L’endoscopie tordue n’est pas si tordue : intégrales orbitales

J.-L. Waldspurger

15 mai 2006

Introduction

Soit F un corps local non archimédien de caractéristique nulle. Soient G un groupe algébrique défini sur F, réductif et connexe, θ un automorphisme de G défini sur F et quasi-semi-simple, et ω un caractère de G(F), c’est-à-dire un homomorphisme continu de G(F) dans ℂ^{×}. La théorie de l’endoscopie tordue étudie les distributions D sur G(F) qui vérifient la condition de transformation ci-dessous. Soit f ∈ C_{c}^{∞}(G(F)), c’est-à-dire que f est une fonction sur G(F), à valeurs complexes, localement constante et à support compact, et soit g ∈ G(F). Notons ^{g}f la fonction sur G(F) définie par ^{g}f(x) = f(g^{−1}xθ(g)). On demande que, pour tous f, g, on ait l’égalité D(^{g}f) = ω(g)^{−1}D(f). En suivant Labesse, on peut plutôt introduire un espace tordu G̃ = Gθ, qui est une variété algébrique sur F isomorphe à G, sur laquelle G agit à droite et à gauche d’une façon que la notation rend transparente (cf. 1.2 pour plus de précisions). Pour f ∈ C_{c}^{∞}(G̃(F)) et g ∈ G(F), on note Int(g)(f) la fonction sur G̃(F) définie par (Int(g)(f))(x) = f(g^{−1}xg). On peut alors aussi bien étudier les distributions D sur G̃(F) telles que, pour tous f, g, on ait l’égalité D(Int(g)(f)) = ω(g)^{−1}D(f).

La théorie de l’endoscopie tordue généralise la théorie plus ordinaire correspondant au cas où θ = 1 et ω = 1. On définit ainsi des groupes endoscopiques, ou plus exactement des données endoscopiques (H, H, s, ξ̂) de (G, θ, ω), cf.1.3. Fixons une telle donnée. Le cas le plus général est assez compliqué : on doit introduire une z-extension H_{1} de H et une variété H_{1,z} sur F qui est égale à H_{1} comme ensemble, mais avec une structure sur F tordue. Pour cette introduction, on va ignorer ces difficultés techniques et supposer H_{1,z} = H. Il y a une correspondance entre classes de conjugaison stable dans G̃(F) et classes de conjugaison stable dans H(F) (limitons-nous aux classes d’éléments semi-simples suffisamment réguliers). Kottwitz et Shelstad ont défini un facteur de transfert sur les couples (γ, δ) ∈ H(F)×G̃(F) formés d’éléments dont les classes de conjugaison stable se correspondent, cf. [KS]. On peut alors définir la notion de transfert entre fonctions. Soient f ∈ C_{c}^{∞}(G̃(F)) et f^{H} ∈ C_{c}^{∞}(H(F)). On dit que f^{H} est un transfert de f si les intégrales orbitales ”stables” de f^{H} sont égales à certaines intégrales orbitales ”endoscopiques” de f. La conjecture de transfert est l’énoncé suivant.

Conjecture 1. Pour toute f ∈ C_{c}^{∞}(G̃(F)), il existe f^{H} ∈ C_{c}^{∞}(H(F)) qui est un transfert de f.

Supposons (G, θ, ω) et (H, H, s, ξ̂) non ramifiés. On dira en 4.4 ce que l’on entend précisément par là. Les conditions essentielles sont que la caractéristique résiduelle de F est grande et que G et H sont quasi-déployés sur F et déployés sur une extension non ramifiée. Dans cette situation, on peut énoncer un lemme fondamental. Nous ne considérons qu’un cas particulier, celui des unités des algèbres de Hecke. Fixons un sousgroupe compact hyperspécial K de G(F), que l’on suppose invariant par θ (l’existence d’un tel sous-groupe fait partie des hypothèses). Notons fK̃ la fonction caractéristique de l’ensemble Kθ dans G̃(F). Fixons un sous-groupe compact hyperspécial K_{H} de H(F) et notons f_{K_{H}} la fonction caractéristique de l’ensemble K_{H} dans H(F). Dans notre situation non ramifiée, il y a des normalisations naturelles des mesures de Haar qui interviennent, ainsi que des facteurs de transfert. On utilise ces objets normalisés. Le cas particulier du lemme fondamental que l’on considérera est l’énoncé suivant.

Conjecture 2. La fonction f_{K_{H}} est un transfert de fK̃

Dans le cas de l’endoscopie ordinaire (θ = 1, ω = 1), une série de travaux ont ramené les deux conjectures ci-dessus à des énoncés similaires concernant des algèbres de Lie (cf. [LS2], [H]). Ainsi, notons 𝔤, resp. 𝔥, l’algèbre de Lie de G, resp. H. En supposant θ = 1 et ω = 1, on définit une notion de transfert entre éléments de C_{c}^{∞}(𝔤(F)) et éléments de C_{c}^{∞}(𝔥(F)). On peut ensuite poser des conjectures similaires aux deux conjectures ci-dessus (cf. 1.6 et 4.8). Le résultat est alors qu’il existe un nombre fini de couples (G_{i}, H_{i})_{i=1,...,N}, vérifiant les mêmes hypothèses que le couple (G, H) et tels que les dimensions des G_{i} soient inférieures ou égales à celle de G, de sorte que si l’analogue de la conjecture 1 est vraie pour chaque couple (𝔤_{i}, 𝔥_{i}), alors la conjecture 1 est vraie. On a une réduction analogue pour la conjecture 2.

Le but de cet article est de démontrer un résultat similaire dans le cas général. On impose toutefois à θ une hypothèse restrictive : la restriction de θ au centre de G est d’ordre fini (cf. 1.2 pour une autre formulation). Cette hypothèse n’est pas véritablement nécessaire mais elle simplifie agréablement la description de certains centralisateurs et nous ne connaissons pas d’exemple utile d’endoscopie tordue où elle ne soit pas vérifiée.

