). Fixé v, l’application r ↦ 𝔤_{v,r}^{e} est décroissante, et l’on pose 𝔤_{v,r^{+}}^{e} = ⋃_{s>r} 𝔤_{v,s}^{e}. Si e′ ∈ P divise e, alors pour (v, r) ∈ V^{e′} × ℝ, on a l’égalité 𝔤_{v,r}^{e′} = (𝔤_{v,r}^{e})^{I(e′)}.

Supposons de plus que I(e) opère trivialement sur D. Alors pour (v, r) = (0, 0), posant 𝔤_{0}^{e} = Lie(G_{0}^{e})(𝔬^{e}), on a 𝔤_{0,0}^{e} = 𝔤_{0}^{e}; et pour (v, r) = (0, r) avec r ∈ \frac{1}{e}ℤ, on a 𝔤_{0,r}^{e} = ϖ_{r}𝔤_{0}^{e}.

Soit maintenant (v, r) ∈ V_{(p)}^{nr} × ℤ_{(p)}. Choisissons un e ∈ P tel que ev ∈ X_{∗}, er ∈ ℤ et I(e) opère trivialement sur D. Alors on a l’égalité 𝔤_{v,r}^{e} = Ad(t_{F,v})(ϖ_{r}𝔤_{0}^{e}). Notons \underline{π}_{v,r} : 𝔤_{v,r}^{nr} → \underline{𝔤} l’application linéaire définie comme la composée de la suite d’applications suivante :

𝔤_{v,r}^{nr} = (𝔤_{v,r}^{e})^{I} ⊂ 𝔤_{v,r}^{e} ⟶^{Ad(t_{F,v}^{−1})} ϖ_{r}𝔤_{0}^{e} ⟶^{×ϖ_{−r}} 𝔤_{0}^{e} ⟶^{d(π_{0}^{e})} \underline{𝔤}.

D’après le lemme 2.3.2 de [W2], on a \underline{π}_{v,r}(𝔤_{v,r}^{nr}) = \underline{𝔤}_{v,r} et \underline{π}_{v,r} se quotiente en un isomorphisme

𝔤_{v,r}^{nr}/𝔤_{v,r}^{nr} ⟶^{∼} \underline{𝔤}_{v,r}

qui ne dépend pas du choix de e.

5.6. D’après le lemme 2.5.1 de [W2], pour (v, r), (v′, r′) ∈ V^{nr} × ℝ, on a ϕ_{v,r} = ϕ_{v′,r′} si et seulement si 𝔤_{v,r}^{nr} = 𝔤_{v′,r′}^{nr} et 𝔤_{v,r^{+}}^{nr} = 𝔤_{v′,r^{′+}}^{nr}. Cela signifie que pour r ∈ ℝ, la décomposition en facettes de V^{nr} obtenue en coupant les éléments de Φ avec V^{nr} × {r} puis en les projetant sur V^{nr}, coïncide avec la décomposition de V^{nr} en r-facettes généralisées définie par DeBacker (cf. 1.1). En particulier pour r = 0, on retrouve la décomposition en facettes de V^{nr} définie en 3.3.

Pour ϕ ∈ Φ tel que ϕ = ϕ_{v,r} pour un (v, r) ∈ V^{nr} × ℝ, on peut donc poser 𝔤_{ϕ}^{nr} = 𝔤_{v,r}^{nr} et 𝔤_{ϕ^{+}}^{nr} = 𝔤_{v,r^{+}}^{nr}. Pour ϕ, ϕ′ ∈ Φ tels que ϕ′ ∈ ω_{ϕ}, on a les inclusions

𝔤_{ϕ^{+}}^{nr} ⊂ 𝔤_{ϕ^{′+}}^{nr} ⊂ 𝔤_{ϕ′}^{nr} ⊂ 𝔤_{ϕ}^{nr}.

Soient (v, r), (v′, r′) ∈ V_{(p)}^{nr} × ℤ_{(p)} tels que ϕ_{v′,r′} ∈ ω_{v,r}. On a deux façons d’envoyer 𝔤_{v′,r′}^{nr} dans \underline{𝔤} : la première est l’application \underline{π}_{v′,r′} (cf. 5.5) ; la seconde est la composée de l’application \underline{π}_{v,r} et de l’inclusion 𝔤_{v′,r′}^{nr} ⊂ 𝔤_{v,r}^{nr}. D’après le lemme 2.5.2 de [W2], on a \underline{π}_{v,r}(𝔤_{v′,r′}^{nr}) = \underline{𝔭}_{v,r;v′,r′}, \underline{π}_{v,r}(𝔤_{v′,r^{′+}}^{nr}) = \underline{𝔲}_{v,r;v′,r′}, \underline{𝔤}_{v′,r′} = \underline{𝔪}_{v,r;v′,r′}, et l’application \underline{π}_{v′,r′} coïncide avec la composée de la projection canonique \underline{𝔭}_{v,r;v′,r′} → \underline{𝔪}_{v,r;v′,r′} et de \underline{π}_{v,r}. Cela implique que l’espace \underline{𝔤}_{v′,r′} et la projection \underline{π}_{v′,r′} : 𝔤_{v′,r′}^{nr} → \underline{𝔤}_{v′,r′} ne dépendent pas vraiment de (v′, r′), mais seulement de la facette ϕ′ = ϕ_{v′,r′} contenant (v′, r′) ; on les note respectivement \underline{𝔤}_{ϕ′} et \underline{π}_{ϕ′}. Posant ϕ = ϕ_{v,r}, on définit de la même manière \underline{𝔤}_{ϕ} et \underline{π}_{ϕ}. Alors les espaces \underline{𝔪}_{v,r;v′,r′}, \underline{𝔭}_{v,r;v′,r′}, \underline{𝔲}_{v,r;v′,r′} et la restriction de \underline{π}_{v,r} à 𝔤_{v′,r′}^{nr} ne dépendent eux aussi que des facettes ϕ et ϕ′; on les notes respectivement \underline{𝔪}_{ϕ;ϕ′}, \underline{𝔭}_{ϕ;ϕ′}, \underline{𝔲}_{ϕ;ϕ′} et \underline{π}_{ϕ;ϕ′}. On a donc \underline{𝔤}_{ϕ′} = \underline{𝔪}_{ϕ;ϕ′}.

6. Filtrations de Moy-Prasad et torsion

Dans toute cette section, on fixe un élément d ∈ D. On rappelle que d est un cocycle de Θ (considéré aussi comme un cocycle de Γ trivial sur I) à valeurs dans N_{C}^{nr}.

6.1. Notons Θ_{d} ⊂ Θ le sous-groupe formé des θ opèrant trivialement sur _{d}V ; i.e. tels que d(θ)_{ℝ} ∘ θ opère trivialement sur V. Puisque rg(D) < p − 1, pour θ ∈ Θ, l’automorphisme affine d(θ)_{ℝ} ∘ θ de V est d’ordre fini premier à p (cf. [W2] 2.8). On en déduit que l’indice (Θ : Θ_{d}) est fini et premier à p. Pour θ ∈ Θ, d(θ)_{ℝ} ∘ θ stabilise le sous-espace V^{nr} ⊂ V, et induit une permutation de l’ensemble Φ (défini en 5.2) des facettes de V^{nr} × ℝ. On note _{d}Φ ⊂ Φ le sous-ensemble formé des facettes Θ-stables pour cette action de Θ. Par convexité, tout élément de _{d}Φ coupe _{d}W × ℝ.

Le sous-espace V_{(p)} ⊂ V est Γ-stable pour l’action de Γ tordue par d définie en 4.3 ; i.e. il définit un sous-Γ-ensemble _{d}V_{(p)} ⊂ _{d}V. On pose _{d}W_{(p)} = (_{d}V_{(p)})^{Γ} ⊂ _{d}V_{(p)} ; on a donc _{d}W_{(p)} = _{d}W ∩ V_{(p)}. D’après le lemme 5.2, pour tout ϕ ∈ _{d}Φ, l’intersection ϕ∩(_{d}W_{(p)}×ℤ_{(p)}) est dense dans ϕ∩(_{d}W ×ℝ). En effet, la projection de V^{nr} × ℝ sur _{d}W × ℝ définie par

(v, r) ↦ \frac{1}{(Θ : Θ_{d})} ∑_{θ∈Θ/Θ_{d}}(d(θ)_{ℝ} ∘ θ(v), r)

envoie V_{(p)}^{nr} × ℤ_{(p)} sur _{d}W_{(p)} × ℤ_{(p)}. On en déduit en particulier que pour tout ϕ ∈ _{d}Φ, l’adhérence de ϕ dans V^{nr} coupe _{d}W_{(p)} × {r(ϕ)}.

Pour ϕ ∈ _{d}Φ et r ∈ ℝ, on pose _{d}ω_{ϕ} = ω_{ϕ} ∩_{d}Φ, et l’on note _{d}ω_{ϕ}(> r) l’ensemble des ϕ′ ∈ _{d}ω_{ϕ} tels que r(ϕ′) > r.

6.2. Puisque Θ fixe le groupe T_{ϖ}, l’application \underline{d} = \underline{π}∘d : Θ → \underline{N} est encore un cocycle. Comme en 4.3, on peut définir un 𝔽_{q}-groupe algébrique _{d}\underline{G}, muni d’un \overline{𝔽}_{q}-isomorphisme _{d}\underline{ξ} : _{d}\underline{G} → \underline{G} vérifiant _{d}\underline{ξ} ∘ θ = Ad(\underline{d}(θ)) ∘ θ ∘_{d}\underline{ξ} pour tout θ ∈ Θ.

Soit v ∈ _{d}W_{(p)}. Pour θ ∈ Θ et σ ∈ I, les automorphismes Ad(\underline{d}(θ)) ∘ θ et \underline{ρ}_{v}(σ) de \underline{G} ne commutent pas, mais on a l’égalité :

Ad(\underline{d}(θ)) ∘ θ ∘ \underline{ρ}_{v}(σ) = \underline{ρ}_{v}(θσθ^{−1}) ∘ Ad(\underline{d}(θ)) ∘ θ.

Par conséquent Ad(\underline{d}(θ)) ∘ θ stabilise le sous-groupe \underline{G}_{v} ⊂ \underline{G}, et le sous-groupe _{d}\underline{G}_{v} = _{d}\underline{ξ}^{−1}(\underline{G}_{v}) de _{d}\underline{G} est défini sur 𝔽_{q}. On peut aussi dire les choses autrement : puisque v ∈ _{d}W, on a t_{v}^{−1}d(γ)γ(t_{v}) ∈ \underline{N} pour tout γ ∈ Γ. L’application γ ↦ t_{v}^{−1}d(γ)γ(t_{v}) est un cocycle, et pour γ ∈ Γ, on note _{d}\underline{ρ}_{v}(γ) le \overline{𝔽}_{q}-automorphisme Ad(t_{v}^{−1}d(γ)γ(t_{v})) ∘ γ de \underline{G}. On munit _{d}\underline{G} d’une action de Γ de sorte que _{d}\underline{ξ} ∘ γ = _{d}\underline{ρ}_{v}(γ) ∘_{d}\underline{ξ} pour tout γ ∈ Γ. Cette action prolonge celle de Θ définie plus haut, et _{d}\underline{G}_{v} coïncide avec le sous-groupe _{d}\underline{G}^{I} ⊂ _{d}\underline{G} des points fixés par I.

On note _{d}\underline{G}_{v}^{Θ} = _{d}\underline{G}_{v}(𝔽_{q}) le groupe des points 𝔽_{q}-rationnels de _{d}\underline{G}_{v}.

Posons _{d}\underline{𝔤} = Lie(_{d}\underline{G}). Comme en 3.3, on identifie _{d}\underline{𝔤} à _{d}\underline{𝔤}(\overline{𝔽}_{q}). Pour (v, r) ∈ _{d}W_{(p)} × ℤ_{(p)}, notons d\underline{𝔤}_{v,r} ⊂ _{d}\underline{𝔤} le sous-espace formé des X tels que σ(X) = r(σ) pour tout σ ∈ I. Ce sous-espace est défini sur 𝔽_{q}, i.e. il est Θ-stable. Et il est _{d}\underline{G}_{v}-stable pour l’action adjointe de _{d}\underline{G}_{v} sur _{d}\underline{𝔤}. Par construction on a l’égalité d(_{d}\underline{ξ})(_{d}\underline{𝔤}_{v,r}) = \underline{𝔤}_{v,r}.

Pour ϕ ∈ _{d}Φ, on pose _{d}\underline{𝔤}_{ϕ} = d(_{d}\underline{ξ})^{−1}(\underline{𝔤}_{ϕ}) ; i.e. _{d}\underline{𝔤}_{ϕ} = _{d}\underline{𝔤}_{v,r} pour tout (v, r) ∈ ϕ ∩ (_{d}W_{(p)} ∩ ℤ_{(p)}). Pour ϕ ∈ _{d}Φ et ϕ′ ∈ _{d}ω_{ϕ}, on a défini en 5.6 les sous-espaces \underline{𝔪}_{ϕ;ϕ′}, \underline{𝔭}_{ϕ;ϕ′} et \underline{𝔲}_{ϕ;ϕ′} de \underline{𝔤}_{ϕ}. Leurs images réciproques par d(_{d}ξ), notées respectivement _{d}\underline{𝔪}_{ϕ;ϕ′}, _{d}\underline{𝔭}_{ϕ;ϕ′} et _{d}\underline{𝔲}_{ϕ;ϕ′}, sont des sous-espaces Θ-stables de _{d}\underline{𝔤}_{ϕ}. Puisque \underline{𝔤}_{ϕ′} = \underline{𝔪}_{ϕ;ϕ′}, on a _{d}\underline{𝔤}_{ϕ′} = _{d}\underline{𝔪}_{ϕ;ϕ′}. On note _{d}\underline{𝔤}_{ϕ}^{Θ} ⊂ _{d}\underline{𝔤}_{ϕ}, _{d}\underline{𝔪}_{ϕ,ϕ′}^{Θ} ⊂ _{d}\underline{𝔪}_{ϕ,ϕ′}, (etc.), les sous-espaces formés des points fixés par Θ. Et pour tous (v, r), (v′, r′) ∈ _{d}W_{(p)} ∩ ℤ_{(p)} tels que (v, r) ∈ ϕ et (v′, r′) ∈ ϕ′, on pose _{d}\underline{𝔤}_{v,r}^{Θ} = _{d}\underline{𝔤}_{ϕ}^{Θ}, _{d}\underline{𝔪}_{v,r;v′,r′}^{Θ} = _{d}\underline{𝔤}_{ϕ,ϕ′}^{Θ}, (etc.).

6.3. Dans ce numéro et dans le suivant, le terme “nilpotent” signifie nilpotent dans la \overline{𝔽}_{q}-algèbre d\underline{𝔤}. Soit v ∈ _{d}W_{(p)}. L’application qui à r ∈ ℤ_{(p)} associe le caractère σ ↦ r(σ) de I se quotiente en un isomorphisme de ℤ_{(p)}/ℤ sur le groupe des caractères lisses d’ordre fini de I. On en déduit que pour r ∈ ℤ_{(p)}, le sous-espace _{d}\underline{𝔤}_{v,r} ne dépend que de l’image de r dans ℤ_{(p)}/ℤ. L’ensemble des r ∈ ℤ_{(p)}/ℤ tels que _{d}\underline{𝔤}_{v,r} ≠ \{0\} est fini, et l’on a la décomposition

d\underline{𝔤} = ⊕_{r} _{d}\underline{𝔤}_{v,r}

où r parcourt les éléments de ℤ_{(p)}/ℤ.

Notons que pour r, s ∈ ℤ_{(p)}, l’espace [_{d}\underline{𝔤}_{v,r} : _{d}\underline{𝔤}_{v,s}] = \{[X, Y] : X ∈ _{d}\underline{𝔤}_{v,r}, Y ∈ _{d}\underline{𝔤}_{v,s}\} est contenu dans _{d}\underline{𝔤}_{v,r+s}. DeBacker a remarqué que la théorie des 𝔰l_{2}-triplets s’adaptait a cette situation (cf.

[D] Appendix A). Soient r ∈ ℤ_{(p)} et X ∈ _{d}\underline{𝔤}_{v,r}^{Θ} nilpotent. Grâce à la condition (P_{Σ}) de 3.1, on montre qu’il existe un élément Y ∈ _{d}\underline{𝔤}_{v,−r}^{Θ} et un élément semisimple H ∈ _{d}\underline{𝔤}_{v,0}^{Θ} tels que (X, H, Y) soit un 𝔰l_{2}-triplet (cf. [W2] lemme 2.9.1). On gradue alors l’espace _{d}\underline{𝔤} de la manière habituelle suivante : pour i ∈ ℤ, on pose _{d}\underline{𝔤}(i) = \{Z ∈ _{d}\underline{𝔤} : [H, Z] = iZ\}. Cette graduation est définie sur 𝔽_{q} au sens où les sous-espaces _{d}\underline{𝔤}(i) sont Θ-stables. Pour i ∈ ℤ, on pose _{d}\underline{𝔤}(≥ i) = ⊕_{j≥i} _{d}\underline{𝔤}(j). À nouveau grâce à la condition (P_{Σ}), on montre que pour Z ∈ _{d}\underline{𝔤}_{v,r}^{Θ} ∩_{d}\underline{𝔤}(≥ 3), il existe un élément g ∈ _{d}\underline{G}_{v}^{Θ} tel que Ad(g)(X) = X + Z (cf. [W2] lemme 2.9.2).

6.4. Pour ϕ ∈ _{d}Φ, on pose _{d}S_{ϕ} = C(_{d}\underline{𝔤}_{ϕ}^{Θ}) et _{d}S_{ϕ}^{∗} = D(_{d}\underline{𝔤}_{ϕ}^{Θ}). Puisque _{d}\underline{𝔤}_{ϕ}^{Θ} est un espace vectoriel de dimension finie sur 𝔽_{q}, c’est un ensemble fini ; et dim_{ℂ}(_{d}S_{ϕ}) < +∞.

Soient ϕ ∈ _{d}Φ et ϕ′ ∈ _{d}ω_{ϕ}. D’après 6.2, on a_{d}𝔤_{ϕ′}^{Θ} = _{d}\underline{𝔪}_{ϕ;ϕ′}^{Θ} et_{d}\underline{𝔭}_{ϕ′;ϕ}^{Θ} = _{d}\underline{𝔪}_{ϕ;ϕ′}^{Θ}⊕_{d}\underline{𝔲}_{ϕ;ϕ′}^{Θ}. Cela permet de définir une application linéaire injective _{d}s_{ϕ;ϕ′} : _{d}S_{ϕ′} → _{d}S_{ϕ}. Précisément, à toute fonction φ′ ∈ _{d}S_{ϕ′}, _{d}s_{ϕ;ϕ′} associe la fonction φ ∈ _{d}S_{ϕ} à support dans _{d}\underline{𝔭}_{ϕ;ϕ′}^{Θ} donnée par φ(X + Y) = φ′(X) pour tout X ∈ _{d}\underline{𝔪}_{ϕ;ϕ′}^{Θ} et tout Y ∈ _{d}\underline{𝔲}_{ϕ;ϕ′}^{Θ}. Supposons de plus que r(ϕ′) > r pour un r ∈ ℤ_{(p)} tel que ϕ coupe _{d}W_{(p)} × {r}. Alors il existe deux éléments v, v′ ∈ _{d}W_{(p)} et un r′ ∈ ℤ_{(p)} tels que r′ > r, (v, r) ∈ ϕ et (v′, r′) ∈ ϕ′. Choisissons un e ∈ P tel que ev, ev′ ∈ X_{∗} et er, er′ ∈ ℤ. Posons λ = ev′ − ev et graduons l’espace \underline{𝔤} comme en 5.1 : pour i ∈ ℤ, posons

\underline{𝔤}[i] = \{X ∈ \underline{𝔤} : Ad(λ(x))(X) = x^{i}X pour tout x ∈ \overline{𝔽}_{q}^{×}\}.

L’espace \underline{𝔤}[≥ 1] est le radical nilpotent d’une sous-algèbre parabolique de \underline{𝔤}; il est donc formé d’éléments nilpotents. Puisque r′ > r, l’espace _{d}\underline{𝔭}_{ϕ;ϕ′} = d(_{d}\underline{ξ})^{−1}(\underline{𝔤}[er′ − er]) est contenu dans (_{d}\underline{ξ})^{−1}(\underline{𝔤}[≥ 1]), donc est lui aussi formé d’éléments nilpotents. En particulier, toute fonction dans l’image de _{d}s_{ϕ;ϕ′} est à support nilpotent.

Pour ϕ ∈ _{d}Φ, les injections _{d}s_{ϕ;ϕ′} définissent une application linéaire _{d}s_{ϕ} : ⊕_{ϕ′∈_{d}ω_{ϕ}} _{d}S_{ϕ′} → _{d}S_{ϕ}. Grâce à aux résultats de 6.3, on montre le

LEMME ([W2] lemme 2.10.2). — Soit ϕ ∈ _{d}Φ et soit (v, r) ∈ ϕ ∩ (_{d}W_{(p)} × ℤ_{(p)}). Il existe une application linéaire _{d}l_{ϕ}^{+} : _{d}S_{ϕ} → ⊕_{ϕ′∈_{d}ω_{ϕ}(>r)} _{d}S_{ϕ′} vérifiant la propriété suivante : pour toute paire (φ, J) ∈ _{d}S_{ϕ} ×_{d}S_{ϕ}^{∗} telle que J soit _{d}\underline{G}_{v}^{Θ}-invariante (pour l’action adjointe de _{d}\underline{G}_{v}^{Θ} sur _{d}\underline{𝔤}_{ϕ}^{Θ}) et à support nilpotent, on a l’égalité J(_{d}s_{ϕ} ∘_{d}l_{ϕ}^{+}(φ)) = J(φ).

6.5. Soit F ∈ CL_{q}, et soit v ∈ _{d}W_{(p)}. On a définit en 4.3 le 𝔬_{F} -schéma en groupes _{d}G_{v}. Notons d𝔾_{v} le plus grand quotient réductif de la fibre spéciale _{d}\overline{G}_{v} = _{d}𝔾_{v} ×_{𝔬_{F}} κ_{F} de _{d}G_{v}. Ainsi _{d}𝔾_{v} est un groupe réductif défini sur κ_{F}, en général non connexe. Notons _{d}π_{v}^{nr} : _{d}G_{v}^{nr} → _{d}𝔾_{v} = _{d}𝔾_{v}(\overline{κ}_{F}) la composée des projections canoniques _{d}G_{v}^{nr} → _{d}\overline{G}_{v} = _{d}\overline{G}_{v}(\overline{κ}_{F}) (réduction modulo 𝔭^{nr}) et d\overline{G}_{v} → _{d}𝔾_{v}. Pour θ ∈ Θ, on a l’égalité \underline{π}_{v} ∘ Ad(d_{F} (θ)) ∘ θ = _{d}\underline{ρ}_{v}(θ) ∘ \underline{π}_{v}. On en déduit qu’il existe un (unique) isomorphisme de groupes algébriques _{d}\underline{ι}_{v} : _{d}𝔾_{v} → _{d}\underline{G}_{v} défini sur κ_{F} (identifié à 𝔽_{q} via ι), tel que posant _{d}\underline{π}_{v} = _{d}\underline{ι}_{v} ∘_{d}π_{v}^{nr} : _{d}G_{v}^{nr} ↠ _{d}\underline{G}_{v}, le diagramme

dG_{v}^{nr} ⟶^{_{d}\underline{π}_{v}} _{d}\underline{G}_{v}
dξ ↓  ↓ _{d}\underline{ξ}
G_{v}^{nr} ⟶^{\underline{π}_{v}} \underline{G}_{v}

soit commutatif. Puisque _{d}\underline{ι}_{v} est défini sur κ_{F}, _{d}\underline{π}_{v} est Θ-équivariant.

Posons_{d}X_{∗} = {λ ∈ X_{∗}^{nr} : d(θ)∘θ(λ) = λ, ∀θ ∈ Θ}. Puisque le point v appartient à l’appartement dW = A(_{d}G,_{d}S, F) de _{d}ℑ_{F}, la théorie de Bruhat-Tits nous dit que l’image de _{d}S(F^{nr}) ∩_{d}G_{v}^{nr} par d\underline{π}_{v} est le groupe des points \overline{𝔽}_{q}-rationnels d’un sous-tore maximal _{d}\underline{S}_{v} de _{d}\underline{G}_{v} défini sur 𝔽_{q}. Ce tore est nécessairement déployé sur \overline{𝔽}_{q}. Et par construction, on a _{d}\underline{ξ}(_{d}\underline{S}_{v}) ⊂ \underline{T} et X_{∗}(_{d}\underline{ξ}(_{d}\underline{S}_{v})) = _{d}X_{∗}.

Soit une facette ϕ ∈ _{d}Φ. On note_{d}𝔤_{ϕ}^{nr} le 𝔬^{nr}-réseau dans_{d}𝔤^{nr} défini par_{d}𝔤_{ϕ}^{nr} = d(_{d}ξ)^{−1}(𝔤_{ϕ}^{nr}). Il est Θ-stable. Posons _{d}𝔤(F)_{ϕ} = [_{d}𝔤_{ϕ}^{nr}]^{Θ} ; c’est un 𝔬_{F} -réseau dans _{d}𝔤(F), et l’on a _{d}𝔤_{ϕ}^{nr} = _{d}𝔤(F)_{ϕ} ⊗_{𝔬_{F}} 𝔬^{nr}. Il existe une (unique) projection Θ-équivariante _{d}\underline{π}_{ϕ} : _{d}𝔤_{ϕ}^{nr} → _{d}\underline{𝔤}_{ϕ} rendant le diagramme

d𝔤_{ϕ}^{nr} ⟶^{_{d}\underline{π}_{ϕ}} _{d}\underline{𝔤}_{ϕ}
d(_{d}ξ) ↓  ↓ d(_{d}\underline{ξ})
𝔤_{ϕ}^{nr} ⟶^{\underline{π}_{ϕ}} \underline{𝔤}_{ϕ}

commutatif. Pour (v, r) ∈ ϕ ∩ (_{d}W_{(p)} × ℤ_{(p)}), on écrit aussi _{d}\underline{π}_{v,r} = _{d}\underline{π}_{ϕ}. Soit _{d}𝔤_{ϕ^{+}}^{nr} = d(_{d}ξ)^{−1}(𝔤_{ϕ^{+}}^{nr}). D’après 5.5, _{d}\underline{π}_{ϕ} se quotiente en un isomorphisme

d𝔤_{ϕ}^{nr}/_{d}𝔤_{ϕ^{+}}^{nr} ⟶^{∼} _{d}\underline{𝔤}_{ϕ}.

En particulier, _{d}𝔤_{ϕ^{+}}^{nr} est un 𝔬^{nr}-réseau Θ-stable dans _{d}𝔤^{nr}. Posons _{d}𝔤(F)_{ϕ^{+}} = [_{d}𝔤_{ϕ^{+}}^{nr}]^{Θ} ; c’est un 𝔬_{F} -réseau dans _{d}𝔤(F), et l’on a _{d}𝔤_{ϕ^{+}}^{nr} = _{d}𝔤(F)_{ϕ^{+}} ⊗_{𝔬_{F}} 𝔬^{nr}. Puisque H^{1}(Θ,_{d}𝔤_{ϕ^{+}}^{nr}) = 0, l’application d\underline{π}_{ϕ} induit un isomorphisme

d𝔤(F)_{ϕ}/_{d}𝔤(F)_{ϕ^{+}} ⟶^{∼} _{d}\underline{𝔤}_{ϕ}^{Θ}.

Pour (v, r) ∈ ϕ ∩ (_{d}W × ℝ), on pose _{d}𝔤(F)_{v,r} = _{d}𝔤(F)_{ϕ} et _{d}𝔤(F)_{v,r^{+}} = _{d}𝔤(F)_{ϕ^{+}} ; par construction, on a donc _{d}𝔤(F)_{v,r^{+}} = ⋃_{s>r} _{d}𝔤(F)_{v,s}. Notons que _{d}𝔤(F)_{v,r} est bien le 𝔬_{F} -réseau dans _{d}𝔤(F) associé à (v, r) par Moy et Prasad.

7. Analyse harmonique : une première réduction

Dans toute cette section, on fixe un élément d ∈ D. Dans les trois premiers numéros, on fixe aussi un corps F ∈ CL_{q}.

7.1. Pour v ∈ _{d}W_{(p)}, on a défini en 6.5 un homomorphisme Θ-équivariant _{d}\underline{π}_{v} : _{d}G_{v}^{nr} ↠ _{d}\underline{G}_{v}. Posons _{d}K_{v}^{+} = (ker_{d}π_{v})^{Θ} ; c’est un sous-groupe ouvert distingué de (_{d}G_{v}^{nr})^{Θ} = _{d}G_{v}(𝔬_{F}). Puisque H^{1}(Θ, ker_{d}π_{v}) = 0, l’application _{d}\underline{π}_{v} induit un isomorphisme _{d}G_{v}(𝔬_{F})/_{d}K_{v}^{+} ⟶^{∼} _{d}\underline{G}_{v}^{Θ}.

La chambre C^{nr} définie en 3.3 appartient à _{d}Φ : pour θ ∈ Θ, d(θ) ∈ N_{C}^{nr} par conséquent d(θ)_{ℝ} ∘ θ stabilise C^{nr}. Soit v ∈ _{d}W_{(p)} ∩ C^{nr}. Considérons la mesure de Haar _{d}dg sur _{d}G(F) définie par vol(_{d}G_{v}(𝔬_{F}),_{d}dg) = |_{d}\underline{G}_{v}^{Θ}|q^{− \frac{1}{2} dim(_{d}\underline{G}_{v})}. Alors pour tout v′ ∈ _{d}W_{(p)}, on a

vol(_{d}G_{v′}(𝔬_{F}),_{d}dg) = |_{d}\underline{G}_{v′}^{Θ}|q^{− \frac{1}{2} dim(_{d}\underline{G}_{v′})}.

En effet, d’après le paragraphe précédent, l’égalité ci-dessus équivaut à

\frac{vol(_{d}K_{v}^{+},_{d}dg)}{vol(_{d}K_{v′}^{+},_{d}dg)} = q^{\frac{1}{2} [dim(_{d}\underline{G}_{v′})−dim(_{d}\underline{G}_{v})]}.

Quitte à remplacer v′ par gv′ pour un g ∈ _{d}G(F), on peut supposer que v′ appartient à l’adhérence de la chambre C^{nr}. Alors on a _{d}K_{v′}^{+} ⊂ _{d}K_{v}^{+} ⊂ _{d}G_{v′}(𝔬_{F}), et l’application _{d}\underline{π}_{v′} identifie le quotient dK_{v}^{+}/_{d}K_{v′}^{+} au groupe des point 𝔽_{q}-rationnels du radical unipotent \underline{U} d’un sous-groupe parabolique \underline{P} de _{d}\underline{G}_{v}^{∘} (la composante neutre de _{d}\underline{G}_{v}) défini sur 𝔽_{q}, tel que \underline{P} /\underline{U} soit 𝔽_{q}-isomorphe à _{d}\underline{G}_{v′}^{∘}. D’où l’égalité cherchée.

Le groupe G lui-même est défini sur F, et l’on peut comme ci-dessus définir une mesure de Haar dg sur G(F) ; cela revient à prendre pour d le cocycle représentant la classe de cohomologie triviale dans H^{1}(Θ, N_{C}^{nr}). Le F^{nr}-isomorphisme _{d}ξ est un torseur intérieur de _{d}G vers sa forme quasidéployée G. On sait qu’un tel torseur établit une correspondance entre mesures de Haar sur G(F) et mesures de Haar sur _{d}G(F). D’après Kottwitz [K1] §1, les mesures dg et _{d}dg se correspondent (cf. [W2] lemme 3.1.2).

7.2. Pour r ∈ ℝ, on pose

d𝔤(F)_{r} = ⋃_{g∈_{d}G(F)} ⋃_{v∈_{d}W} Ad(g)(_{d}𝔤(F)_{v,r}), _{d}𝔤(F)_{r^{+}} = ⋃_{s>r} _{d}𝔤(F)_{s}.

Pour X ∈ _{d}𝔤(F) ∖ {0} semisimple, on pose r(X) = sup{r ∈ ℝ : X ∈ _{d}𝔤(F)_{r}}; et pour X = 0, on pose r(0) = +∞.

Choisissons une sous-extension galoisienne finie E_{1}/F de F^{mod}/F tel que le sous-groupe Gal(F^{mod}/E_{1}) ⊂ Γ opère trivialement sur D et que le cocycle d se factorise à travers Gal(E_{1}/F). Puisque |W | est fini, il n’y a qu’un nombre fini de sous-extensions E_{2}/E_{1} de \overline{F} /E_{1} de degré divisant |W |. Grâce à la condition (P_{rg(D}), |W | est premier à p et une telle extension E_{2} est contenue dans F^{mod}. Soit E la composée sur F de ces extensions E_{2}. C’est une extension galoisienne finie de F, qui vérifie la propriété suivante (cf. [W2] lemme 3.2.(i)) : pour tout X ∈ _{d}𝔤(F) semisimple, il existe un g ∈ _{d}𝔤(E) tel que Ad(g) ∘ d(_{d}ξ)(X) ∈ 𝔱(E). Alors pour r ∈ ℝ, on a X ∈ _{d}𝔤(F)_{r} si et seulement si Ad(g) ∘ d(_{d}ξ)(X) ∈ 𝔱(E)_{r}. Cela résulte du lemme 2.2.1 de [KM] et du fait que la définition de la filtration r ↦ _{d}𝔤(F)_{r} est compatible aux extensions modérément ramifiées de F (cf. [KM] 2.1). Notons e ∈ P l’indice de ramification de E/F. Puisque T est déployé sur E, pour X′ ∈ 𝔱(E) ∖ {0}, on a sup\{r ∈ ℝ : X′ ∈ 𝔱(E)_{r}\} ∈ ω(K^{×}) = \frac{1}{e}ℤ. On en déduit que pour X ∈ _{d}𝔤(F)∖\{0\} semisimple, on a r(X) ∈ \frac{1}{e}ℤ.

7.3. Posons _{d}S = ⊕_{ϕ∈_{d}Φ} _{d}S_{ϕ} et notons _{d}C_{F} = C_{c}^{∞}(_{d}𝔤(F)). Pour ϕ ∈ _{d}Φ et φ ∈ _{d}S_{ϕ}, on note rea_{F} (φ) ∈ C(_{d}𝔤(F)_{ϕ}/_{d}𝔤(F)_{ϕ^{+}}) la composée de l’isomorphisme _{d}𝔤(F)_{ϕ}/_{d}𝔤(F)_{ϕ^{+}} → _{d}\underline{𝔤}_{ϕ}^{Θ} de 6.5 et de φ. Via les inclusions C(_{d}𝔤(F)_{ϕ}/_{d}𝔤(F)_{ϕ^{+}}) ⊂ C^{∞}(_{d}𝔤(F)_{ϕ}) ⊂ _{d}C_{F}, cela définit une application linéaire _{d}rea_{F} : _{d}S → _{d}C_{F}, qui n’est en général ni injective ni surjective.

Soient ϕ ∈ _{d}Φ et ϕ′ ∈ _{d}ω_{ϕ}. On a défini en 6.4 une application injective _{d}s_{ϕ;ϕ′} : _{d}S_{ϕ′} → _{d}S_{ϕ}. D’après 6.2, pour φ′ ∈ _{d}S_{ϕ′}, on a l’égalité _{d}rea_{F} (φ′) = _{d}rea_{F} ∘_{d}s_{ϕ;ϕ′}(φ′).