Le procédé de réduction est le même que dans le cas ordinaire. On généralise la notion de correspondance aux éléments semi-simples singuliers. On effectue ensuite une étude locale au voisinage de tels éléments. Ainsi, soient η ∈ G̃(F) et ϵ ∈ H(F) deux éléments semi-simples qui se correspondent. Notons G_{η} la composante neutre du commutant de η dans G et H_{ϵ} la composante neutre du commutant de ϵ dans H. Dans le cas ordinaire, et sous certaines hypothèses techniques, H_{ϵ} est un groupe endoscopique de G_{η}. La méthode de descente de Harish-Chandra et le théorème de comparaison des facteurs de transfert de Langlands et Shelstad ([LS2] théorème 1.6.A) permettent de ramener le problème du transfert dans des voisinages des points η et ϵ au problème du transfert pour les algèbres de Lie 𝔤_{η} et 𝔥_{ϵ}. Un procédé analogue vaut pour le lemme fondamental. Un phénomène nouveau apparaît dans le cas tordu : H_{ϵ} n’est pas en général un groupe endoscopique de G_{η}. Mais on montre que l’on peut introduire un troisième groupe H̄ tel que, d’une part H̄ soit un groupe endoscopique de G_{η} (il s’agit d’endoscopie ordinaire), d’autre part H_{ϵ} et H̄ font partie de ce que l’on peut appeler un triplet endoscopique non standard. La définition de tels triplets sera donnée en 1.7. Décrivons grosso modo ce qu’est un triplet endoscopique non standard (G_{1}, G_{2}, j). Les données G_{1} et G_{2} sont des groupes réductifs connexes sur F, quasi-déployés. Pour i = 1, 2, fixons un tore maximal T_{i} défini sur F d’un sous-groupe de Borel défini sur F de G_{i}. Notons Ω_{i} le groupe de Weyl de G_{i} relativement à T_{i}. La donnée j est essentiellement une isogénie j : T_{1} → T_{2}, définie sur F. On demande de plus qu’il existe un isomorphisme j_{Ω} : Ω_{1} → Ω_{2} qui soit compatible avec j en ce sens que j(ω(t)) = j_{Ω}(ω)(j(t)) pour tous ω ∈ Ω_{1}, t ∈ T_{1}. En passant aux algèbres de Lie, l’isogénie devient un isomorphisme et on voit qu’il y a une bijection, définie sur F, entre classes de conjugaison stable dans 𝔤_{1}(F) et classes de conjugaison stable dans 𝔤_{2}(F). On peut alors définir une notion de transfert entre les espaces C_{c}^{∞}(𝔤_{1}(F)) et C_{c}^{∞}(𝔤_{2}(F)) (les facteurs de transfert sont égaux à 1), puis poser une conjecture de transfert et, sous des hypothèses de non-ramification, énoncer un lemme fondamental (cf. 1.7 et 4.9). Signalons que les triplets (G_{1}, G_{2}, j) possibles se classifient aisément, cf. 1.7. Le cas le plus frappant est celui où G_{1} est le groupe symplectique Sp(2n) et G_{2} est le groupe spécial orthogonal SO(2n + 1).

Enonçons les résultats obtenus. Pour éviter d’induire les lecteurs en erreur, on rétablit dans les énoncés ci-dessous la technicité nécessaire que l’on a précédemment escamotée. Pour tout groupe réductif connexe M, on note M_{SC} le revêtement simplement connexe du groupe dérivé de M.

Théorème. Considérons toutes les données (η, ϵ, H̄, H̄, s̄, ˆ ξ̄, j_{∗}) vérifiant les conditions suivantes :

(a) η est un élément semi-simple de G̃(F) et ϵ est un élément semi-simple de H_{z}(F) ;

(b) (H̄, H̄, s̄, ˆ ξ̄) est une donnée endoscopique de G_{η,SC} ;

(c) (H_{ϵ,SC}, H̄_{SC}, j_{∗}) est un triplet endoscopique non standard.

Pour chacune de ces données, on suppose que :

(d) la conjecture de transfert pour les algèbres de Lie est vérifiée pour le couple (𝔤_{η,SC}, 𝔥̄) ;

(e) la conjecture de transfert non standard est vérifiée pour le couple (𝔥_{ϵ,SC}, 𝔥̄_{SC}). Alors la conjecture 1 est vérifiée.

Cf. 1.8. Sous les hypothèses de non-ramification de 4.4, on a le résultat similaire suivant.

Théorème. Considérons toutes les données (η, ϵ, H̄, H̄, s̄, ˆ ξ̄, j_{∗}) vérifiant :

(a) η est un élément semi-simple de G̃(F) et ϵ est un élément semi-simple de H_{z}(F) ; G_{η} et H_{ϵ} sont non ramifiés ;

(b) (H̄, H̄, s̄, ˆ ξ̄) est une donnée endoscopique non ramifiée de G_{η,SC} ;

(c) (H_{ϵ,SC}, H̄_{SC}, j_{∗}) est un triplet endoscopique non standard non ramifié.

Pour chacune de ces données, on suppose que :

(d) le lemme fondamental pour les algèbres de Lie est vérifié pour le couple (𝔤_{η,SC}, 𝔥̄) ;

(e) le lemme fondamental non standard est vérifié pour le couple (𝔥_{ϵ,SC}, 𝔥̄_{SC}).

Alors la conjecture 2 est vérifiée.

Cf. 4.10. La démonstration est constructive : on construit explicitement les groupes H̄. On peut alors préciser quels triplets endoscopiques non standard peuvent intervenir, cf. 1.8. Cela conduit à un meilleur résultat dans le cas du changement de base. Dans ce cas, les données de base sont un groupe réductif connexe G_{0} défini sur F et une extension galoisienne finie E de F, cyclique. On prend pour G le groupe G = Res_{E/F} (G_{0}) obtenu par restrictions des scalaires, cf. 1.9, autrement dit le groupe sur F tel que G(F) = G_{0}(E). On prend pour θ un générateur du groupe de Galois Gal(E/F), qui agit naturellement sur G. Le caractère ω est égal à 1. Dans cette situation, les triplets endoscopiques non standard qui interviennent sont ”tautologiques” (avec les notations utilisées plus haut, G_{1} = G_{2} et j est l’identité). On a alors les résultats suivants. On fixe une forme intérieure quasi-déployée G_{0}^{∗} de G_{0}.

Corollaire. Dans la situation ci-dessus, considérons toutes les données (η_{0}^{∗}, G′_{η_{0}^{∗}}, ϵ, H̄, H̄, s̄, ˆ ξ̄) telles que :

(a) η_{0}^{∗} est un élément semi-simple de G_{0}^{∗}(F) et ϵ est un élément semi-simple de H(F) ;

(b) G′_{η_{0}^{∗}} est une forme intérieure de G_{0,η_{0}^{∗}}^{∗};

(c) (H̄, H̄, s̄, ˆ ξ̄) est une donnée endoscopique de G′_{η_{0}^{∗}} et H̄ = H_{ϵ}.

Supposons que pour chacune de ces données, la conjecture de transfert pour les algèbres de Lie soit vérifiée pour le couple (𝔤′_{η_{0}^{∗}}, 𝔥̄). Alors la conjecture 1 est vérifiée.

Corollaire. Dans la situation ci-dessus, que l’on suppose non ramifiée, considérons toutes les données (η_{0}, ϵ, H̄, H̄, s̄, ˆ ξ̄) telles que :

(a) η_{0} est un élément semi-simple de G_{0}(F) et ϵ est un élément semi-simple de H(F) ;

(b) G_{0,η_{0}} et H_{ϵ} sont non ramifiés ;

(c) (H̄, H̄, s̄, ˆ ξ̄) est une donnée endoscopique de G_{0,η_{0}} et H̄ = H_{ϵ}.

Supposons que pour chacune de ces données, le lemme fondamental pour les algèbres de Lie soit vérifié pour le couple (𝔤_{0,η_{0}}, 𝔥̄). Alors la conjecture 2 est vérifiée.

Cf. 1.9 et 4.11. Dans le cas particulier où H = G_{0}, on retrouve le résultat bien connu de Kottwitz ([Ko3] corollaire du paragraphe 1) souvent appelé lemme fondamental pour le changement de base stable. Dans le cas où G_{0} est un groupe spécial linéaire ou un groupe unitaire, on connaît maintenant les lemmes fondamentaux et les conjectures de transfert requis ([LN]). D’où le résultat suivant.

Corollaire. Dans la situation ci-dessus, supposons de plus G_{0} = SL(n) ou G_{0} = U(n). Alors la conjecture 1 est vérifiée (pour toute donnée endoscopique (H, H, s, ξ̂) de (G, θ, 1)). Sous les hypothèses de non ramification de 4.4, la conjecture 2 est elle aussi vérifiée.

Remarque. Ce corollaire résulte probablement aussi de la proposition 1 de [Ko3] et d’un calcul de facteurs de transfert.

Il y a deux types d’ingrédients dans notre démonstration : d’une part de l’analyse harmonique ; d’autre part des calculs de facteurs de transfert. On a divisé notre travail en deux parties, en rejetant dans une seconde partie ([W2]) tout ce qui concernait les facteurs de transfert. L’article présent contient toute la partie ”analyse harmonique” des démonstrations. On se borne à énoncer les propriétés des facteurs de transfert dont nous avons besoin, en particulier le théorème 3.9, qui est l’analogue du théorème 1.6.A de [LS2] et qui est la clé de la démonstration. Comme on vient de le dire, ces propriétés seront démontrées en [W2].

Table des matières

1. La conjecture de transfert p.6 1.1 Notations p.6 1.2 Espaces tordus p.7 1.3 Données endoscopiques p.8 1.4 Facteurs de transfert p.11 1.5 Enoncé de la conjecture de transfert p.11 1.6 Transfert pour les algèbres de Lie p.12 1.7 Transfert non standard p.13 1.8 Le premier théorème p.15 1.9 Le cas du changement de base p.16

2 Analyse harmonique p.17 2.1 Voisinages d’un élément semi-simple p.17 2.2 Transfert local p.19 2.3 Descente aux algèbres de Lie p.21 2.4 Descente pour l’espace tordu p.23

3 Classes de conjugaison stable et correspondances endoscopiques p.24 3.1 Conjugaison stable dans G̃(F) p.24 3.2 Diagrammes p.25 3.3 Ensembles de racines p.26 3.4 Diagrammes et classes de conjugaison stable p.29 3.5 Définition d’une donnée endoscopique p.30 3.6 Une donnée endoscopique non standard p.32 3.7 Contraintes sur les données endoscopiques non standard p.34 3.8 Décomposition locale des classes de conjugaison stable p.35 3.9 Egalité de facteurs de transfert p.38 3.10 Définition des mesures p.39 3.11 Preuve du théorème 1.8 p.41

4 Le cas non ramifié p.44 4.1 Groupes non ramifiés p.44 4.2 Une variante du théorème de Lang p.46 4.3 Exponentielle, éléments tologiquement unipotents, éléments topologiquement nil-

potents p.47 4.4 Les hypothèses dans la situation non ramifiée p.48 4.5 Légitimité des hypothèses p.49 4.6 Normalisation des facteurs de transfert p.50 4.7 Normalisation des facteurs de transfert, cas des algèbres de Lie p.51 4.8 Enoncé du lemme fondamental p.51 4.9 Enoncé du lemme fondamental pour les algèbres de Lie p.52 4.10 Enoncé du lemme fondamental non standard p.52 4.11 Le deuxième théorème p.52 4.12 Le cas du changement de base p.53

5 Cas non ramifié : les preuves p.53 5.1 Elimination de H_{1} p.53 5.2 Elements compacts p.55 5.3 Eléments d’ordre fini premier à p dans H_{z}(F) p.57 5.4 Descente à l’algèbre de Lie d’une intégrale orbitale stable p.60 5.5 Eléments d’ordre fini premier à p dans G̃(F) p.63 5.6 Une remarque sur l’ordre d’un groupe de composantes p.64 5.7 Classes de conjugaison d’éléments de G̃(F) d’ordre premier à p p.65 5.8 Descente d’une intégrale orbitale p.68 5.9 Diagrammes p.69 5.10 Egalité de facteurs de transfert p.70 5.11 Egalité de facteurs de transfert non ramifiés p.71 5.12 Preuve du théorème 4.11 p.71

Appendice A : sections d’extensions p.74 Appendice B : l’exponentielle p.77 Bibliographie p.82

1 La conjecture de transfert

1.1 Notations

Soit G un groupe agissant sur un ensemble X. Si Y est un sous-ensemble de X, on note Z_{G}(Y) le sous-groupe des éléments g ∈ G tels que g(y) = y pour tout y ∈ Y et N_{G}(Y) celui des g ∈ G tels que g(Y) = Y. Si Y = {y} est réduit à un élément, on note simplement Z_{G}(y) = Z_{G}({y}) = N_{G}({y}). On note X^{G} le sous-ensemble des éléments de X invariants par G. Supposons que X soit un groupe abélien et que l’action de G soit compatible avec cette structure. On note X_{G} le groupe des coinvariants, c’est-à-dire le quotient de X par le sous-groupe engendré par les g(x) − x pour g ∈ G et x ∈ X.

Soient k un corps commutatif algébriquement clos et G un groupe algébrique réductif défini sur k. On note G^{0} sa composante neutre et Z_{G} le centre de G. Supposons G connexe. On note G_{AD} le groupe adjoint G/Z_{G}, G_{der} le groupe dérivé de G et G_{SC} son revêtement simplement connexe. Pour simplifier, on notera de la même façon un élément de G_{SC}(k) et son image dans G(k). Pour tout sous-groupe algébrique H ⊂ G, on note H_{sc} son image réciproque dans G_{SC} et H_{ad} son image dans G_{AD} (H_{sc} n’a aucune raison d’être simplement connexe ni H_{ad} d’être adjoint). Tout automorphisme θ de G se relève en un unique automorphisme de G_{SC}, resp. se descend en un unique automorphisme de G_{AD}, que l’on note encore θ. On appelle paire de Borel un couple (B, T) où B est un sous-groupe de Borel de G et T est un sous-tore maximal de B. Pour g ∈ G(k), on note Int(g) l’automorphisme intérieur x ↦ gxg^{−1}. Soit T un tore défini sur k. On note X^{∗}(T) son groupe des caractères et X_{∗}(T) celui des cocaractères. Ce sont des ℤ-modules libres de rang fini en dualité. Si T est un sous-tore maximal de G, on dispose des ensembles de racines Σ ⊂ X^{∗}(T) et de coracines Σ̌ ⊂ X_{∗}(T) et d’une bijection naturelle α ↦ α̌ entre ces deux ensembles. Si (B, T) est une paire de Borel, on dispose de plus de sousensembles de racines et coracines positives et d’ensembles Δ et Δ̌ de racines et coracines simples. On dispose aussi du groupe de Weyl Ω_{G} = N_{G}(T)/T qui agit sur T, X^{∗}(T) et X_{∗}(T).

Supposons que G agisse algébriquement sur une variété algébrique X définie sur k. Pour x ∈ X(k), on pose G^{x} = Z_{G}(x), G_{x} = Z_{G}(x)^{0}.

Remarque. On prendra garde à cette notation. Par exemple, il interviendra dans l’article un groupe T_{θ^{∗}}^{∗}. Kottwitz et Shelstad notent ainsi un groupe de coinvariants. Pour nous, il ne s’agira pas de ce groupe de coinvariants, mais de la composante neutre du commutant de θ^{∗} dans T^{∗}.

On note 𝔤 l’algèbre de Lie de G. On appelle ”conjugaison” l’action adjointe de G sur 𝔤 et, pour g ∈ G(k), on note encore Int(g) ou X ↦ gXg^{−1} cette action adjointe. Plus généralement, si φ : G → G′ est un homomorphisme entre groupes algébriques réductifs, on note encore φ : 𝔤 → 𝔤′ l’homomorphisme dérivé. Soient (B, T) une paire de Borel de G, Σ l’ensemble associé des racines et Δ celui des racines simples. A tout α ∈ Σ est associée une droite radicielle 𝔤_{α} ⊂ 𝔤. Un épinglage est une famille (X_{α})_{α∈Δ}, où X_{α} est un élément non nul de 𝔤_{α}(k).