Pour r ∈ ℝ, on pose _{d}Φ_{r} = {ϕ ∈ _{d}Φ : r(ϕ) ≥ r} et _{d}Φ_{r^{+}} = {ϕ ∈ _{d}Φ : r(ϕ) > r}; on pose aussi dS_{r} = ⊕_{ϕ∈_{d}Φ_{r}} _{d}S_{ϕ} et _{d}S_{r^{+}} = ⊕_{ϕ∈_{d}Φ_{r^{+}}} _{d}S_{ϕ}. D’après 6.1, pour ϕ′ ∈ _{d}Φ, l’adhérence de ϕ′ coupe dW_{(p)} × {r(ϕ′}. En d’autres termes, il existe un point v ∈ _{d}W_{(p)} tel que posant ϕ = ϕ_{v,r(ϕ′)}, on ait ϕ′ ∈ _{d}ω_{ϕ}. On en déduit que pour r ∈ ℝ et φ ∈ _{d}S, on a φ ∈ _{d}S_{r} si et seulement si le support de la fonction _{d}rea_{F} (φ) est contenu dans _{d}𝔤(F)_{r}.

Le résultat suivant est bien connu :

LEMME ([W2] lemme 3.3). — Soit ϕ ∈ _{d}Φ et soit (v, r) ∈ ϕ ∩ (_{d}W_{(p)} × ℤ_{(p)}). Tout élément de _{d}\underline{𝔤}_{ϕ}^{Θ} appartenant à l’image de _{d}𝔤(F)_{r^{+}} ∩_{d}𝔤_{ϕ}^{nr} par l’application _{d}\underline{π}_{ϕ}, est nilpotent (dans _{d}\underline{𝔤}).

Notons _{d}𝔤(F)_{reg} ⊂ _{d}𝔤(F) le sous-ensemble formé des éléments semisimples réguliers. D’après la condition (P_{Σ}), pour X ∈ _{d}𝔤(F)_{reg}, le centralisateur T_{X} de X dans _{d}G est un groupe algébrique connexe ; c’est donc un tore maximal de _{d}G, défini sur F et (d’après 7.2) déployé sur F^{mod}. Il correspond à une donnée D_{X} = (X^{∗}(T_{X}), ∅, ∅, X_{∗}(T_{X}), ∅, ∅) munie d’une action de Γ comme en 3.1. On peut lui associer, comme en 7.1, une mesure de Haar dt. Soit _{d}dḡ_{X} la mesure \frac{_{d}dg}{dt} sur l’espace homogène T_{X}(F)\_{d}G(F). Posons 𝔱_{X} = Lie(T_{X}), et notons Λ^{_{d}G(F)}(·, X) la distribution sur _{d}𝔤(F) définie par

Λ^{_{d}G(F)}(f, X) = Δ(X) ∫_{T_{X}(F)\_{d}G(F)} f(Ad(g^{−1})(X))_{d}dḡ_{X}

avec

Δ(X) = |det_{F} (ad(X); 𝔱_{X}(F)\_{d}𝔤(F))|F^{\frac{1}{2}} .

7.4. Jusqu’à présent, le corps F était fixé. En combinant les lemmes 6.4 et 7.3, on peut le supprimer des données :

PROPOSITION ([W2] prop. 3.4). — Soit r ∈ ℤ_{(p)}. Il existe une application linéaire _{d}l_{r}^{+} : _{d}S_{r} → _{d}S_{r^{+}} telle que pour tous φ ∈ _{d}S_{r}, F ∈ CL_{q} et X ∈ _{d}𝔤(F)_{reg} ∩_{d}𝔤(F)_{r^{+}}, on ait l’égalité

Λ^{_{d}G(F)}(_{d}rea_{F} (φ), X) = Λ^{_{d}G(F)}(_{d}rea_{F} ∘_{d}l_{r}^{+}(φ), X).

Démonstration : Par linéarité, il suffit de définir _{d}l_{r}(φ) pour φ ∈ _{d}S_{ϕ′} avec ϕ′ ∈ _{d}Φ_{r}. Si r(ϕ′) > r, alors φ ∈ _{d}S_{r^{+}} et l’on pose _{d}l_{r}^{+}(φ) = φ. Supposons donc r(ϕ′) = r. D’après 6.1 (cf. aussi 7.3), il existe un point v ∈ _{d}W_{(p)} tel que, posant ϕ = ϕ_{v,r}, on ait ϕ′ ∈ _{d}ω_{ϕ}. Supposons l’application _{d}l_{r}^{+} définie sur _{d}S_{ϕ}. Alors on définit _{d}l_{r}^{+} sur _{d}S_{ϕ′} comme la composée de l’injection ds_{ϕ;ϕ′} : _{d}S_{ϕ′} → _{d}S_{ϕ} et de l’application précédente. D’après le second paragraphe de 7.3, cette application convient. Reste à définir _{d}l_{r}^{+} sur S_{ϕ} : puisque ⊕_{ϕ′′∈_{d}ω_{ϕ}(>r)} _{d}S_{ϕ′′} est contenu dans _{d}S_{r^{+}}, on peut prendre l’application _{d}l_{ϕ}^{+} du lemme 6.4. Montrons qu’elle convient. Soient F ∈ CL_{q}, X ∈ _{d}𝔤(F)_{reg} ∩ _{d}𝔤(F)_{r^{+}} et φ ∈ _{d}S_{ϕ}. Posons f = _{d}rea_{F} (φ), f^{+} = _{d}rea_{F} ∘ _{d}l_{ϕ}^{+}(φ), et notons Ω l’ensemble {g ∈ T_{X}(F)\_{d}G(F) : Ad(g^{−1})(X) ∈ _{d}𝔤(F)_{ϕ}}; il est stable par multiplication à droite par _{d}G_{v}(𝔬_{F}), et pour g ∈ _{d}G(F) ∖ Ω, on a f(Ad(g^{−1}(X)) = 0. Posant c = vol(_{d}G_{v}(𝔬_{F}),_{d}dg), on a donc

(∗)  Λ^{_{d}G(F)}(f, X) = Δ(X) ∫_{Ω} ∫_{_{d}G_{v}(𝔬_{F})} c^{−1}f(Ad(k^{−1}g^{−1})(X)_{d}dk_{d}dḡ_{X}

où _{d}dk désigne la restriction de la mesure _{d}dg à _{d}G_{v}(𝔬_{F}). Pour g ∈ Ω, on définit J_{g} ∈ _{d}S_{ϕ}^{∗} par :

J_{g}(φ_{1}) = |_{d}\underline{G}_{v}^{Θ}|^{−1} ∑_{x∈_{d}\underline{G}_{v}^{Θ}} φ_{1} (Ad(x^{−1}) ∘_{d}π_{ϕ} ∘ Ad(g^{−1})(X)) .

Par définition de l’application _{d}rea_{F}, l’intégrale sur _{d}G_{v}(𝔬_{F}) dans la formule (∗) n’est autre que J_{g}(φ). On a donc Λ^{_{d}G(F)}(f, X) = Δ(X) ∫_{Ω} J_{g}(φ)_{d}dḡ_{X}. Posons φ′′ = _{d}s_{ϕ}∘_{d}l_{ϕ}^{+}(φ) et f′′ = _{d}rea_{F} (φ′′). Le calcul ci-dessus conduit à l’égalité Λ^{_{d}G(F)}(f′′, X) = Δ(X) ∫_{Ω} J_{g}(φ′′)_{d}dḡ_{X}. Mais d’après le lemme 7.3, pour g ∈ Ω, la distribution J_{g} sur _{d}\underline{𝔤}_{ϕ}^{Θ} vérifie les hypothèses du lemme 6.4 : on a donc J_{g}(φ) = J_{g}(φ′′). D’où l’égalité Λ^{_{d}G(F)}(f, X) = Λ^{_{d}G(F)}(f′′, X). Or d’après le second paragraphe de 7.3, on a f′′ = f^{+}.

8. Centralisateurs d’éléments semisimples

Dans toute cette section, on fixe un corps F ∈ CL_{q}.

8.1. Soit δ un cocycle de Γ à valeurs dans N. On définit les espaces _{δ}W = (_{δ}V)^{Γ} ⊂ _{δ}V comme en 4.3, et les espaces _{δ}W_{(p)} = (_{δ}V_{(p)})^{Γ} ⊂ _{δ}V_{(p)} comme en 6.1. Pour v ∈ V_{(p)}, on a v ∈ _{δ}W si et seulement si t_{v}^{−1}δ(γ)γ(t_{v}) ∈ \underline{N} pour tout γ ∈ Γ. Si v ∈ _{δ}W_{(p)}, l’application γ ↦ t_{v}^{−1}δ(γ)γ(t_{v}) est un cocycle à valeur dans \underline{N}, et pour γ ∈ Γ, on note _{δ}\underline{ρ}_{v}(γ) le \overline{𝔽}_{q}-automorphisme de \underline{G} défini comme en 6.2.

Soit A ⊂ V un sous-espace affine tel que A_{(p)} = A ∩ V_{(p)} soit dense dans A. On note Σ(A) l’ensemble des racines α ∈ Σ qui prennent une valeur constante, notée α(A), sur A. Puisque A_{(p)} est dense dans A, pour α ∈ Σ(A), on a α(A) ∈ ℤ_{(p)}. L’ensemble Σ(A) est un sous-ensemble de Levi de Σ. Il lui correspond un sous-groupe connexe \underline{H}(A) ⊂ \underline{G} dont l’algèbre de Lie \underline{𝔥}(A) est engendré par 𝔱 et les \underline{𝔤}_{α} pour α ∈ Σ(A). Pour n ∈ N, on a l’égalité \underline{H}(n_{ℝ}(A)) = Ad(\underline{π}(n))(\underline{H}(A)) ; et si de plus \underline{π}(n) ∈ \underline{H}(A) et n_{ℝ} fixe un élément de A_{(p)}, alors n_{ℝ} fixe tout élément de A (cf. [W2] lemme 4.2.1). Supposons de plus que A ⊂ _{δ}W. Alors A_{(p)} = A ∩_{δ}W_{(p)} ; et d’après le lemme 4.2.2 de [W2], pour tout v ∈ A_{(p)} et tout γ ∈ Γ, l’automorphisme _{δ}\underline{ρ}_{v}(γ) stabilise le sous-groupe \underline{H}(A) ⊂ \underline{G} et sa restriction à \underline{H}(A) est indépendante de v.

8.2. Soit e ∈ P. Pour v ∈ V^{e}, on note \underline{G}_{v}^{e} ⊂ \underline{G} le sous-groupe formé des éléments fixés par \underline{ρ}_{v}(σ) pour tout σ ∈ I(e) (cf. 5.1) ; et l’on définit comme en 5.4 un homomorphisme surjectif \underline{π}_{v} : G_{v}^{e} → \underline{G}_{v}^{e}. Rappelons la construction : on choisit un entier e′ ∈ P tel que e divise e′, e′v ∈ X_{∗}, et I(e′) opère trivialement sur D. L’égalité (G_{v}^{e′})^{I(e)} = G_{v}^{e} se complète en le diagramme commutatif suivant :

G_{v}^{e}  ⟶^{π_{v}^{e}} 𝔾_{v}^{e}
∥  ∥
(G_{v}^{e′})^{I(e)} ⟶^{π_{v}^{e′}} (𝔾_{v}^{e′})^{I(e)}

où π_{v}^{e} est la composée des projections canoniques G_{v}^{e} → \overline{G}_{v}^{e} (réduction modulo 𝔭^{e}) et \overline{G}_{v}^{e} → 𝔾_{v}^{e}. L’homomorphisme ˜ \underline{ι}_{v} : G_{v}^{e} → \underline{G} composé de l’application π_{0}^{e′} ∘ Ad(t_{F,v}^{−1}) et de l’inclusion G_{v}^{e} ⊂ G_{v}^{e′}, se quotiente en un isomorphisme \underline{ι}_{v} : 𝔾_{v}^{e} → \underline{G}_{v}^{e}. On pose alors \underline{π}_{v} = \underline{ι}_{v} ∘ π_{v}^{e} : G_{v}^{e} → \underline{G}_{v}^{e}. D’après 5.4 et 5.3, les applications π_{0}^{e′} ∘ Ad(t_{F,v}^{−1}) et \underline{π} ∘ r_{N,F} coïncident sur l’intersection N^{e′}∩ G_{v}^{e′}, et induisent une application surjective N^{e′} ∩ G_{v}^{e′} → \underline{N}. Le noyau de cette surjection est cohomologiquement trivial. On en déduit que \underline{π}_{v} se restreint en une application surjective N^{e} ∩ G_{v}^{e} → \underline{N} ∩ \underline{G}_{v}^{e}, qui coïncide avec \underline{π} ∘ r_{N,F}. Notons que pour v ∈ V^{nr}, le sous-groupe \underline{G}_{v}^{e} ⊂ \underline{G} est stabilisé par \underline{ρ}_{v}(σ) pour tout σ ∈ I, et le diagramme

\begin{matrix}G_{v}^{nr} & ⟶^{\underline{π}_{v}} & \underline{G}_{v} \\ ∩ & & ∩ \\ G_{v}^{e} & ⟶_{\underline{π}_{v}} & \underline{G}_{v}^{e} \end{matrix}

est commutatif (les notations sont donc cohérentes).

Soit un cocycle δ_{F} de Γ à valeur dans N^{mod}, et soit e ∈ P tel que δ_{F} soit trivial sur I(e). Posons δ = r_{N,F} ∘ δ_{F} : Γ → N, et soit v ∈ _{δ}W_{(p)}. Puisque δ est trivial sur N^{e}, on a _{δ}W_{(p)} ⊂ V_{(p)}^{e}. Pour tout γ ∈ Γ, l’automorphisme Ad(δ_{F} (γ)) ∘ γ de G^{mod} stabilise G^{e}; et puisque v ∈ _{δ}W, il stabilise aussi G_{v}^{e}. Pour g ∈ G_{v}^{e} et γ ∈ Γ, on a l’égalité \underline{π}_{v} ∘ Ad(δ_{F} (γ)) ∘ γ(g) = _{δ}\underline{ρ}_{v} ∘ \underline{π}_{v}(g). On en déduit que pour tout γ ∈ Γ, l’automorphisme _{δ}\underline{ρ}_{v}(γ) de \underline{G} stabilise le groupe \underline{π}_{v}(G_{v}^{e}) = \underline{G}_{v}^{e}.

Soit A un sous-espace affine de V tel que A_{(p)} soit dense dans A. Choisissons un e ∈ P tel que eα(A) ∈ ℤ pour tout α ∈ Σ(A), et I(e) opère trivialement sur D. On a définit en 3.3 une décomposition en facettes de V = V^{e}. Parmi les facettes qui coupent A, on en choisit une de dimension maximale, que l’on note F. D’après le lemme 4.4.1 de [W2], pour tout v ∈ A_{(p)} ∩ F, la composante neutre \underline{G}_{v}^{e,∘} de \underline{G}_{v}^{e} = \underline{π}_{v}(G_{v}^{e}) coïncide avec \underline{H}(A) ; et pour tout g ∈ G_{v}^{e}, il existe un n ∈ N^{e} ∩ G_{v}^{e} tel que \underline{π}_{v}(n^{−1}g) ∈ \underline{H}(A). Au sous-ensemble de Levi Σ(A) ⊂ Σ correspond, comme en 8.1, un sous-groupe réductif connexe H(A) ⊂ G. Posons H_{A}^{e} = H(A)(F^{e}) ⊂ G^{e}. D’après le lemme 4.4.2 de [W2], pour tout v ∈ A_{(p)}, le groupe H_{A}^{e} ∩ G_{v}^{e} est indépendant de v; et le groupe \underline{π}_{v}(H_{A}^{e} ∩ G_{v}^{e}) coïncide avec \underline{H}(A).

8.3. Pour r ∈ ℤ_{(p)}, on note \underline{𝔱}(r) le \overline{𝔽}_{q}-espace vectoriel \underline{𝔱} = X_{∗} ⊗_{ℤ} \overline{𝔽}_{q} muni de l’action de Γ définie comme suit : pour λ ∈ X_{∗}, x ∈ \overline{𝔽}_{q}, θ ∈ Θ et σ ∈ I, on pose θ(λ ⊗ x) = θ(λ) ⊗ θ(x) et σ(λ ⊗ x) = σ(λ) ⊗ r(σ)x.

Soit L(D) l’ensemble des quadruplets (D′, ψ, r, \underline{Z}′) de la forme suivante :

- D′ = (X^{′∗}, Σ′, Δ′, X′_{∗}, Σ̌′, Δ̌′) est une donnée de racines munie d’une action de Γ comme en 3.1. On affecte les objets relatifs à D′, introduits précédemment pour la donnée D, d’un exposant “′” : W′, \underline{G}′, \underline{T}′ (etc.). On fait la même chose pour les objets dépendant de F : G′, T′, (etc.).

- ψ = (X^{′∗} → X^{∗}, X′_{∗} → X_{∗}) est un couple d’isomorphismes de ℤ-modules en dualité. Pour simplifier, on note encore ψ chacun de ces isomorphismes, ainsi que tout isomorphisme qui s’en déduit par fonctorialité. On suppose que ψ(Δ′) ⊂ Δ et ψ(Δ̌′) ⊂ Δ̌, et que ψ(Σ′) (resp. ψ(Σ̌′)) est le sous-système de racines de Σ engendré par ψ(Δ′) (resp. par ψ(Δ̌′)). En d’autres termes, on suppose que ψ identifie D′ à un sous-système de Levi standard de D. On suppose aussi que pour tout γ ∈ Γ, il existe un w ∈ W tel que ψ ∘ γ = w ∘ γ ∘ ψ. Cet élément w est unique ; on le note w_{ψ}(γ).

- r ∈ ℤ_{(p)}.

- \underline{Z}′ ∈ \underline{𝔱}′_{cent}(r)^{Γ} avec \underline{𝔱}′_{cent}(r) = \{X ∈ \underline{𝔱}′(r) : α′(X) = 0, ∀α′ ∈ Σ′\}. Ici, \underline{𝔱}′(r) désigne le \overline{𝔽}_{q}-espace vectoriel \underline{𝔱}′ = X′_{∗} ⊗_{ℤ} \overline{𝔽}_{q} muni de l’action de Γ définie plus haut. On suppose que pour tout α ∈ Σ ∖ ψ(Σ′), on a α ∘ ψ(\underline{Z}′) ≠ 0.