Soient maintenant k un corps commutatif parfait, k̄ une clôture algébrique de k et G un groupe algébrique réductif connexe défini sur k. Il y a des variantes ”sur k” des définitions ci-dessus. Soulignons les points suivants : on parlera de paire de Borel pour désigner une paire (B, T) de groupes définis sur k̄, et on dira que la paire est définie sur k si ces deux groupes le sont ; si T est un tore défini sur k, X^{∗}(T) et X_{∗}(T) désigneront toujours les groupes de caractères et cocaractères de T vu comme groupe sur k̄; on récupère bien entendu une action sur ces groupes du groupe de Galois Gal(k̄/k) ; un épinglage (X_{α})_{α∈Δ} relatif à une paire de Borel définie sur k sera dit défini sur k si on a l’égalité X_{σ(α)} = σ(X_{α}) pour tout σ ∈ Gal(k̄/k). Pour simplifier les notations, on identifiera G à son ensemble de points G(k̄), une relation g ∈ G signifiant donc g ∈ G(k̄).

On fixe pour tout l’article un corps local F non archimédien de caractéristique nulle. On fixe une clôture algébrique F̄, on note Γ_{F} le groupe de Galois et W_{F} le groupe de Weil de l’extension F̄/F. On peut identifier W_{F} à un sous-groupe de Γ_{F}, mais la topologie de W_{F} est plus fine que la topologie induite. Supposons que Γ_{F} agisse sur un ensemble X et soit σ ∈ Γ_{F}. Il correspond donc à σ une bijection de X dans lui-même que, la plupart du temps, on notera simplement σ. Soit G un groupe algébrique réductif connexe défini sur F. On lui associe un groupe dual Ĝ qui est un groupe réductif connexe défini sur ℂ, muni d’une action de Γ_{F}. Soit (B̂, T̂) une paire de Borel de Ĝ. On dit qu’elle est définie sur F si elle est stable par l’action de Γ_{F}. Si de plus (X_{α})_{α∈Δ} est un épinglage relatif à cette paire, on dit de même que cet épinglage est défini sur F s’il est stable par l’action de Γ_{F}. Par définition du groupe dual, il existe une paire de Borel et un épinglage définis sur F. Supposons G quasi-déployé sur F, fixons des paires de Borel (B, T) de G et (B̂, T̂) de Ĝ toutes deux définies sur F. On dispose alors d’isomorphismes X_{∗}(T) ≃ X^{∗}(T̂) et X^{∗}(T) ≃ X_{∗}(T̂) compatibles aux dualités entre ces ℤ-modules et aux actions de Γ_{F}. Via ces isomorphismes, on identifie l’ensemble des racines, resp. le groupe de Weyl, de T dans G avec l’ensemble des coracines, resp. le groupe de Weyl, de T̂ dans Ĝ. L’action de Γ_{F} sur Ĝ se restreint en une action de W_{F}. On appelle L-groupe le produit semi-direct LG = Ĝ ⋊ W_{F}, muni de la topologie produit.

Si E est une extension finie de F, on utilisera pour E des notations similaires à celles introduites pour F : Γ_{E}, W_{E} etc...

1.2 Espaces tordus

On fixe pour tout l’article un groupe algébrique G défini sur F, réductif et connexe, un automorphisme θ de G défini sur F et un caractère ω de G(F) (c’est-à-dire, comme on l’a dit dans l’introduction, que ω est un homomorphisme continu de G(F) dans ℂ^{×}). On suppose θ quasi-semi-simple, c’est-à-dire qu’il préserve une paire de Borel. A la suite de Labesse, on introduit l’espace tordu G̃ = Gθ. Il s’agit d’une variété algébrique sur F, isomorphe à G par un isomorphisme noté g ↦ gθ, munie d’actions de G à droite et à gauche vérifiant l’égalité g_{1}(gθ)g_{2} = (g_{1}gθ(g_{2}))θ, et tout élément δ = gθ ∈ G̃ agit sur G par un automorphisme noté Int(δ), égal à Int(g) ∘ θ. Pour g ∈ G, on notera encore Int(g) l’automorphisme x ↦ gxg^{−1} de G̃ et on utilisera les notations introduites dans le paragraphe précédent, en considérant que G agit sur G̃ par conjugaison (par exemple, pour x ∈ G̃, on note Z_{G}(x) ou G^{x} le sous-groupe des g ∈ G tels que gxg^{−1} = x).

On fixe un groupe réductif connexe G^{∗} quasi-déployé sur F et un torseur intérieur ψ : G → G^{∗}. C’est-à-dire que ψ est un isomorphisme sur F̄ et que, pour tout σ ∈ Γ_{F}, ψσ(ψ)^{−1} est un automorphisme intérieur de G^{∗}, où σ(ψ) = σψσ^{−1} (le premier σ est ici l’action sur G^{∗}, le second celle sur G). On fixe une application :

\begin{matrix}Γ_{F} & → & G_{SC}^{∗} \\ σ & ↦ & u(σ) \end{matrix}

de sorte que ψσ(ψ)^{−1} = Int(u(σ)) pour tout σ ∈ Γ_{F}. On fixe une paire de Borel (B^{∗}, T^{∗}) de G^{∗}, définie sur F, on note Σ l’ensemble des racines de T^{∗} dans G^{∗}, Δ le sous-ensemble de racines simples défini par B^{∗} et on fixe un épinglage (X_{α})_{α∈Δ}, défini sur F. Il existe un unique automorphisme θ^{∗} de G^{∗} (vu comme groupe sur F̄), conservant B^{∗}, T^{∗} et l’épinglage, et égal au composé de ψθψ^{−1} et d’un automorphisme intérieur. Il est défini sur F. On note Θ^{∗} le groupe d’automorphismes de G^{∗} engendré par θ^{∗}.

Hypothèse. On suppose dans tout l’article que Θ^{∗} est fini.

Cette hypothèse entraîne que les éléments quasi-semi-simples de G̃ sont vraiment semi-simples. Remarquons que l’hypothèse n’entraîne rien sur l’ordre de θ lui-même.

On fixe g_{θ} ∈ G_{SC}^{∗} de sorte que θ^{∗} = Int(g_{θ})ψθψ^{−1}. On introduit l’espace tordu G̃^{∗} = G^{∗}θ^{∗} et l’isomorphisme sur F̄ :

\begin{aligned}ψ̃ : & G̃ & → & G̃^{∗} \\ & gθ & ↦ & ψ(g)g_{θ}^{−1}θ^{∗}. \end{aligned}

Pour σ ∈ Γ_{F}, posons :

z(σ) = g_{θ}u(σ)σ(g_{θ})^{−1}θ^{∗}(u(σ))^{−1}.

C’est un élément de G_{SC}^{∗}. On vérifie qu’il appartient au centre Z_{G_{SC}^{∗}} ([KS] lemme 3.1.A) et que l’on a l’égalité :

ψ̃σ(ψ̃)^{−1}(x) = z(σ)^{−1}u(σ)xu(σ)^{−1}

pour tous x ∈ G̃^{∗} et σ ∈ Γ_{F}.

1.3 Données endoscopiques

On introduit le groupe dual ^{L}G = Ĝ ⋊ W_{F} et on fixe une paire de Borel (B̂, T̂) de Ĝ et un épinglage, ces données étant définies sur F. Il y a des isomorphismes en dualité j : X_{∗}(T^{∗}) ≃ X^{∗}(T̂), ĵ : X_{∗}(T̂) ≃ X^{∗}(T^{∗}). Il sont équivariants pour les actions de Γ_{F}. Il existe un unique automorphisme de Ĝ, que l’on note θ̂, qui conserve B̂, T̂ et l’épinglage et vérifie la propriété suivante : pour tous x_{∗} ∈ X_{∗}(T^{∗}) et y_{∗} ∈ X_{∗}(T̂), on a les égalités :

j(θ^{∗} ∘ x_{∗}) = j(x_{∗}) ∘ θ̂, ĵ(θ̂ ∘ y_{∗}) = ĵ(y_{∗}) ∘ θ^{∗}.

Cet automorphisme commute à l’action de W_{F}. On l’étend en l’automorphisme ^{L}θ de ^{L}G défini par ^{L}θ(x, w) = (θ̂(x), w) pour tous x ∈ Ĝ, w ∈ W_{F}. On introduit l’espace tordu LG̃ = ^{L}G^{L}θ.

Rappelons que le groupe des caractères de G(F) est naturellement isomorphe au groupe de cohomologie H^{1}(W_{F} , ZĜ) ([Lan1] page 123). Le caractère ω correspond à un élément de ce groupe que l’on note a_{ω}.

On appelle donnée endoscopique pour (G, θ, ω) un quadruplet (H, H, s, ξ̂) satisfaisant aux conditions suivantes :

(1) H est un groupe réductif connexe et quasi-déployé sur F ;

(2) H est une extension scindée de W_{F} par le groupe dual Ĥ, de sorte que l’action de W_{F} sur Ĥ qui s’en déduit est la même que celle déduite de la structure de H comme groupe défini sur F, modulo automorphismes intérieurs ;

(3) s ∈ Ĝ est tel que l’automorphisme Int(s) ∘ θ̂ de Ĝ soit semi-simple ;

(4) ξ̂: H →^{L} G est un homomorphisme injectif et continu, commutant aux projections sur W_{F} et vérifiant les deux conditions :

(4)(a) il existe un cocycle a : W_{F} → ZĜ, dont la classe est a_{ω}, tel que l’on ait l’égalité dans ^{L}G̃ :

s^{L}θξ̂(h) = a(h)ξ̂(h)s^{L}θ

pour tout h ∈ H, où on a simplement noté a(h) l’image par a de la projection de h dans W_{F} ;

(4)(b) ξ̂ se restreint en un isomorphisme de Ĥ sur ZĜ(s^{L}θ)^{0}.

Un isomorphisme entre des données endoscopiques (H, H, s, ξ̂) et (H′, H′, s′, ξ̂′) est un élément x ∈ Ĝ tel que xξ̂(H)x^{−1} = ξ̂′(H′) et xs^{L}θx^{−1} ∈ ZĜs′^{L}θ.

On fixe pour tout l’article une donnée endoscopique (H, H, s, ξ̂) pour (G, θ, ω). A équivalence près, on peut supposer que s appartient à T̂ et que, en posant B̂_{H} = ξ̂^{−1}(B̂), T̂_{H} = ξ̂^{−1}(T̂), (B̂_{H}, T̂_{H}) est une paire de Borel de Ĥ définie sur F. Alors ξ̂ se restreint en un isomorphisme de T̂_{H} sur T̂θ̂ (rappelons que T̂θ̂ est la composante neutre du commutant T̂ θ̂). Fixons une paire de Borel (B_{H}, T_{H}) de H, définie sur F. On obtient dualement un isomorphisme ξ : T_{Θ^{∗}}^{∗} → T_{H} (rappelons que T_{Θ^{∗}}^{∗} est le groupe des coinvariants de T^{∗} pour l’action du groupe Θ^{∗}). On note encore ξ l’application composée T^{∗} → T_{Θ^{∗}}^{∗} → T_{H}. Pour σ ∈ Γ_{F}, posons z_{H}(σ) = ξ(z(σ)). On vérifie que z_{H} est un cocycle à valeurs dans le centre Z_{H}.

Notons Ω le groupe de Weyl de T^{∗} dans G^{∗} et Ω_{H} celui de T_{H} dans H. Le plongement ξ̂ identifie Ω_{H} à un sous-groupe de Ω, plus précisément de Ω^{Θ^{∗}}. L’homomorphisme ξ^{−1} se quotiente en une application :

(5) T_{H}/Ω_{H} → T_{Θ^{∗}}^{∗}/Ω^{Θ^{∗}}.

L’ensemble de gauche paramètre les classes de conjugaison d’éléments semi-simples dans H. Celui de droite paramètre les classes de conjugaison d’éléments semi-simples dans G̃ : à un tel élément x, on associe d’abord t ∈ T^{∗} tel que tθ^{∗} soit conjugué à ψ̃(x), puis l’image de t dans T_{Θ^{∗}}^{∗}/Ω^{Θ^{∗}}. Si x est un élément semi-simple de G̃, on dit que x est fortement régulier si Z_{G}(x) est un groupe abélien. On note G̃_{reg} le sous-ensemble des éléments semi-simples et fortement réguliers de G̃. Si h est un élément semi-simple de H, on dit que h est G̃-fortement régulier si l’image par l’application (5) de la classe de conjugaison de h est une classe de conjugaison dans G̃ formée d’éléments fortement réguliers. Cela entraîne que h est fortement régulier ([KS] lemme 3.3.C). On note H_{G̃−reg} le sous-ensemble des éléments semi-simples et G̃-fortement réguliers dans H.

L’application (5) est équivariante pour les actions naturelles de Γ_{F} mais il faut prendre garde au fait que cette action naturelle sur T_{Θ^{∗}}^{∗}/Ω^{Θ^{∗}} n’est pas compatible au paramétrage des classes de conjugaison d’éléments quasi-semi-simples de G̃. On est conduit à tordre l’action sur H de la façon suivante. Notons H_{z} la variété H munie de l’action de Γ_{F} définie par h ↦ z_{H}(σ)^{−1}σ(h) pour σ ∈ Γ_{F}, et H_{z,G̃−reg} la sous-variété H_{G̃−reg} munie de la même action. Evidemment, cette action ne respecte pas la structure de groupe. L’ensemble H_{z}(F) peut être vide. Sinon, c’est un espace principal homogène sous H(F), c’est-à-dire que pour tout h_{0} ∈ H_{z}(F), l’application :

\begin{matrix}H(F) & → & H_{z}(F) \\ h & ↦ & hh_{0} \end{matrix}

est bijective. Remarquons que H agit par conjugaison sur H_{z} et H_{z,G̃−reg}, de façon compatible aux actions de Γ_{F}.

Deux éléments de G̃_{reg}(F) sont dits stablement conjugués s’ils sont conjugués par un élément de G. Deux éléments de H_{z,G̃−reg}(F) sont dits stablement conjugués s’ils sont conjugués par un élément de H. On note D l’ensemble des couples (γ, δ) ∈ H_{z,G̃−reg}(F)× G̃_{reg}(F) tels que l’image de la classe de conjugaison de γ par l’application (1) soit la classe de conjugaison de δ.

Remarque. On peut construire un groupe réductif connexe H′ quasi-déployé sur F et un plongement i : H → H′ défini sur F de sorte que les propriétés suivantes soient vérifiées :

(6) i(H) est un sous-groupe distingué et le quotient D = H′/i(H) est un tore ;

(7) le centre de H′ est connexe et est un tore ”induit”, c’est-à-dire que X^{∗}(Z_{H′}) possède une base sur ℤ conservée par l’action de Γ_{F}.