Deux éléments (D′_{1}, ψ_{1}, r_{1}, \underline{Z}′_{1}) et (D′_{2}, ψ_{2}, r_{2}, \underline{Z}′_{2}) de L(D) sont dits isomorphes si r_{1} = r_{2} et s’il existe un isomorphisme Γ-équivariant f : D′_{1} → D′_{2} (i.e. un couple d’isomorphismes de ℤ[Γ]-modules (X_{1}^{′∗} → X_{2}^{′∗}, X′_{∗,1} → X′_{∗,2}) en dualité, tel que f(Σ′_{1}) = Σ′_{2}, f(Δ′_{1}) = Δ′_{2}, f(Σ̌′_{1}) = Σ̌′_{2} et f(Δ̌′_{1}) = Δ̌′_{2}) et un élément w ∈ W tels que ψ_{2} ∘ f = w ∘ ψ_{1} et f(\underline{Z}′_{1}) = \underline{Z}′_{2}. Grâce à l’hypothèse (P_{Σ}), on vérifie que le groupe d’automorphismes d’un élément de L(D) est trivial.

8.4. Soit un élément (D′, ψ, r, \underline{Z}′) ∈ L(D), fixé jusqu’à la fin de la section 8. On définit un plongement \underline{i}_{ψ} : \underline{G}′ → \underline{G}, caractérisé comme suit : \underline{i}_{ψ} se restreint en l’isomorphisme \underline{T}′ ⟶^{∼} \underline{T} déduit de ψ; et pour tout α′ ∈ Δ′, on a d(\underline{i}_{ψ})(\underline{E}′_{α′}) = \underline{E}_{ψ(α′)}. Alors \underline{i}_{ψ} se restreint en un plongement \underline{N}′ → \underline{N} qui, par construction, est compatible aux sections \underline{n}′ : W′ → \underline{N}′ et \underline{n} : W → \underline{N} : pour w′ ∈ W′, on a \underline{i}_{ψ} ∘ \underline{n}′(w′) = \underline{n} ∘ ψ(w′). D’autre part, de ψ se déduit un isomorphisme de groupes T′_{ϖ} ⟶^{∼} T_{ϖ} qui permet de prolonger le plongement \underline{i}_{ψ} : \underline{N}′ → \underline{N} en un plongement i_{ψ} : N′ → N.

Notons Z_{ψ} ⊂ T le sous-groupe formé des t tels que α(t) = 0 pour tout α ∈ ψ(Σ′), et posons \underline{Z}_{ψ} = Z_{ψ} ∩ \underline{T}. Les éléments de Z_{ψ} commutent à ceux de i_{ψ}(N′), et \underline{Z}_{ψ} est le centre de \underline{i}_{ψ}(\underline{G}′).

Posons \underline{Z} = ψ(\underline{Z}′) ∈ \underline{𝔱}. Pour γ, on pose ∑_{ψ,γ}^{+} = \{α ∈ Σ^{+} : w_{ψ}(γ)^{−1}(α) < 0\} et

z_{ϖ,ψ}(γ) = (∑_{α∈Σ_{ψ,γ}^{+}} α̌) ⊗ r ∈ T_{ϖ},
\underline{z}_{ψ}(γ) = ∏_{α∈Σ_{ψ,γ}^{+}} α̌ ∘ α(\underline{Z}) ∈ \underline{T} ,
n_{ψ}(γ) = z_{ϖ,ψ}(γ)\underline{z}_{ψ}(γ)\underline{n}(w_{ψ}(γ)) ∈ N,
\underline{n}_{ψ}(γ) = \underline{π}(n_{ψ}(γ)) = \underline{z}_{ψ}(γ)\underline{n}(w_{ψ}(γ)) ∈ \underline{N}.

D’après le lemme 4.6 de [W2], l’application γ ↦ n_{ψ}(γ) est un cocycle (cela est une conséquence de la preuve du lemme 2.2.A de [LS]), et pour tout γ ∈ Γ, on a z_{ϖ,ψ}(γ) ∈ Z_{ψ} et \underline{z}_{ψ}(γ) ∈ \underline{Z}_{ψ}; de plus, on a les égalités :

\begin{matrix}\underline{i}_{ψ} ∘ γ = Ad(\underline{n}_{ψ}(γ)) ∘ γ ∘ \underline{i}_{ψ}, \\ i_{ψ} ∘ γ = Ad(n_{ψ}(γ)) ∘ γ ∘ i_{ψ}(γ). \end{matrix}

8.5. On construit comme en 8.4 un plongement i_{ψ} : G′ → G, qui est défini sur F^{mod}.

Pour s ∈ ℝ, posant 𝔱_{s}^{mod} = 𝔱(F^{mod})_{s} et 𝔱_{s^{+}}^{mod} = 𝔱(F^{mod})_{s^{+}} (cf. 1.2), on a 𝔱_{s}^{mod} ⊂ 𝔱_{s^{+}}^{mod} avec égalité si et seulement si s ∈ ℝ ∖ ℤ_{(p)}. Pour s ∈ ℤ_{(p)}, on définit comme suit un isomorphisme de Γ-modules 𝔱_{s}^{mod}/𝔱_{s^{+}}^{mod} → \underline{𝔱}(s) : pour λ ∈ X_{∗} et x ∈ F^{mod} avec ω_{F} (x) ≥ s, il envoie λ ⊗ x (en fait sa classe modulo 𝔱_{s^{+}}^{mod}) sur λ ⊗ ι(\overline{ϖ_{−s}x}) où \overline{ϖ_{−s}x} ∈ \overline{κ}_{F} désigne la réduction de ϖ_{−s}x ∈ 𝔬_{F^{mod}} modulo 𝔭_{F^{mod}}. Puisque le Γ-module 𝔱_{s^{+}}^{mod} est cohomologiquement trivial, par passage aux points fixes sous Γ, on obtient un isomorphisme 𝔱(F)_{s}/𝔱(F)_{s^{+}} → \underline{𝔱}(s)^{Γ}.

On pose 𝔱′_{cent} = {X ∈ 𝔱 : α′(X) = 0, ∀α′ ∈ Σ′}; c’est un sous-espace affine de 𝔱′ défini sur F. Pour s ∈ ℝ, on pose 𝔱_{cent,s}^{′mod} = 𝔱′_{cent}(F^{mod})_{s} et 𝔱_{cent,s^{+}}^{′mod} = 𝔱′_{cent}(F^{mod})_{s^{+}}. Et pour s ∈ ℤ_{(p)}, on définit comme ci-dessus un isomorphisme de Γ-modules 𝔱_{cent,s}^{′mod}/𝔱_{cent,s^{+}}^{′mod} → \underline{𝔱}′_{cent}(s), qui par passage aux points fixes sous Γ, induit un isomorphisme 𝔱′_{cent}(F)_{s}/𝔱′_{cent}(F)_{s^{+}} → \underline{𝔱}′_{cent}(s)^{Γ}.

Prenons s = r. Puisque \underline{Z}′ ∈ \underline{𝔱}′(r)^{Γ}, on peut fixer un élément Z′ ∈ 𝔱′_{cent}(F)_{r} dont la classe modulo 𝔱′_{cent}(F)_{r^{+}} s’envoie sur \underline{Z}′ par l’isomorphisme précédent. À l’aide de Z′, on construit comme en 8.4 un cocycle n_{ψ,F} ∈ Z^{1}(Γ, N^{mod}) : pour γ ∈ Γ, on pose z_{ψ,F} (γ) = ∏_{α∈Σ_{ψ,γ}^{+}} α̌ ∘ α(ψ(Z′)) et n_{ψ,F} (γ) = s_{T,F} (z_{ϖ,F} (γ))z_{ψ,F} (γ)n(w_{ψ}(γ)). Par construction, on a n_{ψ} = r_{N,F} ∘ n_{ψ,F} ; et d’après la démonstration du lemme 4.6 de [W2], on a l’égalité

i_{ψ} ∘ γ = Ad(n_{ψ,F} (γ)) ∘ γ ∘ i_{ψ}.

8.6. Comme pour la donnée D, on fixe un ensemble D′ de cocycles de Θ à valeurs dans N_{C′}^{′nr} (l’analogue de N_{C}^{nr} pour D′) tel que l’application naturelle D′ → H^{1}(Θ, N_{C′}^{′nr}) soit bijective. De ψ se déduit un homomorphisme surjectif X′_{∗}/X′_{∗,sc} → X_{∗}/X_{∗,sc}, qui est Γ-équivariant puisque W opère trivialement sur l’espace d’arrivée. D’où un homomorphisme surjectif (X′_{∗}/X′_{∗,sc})_{Γ} → (X_{∗}/X_{∗,sc})_{Γ}.

En passant aux sous-groupes de torsion, on obtient un homomorphisme ψ_{D′} : D′ → D, qui n’est en général pas surjectif.

Soit un cocycle d′ ∈ D′, fixé jusqu’à la fin de la section 8, et soit d = ψ_{D′}(d). Pour γ ∈ Γ, posons d_{0}(γ) = i_{ψ} ∘ d′(γ)n_{ψ}(γ). D’après 8.4, d_{0} est un cocycle de Γ dans N. De même, on définit un cocycle d_{0,F} de Γ dans N^{mod} en posant d_{0,F} = i_{ψ} ∘ d′_{F} (γ)n_{ψ,F} (γ).

LEMME ([W2] lemme 4.8). — Les cocycles d_{0,F} et d_{F} définissent le même élément de H^{1}(Γ, G^{mod}).

Fixons un sous-groupe ouvert Γ_{0} ⊂ Γ opérant trivialement sur D et sur D′. D’après 6.1, on peut supposer que l’indice (Γ : Γ_{0}) est premier à p. On peut donc remplacer Γ par Γ/Γ_{0} dans les constructions précédentes ; en particulier, l’application γ ↦ z_{ϖ,ψ} se factorise à travers Γ/Γ_{0}. On note z_{0} ∈ T_{ϖ} l’élément défini par :

z_{0} = \frac{1}{(Γ : Γ_{0})} ∑_{γ∈Γ/Γ_{0}} z_{ϖ,ψ}(γ).

Notons ψ_{V′} : V′ → V l’isomorphisme déduit de ψ. D’après le lemme 4.9 de [W2], l’application

d′V′ → _{d_{0}}V , v′ ↦ z_{0,ℝ} ∘ ψ_{V′}(v′)

est Γ-équivariante. Par passage aux points fixes sous Γ, on obtient un isomorphisme _{d′}W′ → _{d_{0}}W. D’après le lemme 4.10 de [W2], il existe un couple (n, g) ∈ N×\underline{G} vérifiant les conditions suivantes :

- n_{ℝ}(_{d_{0}}W) ⊂ _{d}W ;

- posant A = n_{ℝ}(_{d_{0}}W), A_{(p)} est dense dans A, et g appartient à \underline{H}(A) ;

- posant m(γ) = nd_{0}(γ)γ(n)^{−1}d(γ)^{−1} (γ ∈ Γ), on a \underline{π}(m(γ)) = Ad(g) ∘_{d}\underline{ρ}_{v}(γ) pour tout γ ∈ Γ et tout v ∈ A_{(p)}.

8.7. Fixons un couple (n, g) ∈ N × \underline{G} vérifiant les conditions de 8.6, et posons \underline{n} = \underline{π}(n). On définit une application affine :

d′ψ_{V′} : _{d′}W′ → _{d}W , v′ ↦ n_{ℝ} ∘ z_{0,ℝ} ∘ ψ_{V′}(v′).

Elle envoie _{d′}W′_{(p)} dans _{d}W_{(p)}. Soit v′ ∈ _{d′}W′_{(p)}, et posons v = _{d′}ψ_{V′}(v′).

D’après la preuve du lemme 4.11 de [W2], pour γ ∈ Γ, on a l’égalité

d\underline{ρ}_{v}(γ) ∘ Ad(g^{−1}\underline{n}) ∘ \underline{i}_{ψ} = Ad(g^{−1}\underline{n}) ∘ \underline{i}_{ψ} ∘_{d′}\underline{ρ}′_{v′}(γ).

Par conséquent l’homomorphisme Ad(g^{−1}\underline{n}) ∘ \underline{i}_{ψ} : \underline{G}′ → \underline{G} envoie \underline{G}′_{v′} dans \underline{G}_{v}, et il existe un unique homomorphisme _{d′}\underline{i}_{ψ,v′} : _{d′}\underline{G}′_{v′} → _{d}\underline{G}_{v}, défini sur 𝔽_{q}, tel que

Ad(g^{−1}\underline{n}) ∘ \underline{i}_{ψ} ∘_{d′}\underline{ξ}′ = _{d}\underline{ξ} ∘_{d′}\underline{i}_{ψ,v′}.

De même, pour s ∈ ℤ_{(p)}, l’homomorphisme Ad(g^{−1}\underline{n}) ∘ d(\underline{i}_{ψ}) : \underline{𝔤}′ → \underline{𝔤} envoie \underline{𝔤}′_{v′,s} dans \underline{𝔤}_{v,s}, et il existe un unique homomorphisme _{d′}\underline{i}_{ψ,v′,s} : _{d′}\underline{𝔤}′_{v′,s} → _{d}\underline{𝔤}_{v,s}, défini sur 𝔽_{q}, tel que

Ad(g^{−1}\underline{n}) ∘ d(\underline{i}_{ψ}) ∘ d(_{d′}\underline{ξ}′) = d(_{d}\underline{ξ}) ∘_{d′}\underline{i}_{ψ,v′,s}.

Bien sûr, _{d′}\underline{i}_{ψ,v′,s} ne dépend pas vraiment de (v′, s) mais seulement des facettes ϕ′ ∈ _{d′}Φ′ et ϕ ∈ _{d}Φ contenant respectivement (v′, s) et (v, s).

Choisissons un élément n_{F} ∈ N^{mod} tel que r_{N,F} (n_{F}) = n. Posons A = _{d′}ψ_{V′}(_{d′}W′) = n_{ℝ}(_{d_{0}}W) ; on a donc v ∈ A_{(p)}. Choisissons un e ∈ P tel que I(e) opère trivialement sur D et sur D′, n_{F} ∈ N^{e}, et eα(A) ∈ ℤ pour tout α ∈ Σ(A). D’après 8.2, on a \underline{π}_{v}(H_{A}^{e} ∩ G_{v}^{e}) = \underline{H}(A). Soit un élément g_{F} ∈ H_{A}^{e} ∩ G_{v}^{e} tel que \underline{π}_{v}(g_{F}) = g. D’après [W2] 4.12, on peut choisir g_{F} de telle manière que pour tout γ ∈ Γ, on ait l’égalité :

d_{F} (γ) = g_{F}^{−1}n_{F} ι_{ψ} ∘ d′_{F} (γ)n_{ψ,F} (γ) γ(n_{F}^{−1}g_{F}).

Alors il existe un unique homomorphisme _{d′}i_{ψ} : _{d′}G′ → _{d}G, défini sur F, tel que

Ad(g_{F}^{−1}n_{F}) ∘ i_{ψ} ∘_{d′}ξ′ = _{d}ξ ∘_{d′}i_{ψ}.

LEMME ([W2] lemme 4.12.1). — L’application _{d′}ψ_{V′} : _{d′}W′ → _{d}W se prolonge en une application d′ψ : ℑ(_{d′}G′, F) → ℑ(_{d}G, F) telle que pour tout g′ ∈ _{d′}G′(F) et tout x′ ∈ ℑ(_{d′}G, F)), on ait l’égalité d′ψ(g′ · x′) = _{d′}i_{ψ}(g′) ·_{d′}ψ(x′). De plus, ce prolongement est unique.

Par construction,_{d′}i_{ψ} se restreint en un plongement_{d′}G_{v′}^{nr} → _{d}G_{v}^{nr} défini sur 𝔬_{F}, et pour s ∈ ℤ_{(p)}, d(_{d′}i_{ψ}) se restreint en un plongement _{d′}𝔤_{v′,s}^{′nr} → _{d}𝔤_{v,s}^{nr} défini sur 𝔬_{F} ; de plus, les deux diagrammes suivants sont commutatifs :

\begin{matrix}_{d′}G_{v′}^{′nr} & ⟶^{_{d′}i_{ψ}} & _{d}G_{v}^{nr} \\ _{d′}\underline{π}′_{v′} ↓ & & ↓ _{d}\underline{π}_{v} \\ _{d′}\underline{G}′_{v′} & ⟶_{_{d′} \underline{i}_{ψ,v′}} & _{d}\underline{G}_{v} \end{matrix} , \begin{matrix}_{d′}𝔤_{v′,s}^{′nr} & ⟶^{d(_{d′}i_{ψ})} & _{d}𝔤_{v,s}^{nr} \\ _{d′}\underline{π}′_{v′,s} ↓ & & ↓ _{d}\underline{π}_{v,s} \\ _{d′}\underline{𝔤}′_{v′,s} & ⟶_{_{d′} \underline{i}_{ψ,v′,s}} & _{d}\underline{𝔤}_{v,s} \end{matrix} .

9. Analyse harmonique : une deuxième réduction (descente centrale)

9.1. Soit d ∈ D. Pour v ∈ _{d}W_{(p)}, notons _{d}M_{v} l’ensemble des couples μ = (m, h) ∈ N × \underline{G} vérifiant les deux conditions suivantes (pour tout γ ∈ Γ) :

- t_{v}^{−1}d(γ)γ(m)d(γ)^{−1}t_{v} appartient à \underline{N},

- t_{v}^{−1}d(γ)γ(m)d(γ)^{−1}t_{v} = h_{d}\underline{ρ}_{v}(γ)h^{−1}. Pour un tel couple μ, on pose μ(v) = m_{ℝ}(v). Si e ∈ P est tel que I(e) opère trivialement sur D et ev ∈ X_{∗}, alors on a m ∈ N^{e} et eμ(v) ∈ \frac{1}{e}X_{∗}; donc μ(v) ∈ _{d}W_{(p)}. L’application Ad(\underline{π}(m)h) envoie \underline{G}_{v} sur \underline{G}_{μ(v)} et il existe un unique isomorphisme \underline{μ} : _{d}\underline{G}_{v} → _{d}\underline{G}_{μ(v)}, défini sur 𝔽_{q}, tel que

Ad(\underline{π}(m)h) ∘_{d}\underline{ξ} = _{d}\underline{ξ} ∘ \underline{μ}.