Rappelons comment on construit un tel groupe. Notons ici f : H_{SC} → H l’homomorphisme naturel, Z_{sc} le centre de H_{SC}, Z′_{sc} le sous-groupe des z ∈ Z_{sc} tels que f(z) ∈ Z_{H}^{0} et C = {(z, f(z)^{−1}); z ∈ Z′_{sc}}. On peut identifier H à (H_{SC} × Z_{H}^{0})/C. Posons Z_{sc}^{D} = Hom(Z_{sc}, F̄^{×}) et T_{1} = ℤ[Z_{sc}^{D}] ⊗_{ℤ} F̄^{×}. Cet ensemble T_{1} est un tore muni naturellement d’une action de Γ_{F} et il y a un plongement équivariant :

\begin{aligned}f_{1} : & Z_{sc} & → & T_{1} \\ & z & ↦ & ∑_{χ∈Z_{sc}^{D}} χ ⊗ χ(z) \end{aligned} .

Notons :

- T_{2} le quotient de Z_{H}^{0} × T_{1} par le sous-groupe des (f(z), f_{1}(z)) pour z ∈ Z′_{sc};

- f_{2} : Z_{sc} → T_{2} la composée de l’application z ↦ (1, f_{1}(z)) et de la projection de Z_{H}^{0} × T_{1} sur T_{2} ;

- C_{2} = {(z, f_{2}(z)); z ∈ Z_{sc}}.

La suite d’homomorphismes :

H_{SC} × Z_{H}^{0} → H_{SC} × Z_{H}^{0} × T_{1} → H_{SC} × T_{2} → (H_{SC} × T_{2})/C_{2}

se quotiente en un homomorphisme injectif :

H = (H_{SC} × Z_{H}^{0})/C → (H_{SC} × T_{2})/C_{2}.

Soit E une extension galoisienne finie telle que T_{2} soit déployé sur E. Considérons le groupe X_{∗}(T_{2})^{Γ_{F} /Γ_{E}} des fonctions de Γ_{F} /Γ_{E} dans X_{∗}(T_{2}). Le groupe Γ_{F} agit sur ce groupe par la formule (σφ)(γ) = φ(σ^{−1}γ) pour φ ∈ X_{∗}(T_{2})^{Γ_{F} /Γ_{E}}, σ ∈ Γ_{F} et γ ∈ Γ_{F} /Γ_{E}. Soit T_{3} le tore sur F dont le groupe des cocaractères soit X_{∗}(T_{2})^{Γ_{F} /Γ_{E}} muni de cette action de Γ_{F}. Il y a un plongement naturel j : T_{2} → T_{3} qui est équivariant pour les actions de Γ_{F}. On pose f_{3} = j ∘ f_{2}, C_{3} = {(z, f_{3}(z)); z ∈ Z_{sc}} et H′ = (H_{SC} × T_{3})/C_{3}. De j_{2} se déduit un plongement (H_{SC} × T_{2})/C_{2} → H′, d’où un plongement composé i : H → H′. Ce plongement vérifie les propriétés requises. □

La propriété (7) entraîne que H^{1}(Γ_{F} , Z_{H′}) = {0}. On peut donc fixer z ∈ Z_{H′} de sorte que σ(z)^{−1}z = i(z_{H}(σ)) pour tout σ ∈ Γ_{F}. Alors l’application :

\begin{aligned}i_{z} : & H_{z} & → & H′ \\ & h & ↦ & i(h)z \end{aligned}

entrelace les actions de Γ_{F} et identifie H_{z} au sous-ensemble i(H)z de H′.

1.4 Facteurs de transfert

Appelons z-paire pour nos données endoscopiques un triplet (H_{1}, ξ_{1}, ξ̂_{1}) satisfaisant aux conditions suivantes :

(1) H_{1} est un groupe réductif connexe quasi-déployé sur F, de groupe dérivé simplement connexe ;

(2) ξ_{1} : H_{1} → H est un homomorphisme surjectif dont le noyau Z_{1} est un sous-tore central dans H_{1} et est ”induit” ;

(3) ξ̂_{1} : H → ^{L}H_{1} est un homomorphisme injectif commutant aux projections sur W_{F} et dont la restriction à Ĥ est un homomorphisme de Ĥ dans Ĥ_{1} dual à l’homomorphisme ξ_{1}.

Rappelons que, parce que Z_{1} est induit, l’homomorphisme H_{1}(F) → H(F) est surjectif. D’après [KS] paragraphe 2.2, il existe une z-paire. Nous en fixons une. Soit c : W_{F} → H un homomorphisme continu, section de la projection de H sur W_{F}. L’application composée :

W_{F} →^{c} H →^{ξ̂_{1}} ^{L}H_{1} → ^{L}Z_{1} → Ẑ_{1}

est un cocycle. Sa classe ne dépend pas du choix de c. Ce cocycle détermine un caractère continu de Z_{1}(F), que l’on note λ_{1}.

Si H_{z}(F) est vide, on pose D_{1} = ∅. Supposons H_{z}(F) non vide, fixons un élément γ_{0} ∈ H_{1} dont l’image dans H appartienne à H_{z}(F). Pour σ ∈ Γ_{F}, posons z_{H_{1}}(σ) = γ_{0}^{−1}σ(γ_{0}). Alors z_{H_{1}} est un cocycle à valeurs dans Z_{H_{1}} qui relève z_{H}. On note H_{1,z} la variété H_{1} munie de l’action de Γ_{F} définie par h_{1} ↦ z_{H_{1}}(σ)^{−1}σ(h_{1}) pour tout σ ∈ Γ_{F}. L’application évidente H_{1,z} → H_{z} est équivariante pour les actions de Γ_{F}. L’application déduite H_{1,z}(F) → H_{z}(F) est surjective. Remarquons d’autre part que H agit par conjugaison sur H_{1}, donc aussi sur H_{1,z}. Cette action est compatible aux actions de Γ_{F}. On note H_{1,z,G̃−reg} l’image réciproque de H_{z,G̃−reg} dans H_{1,z}. Deux éléments de H_{1,z,G̃−reg}(F) sont dits stablement conjugués s’ils sont conjugués par un élément de H. On note D_{1} l’ensemble des couples (γ_{1}, δ) ∈ H_{1,z,G̃−reg}(F) × G̃_{reg}(F) tels que, en notant γ l’image de γ_{1} dans H_{z}(F), on ait (γ, δ) ∈ D.

Kottwitz et Shelstad ont défini un facteur de transfert :

Δ : D_{1} × D_{1} → ℂ^{×}.

Dans le cas où D_{1} est non vide, on fixe une fonction de D_{1} dans ℂ^{×}, que l’on note aussi Δ, de sorte que, pour tous (γ_{1}, δ), (γ̄_{1}, δ̄) ∈ D_{1}, on ait l’égalité :

Δ(γ_{1}, δ)Δ(γ̄_{1}, δ̄)^{−1} = Δ(γ_{1}, δ; γ̄_{1}, δ̄).

1.5 Enoncé de la conjecture de transfert

Rappelons que, pour x ∈ G̃, on pose G^{x} = Z_{G}(x), G_{x} = Z_{G}(x)^{0}. De même, pour x ∈ H_{z} ou x ∈ H_{1,z}, on pose H^{x} = Z_{H}(x), H_{x} = Z_{H}(x)^{0}, H agissant sur H_{z} ou H_{1,z} par conjugaison (il y a un conflit de notations, que l’on espère surmontable, avec les notations H_{1} et H_{z} qui ne sont évidemment pas des cas particuliers de H_{x} pour x = 1 ou z).