De même, pour s ∈ ℤ_{(p)}, l’application Ad(\underline{π}(m)h) envoie \underline{𝔤}_{v,s} sur \underline{𝔤}_{μ(v),s} et il existe un unique isomorphisme \underline{μ}_{s} : _{d}\underline{𝔤}_{v,s} → _{d}\underline{𝔤}_{μ(v),s}, défini sur 𝔽_{q}, tel que

Ad(\underline{π}(m)h) ∘ d(_{d}\underline{ξ}) = d(_{d}\underline{ξ}) ∘ \underline{μ}_{s}.

Soit ∼_{d} la relation binaire sur _{d}W_{(p)} définie par : v ∼_{d} v_{1} si et seulement s’il existe un μ ∈ _{d}M_{v}

tel que v_{1} = μ(v). Alors ∼_{d} est une relation d’équivalence, et pour tout v ∈ _{d}W_{(p)}, on a l’inclusion

dX_{∗} × {1} ⊂ _{d}M_{v} où le groupe _{d}X_{∗} (cf. 6.5) est identifié à un sous-groupe de T_{ϖ} = X_{∗} ⊗ ℤ_{(p)}.

Soit F ∈ CL_{q}, et soient v, v_{1} ∈ _{d}W_{(p)}. D’après le lemme 5.1 de [W2], on a v ∼_{d} v_{1} si et seulement

s’il existe un g ∈ _{d}G(F) tel que g · v = v_{1} (dans ℑ(_{d}G, F)). Plus précisément : si v_{1} = μ(v) pour un μ ∈ _{d}M_{v}, alors il existe un g ∈ _{d}G(F) tel que :

- g · v = v_{1} ;

- pour tout s ∈ ℤ_{(p)}, les diagrammes suivants sont commutatifs :

\begin{matrix}_{d}G_{v}(𝔬_{F}) & ⟶^{Ad(g)} & _{d}G_{v_{1}}(𝔬_{F}) \\ _{d}\underline{π}_{v} ↓ & & ↓ _{d}\underline{π}_{v_{1}} \\ _{d}\underline{G}_{v}^{Θ} & ⟶_{\underline{μ}} & _{d}\underline{G}_{v_{1}}^{Θ} \end{matrix} , \begin{matrix}_{d}𝔤(F)_{v,s} & ⟶^{Ad(g)} & _{d}𝔤(F)_{v_{1},s} \\ _{d}\underline{π}_{v,s} ↓ & & ↓ _{d}\underline{π}_{v_{1},s} \\ _{d}\underline{𝔤}_{v,s}^{Θ} & ⟶_{\underline{μ}_{s}} & _{d}\underline{𝔤}_{v_{1},s}^{Θ} \end{matrix} .

9.2. Soit un quadruplet (D′, ψ, r, \underline{Z}′) ∈ L(D), et soit d′ ∈ D′. Posons d = ψ_{D′}(d′). Comme en 9.1, on définit les ensembles _{d′}M′_{v′} pour v′ ∈ _{d′}W′_{(p)}, et la relation d’équivalence ∼_{d′} dans _{d′}W′_{(p)}. Soit

v ∈ _{d}W_{(p)}. Notons Ω̃′_{v} l’ensemble des v′ ∈ _{d′}W′_{(p)} tels que _{d′}ψ_{V′}(v′) ∼_{d} v. Cet ensemble est clos pour la relation d’équivalence ∼_{d′}. D’après 9.1, il existe un e ∈ P tel que la classe de ∼_{d} -équivalence de v

dans _{d}W_{(p)} soit contenue dans \frac{1}{e}(_{d}X_{∗}). On peut ensuite choisir un e′ ∈ P tel que l’image réciproque de \frac{1}{e}(_{d}X_{∗}) par _{d′}ψ_{V′} soit contenue dans \frac{1}{e′} (_{d′}X′_{∗}). Alors on a l’inclusion Ω̃′_{v} ⊂ \frac{1}{e′} (_{d′}X′_{∗}). Pour tout v′ ∈ _{d′}W′_{(p)}, on a l’inclusion _{d′}X′_{∗} × {1} ⊂ _{d′}M′_{v′} (cf. 9.1). Puisque le groupe _{d′}X′_{∗} est d’indice fini dans \frac{1}{e′} _{d′}X′_{∗}, on en déduit que Ω̃′_{v} est réunion d’un nombre fini de classes de ∼_{d′} -équivalence. Fixons

un ensemble Ω′_{v} ⊂ Ω̃′_{v} de représentants de ces classes, et pour tout v′ ∈ Ω′_{v}, fixons un élément μ_{v′,v} ∈ _{d}M_{v} tel que μ_{v′,v}(v) = _{d′}ψ_{V′}(v′).

Soit F ∈ CL_{q}. Pour tout v′ ∈ Ω′_{v′}, fixons un élément g_{v′,v} ∈ _{d}G(F) vérifiant les deux conditions de la fin de 9.1 relativement à l’élément μ_{v′,v} ∈ _{d}M_{v}. Alors on a les diagrammes commutatifs suivants (pour tout s ∈ ℤ_{(p)}) :

\begin{matrix}_{d′}G′_{v′}(𝔬_{F}) & ⟶^{Ad(g_{v′,v})^{−1}∘_{d′}i_{ψ}} & _{d}G_{v}(𝔬_{F}) \\ _{d′}\underline{π}′_{v′} ↓ & & ↓ _{d}\underline{π}_{v} \\ _{d′}\underline{G}_{v′}^{′Θ} & ⟶_{\underline{μ}_{v′,v}^{−1}∘_{d′}\underline{i}_{ψ,v′}} & _{d}\underline{G}_{v_{1}}^{Θ} \end{matrix} , \begin{matrix}_{d′}𝔤′(F)_{v′,s} & ⟶^{Ad(g_{v′,v})^{−1}∘d(_{d′}i_{ψ})} & _{d}𝔤(F)_{v,s} \\ _{d′}\underline{π}′_{v′,s} ↓ & & ↓ _{d}\underline{π}_{v,s} \\ _{d′}\underline{𝔤}_{v′,s}^{′Θ} & ⟶_{(\underline{μ}_{v′,v})_{s}^{−1}∘_{d′}\underline{i}_{ψ,v′,s}} & _{d}\underline{𝔤}_{v,s}^{Θ} \end{matrix} .

L’ensemble Ω′_{v} s’interprète de la manière suivante : soit v′ ∈ _{d′}W′_{(p)} tel que _{d′}ψ_{V′}(v′) = g · v pour un g ∈ _{d}G(F). Alors il existe un unique v′′ ∈ Ω′_{v} tel que v′ = g′ · v′′ pour un g′ ∈ _{d′}G′(F).

9.3. Continuons avec les notations de 9.2. Supposons de plus que \underline{Z}′ ≠ 0.

PROPOSITION ([W2] prop. 5.3). — Il existe une application linéaire _{d′}l′_{r} : _{d}S_{r} → _{d′}S′_{r} telle que pour tous φ ∈ _{d}S_{r}, F ∈ CL_{q}, Z′ ∈ _{d′}𝔤′(F) tel que d(_{d′}ξ′)(Z′) ∈ 𝔱′_{cent}(F)_{r} et son image dans \underline{𝔱}′_{cent}(r) soit égale à \underline{Z}′, X′ ∈ _{d′}𝔤′(F)_{reg} ∩_{d′}𝔤′(F)_{r^{+}}, on ait l’égalité

Λ^{_{dG}(F)}(_{d}rea_{F} (φ), d(_{d′}i_{ψ})(Z′ + X′)) = Λ^{_{d′}G′(F)}(_{d′}rea′_{F} ∘_{d′}l′_{r}(φ), X′).

(Remarque : l’élément d(_{d′}i_{ψ})(Z′ + X′) appartient à _{d}𝔤(F)_{reg} ∩ (_{d}𝔤(F)_{r} ∖_{d}𝔤(F)_{r^{+}}).)

Démonstration : Posons X = d(_{d′}i_{ψ})(Z′ + X′). Choisissons un g′ ∈ G^{′mod} tel que l’élément X′_{1} = Ad(g′) ∘ d(_{d′}ξ′)(X′) appartienne à 𝔱^{′mod}, et posons Z′_{1} = Ad(g′) ∘ d(_{d′}ξ′)(Z′) = d(_{d′}ξ′)(Z′). Il existe un g ∈ G^{mod} tel que l’élément X_{1} = Ad(g)∘d(_{d}ξ)(X) coïncide avec d(i_{ψ})(Z′_{1}+X′_{1}). Montrons que X_{1} est régulier. Soit α ∈ Σ, et posons α′ = ψ^{−1}(α) ∈ X^{′∗}. On a donc α(X_{1}) = α′(Z′_{1} + X′_{1}). Si α′ ∈ Σ′, alors α′(Z′_{1}) = 0 et α′(X′_{1}) ≠ 0 car X′ est régulier, donc α(X_{1}) ≠ 0. Supposons que α′ ∈ X^{′∗}∖Σ′. Puisque X′ ∈ _{d′}𝔤′(F)_{r^{+}}, on a ω_{F} (α′(X′_{1})) > r. D’autre part on a ω_{F} (α′(Z′_{1})) ≥ r, et la réduction modulo 𝔭_{F^{mod}} de ϖ_{r}^{−1}α′(Z′_{1}) coïncide avec α′(\underline{Z}′). Or α′(\underline{Z}′) ≠ 0 (cf. 8.3), par conséquent ω_{F} (α′(Z′_{1})) = r = ω_{F} (α′(Z′_{1} + X′_{1})) = ω_{F} (α(X_{1})). En particulier α(X_{1}) ≠ 0. Donc X_{1} est régulier, et X_{1} ∈ 𝔱_{r}^{mod} ∖ 𝔱_{r^{+}}^{mod}. Par conséquent X ∈ _{d}𝔤(F)_{reg} et (d’après 7.2) X ∈ _{d}𝔤(F)_{r} ∖_{d}𝔤(F)_{r^{+}}.

Par linéarité, il suffit de définir _{d′}l′_{r}(φ) pour φ ∈ _{d}S_{ϕ_{1}} avec ϕ_{1} ∈ _{d}Φ_{r}. Si r(ϕ_{1}) > r, alors pour φ ∈ _{d}S_{ϕ_{1}}, le support de _{d}rea_{F} (φ) est contenu dans _{d}𝔤(F)_{r^{+}}, et puisque X ∈ _{d}𝔤(F)_{r} ∖ _{d}𝔤(F)_{r^{+}}, on a Λ^{_{d}G(F)}(_{d}rea_{F} (φ), X) = 0 ; on pose donc _{d′}l′_{r}(φ) = 0. Supposons r(ϕ_{1}) = r. Comme dans la démonstration de la proposition 7.4, on peut remplacer ϕ_{1} par une facette ϕ qui coupe _{d}W_{(p)} ×{r}. Soit un point v ∈ _{d}W_{(p)} tel que (v, r) ∈ ϕ. Fixons une fonction φ ∈ _{d}S_{ϕ}, et posons f = _{d}rea_{F} (φ).

Un calcul facile donne l’égalité Δ(X) = q^{\frac{r}{2} (|Σ′|−|Σ|}Δ′(X).

Pour v_{1} ∈ ℑ(_{d}G, F) est défini (par transport de structure) le 𝔬_{F} -réseau _{d}𝔤(F)_{v_{1},r} dans _{d}𝔤(F) ; et pour g ∈ _{d}G(F), on a Ad(g^{−1})(X) ∈ _{d}𝔤(F)_{ϕ} si et seulement si X ∈ _{d}𝔤(F)_{g·v,r}. D’après le lemme 2.2.6 de [KM], on a l’inclusion

{v_{1} ∈ ℑ(_{d}G, F) : X ∈ _{d}𝔤(F)_{v_{1},r}} ⊂ _{d′}ψ(ℑ(_{d′}G′, F));

en effet, d(_{d′}i_{ψ})(Z′) est un “bon élément” de _{d}𝔤(F), et _{d′}i_{ψ}(_{d′}G′(F)) en est le centralisateur dans dG(F). Soit donc Y = {g ∈ _{d}G(F) : g · v ∈ _{d′}ψ(ℑ(_{d′}G, F))}. D’après le numéro 9.2, dont on reprend ici les notations, on a la décomposition Ω = ∐_{v′∈Ω′_{v}} Y_{v′} avec Y_{v′} = _{d′}G′(F)g_{v′,v} _{d}G_{v}(𝔬_{F}). Pour v′ ∈ Ω′_{v}, posons

J_{v′} = ∫_{T_{X}(F)\Y_{v′}} f(Ad(g^{−1})(X))_{d}dḡ_{X};

on a donc Λ^{_{d}G(F)}(f, X) = Δ(X) ∑_{v′∈Ω′_{v}} J_{v′}. Soit v′ ∈ Ω′_{v′}. Notons ϕ′ ∈ _{d′}Φ′ la facette contenant (v′, r), et \underline{j}_{ϕ,ϕ′} : _{d′}\underline{𝔤}_{ϕ′}^{′Θ} → _{d}\underline{𝔤}_{ϕ}^{Θ} le plongement (\underline{μ}_{v′,v})_{r}^{−1} ∘_{d′}\underline{i}_{ψ,v′,r} (cf. 9.2). On définit comme suit les fonctions φ̃ ∈ _{d}S_{ϕ}, φ̃′_{v′} ∈ _{d′}S′_{ϕ′} et φ′_{v′} ∈ _{d′}S′_{ϕ′} :

- φ̃(Y) = q^{− \frac{1}{2} dim(_{d}\underline{G}_{v})} ∑_{x∈_{d}\underline{G}_{v}^{Θ}} φ(Ad(x)(Y)) ;

- φ̃′_{v′}(Y′) = |_{d′}\underline{G}_{v′}^{′Θ}|^{−1}q^{\frac{1}{2} dim(_{d′}\underline{G}′_{v})}φ̃ ∘ \underline{j}_{ϕ,ϕ′}(Y′) ;

- φ′_{v′}(Y′) = φ̃′_{v′}(d(_{d′}\underline{ξ}′)^{−1}(\underline{Z}′) + Y′). Cette dernière définition a un sens : pour tout v′′ ∈ V^{′nr}, on a d(_{d′}\underline{ξ}′)^{−1}(\underline{Z}′) ∈ _{d′}𝔤(F)_{v′′,r}. Posons f′_{v′} = _{d′}rea′_{F} (φ′_{v′}). Un calcul facile (mais pénible !) conduit à l’égalité J_{v′} = Λ^{_{d′}G′(F)}(f′_{v′}, X′).

Soit φ′ = ⊕_{v′∈Ω′_{v}}q^{\frac{r}{2} (|Σ′|−|Σ|}φ′_{v′} ∈ _{d′}S′_{r}, et posons f′ = _{d′}rea_{F} (φ′). D’après les paragraphes précédents, on a l’égalité Λ^{_{d}G(F)}(f, X) = Λ^{_{d′}G′(F)}(f′, X′). Reste à poser _{d′}l′_{r}(φ) = φ′. Cela achève la démonstration de la proposition.

10. Classes de conjugaison et théorème principal

10.1. Notons B̃ l’ensemble des couples (r, \underline{Z}) tels que r ∈ ℤ_{(p)} et \underline{Z} ∈ \underline{𝔱}(r) ∖ \{0\}. Le groupe W ⋊ Γ opère sur B̃ via son action sur \underline{𝔱}(r), et l’on pose B = (B̃/W)^{Γ}. Comme en 7.2, on montre qu’il existe un e ∈ P vérifiant la propriété : pour tout (r, \underline{Z}) ∈ B̃ tel que l’image de (r, \underline{Z}) dans B̃/W soit fixe par Γ, on a er ∈ ℤ.

À tout élément b ∈ B, on associe comme suit un élément de L(D) dont la classe d’isomorphisme est uniquement déterminée par b. Choisissons un relèvement (r, \underline{Z}) de b dans B̃, et notons Σ_{1} l’ensemble des α ∈ Σ tels que α(\underline{Z}) = 0. D’après (P_{Σ}), Σ_{1} est un sous-ensemble de Levi de Σ. Il existe donc un élément w ∈ W tels que w(Σ_{1}) soit standard, c’est-à-dire engendré par (w(Σ_{1})∩Δ)∪−(w(Σ_{1})∩Δ). Quitte à remplacer (r, \underline{Z}) par (r, w(\underline{Z})), on peut supposer Σ_{1} standard. Soit alors D_{1} = (X^{∗}, Σ_{1}, Δ_{1}, X_{∗}, Σ̌_{1}, Δ̌_{1}) avec Δ_{1} = Σ_{1} ∩ Δ, Σ̌_{1} = {α̌ : α ∈ Σ_{1}} et Δ̌_{1} = Σ̌_{1} ∩ Δ̌. Posons W_{1} = W (Σ_{1}) ⊂ W. À nouveau grâce à (P_{Σ}), on a W_{1} = \{w_{1} ∈ W : w_{1}(\underline{Z}) = \underline{Z}\}. Puisque l’image de (r, \underline{Z}) dans B̃/W est fixe par Γ, pour tout γ ∈ Γ, il existe un w(γ) ∈ W tel que w(γ) ∘ γ(\underline{Z}) = \underline{Z}; l’élément w(γ) n’est pas unique, mais la classe W_{1}w(γ) est unique. On a w(γ) ∘ γ(Σ_{1}) = Σ_{1}, et quitte à remplacer ω(γ) par w_{1}w(γ) pour un (unique) w_{1} ∈ W_{1}, on peut supposer que w(γ)∘γ(Δ_{1}) = Δ_{1}. Cela détermine w(γ) de manière unique. Posons D′ = D_{1}, notons ψ = (X^{′∗} → X^{∗}, X′_{∗} → X_{∗}) les morphismes identité, et munissons D′ de l’action de Γ donné par ψ ∘ γ = w(γ) ∘ γ ∘ ψ. Soit \underline{Z}′ = ψ^{−1}(\underline{Z}). Alors (D′, ψ, r, \underline{Z}′) ∈ L(D), et c’est l’élément cherché. Cet élément n’est pas uniquement determiné par b car il n’y a pas unicité du relèvement (r, \underline{Z}) tel que Σ_{1} soit standard. Mais deux tels relèvements donnent lieu à deux éléments de L(D) isomorphes au sens de 8.3. Inversement, si (D′_{2}, ψ_{2}, r, \underline{Z}′_{2}) ∈ L(D) est isomorphe à (D′, ψ, r, \underline{Z}′), alors (r, ψ_{2}(\underline{Z}′_{2})) ∈ B̃ est un relèvement de b.

10.2. Notons Z̃_{•} l’ensemble des suites (r_{1}, …, r_{k}; \underline{Z}_{1}, …, \underline{Z}_{k}) telles que (pour i = 1, …, k) :

- k ∈ ℤ_{≥1} ;

- r_{i} ∈ ℤ_{(p)} et r_{1} < r_{2} < ⋯ < r_{k};

- \underline{Z}_{i} ∈ \underline{𝔱}(r_{i}) ∖ \{0\};

- posant Σ_{i} = \{α ∈ Σ : α(\underline{Z}_{j}) = 0, ∀j ∈ \{1, …, i\}\}, X_{∗,i} = X_{∗} ∩ ℚ⟨α̌ : α ∈ Σ_{i}⟩ et

\underline{𝔱}_{i} = X_{∗,i} ⊗_{ℤ} \overline{𝔽}_{q} ⊂ \underline{𝔱}(r_{i}), on demande que \underline{𝔱} ⊋ \underline{𝔱}_{1} ⊋ ⋯ ⊋ \underline{𝔱}_{k} = \{0\} et \underline{Z}_{j+1} ∈ \underline{𝔱}_{j} (j = 1, …, k−1). Notons que pour i = 1, …, k, Σ_{i} est un sous-ensemble de Levi de Σ ; et que \underline{𝔱}_{i}, considéré comme un sous-espace de \underline{𝔱}(r_{i}), n’est en général pas Γ-stable. Le groupe W ⋊ Γ opère naturellement sur Z̃_{•}, et l’on pose Z_{•} = (Z̃_{•}/W)^{Γ}. Tout élément de Z̃_{•} est régulier au sens où son stabilisateur dans W est trivial. En effet (avec les notations ci-dessus) posant W_{i} = W (Σ_{i}), le fixateur de \underline{Z}_{1} dans W est W_{1} (cf. 10.1) et pour j = 2, … k, le fixateur de \underline{Z}_{j} dans W_{j−1} est W_{j}. Or W_{k} = \{1\} car \underline{𝔱}_{k} = \{0\}, par conséquent le fixateur de (r_{1}, …, r_{k}; \underline{Z}_{1}, …, \underline{Z}_{k}) dans W est \{1\}.

À tout élément z ∈ Z_{•}, on associe comme suit un groupe D_{z}. On choisit un relèvement z̃ de z dans Z̃_{•}. Puisque z̃ est régulier et que son image dans Z̃_{•}/W est fixe par Γ, pour tout γ ∈ Γ, il existe un unique wz̃(γ) ∈ W tel que wz̃(γ) ∘ γ(z̃) = z̃. L’application γ ↦ wz̃(γ) est un cocycle. Posons z̃X_{∗} = X_{∗}, notons z̃φ : z̃X_{∗} → X_{∗} le morphisme identité, et munissons z̃X_{∗} de l’action de Γ donnée par z̃φ∘γ = wz̃(γ)∘ z̃φ. On pose Dz̃ = (z̃X_{∗})_{Γ,tor}. Si maintenant z̃′ est un autre relèvement de z dans Z̃_{•}, alors il existe un unique w ∈ W tel que w(z̃) = z̃′, et un unique isomorphisme de ℤ-modules ι_{z̃′,z̃} : z̃X_{∗} → _{}_{z̃′}X_{∗} tel que _{}_{z̃′}φ ∘ ι_{z̃′,z̃} = w ∘ z̃φ. De plus, ι_{z̃′,z̃} est Γ-équivariant et définit un isomorphisme ῑ_{z̃′,z̃} : Dz̃ → D_{}_{z̃′}. On note D_{z} la limite inductive des Dz̃ pour z̃ parcourant l’ensemble des relèvements de z dans Z̃_{•}, les morphismes de transition étant ces isomorphismes ῑ_{z̃′,z̃}.

Continuons avec les notations ci-dessus. De l’isomomorphisme z̃φ se déduit un homomorphisme surjectif z̃X_{∗} → X_{∗}/X_{∗,sc}. Puisque W opère trivialement sur X_{∗}/X_{∗,sc}, ce dernier est Γ-équivariant. Il induit donc un homomorphisme Dz̃ → (X_{∗}/X_{∗,sc})_{Γ,tor}, qui est compatible avec les isomorphismes ῑ_{z̃′,z̃}. D’où un homomorphisme μ_{z} : D_{z} → D.

Si Σ ≠ ∅, on pose Z̃ = Z̃_{•}; et si Σ = ∅ (i.e. si D est la donnée de racines d’un tore), on pose Z̃ = Z̃_{•} ∪ {z_{∞}} et l’on considère que z_{∞} est fixe par Γ. Soit Z = (Z̃/W)^{Γ} ; si Σ = ∅, on a donc Z = Z_{•} ∪ {z_{∞}}. Toujours si Σ = ∅, on pose D_{z_{∞}} = (X_{∗})_{Γ,tor} et l’on note μ_{z_{∞}} : D_{z_{∞}} → D l’isomorphisme canonique.

Pour z ∈ Z, on note r(z) ∈ ℤ_{(p)} ∪ {+∞} et k(z) ∈ ℤ_{≥0} les invariants définis comme suit : si Σ ≠ ∅, ou si Σ = ∅ et z ≠ z_{∞}, on choisit un relèvement (r_{1}, …, r_{k}; \underline{Z}_{1}, …, \underline{Z}_{k}) de z dans Z̃_{•}, et l’on pose r(z) = r_{1} et k(z) = k; et si Σ = ∅ et z = z_{∞}, on pose r(z) = +∞ et k(z) = 0.

10.3. L’application Z̃_{•} → B̃, (r_{1}, …, r_{k}; \underline{Z}_{1}, …, \underline{Z}_{k}) ↦ (r_{1}, \underline{Z}_{1}) est surjective et W ⋊ Γéquivariante. Elle induit une application surjective Z_{•} → B dont la fibre au-dessus d’un élément b ∈ B est notée Z_{b}.

Soient b ∈ B et z ∈ Z_{b}. Comme en 10.1, on associe à b un élément (D′, ψ, r, \underline{Z}′) ∈ L(D). Comme dans la section 8, on affecte les objets relatifs à D′, introduits précédemment pour la donnée D, d’un exposant “′”. On peut choisir un relèvement z̃ de z dans Z̃_{•} de la forme z̃ = (r, r_{2}, …, r_{k}; ψ(\underline{Z}′), \underline{Z}_{2}, …, \underline{Z}_{k}). La suite (r, r_{2}, …, r_{k}; \underline{Z}′, ψ^{−1}(\underline{Z}_{2}), …, ψ^{−1}(\underline{Z}_{k})) appartient à Z̃′_{•} et son image dans Z̃′_{•}/W′ est fixe par Γ. Cette image ne dépend pas du choix du relèvement z̃ de z; on la note β_{•}(z) ∈ Z′_{•}. D’autre part, la suite (r_{2}, …, r_{k}; ψ^{−1}(\underline{Z}_{2}), …, ψ^{−1}(\underline{Z}_{k})) appartient à Z̃′, et son image dans Z̃′/W′ est fixe par Γ. À nouveau, cette image ne dépend pas du choix du relèvement z̃ de z; on la note β(z) ∈ Z′. On a donc défini deux applications

Z_{b} ⟶^{β_{•}} Z′_{•}, Z_{b} ⟶^{β} Z′.

Ces deux applications sont injectives. L’image de β_{•} est la fibre Z′_{b′} de la surjection Z′_{•} → B′ audessus de b′, où b′ est l’image de (r, \underline{Z}′) dans B′. Notons Z′_{der} l’ensemble obtenu en remplaçant D′ par D′_{der} (cf. 3.1) dans la définition de Z′. On a une identification naturelle Z′_{der} ⊂ Z′, et l’image de β est l’ensemble des z′ ∈ Z′_{der} tels que r(z′) > r. Par construction, on a D′_{β_{•}(z)} = D′_{β(z)}, et ψ induit un isomorphisme ψ_{z,β(z)} : D′_{β(z)} → D_{z}. De plus, le diagramme suivant est commutatif :

D′_{β(z)} ⟶^{ψ_{z,β(z)}} D_{z}
μ′_{β(z)} ↓  ↓ μ_{z}
D′ ⟶_{ψ_{D′}} D

10.4. Soit un corps F ∈ CL_{q}, fixé jusqu’à la fin du numéro 10.6. Pour X ∈ 𝔱^{mod}, on pose r(X) = ω_{𝔱,F} (X) (cf. 1.2 et 7.2).

Pour tout sous-système de racines Σ′ de Σ, on pose X_{∗,Σ′−cent} = {X ∈ X_{∗} : α(X) = 0, ∀α ∈ Σ′} et 𝔱_{Σ′−cent}^{mod} = X_{∗,Σ′−cent} ⊗_{ℤ} F^{mod}, X_{∗,Σ′−der} = X_{∗} ∩ ℚ⟨α̌ : α ∈ Σ′⟩ et 𝔱_{Σ′−der}^{mod} = X_{∗,Σ′−der} ⊗_{ℤ} F^{mod}. D’après (P_{Σ}), le réseau X_{∗,Σ′−cent} ⊕ X_{∗,Σ′−der} est d’indice premier à p dans X_{∗}, par conséquent on a la décomposition 𝔱^{mod} = 𝔱_{Σ′−cent}^{mod} ⊕ 𝔱_{Σ′−der}^{mod}.

Posons 𝔱_{reg}^{mod} = {X ∈ 𝔱^{mod} : w(X) ≠ X, ∀w ∈ W } et Z_{F} = (𝔱_{reg}^{mod}/W)^{Γ}. On définit comme suit une application ζ_{F} : Z_{F} → Z. Soit X ∈ 𝔱_{reg}^{mod}. Si X = 0 (ce qui implique Σ = ∅ puisque X est régulier), on pose ζ̃_{F} (X) = z_{∞}. Supposons maintenant X ≠ 0, et notons r_{1}, …, r_{k} les éléments du sous-ensemble {r(X)} ∪ {ω_{F} (α(X)) : α ∈ Σ} de ℤ_{(p)}, ordonnés de manière croissante. On a donc r_{1} = r(X). Pour i = 1, …, k, posons Σ_{i} = {α ∈ Σ : ω_{F} (α(X)) > r_{i}}. Les ensembles Σ_{i} sont des sous-systèmes de racines de Σ, et l’on a Σ ⊃ Σ_{1} ⊋ Σ_{2} ⊋ ⋯ ⊋ Σ_{k}. Notons que si 𝔱^{mod} = 𝔱_{Σ−der}^{mod}, alors l’inclusion Σ ⊃ Σ_{1} est stricte. Par conséquent 𝔱^{mod} ⊋ 𝔱_{Σ_{1}−cent}^{mod}. D’après le paragraphe précédent, on a la décomposition :

𝔱^{mod} = 𝔱_{Σ_{1}−cent}^{mod} ⊕ (𝔱_{Σ_{1}−der}^{mod} ∩ 𝔱_{Σ_{2}−cent}^{mod}) ⊕ (𝔱_{Σ_{2}−der}^{mod} ∩ 𝔱_{Σ_{3}−cent}^{mod}) ⊕ ⋯ ⊕ (𝔱_{Σ_{k−1}−der}^{mod} ∩ 𝔱_{Σ_{k}−cent}^{mod}).

Écrivons X = X_{1} + X_{2} + ⋯ + X_{k} suivant cette décomposition. Par construction, pour i = 1, …, k, on a X_{i} ∈ 𝔱_{r_{i}}^{mod} ∖ 𝔱_{(r_{i})^{+}}^{mod}. Notons \underline{X}_{i} ∈ \underline{𝔱}(r_{i}) l’image de X_{i} par la projection canonique 𝔱_{r_{i}}^{mod} → \underline{𝔱}(r_{i}) (cf. 8.5). Alors la suite (r_{1}, …, r_{k}; \underline{X}_{1}, …, \underline{X}_{k}) appartient à Z̃_{•}; on la note ζ̃_{F} (X). L’application ζ̃_{F} : 𝔱_{reg}^{mod} → Z̃ ainsi définie est W ⋊ Γ-équivariante. Elle induit donc une application ζ_{F} : Z_{F} → Z. Pour z ∈ Z, on pose Z_{F} (z) = ζ_{F}^{−1}(z)

Soient b ∈ B et z ∈ Z_{b}. Comme en 10.1, on associe à b un élément (D′, ψ, r, \underline{Z}′) ∈ L(D). On pose 𝔱_{reg}^{′mod} = {X′ ∈ 𝔱^{′mod} : w(X′) ≠ X′, ∀w ∈ W′}, Z′_{F} = (𝔱_{reg}^{′mod}/W′)^{Γ}, et l’on définit comme ci-dessus une application ζ′_{F} : Z′_{F} → Z′. Soit z′_{•} = β_{•}(z) ∈ Z′_{•}, et posons Z′_{F} (z′_{•}) = ζ_{F}^{′−1}(z′_{•}) ⊂ Z′_{F}. Rappelons que l’isomorphisme i_{ψ} : 𝔱^{′mod} → 𝔱^{mod} n’est pas Γ-équivariant ; mais l’application 𝔱^{′mod}/W′ → 𝔱^{mod}/W qui s’en déduit est Γ-équivariante. Cette dernière induit une application bijective (cf. [W2] 6.6)

(1)  Z′_{F} (z′_{•}) → Z_{F} (z).

D’autre part, à la donnée D′_{der} sont associés comme ci-dessus un ensemble Z′_{der,F} et une application ζ′_{der,F} : Z′_{der,F} → Z′_{der}. Comme pour Z′_{der}, on a une identifcation naturelle Z′_{der,F} ⊂ Z′_{F}. Soit z′ = β(z) ∈ Z′_{der}, et posons Z′_{der,F} (z′) = ζ_{der,F}^{′−1} (z′). Notons 𝔱′_{cent}(F)(\underline{Z}′) l’ensemble des éléments de 𝔱′_{cent}(F)_{r} qui s’envoient sur \underline{Z}′ par la projection canonique 𝔱′_{cent}(F)_{r} → \underline{𝔱}′_{cent}(r)^{Γ}. De la décomposition 𝔱^{′mod} = 𝔱_{cent}^{′mod} ⊕ 𝔱_{der}^{′mod}, on déduit une application bijective (cf. [W2] 6.6)

(2)  Z′_{F} (z′_{•}) → 𝔱′_{cent}(F)(\underline{Z}′) × Z′_{der,F} (z′).

Des bijections (1) et (2) ci-dessus, par récurrence sur le rang de D, on déduit le

LEMME ([W2] lemme 6.6.1). — L’application ζ_{F} est surjective.

10.5. On note _{D}𝔤 la variété ∐_{d∈D} _{d}𝔤 sur F, et l’on pose _{D}𝔤^{mod} = ∐_{d∈D} _{d}𝔤^{mod} et _{D}𝔤(F)_{reg} = ∐_{d∈D} _{d}𝔤(F)_{reg}. Soient d, d′ ∈ D, X ∈ _{d}𝔤(F)_{reg} et X′ ∈ _{d′}𝔤(F)_{reg}. On dit que X et X′ sont :

- conjugués si d = d′ et s’il existe un g ∈ _{d}G(F) tel que Ad(g)(X) = X′;

- stablement conjugués s’il existe un \overline{g} ∈ G(\overline{F}) tel que Ad(\overline{g}) ∘_{d}ξ(X) = _{d′}ξ(X′). D’après 7.2, si X et X′ sont stablement conjugués, alors on peut choisir \overline{g} dans G^{mod}.

Soit X ∈ _{d}𝔤(F)_{reg} pour un d ∈ D. D’après 7.2, il existe un g ∈ G^{mod} tel que Ad(g)∘_{d}ξ(X) ∈ 𝔱_{reg}^{mod}. L’image de Ad(g) ∘_{d}ξ(X) dans 𝔱_{reg}^{mod}/W est fixe par Γ, et ne dépend pas du choix de g; on la note t(X). L’application _{D}𝔤(F)_{reg} → Z_{F} , X ↦ t(X) est surjective, et ses fibres sont les classes de conjugaison stables dans _{D}𝔤(F)_{reg}. Pour z_{F} ∈ Z_{F}, on pose O_{st}(z_{F}) = t^{−1}(z_{F}).