Pour tout espace topologique X, on note C_{c}^{∞}(X) l’espace des fonctions sur X, à valeurs complexes, localement constantes et à support compact. On fixe des mesures de Haar sur G(F) et H(F).

Soit γ_{1} ∈ H_{1,z,G̃−reg}(F). Le groupe H_{γ_{1}} est un sous-tore maximal de H, on fixe une mesure de Haar sur H_{γ_{1}}(F). Soit δ ∈ G̃_{reg}(F) tel que (γ_{1}, δ) appartienne à D_{1}. On montre d’une part que le caractère ω est trivial sur G_{δ}(F) ; d’autre part que la mesure que l’on vient de choisir détermine une mesure de Haar sur ce groupe G_{δ}(F) ([KS] paragraphe 5.5 ; en fait, nous modifierons la définition de Kottwitz et Shelstad, de façon inessentielle, cf. 3.10). Pour f ∈ C_{c}^{∞}(G̃(F)), on pose :

O_{δ}^{ω}(f) = [G^{δ}(F) : G_{δ}(F)]^{−1} ∫_{G_{δ}(F)\G(F)} f(g^{−1}δg)ω(g) dg,

puis :

O_{γ_{1}}^{G̃,ω}(f) = ∑_{δ} Δ(γ_{1}, δ)O_{δ}^{ω}(f),

où on somme sur un ensemble de représentants des classes de conjugaison par G(F) dans l’ensemble des δ ∈ G̃(F) tels que (γ_{1}, δ) ∈ D_{1}.

Notons C_{1}^{∞}(H_{1,z}(F)) l’espace des fonctions f sur H_{1,z}(F), à valeurs complexes, localement constantes et de support d’image compacte dans H_{z}(F), et vérifiant l’égalité f(zx) = λ_{1}(z)^{−1}f(x) pour tous z ∈ Z_{1}(F), x ∈ H_{1,z}(F). Pour γ_{1} comme ci-dessus et γ′_{1} ∈ H_{1,z,G̃−reg}(F) stablement conjugué à γ_{1}, les groupes H_{γ_{1}} et H_{γ′_{1}} sont canoniquement isomorphes et on munit H_{γ′_{1}}(F) de la mesure de Haar correspondant à celle que l’on a fixée sur H_{γ_{1}}(F). Pour f ∈ C_{1}^{∞}(H_{1,z}(F)), on pose :

O_{γ′_{1}}(f) = ∫_{H_{γ′_{1}}(F)\H(F)} f(h^{−1}γ′_{1}h) dh.

puis :

SO_{γ_{1}}(f) = ∑_{γ′_{1}} O_{γ′_{1}}(f),

où on somme sur un ensemble de représentants des classes de conjugaison par H(F) dans la classe de conjugaison stable de γ_{1}.

Soient f ∈ C_{c}^{∞}(G̃(F)) et f_{1} ∈ C_{1}^{∞}(H_{1,z}(F)). On dit que f_{1} est un transfert de f si l’on a l’égalité SO_{γ_{1}}(f_{1}) = O_{γ_{1}}^{G̃,ω}(f) pour tout γ_{1} ∈ H_{1,z,G̃−reg}(F).

Conjecture de transfert. Pour toute f ∈ C_{c}^{∞}(G̃(F)), il existe f_{1} ∈ C_{1}^{∞}(H_{1,z}(F)) qui soit un transfert de f.

1.6 Transfert pour les algèbres de Lie

Considérons un groupe réductif connexe G′ quasi-déployé sur F et une donnée endoscopique (H′, H′, s′, ξ̂′) pour G′, c’est-à-dire pour le triplet formé de G′, de son automorphisme identité et du caractère trivial de G′(F). On sait que toute une partie de la théorie se descend aux algèbres de Lie : on peut définir des classes de conjugaison stable dans 𝔥′(F) et 𝔤′(F), une correspondance entre les classes de conjugaison stable dans 𝔥′(F) et celles dans 𝔤′(F), un facteur de transfert sur un sous-ensemble de 𝔥′_{G′−reg}(F) × 𝔤′_{reg}(F) et une notion de transfert entre fonctions sur 𝔤′(F) et fonctions sur 𝔥′(F). Remarquons que l’on n’a plus besoin d’introduire de z-paire. On a alors la conjecture :

Conjecture de transfert pour les algèbres de Lie. Pour toute f ∈ C_{c}^{∞}(𝔤′(F)), il existe f_{𝔥′} ∈ C_{c}^{∞}(𝔥′(F)) qui soit un transfert de f.

1.7 Transfert non standard

Considérons deux groupes connexes semi-simples et simplement connexes G_{1} et G_{2}, quasi-déployés sur F. Pour i = 1, 2, on fixe un sous-tore T_{i} de G_{i} faisant partie d’une paire de Borel définie sur F, on note X_{i,∗} = X_{∗}(T_{i}), X_{i}^{∗} = X^{∗}(T_{i}), Σ_{i} et Σ̌_{i} les ensembles de racines et coracines de T_{i} dans G_{i} et Ω_{i} = N_{G_{i}}(T_{i})/T_{i} le groupe de Weyl. On note α ↔ α̌ la bijection habituelle entre Σ_{i} et Σ̌_{i} pour i = 1, 2. On note aussi X_{i,∗,ℚ} = X_{i,∗} ⊗_{ℤ} ℚ, X_{i,ℚ}^{∗} = X_{i}^{∗} ⊗_{ℤ} ℚ. Considérons un isomorphisme :

j_{∗} : X_{1,∗,ℚ} → X_{2,∗,ℚ}.

Notons j^{∗} : X_{2,ℚ}^{∗} → X_{1,ℚ}^{∗} son isomorphisme transposé. On impose les conditions suivantes :

(1) il existe des bijections τ̌ : Σ̌_{1} → Σ̌_{2} et τ : Σ_{2} → Σ_{1} et des applications b̌ : Σ̌_{1} → ℚ_{>0} et b : Σ_{2} → ℚ_{>0} vérifiant les propriétés :

(1) (a) via les bijections naturelles entre Σ̌_{i} et Σ_{i} pour i = 1, 2, τ s’identifie à l’inverse de τ̌;

(1) (b) pour tout α̌_{1} ∈ Σ̌_{1} et pour tout α_{2} ∈ Σ_{2}, on a les égalités j_{∗}(α̌_{1}) = b̌(α̌_{1})τ̌(α̌_{1}) et j^{∗}(α_{2}) = b(α_{2})τ(α_{2}) ;

(2) j_{∗} et j^{∗} sont équivariants pour les actions de Γ_{F}.

Fixons un sous-groupe de Borel B_{1} de G_{1} tel que (B_{1}, T_{1}) soit une paire de Borel définie sur F. On note Σ̌_{1}^{+} et Δ̌_{1} les sous-ensembles de coracines positives, resp. simples relativement à ce sous-groupe. Dans l’énoncé qui suit, on adopte des notations similaires relatives à un sous-groupe de Borel B_{2} de G_{2} dont l’énoncé affirme l’existence.