Soient z ∈ Z et z_{F} ∈ Z_{F} (z). On définit comme suit une application δ = δ_{z_{F}} : O_{st}(z_{F}) → D_{z}. Choisissons un relèvement z̃ de z dans Z̃. D’après la définition de ζ, il existe un Z ∈ 𝔱_{reg}^{mod} relevant z_{F} et tel que ζ̃_{F} (Z) = z̃. Puisque z̃ est régulier, la condition ζ̃_{F} (Z) = z̃ détermine Z de manière unique. Puisque l’application ζ̃_{F} est Γ-équivariante, pour γ ∈ Γ, wz̃(γ) (cf. 10.2) est l’unique élément de W vérifiant wz̃(γ) ∘ γ(Z) = Z. Notons z̃T le tore défini sur F dont le groupe des cocaractères est z̃X_{∗}. On a un isomorphisme z̃T → T défini sur F^{mod}, que l’on note encore z̃φ, tel que z̃φ ∘ γ = wz̃(γ) ∘ z̃φ pour tout γ ∈ Γ. D’après 4.3, l’homomorphisme de Kottwitz ω_{z̃T}^{nr} induit une application bijective H^{1}(Γ, (z̃T)^{mod}) → (z̃X_{∗})_{Γ,tor} = Dz̃. On identifie H^{1}(Γ, (z̃T)^{mod}) et Dz̃ via cette application. Pour γ ∈ Γ, on pose Σ_{z̃,γ}^{+} = {α ∈ Σ^{+} : wz̃(γ)^{−1}(α) < 0} et

\begin{matrix}tz̃(γ) = ∏_{α∈Σ_{z̃,γ}^{+}} α̌ ∘ α(Z) ∈ T^{mod}, \\ nz̃(γ) = n(wz̃(γ)) ∈ N^{mod}. \end{matrix}

Soit X ∈ _{d}𝔤(F)_{reg} ∩ O_{st}(z_{F}) pour un d ∈ D. Choisissons un g ∈ G^{mod} tel que Ad(g) ∘_{d}ξ(X) = Z. Pour γ ∈ Γ, l’élément gd_{F} (γ)γ(g)^{−1} appartient à N^{mod}, et son image dans W est wz̃(γ). Alors l’élément gd_{F} (γ)γ(g)^{−1}nz̃(γ)^{−1}tz̃(γ)^{−1} appartient à T^{mod}, et son image par l’isomorphisme z̃φ^{−1} : T → z̃T appartient à (z̃T)^{mod} ; on la note δ_{z̃,X,g}. Grâce au lemme 2.2.A de [LS], on vérifie que l’application γ ↦ δ_{z̃,X,g} est un cocycle. Elle définit un élément δz̃(X) ∈ H^{1}(Γ, (z̃T)^{mod}) = Dz̃, qui ne dépend pas du choix de g. D’après le lemme 2.3.A de [LS], l’application δz̃ : O_{st}(z_{F}) → Dz̃, est compatible avec les isomorphismes ῑ_{z̃′,z̃}. D’où une application δ : O_{st}(z_{F}) → D_{z}.

Pour z_{F} ∈ Z_{F}, notons cl(z_{F}) l’ensemble des classes de conjugaison (ordinaire) contenues dans O_{st}(z_{F}). Par construction, δ_{z_{F}} se factorise en une application \overline{δ}_{z_{F}} : cl(z_{F}) → D_{ζ_{F} (z_{F})}.

LEMME ([W2] lemme 6.5). — Soient z ∈ Z et z_{F} ∈ Z_{F} (z).

(1) Pour d ∈ D et X ∈ _{d}𝔤(F)_{reg} ∩ O_{st}(z_{F}), on a μ_{z} ∘ δ_{z_{F}} (X) = d.

(2) L’application \overline{δ}_{z_{F}} est bijective.

10.6. Soient b ∈ B, z ∈ Z_{b} et z_{F} ∈ Z_{F} (z). Posons z′_{•} = β_{•}(z) et z′ = β(z). Notons z′_{•,F} ∈ Z′_{F} (z_{•}) l’image réciproque de z_{F} par la bijection (1) de 10.4, et (Z′, z′_{F}) ∈ 𝔱′_{cent}(F)(\underline{Z}′) × Z′_{der,F} (z′) l’image de z′_{•,F} par la bijection (2) de 10.4. Pour définir cette bijection (2), on a choisi un élément (D′, ψ, r, \underline{Z}′) ∈ L(D) associé à b comme en 10.1. On définit comme en 10.5 les classes de conjugaison stable O_{st}(z′_{•,F}), O_{st}(z′_{F}) ⊂ _{D′}𝔤′(F)_{reg}, c’est-à-dire les fibres de la surjection ζ′_{F} : Z′_{F} → Z′ audessus de z′_{•,F} et de z′_{F} (on considère ici z′_{F} comme un élément de Z′_{F}, et non de Z′_{der,F}). De même, on définit comme en 10.5 les ensembles cl(z′_{•,F}) et cl(z′_{F}).

Pour tout d′ ∈ D, on a défini en 8.7 un F -plongement _{d′}i_{ψ} : _{d′}G′ → _{d}G avec d = ψ_{D′}(d′) ; d’où un F -plongement d(_{d′}i_{ψ}) : _{d′}𝔤′ → _{d}𝔤. Les d(_{d′}i_{ψ}) pour d′ ∈ D′, se regroupent en un F -plongement I_{ψ} : _{D′}𝔤′ → _{D}𝔤. Ce dernier est compatible avec les conjugaisons stable et ordinaire. On vérifie que si X′_{•} ∈ O_{st}(z′_{•,F}), alors I_{ψ}(X′_{•}) ∈ O_{st}(z_{F}). Et la restriction de I_{ψ} à O_{st}(z′_{•,F}) se factorise en une application \overline{I}_{ψ} : cl(z′_{•,F}) → cl(z_{F}).

L’élément Z′ est central pour la donnée D′ et l’on peut décrire son action sur les classes de conjugaison : pour d′ ∈ D′, la restriction à 𝔱′_{cent} de l’isomorphisme d(_{d′}ξ′)^{−1} : 𝔤′ → _{d′}𝔤′ est définie sur F, par conséquent Y′ = d(_{d′}ξ′)^{−1}(Z′) appartient à_{d′}𝔤′(F). Et l’application X′ ↦ X′+Y′ induit une application bijective _{d′}𝔤′(F) ∩ O_{st}(z′_{F}) → _{d′}𝔤′(F) ∩ O_{st}(z′_{•,F}). D’où une application bijective cl(z′_{•,F}) → cl(z′_{F}), qui permet d’identifier cl(z′_{•,F}) et cl(z′_{F}). D’après le lemme 6.6.2 de [W2], les deux carrés du diagramme suivant sont commutatifs :

\begin{aligned}cl(z′_{•,F}) & = & cl(z′_{F}) & ⟶^{\overline{I}_{ψ}} & cl(z_{F}) \\ ↓ \overline{δ}′_{z{′ \atop •,F}} & ↓ \overline{δ}′_{z{′ \atop F}} & ↓ \overline{δ}_{z_{F}} \\ D′_{z′_{•}} & = & D′_{z′} & ⟶_{ψ_{z,z′}} & D_{z} \end{aligned}.

(La commutativité du carré de gauche est immédiate par construction.) La commutativité du carré de droite implique en particulier que l’application \overline{I}_{ψ} est bijective.

10.7. Pour d ∈ D et F ∈ CL_{q}, on a défini en 7.3 une application linéaire _{d}rea_{F} : _{d}S → _{d}C_{F}. On pose S = ⊕_{d∈D}_{d}S et C_{F} = ⊕_{d∈D} _{d}C_{F}, et l’on note rea_{F} : S → C_{F} l’application linéaire ⊕_{d∈D} _{d}rea_{F}. On considère les éléments de C_{F} comme des fonctions sur _{D}𝔤(F). Pour X ∈ _{D}𝔤(F)_{reg} et f ∈ C_{F}, on pose Λ^{_{D}G(F)}(f, X) = Λ^{_{d}G(F)}(f_{d}, X) où d est l’unique élément de D tel que X ∈ _{d}𝔤(F) et f_{d} est la restriction de f à _{d}𝔤(F).

Le résultat suivant est le théorème principal de [W2] :

TH^{}ÉOR^{}ÈME ([W2] théorème 7.2). — Soient z ∈ Z et δ ∈ D_{z}. Il existe une forme linéaire Λ^{D}(·, z, δ) sur S telle que pour tous φ ∈ S, F ∈ CL_{q}, z_{F} ∈ Z_{F} (z) et X ∈ δ_{z_{F}}^{−1}(δ), on ait l’égalité

Λ^{_{D}G(F)}(rea_{F} (φ), X) = Λ^{D}(φ, z, δ).

Démonstration : On raisonne par récurrence sur l’entier k(z), cf. 10.2. Précisément, fixé un entier k ≥ 0, on suppose le théorème vrai pour toutes les données (D_{1}, z_{1}, δ_{1}) telles que rg(D_{1}) ≤ rg(D) et k(z_{1}) < k(z). Posons k = k(z).

Commençons par traiter le cas k = 0. On a Σ = ∅, z = z_{∞}, et D_{z} = (X_{∗})_{Γ,tor} s’identifie canoniquement à D. Soit F ∈ CL_{q}. On a Z_{F} = 𝔤(F) = 𝔱(F), Z_{F} (z) = {0} et δ_{0}^{−1}(δ) = {X} où X est l’élément 0 de _{δ}𝔤(F). Soit φ ∈ S. Écrivons φ = ∑_{d∈D} φ_{d} avec φ_{d} ∈ _{d}S, et pour d ∈ D, posons f_{d} = _{d}rea_{F} (φ_{d}) ∈ _{d}C_{F}. Alors on a les égalités Λ^{_{D}G(F)}(rea_{F} (φ), X) = f_{δ}(0) = φ_{δ}(0). Il suffit donc de poser Λ^{D}(φ, z, δ) = φ_{δ}(0).

On suppose désormais k ≥ 1, i.e. z ∈ Z_{•}. Par linéarité, il suffit de définir Λ^{D}(·, z, δ) sur dS_{ϕ} avec d ∈ D et ϕ ∈ _{d}Φ fixés. Soient φ ∈ _{d}S_{ϕ}, et F, z_{F}, X comme dans l’énoncé. Posons f = _{d}rea_{F} (φ) ∈ _{d}C_{F} et d_{1} = ψ_{D,z}(δ). D’après le lemme 10.5, on a X ∈ _{d_{1}}𝔤(F). Si d ≠ d_{1}, on a donc Λ^{_{D}G(F)}(f, X) = 0 ; on pose alors Λ^{D}(φ, z, δ) = 0.

Supposons d = d_{1}. Si r(z) < r(ϕ), puisque tout conjugué de X dans _{d}G(F) appartient à d𝔤(F)_{r(z)}∖_{d}𝔤(F)_{r(z)^{+}}, le support de f ne coupe pas la_{d}G(F)-orbite de X, donc Λ^{_{D}G(F)}(f, X) = 0 ; et l’on pose à nouveau Λ^{D}(φ, z, δ) = 0. On suppose désormais r(z) ≥ r(ϕ). D’après 7.2 et le premier paragraphe de 10.1, il existe un e ∈ P indépendant des données r(z) et r(ϕ), tel que r(z), r(ϕ) ∈ \frac{1}{e}ℤ. On peut donc raisonner par récurrence sur l’entier e(r(z) − r(ϕ)). Précisément, on peut supposer que la forme linéaire Λ^{D}(·, z, δ) est définie sur _{d}S_{r(ϕ)^{+}}. Posons r = r(ϕ). On distingue deux cas :

Cas 1 : r(z) > r. Alors on pose Λ^{D}(φ, z, δ) = Λ^{D}(_{d}l_{r}^{+}(φ), z, δ) où _{d}l_{r}^{+} : _{d}S_{r} → _{d}S_{r^{+}} est l’application linéaire de la proposition 7.4.

Cas 2 : r(z) = r. Notons b l’image de z dans B (i.e. l’élément tel que z ∈ Z_{b}), et associons à b un élément (D′, ψ, r, \underline{Z}′) comme en 10.1. Posons z′ = β(z) ∈ Z′, δ′ = ψ_{z,z′}^{−1}(δ) ∈ D′_{z′} et d′ = μ′_{z′}(δ′) ∈ D′. D’après 10.3, on a d = ψ_{D′}(d′). Puisque k(z′) = k − 1, on peut poser Λ^{D}(φ, z, δ) = Λ^{D′}(_{d′}l′_{r}(φ), z′, δ′) où _{d′}l′_{r} : _{d}S_{r} → _{d′}S′_{r} est l’application linéaire de la proposition 9.3. Montrons que cette définition convient. Soient F ∈ CL_{q}, z_{F} ∈ Z_{F} (z) et X ∈ δ_{z_{F}}^{−1}(δ). Soit (Z′, z′_{F}) ∈ 𝔱′_{cent}(F)(\underline{Z}′) × Z′_{der,F} (z′) l’image de z_{F} par la composée des bijections (1) et (2) de 10.4. Soit X′ ∈ δ_{z′_{F}}^{′−1}(δ′) ⊂ O_{st}(z′_{F}). D’après le lemme 10.5, on a X ∈ _{d′}𝔤′(F), et d’après 10.6, les éléments X et d(_{d′}i_{ψ})(d(_{d′}ξ^{′−1})(Z′)+X′) sont conjugués dans _{d}G(F). La proposition 9.3 appliquée au couple (d(_{d′}ξ^{′−1})(Z′), X′) entraîne donc l’égalité : Λ^{_{d}G(F)}(f, X) = Λ^{_{d′}G′(F)}(_{d′}rea_{F} ∘_{d′}l′_{r}(φ), X′). Mais d’après l’hypothèse de récurrence, on a Λ^{_{d′}G′(F)}(_{d′}rea_{F} ∘_{d′}l′_{r}(φ), X′) = Λ^{D′}(_{d′}l′_{r}(φ), z′, δ′).

Le théorème précédent permet de comparer des intégrales orbitales relatives à des groupes définis sur des corps de base différents. Mais il affirme aussi, pour un corps F ∈ CL_{q} fixé, la propriété de constance locale suivante des intégrales orbitales des fonctions dans l’image de rea_{F} : pour tous z_{F} , t_{F} ∈ Z_{F} tels que ζ_{F} (z_{F}) = ζ_{F} (t_{F}), et tous X ∈ O_{st}(z_{F}), Y ∈ O_{st}(t_{F}) tels que δ_{z_{F}} (X) = δ_{t_{F}} (Y), on a l’égalité

Λ^{_{D}G(F)}(rea_{F} (φ), X) = Λ^{_{D}G(F)}(rea_{F} (φ), Y) (φ ∈ S).

11. Endoscopie, transfert et lemme fondamental

11.1. On appelle donnée endoscopique de D un triplet (D_{♮}, η, s) de la forme suivante :

- D_{♮} = (X_{♮}^{∗}, Σ_{♮}, Δ_{♮}, X_{∗,♮}, Σ̌_{∗,♮}, Δ̌_{∗,♮}) est une donnée de racines munie d’une action de Γ comme en 3.1. Comme en 8.3, on affecte d’un indice “♮” les objets relatifs à D_{♮} : W_{♮}, \underline{G}_{♮}, \underline{T}_{♮} (etc.) ;

- η = (X_{♮}^{∗} → X^{∗}, X_{∗,♮} → X_{∗}) est un couple d’isomorphismes de ℤ-modules en dualité. On note encore η chacun de ces isomorphismes, ainsi que tout isomorphisme qui s’en déduit par fonctorialité. On suppose que η(Σ_{♮}) ⊂ Σ et η(Σ̌_{♮}) ⊂ Σ̌, et que pour tout γ ∈ Γ, il existe un élément w ∈ W tel que η ∘ γ = w ∘ γ ∘ η. Cet élément w est unique, et noté w_{η}(γ).

- s ∈ Ẑ_{♮}^{Γ} où l’on a posé T̂_{♮} = X_{♮}^{∗} ⊗_{ℤ} ℂ^{×} et Ẑ_{♮} = {t ∈ T̂_{♮} : α̌(t) = 1, ∀α ∈ Σ_{♮}}. De l’action de Γ sur X_{♮}^{∗} se déduisent des actions sur T̂_{♮} et sur Ẑ_{♮}. On suppose aussi que pour tout α ∈ Σ ∖ η(Σ_{♮}), on a η^{−1}(α̌)(s) ≠ 1.

Deux données endoscopiques (D_{1,♮}, η_{1}, s_{1}) et (D_{2,♮}, η_{2}, s_{2}) de D sont dites isomorphes s’il existe un isomorphisme Γ-équivariant f : D_{1,♮} → D_{1,♮} (cf. 8.3) et un élément w ∈ W tels que

η_{2} ∘ f = w ∘ η_{1},  f̂(s_{1}) ∈ s_{2}Ẑ_{2,♮}^{Γ,o}.

Ici, f̂ désigne l’isomorphisme T̂_{1,♮} → T̂_{2,♮} déduit de X_{1,♮}^{∗} ⟶^{f} X_{2,♮}^{∗}, et Ẑ_{2,♮}^{Γ,o} la composante neutre de Ẑ_{2,♮}^{Γ}.

Soit (D_{♮}, η, s) une donnée endoscopique de D. Notons Ď la donnée duale (X_{∗}, Σ̌_{∗}, Δ̌_{∗}, X^{∗}, Σ, Δ). À cette donnée Ď, on associe comme en 3.3 un groupe complexe Ĝ muni d’une action de Γ préservant un épinglage. De même, à la donnée duale Ď_{♮}, on associe un groupe complexe Ĝ_{♮} muni d’une action de Γ préservant un épinglage. De η se déduit un plongement η̂: Ĝ_{♮} → Ĝ, et Ẑ_{♮} est le centre de Ĝ_{♮}. Soit F ∈ CL_{q}. À D et D_{♮}, on associe comme en 3.4 des groupes réductifs connexes G et G_{♮} définis sur F. Le triplet (G_{♮}, η̂, s) est un triplet endoscopique de G au sens habituel. Plus généralement, c’est un triplet endoscopique de _{d}G pour tout d ∈ D. En revanche, la notion d’isomorphisme ci-dessus est plus fine que celle habituellement utilisée (d’habitude, on demande que f̂(s_{1}) ∈ s_{2}Ẑ_{2,♮}^{Γ,o}η̂_{2}^{−1}(Ẑ^{Γ}) où Ẑ est le centre de Ĝ) et mieux adaptée à la considération simultanée de tous les _{d}G.

11.2. Soit (D_{♮}, η, s) une donnée endoscopique de D fixée jusqu’à la fin du numéro 11.4. Pour r ∈ ℤ_{(p)} l’isomorphisme η : \underline{𝔱}_{♮}(r) → \underline{𝔱}(r) n’est en général pas Γ-équivariant. Soit Ỹ l’ensemble des suites (r_{1}, …, r_{k}; \underline{Y}_{1}, …, \underline{Y}_{k}) telles que :

- pour i = 1, …, k, on a r_{i} ∈ ℤ_{(p)} et \underline{Y}_{i} ∈ \underline{𝔱}_{♮}(r_{i}) ;

- la suite (r_{1}, …, r_{k}; η(\underline{Y}_{1}), …, η(\underline{Y}_{k}) appartient à Z̃.

Le groupe W_{♮} ⋊ Γ opère naturellement sur Ỹ, et l’on pose Y = (Ỹ/W_{♮})^{Γ}. L’application

ηỸ : Ỹ → Z̃, (r_{1}, …, r_{k}; \underline{Y}_{1}, …, \underline{Y}_{k}) ↦ (r_{1}, …, r_{k}; η(\underline{Y}_{1}), …, η(\underline{Y}_{k})

est bijective (par définition) mais n’est en général pas Γ-équivariante. En revanche, l’application Ỹ/W_{♮} → Z̃/W qui s’en déduit est Γ-équivariante. D’où une application η_{Y} : Y → Z.

On définit comme suit une application ϵ : Y → Z_{♮} avec Z_{♮} = Z_{•,♮} ∪ {z_{∞,♮}} (cf. 10.2). Soit un élément ỹ = (r_{1}, …, r_{k}; \underline{Y}_{1}, …, \underline{Y}_{k}) ∈ Ỹ. Si k = 0, on pose ϵ̃(ỹ) = z_{∞,♮}. Supposons k ≥ 1. Pour i = 1, …, k, posons Σ_{♮}(i) = \{α ∈ Σ_{♮} : α(\underline{Y}_{j}) = 0, ∀j ∈ \{1, …, i\}\}; c’est un sous-système de racines de Σ_{♮}. On a les inclusions Σ_{♮} ⊃ Σ_{♮}(1) ⊃ ⋯ ⊃ Σ_{♮}(k) = ∅. Considérons l’ensemble des i ∈ {2, …, k} tels que Σ_{♮}(i − 1) ⊋ Σ_{♮}(i). Notons E cet ensemble, et posons E ∪ {1} = {i_{1}, …, i_{k′}} avec i_{1} < i_{2} < ⋯ < i_{k′}. On a donc i_{1} = 1. Pour j = 1, …, k′, posons Σ_{♮,j} = Σ_{♮}(i_{j}). Pour j ∈ {1, …, k′}, on a la décomposition (cf. 10.4) 𝔱_{♮}^{mod} = 𝔱_{♮,Σ_{j,♮}−cent}^{mod} ⊕ 𝔱_{♮,Σ_{j,♮}−der}^{mod} ; et pour r ∈ ℤ_{(p)}, on en déduit une décomposition \underline{𝔱}_{♮}(r) = \underline{𝔱}_{♮,Σ_{j,♮}−cent}(r) ⊕ \underline{𝔱}_{♮,Σ_{j,♮}−der}(r). Posons \underline{Z}_{1,♮} = \underline{Y}_{1}, et pour j = 2, …, k′, notons \underline{Z}_{j,♮} la projection de \underline{Y}_{j} sur \underline{𝔱}_{♮,Σ_{j,♮}−der}(r_{i_{j}}). Par construction, la famille (r_{1}, …, r_{i_{k′}}; \underline{Z}_{1}, …, \underline{Z}_{i_{k′}}) appartient à Z̃_{•,♮} (cf. [W2] 8.2) ; on la note ϵ̃(ỹ). L’application ϵ̃: Ỹ → Z̃_{♮} ainsi définie est W ⋊ Γ-équivariante. Elle induit donc une application ϵ : Y → Z_{♮}.

Soit y ∈ Y. Posons z = η_{Y}(y) ∈ Z et z_{♮} = ϵ(y) ∈ Z_{♮}. On a une identification canonique D_{z_{♮}} = D_{z}. Si z = z_{∞}, alors z_{♮} = z_{∞,♮} et l’identification (X_{∗,♮})_{Γ,tor} = (X_{∗})_{Γ,tor} est celle induite par η. Supposons donc z ≠ z_{♮}, et choisissons une relèvement ỹ de y dans Ỹ. Posons z̃ = ηỸ(ỹ) et z̃_{♮} = ϵ̃(ỹ). Pour γ ∈ Γ, il existe un wỹ(γ) ∈ W_{♮} tel que wỹ(γ) ∘ γ(ỹ) = ỹ. Puisque l’application ϵ̃ est W ⋊ Γ-équivariante, on a wỹ(γ) = wz̃_{♮}(γ) (γ ∈ Γ). D’autre part, pour γ ∈ Γ, il existe un w_{ηỸ} (γ) ∈ W tel que ηỸ∘γ = w_{ηỸ} (γ)∘γ∘ηỸ. On en déduit que wz̃(γ) = η(wỹ(γ))w_{ηỸ} (γ) (γ ∈ Γ). Par conséquent l’application z̃φ^{−1} ∘ η ∘ z̃_{♮}φ_{♮} : z̃_{♮}X_{∗,♮} → _{z}X_{∗} est Γ-équivariante ; où z̃_{♮}φ_{♮} : z̃_{♮}X_{∗,♮} → X_{∗,♮} est défini comme en 10.2. Elle induit donc un isomorphisme Dz̃_{♮} → Dz̃, qui est compatible aux morphismes de transition (cf. 10.2) ; d’où un isomorphisme D_{z_{♮}} → D_{z}. On verifie que ce dernier ne dépend pas du choix du relèvement ỹ.

Soit z_{♮} ∈ Z_{♮}. À la paire (s, z_{♮}), on associe comme suit un homomorphisme s_{z_{♮}} : D_{z_{♮}} → ℂ^{×}. On choisit un relèvement z̃_{♮} de z_{♮} dans Z̃_{♮}, et l’on note z̃_{♮}X_{♮}^{∗} le Γ-module dual de z̃_{♮}X_{∗,♮}. De l’isomorphisme z̃_{♮}φ_{♮} : z̃_{♮}X_{∗,♮} → X_{∗,♮} se déduit un isomorphisme z̃_{♮} φ̂_{♮} : T̂_{♮} → z̃_{♮}X_{∗,♮} ⊗_{ℤ} ℂ^{×}. La restriction de ce dernier à Ẑ_{♮} est Γ-équivariant. En particulier, on a z̃_{♮} φ̂_{♮}(s) ∈ [z̃_{♮}X_{∗,♮} ⊗_{ℤ} ℂ^{×}]^{Γ} = Hom(Dz̃_{♮}, ℂ^{×}). Si maintenant z̃′_{♮} est un autre relèvement de z_{♮} dans Z̃_{♮}, à nouveau parceque s ∈ Ẑ_{♮}, on a z̃_{♮} φ̂_{♮}(s) = _{}_{z̃′_{♮}} φ̂_{♮}(s) ∘ (Dz̃_{♮} → D_{}_{z̃′_{♮}}) où Dz̃_{♮} → D_{}_{z̃′_{♮}} est l’isomorphisme défini en 10.2 (i.e. le morphisme de transition). D’où un homorphisme D_{z_{♮}} → ℂ^{×}, que l’on note s_{z_{♮}}.

Pour y ∈ Y, on pose s_{y} = s_{ϵ(y)} ∈ Hom(D_{ϵ(y)}, ℂ^{×}) = Hom(D_{η_{Y} (y)}, ℂ^{×}).

11.3. Soit F ∈ CL_{q}. De η se déduit un isomorphisme 𝔱_{♮}^{mod} → 𝔱^{mod}. Notons 𝔱_{♮,D−reg}^{mod} l’image réciproque de 𝔱_{reg}^{mod} par cet isomomorphisme ; c’est un sous-ensemble W_{♮} ⋊ Γ-stable de 𝔱_{♮,reg}^{mod}. Posons Z_{♮,D−reg,F} = (𝔱_{♮,D−reg}^{mod}/W_{♮})^{Γ}. L’application η̃_{F} : 𝔱_{♮,D−reg}^{mod} → 𝔱_{reg}^{mod} n’est en général pas Γéquivariante, mais l’application 𝔱_{♮,D−reg,F}^{mod} /W_{♮} → 𝔱_{reg}^{mod}/W qui s’en déduit l’est. D’où une application η_{F} : Z_{♮,D−reg,F} → Z_{F}.

L’application τ̃_{F} = η−1 ; Ỹ ∘ ζ̃_{F} ∘ η̃_{F} : 𝔱_{♮,D−reg,F}^{mod} → Ỹ est W_{♮} ⋊ Γ-équivariante. Elle induit donc une application τ_{F} : Z_{♮,D−reg,F} → Y. D’après le lemme 8.3.1 de [W2], les diagrammes

\begin{matrix}Z_{♮,D−reg,F} & ⟶^{τ_{F}} & Y \\ ↓ η_{F} & & ↓ η_{Y} \\ Z_{F} & ⟶^{ζ_{F}} & Z \end{matrix} , \begin{matrix}Z_{♮,D−reg,F} & ⟶^{τ_{F}} & Y \\ ∩ & & ↓ ϵ \\ Z_{♮,F} & ⟶^{ζ_{♮,F}} & Z_{♮} \end{matrix}

sont commutatifs (la commutativité du diagramme de gauche est immédiate). Et de la surjectivité de l’application ζ_{F}, on déduit que l’application τ_{F} est surjective ([W2] lemme 8.3.2).

Soit z_{♮,F} ∈ Z_{♮,D−reg,F}, et posons z_{F} = η_{F} (z_{♮,F}). À z_{♮,F} est associée comme en 10.5 une classe de conjugaison stable O_{st}(z_{♮,F}) ⊂ _{D_{♮}}𝔤_{♮}(F)_{reg}. Soient Y ∈ O_{st}(z_{♮,F}) ∩ 𝔤_{♮}(F) et d ∈ D. Langlands et Shelstad ont défini un facteur de transfert Δ_{_{d}G(F),G_{♮}(F)}(Y, ·), qui est une fonction sur _{d}𝔤(F) à support dans O_{st}(z_{F}) ∩_{d}𝔤(F). Plus précisément :

- Langlands et Shelstad ont défini le facteur de transfert pour les groupes [LS]. Il se descend aux algèbres de Lie (il y est d’ailleurs beaucoup plus simple que sur les groupes).

- Le facteur Δ_{IV} est supprimé ici puisqu’il a été incorporé dans la définition des intégrales orbitales.

- Le facteur de transfert n’est en général défini qu’à une constante près. Il est canoniquement défini dans le cas des groupes quasi-déployé moyennant le choix d’épinglages. Cette définition canonique s’étend à notre situation, puisque pour chaque d ∈ D, on dispose d’un cocycle d_{F} ∈ Z^{1}(Θ, N_{C}^{nr}) définissant le torseur intérieur _{d}ξ : _{d}G → G.

On note simplement Δ(z_{♮,F} , ·) la fonction sur O_{st}(z_{F}) telle que pour chaque d ∈ D, la restriction de Δ(z_{♮,F} , ·) à O_{st}(z_{F}) ∩_{d}𝔤(F) coïncide avec Δ_{_{d}G(F),G_{♮}(F)}(Y, ·). Posons y = τ_{F} (z_{♮,F}) et z = ζ_{F} (z_{F}) = η_{Y}(y). Alors le facteur de transfert Δ(z_{♮,F} , ·) est donné par la formule suivante :

Δ(z_{♮,F} , X) = s_{y}(δ_{z_{F}} (X)^{−1}) (X ∈ O_{st}(z_{F})).

11.4. Pour F ∈ CL_{q}, z_{♮,F} ∈ Z_{♮,D−reg,F} et f ∈ C_{c}^{∞}(_{D}𝔤(F)), on définit l’intégrale orbitale endoscopique :

Λ^{_{D}G(F),G_{♮}(F)}(f, z_{♮,F}) = ∑_{X} Δ(z_{♮,F} , X)Λ^{G_{♮}(F)}(f, X)

où X parcourt un système de représentants de cl(η_{F} (z_{♮,F})) dans _{D}𝔤(F).

PROPOSITION ([W2] prop. 9.1). — Soit y ∈ Y. Il existe une forme linéaire Λ^{D,D_{♮}}(·, y) sur S telle que pour tous φ ∈ S, F ∈ CL_{q}, et z_{♮,F} ∈ Z_{♮,D−reg,F} tel que τ_{F} (z_{♮,F}) = y, on ait l’égalité

Λ^{_{D}G(F),G_{♮}(F)}(rea_{F} (φ), z_{♮,F}) = Λ^{D,D_{♮}}(φ, y).

Démonstration : Soit z = η_{Y}(y), et posons Λ^{D,D_{♮}}(·, y) = ∑_{δ∈D_{z}} s_{y}(δ^{−1})Λ^{D}(·, z, δ). D’après le théorème 10.7 et la formule pour le facteur de transfert donnée en 11.3, cette forme linéaire convient.

Le triplet (D_{♮}, id, s) est une donnée endoscopique de D_{♮}. On peut donc, pour F ∈ CL_{q}, z_{♮,F} ∈ Z_{♮,F} et f_{♮} ∈ C_{c}^{∞}(_{D_{♮}}𝔤_{♮}(F)), définir comme ci-dessus l’intégrale orbitale endoscopique Λ^{_{D_{♮}} G_{♮}(F),G_{♮}(F)}(f_{♮}, z_{♮,F}). Notons que la forme linéaire Λ^{_{D_{♮}} G_{♮}(F),G_{♮}(F)}(·, z_{♮,F}) sur C_{c}^{∞}(_{D_{♮}}𝔤_{♮}(F)) dépend de l’élément s (même si ce dernier n’apparaît pas dans la notation). En fait, remplacer s par 1 revient à multiplier cette forme linéaire par un scalaire non nul sur chaque composante C_{c}^{∞}(_{d_{♮}}G_{♮}(F)) pour d_{♮} ∈ D_{♮}.

Soient f ∈ C_{c}^{∞}(_{D}𝔤(F)) et f_{♮} ∈ C_{c}^{∞}(_{D_{♮}}𝔤_{♮}(F)). On dit que f_{♮} est un transfert de f si pour tout z_{♮,F} ∈ Z_{♮,D−reg,F}, on a l’égalité Λ^{_{D_{♮}} G_{♮}(F),G_{♮}(F)}(f_{♮}, z_{♮,F}) = Λ^{_{D}G(F),G_{♮}(F)}(f, z_{♮,F}).

COROLLAIRE ([W2] cor. 9.2). — Soient φ ∈ S, φ_{♮} ∈ S_{♮}, et F, F′ ∈ CL_{q}. Alors rea_{♮,F} (φ_{♮}) est un transfert de rea_{F} (φ) si et seulement si rea_{♮,F′}(φ_{♮}) est un transfert de rea_{F′}(φ).

Démonstration : Remplaçons D par D_{♮} dans les constructions précédentes : on a Z_{♮,D_{♮}−reg,F} = Z_{♮,F}, Y_{♮} = Z_{♮}, et l’application τ_{♮,F} : Z_{♮,F} → Z_{♮} coïncide avec ζ_{♮,F}. Pour z_{♮} ∈ Z_{♮}, on dispose donc d’une forme linéaire Λ^{D_{♮},D_{♮}}(·, z_{♮}) sur S_{♮}. Soit z_{♮,F} ∈ Z_{♮,D−reg,F}, et posons y = τ_{F} (z_{♮,F}). On a les égalités

Λ^{_{D}G(F),G_{♮}(F)}(rea_{F} (φ), z_{♮,F}) = Λ^{D,D_{♮}}(φ, y)

et

Λ^{_{D_{♮}} G_{♮}(F),G_{♮}(F)}(rea_{F} (φ_{♮}), z_{♮,F}) = Λ^{D_{♮},D_{♮}}(φ_{♮}, ζ_{♮,F} (z_{♮,F}))

avec ζ_{♮,F} (z_{♮,F}) = ϵ(y) (cf. 11.3). Puisque l’application τ_{F} est surjective, rea_{♮,F} (φ_{♮}) est un transfert de rea_{F} (φ) si et seulement si pour tout y ∈ Y, on a l’égalité Λ^{D_{♮},D_{♮}}(φ_{♮}, ϵ(y)) = Λ^{D,D_{♮}}(φ, y). D’où le corollaire, puisque cette seconde condition ne dépend pas de F.

11.5. Supposons les données D et D_{♮} non ramifiées, c’est-à-dire telles que I opère trivialement. Le groupe (X_{∗}/X_{∗,sc})_{Γ,tor} contient l’élément 0, représenté par le cocycle trivial d_{0} ∈ D. Le point v = 0 appartient à _{d_{0}}W, et est hyperspécial. Notons ϕ_{0} ∈ _{d_{0}}Φ la facette contenant (0, 0), et φ_{0} ∈ _{d_{0}}S_{ϕ_{0}} la fonction constante égale à |_{d_{0}} \underline{G}_{0}^{Θ}|^{−1}q^{\frac{1}{2} dim(_{d_{0}} \underline{G}_{0})} sur _{d_{0}} \underline{𝔤}_{ϕ_{0}}^{Θ}. Pour F ∈ CL_{q}, on pose f_{F,0} = rea_{F} (φ_{0}) ; c’est la fonction caractéristique du réseau hyperspécial _{d_{0}}𝔤(F)_{ϕ_{0}} ⊂ _{d_{0}}𝔤(F) multipliée par une constante > 0. On considère f_{F,0} comme un élément de_{D}𝔤(F) dont la restriction à _{d}𝔤(F) pour d ≠ d_{0}, est nulle. On définit de la même manière la fonction φ_{♮,0} ∈ _{d_{♮,0}}S_{♮,ϕ_{♮,0}}, et pour F ∈ CL_{q}, la fonction f_{♮,F,0} ∈ C_{c}^{∞}(_{D_{♮}}𝔤_{♮}(F)).

Pour F ∈ CL_{q}, le “lemme fondamental pour les algèbres de Lie” est l’assertion suivante : f_{♮,F,0} est un transfert de f_{F,0}. En appliquant le corollaire 11.4 au couple (φ_{♮,F,0}, φ_{F,0}), on obtient le

COROLLAIRE ([W2] cor. 9.3). — Soient F, F′ ∈ CL_{q}. Alors le lemme fondamental pour les algèbres de Lie est vrai pour F si et seulement s’il est vrai pour F′.

RÉFÉRENCES

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[K1] KOTTWITZ R., Tamagawa numbers, Annals Math. 127 (1988), 629-646.

[K2] KOTTWITZ R., Isocrystals with additional structures II, Compositio Math. 109 (1997), 255–339.

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