Lemme. (i) Il existe un sous-groupe de Borel B_{2} de G_{2} tel que (B_{2}, T_{2}) soit une paire de Borel définie sur F et que l’on ait les égalités τ̌(Σ̌_{1}^{+}) = Σ̌_{2}^{+}, τ̌(Δ̌_{1}) = Δ̌_{2}. Deux éléments de Δ̌_{1} sont dans la même composante connexe du diagramme de Young associé à Δ̌_{1} si et seulement si leurs images par τ̌ sont dans la même composante connexe du diagramme de Young associé à Δ̌_{2}.

(ii) Soient α̌_{1} ∈ Σ̌_{1}, α_{2} ∈ Σ_{2} tels que τ̌(α̌_{1}) = α̌_{2}. Alors on a l’égalité b̌(α̌_{1}) = b(α_{2}). (iii) L’application qui, à la symétrie relative à une coracine α̌_{1} ∈ Σ̌_{1}, associe la

symétrie relative à la coracine τ̌(α̌_{1}), se prolonge en un isomorphisme j_{Ω} : Ω_{1} → Ω_{2}. Pour ω ∈ Ω_{1}, on a l’égalité j_{∗} ∘ ω = j_{Ω}(ω) ∘ j_{∗}.

Ce lemme est élémentaire, on laisse sa démonstration au lecteur.

Des données (G_{1}, G_{2}, j_{∗}) et (G′_{1}, G′_{2}, j′_{∗}) sont dites F -équivalentes s’il existe des isomorphismes θ_{i} : G_{i} → G′_{i}, pour i = 1, 2, et un rationnel b ≠ 0 tels que :

(3) pour i = 1, 2, θ_{i} est défini sur F et envoie T_{i} sur T′_{i} (pour alléger les notations, on ne fait pas figurer les tores parmi les données, mais ils sont sous-entendus) ;

(4) le diagramme suivant est commutatif, où on note encore θ_{i} les applications qui se déduisent naturellement de cet isomorphisme :

X_{1,∗,ℚ} →^{j_{∗}} X_{2,∗,ℚ}
θ_{1} ↓  ↓ θ_{2}
X′_{1,∗,ℚ} →^{bj′_{∗}} X′_{2,∗,ℚ}

On peut facilement décrire toutes les données (G_{1}, G_{2}, j_{∗}) possibles. Oublions un instant les actions de Γ_{F} et considérons le même problème sur F̄. On peut décomposer G_{1} et G_{2} en produit de composantes quasi-simples. D’après le (i) du lemme, un isomorphisme j_{∗} détermine (et est déterminé par) une bijection entre les familles de composantes simples de G_{1} et G_{2} et, pour tout couple (G′_{1}, G′_{2}) de composantes simples qui se correspondent par cette bijection, un isomorphisme analogue relatif à ce couple. Cela nous ramène au cas où G_{1} et G_{2} sont quasi-simples. En examinant cas par cas chaque système de racines, on montre que seuls les cas suivants peuvent se produire, à F̄-équivalence près :

(tautologique) G_{1} = G_{2} et j_{∗} est l’identité ;

(B_{n}, C_{n}) Σ_{1} est de type B_{n} et Σ_{2} de type C_{n}; pour i = 1, 2, on note α̌_{i,j}, pour j = 1, ..., n, les éléments de Δ̌_{i} numérotés comme dans [B] p.252 et suivantes (des notations analogues sont utilisées dans la suite) ; on a j_{∗}(α̌_{1,j}) = α̌_{2,j} pour j = 1, ..., n−1, j_{∗}(α̌_{1,n}) = 2α̌_{2,n};

(C_{n}, B_{n}) c’est le cas précédent, en inversant des rôles de G_{1} et G_{2} ; Σ_{1} est de type C_{n} et Σ_{2} de type B_{n}; on a les égalités j_{∗}(α̌_{1,j}) = α̌_{2,j} pour j = 1, ..., n − 1, j_{∗}(α̌_{1,n}) = \frac{1}{2} α̌_{2,n};

(F_{4}) Σ_{1} = Σ_{2} est de type F_{4} ; on a j_{∗}(α̌_{1,1}) = 2α̌_{2,4}, j_{∗}(α̌_{1,2}) = 2α̌_{2,3}, j_{∗}(α̌_{1,3}) = α̌_{2,2}, j_{∗}(α̌_{1,4}) = α̌_{2,1} ;

(G_{2}) Σ_{1} = Σ_{2} est de type G_{2} ; on a j_{∗}(α̌_{1,1}) = α̌_{2,2}, j_{∗}(α̌_{1,2}) = 3α̌_{2,1}.

On peut maintenant réintroduire les actions de Γ_{F}. A partir des cas ci-dessus, on construit des données sur F : le premier cas se décrit sans changement, mais les égalités de groupes sont maintenant des égalités de groupes définis sur F ; dans les quatre autres cas, on fixe une extension finie E de F, on considère les données décrites ci-dessus, où G_{1} et G_{2} sont considérés comme des groupes définis et déployés sur E, puis on prend l’image de ces données par le foncteur de restriction des scalaires de E à F. Revenons au cas général. Puisque les actions de Γ_{F} doivent être compatibles à l’isomorphisme j_{∗}, il n’y a guère le choix et on obtient la description suivante à F -équivalence près : les données (G_{1}, G_{2}, j_{∗}) sont produits, en un sens évident de données qui sont toutes de l’un des cinq types élémentaires décrits ci-dessus.

Considérons des données (G_{1}, G_{2}, j_{∗}). Pour i = 1, 2, on a les égalités 𝔱_{i} = X_{i,∗} ⊗_{ℤ} F̄ = X_{i,∗,ℚ} ⊗_{ℚ} F̄. De j_{∗} se déduit un isomorphisme de 𝔱_{1} sur 𝔱_{2}. Grâce au (iii) du lemme et à l’équivariance de nos applications pour les actions de Γ_{F}, on obtient une bijection :

(𝔱_{1}/Ω_{1})^{Γ_{F}} ≃ (𝔱_{2}/Ω_{2})^{Γ_{F}} .

Or ces ensembles paramètrent les classes de conjugaison stable semi-simples dans 𝔤_{1}(F) et 𝔤_{2}(F) : à un élément semi-simple X, disons de 𝔤_{1}(F), on associe l’image dans 𝔱_{1}/Ω_{1} d’un élément X′ ∈ 𝔱_{1} conjugué à X par un élément de G_{1}. On obtient donc une correspondance bijective entre classes de conjugaison stable semi-simples dans 𝔤_{1}(F) et classes analogues dans 𝔤_{2}(F). Cette correspondance envoie une classe régulière sur une classe régulière. Pour i = 1, 2, soit f_{i} ∈ C_{c}^{∞}(𝔤_{i}(F)). Disons que f_{1} est un transfert de f_{2} (ou vice-versa...) si on a l’égalité :

SO_{X_{1}}(f_{1}) = SO_{X_{2}}(f_{2})

pour tous X_{1} ∈ 𝔤_{1,reg}(F), X_{2} ∈ 𝔤_{2,reg}(F), dont les classes de conjugaison stables se correspondent par la bijection ci-dessus.

Remarque. Ici encore, on doit normaliser convenablement les mesures. On y reviendra en 3.10.

Conjecture de transfert non standard. Dans la situation ci-dessus, pour toute f_{2} ∈ C_{c}^{∞}(𝔤_{2}(F)), il existe f_{1} ∈ C_{c}^{∞}(𝔤_{1}(F)) qui soit un transfert de f_{2}.

Remarque. La conjecture se ramène immédiatement à la même conjecture pour chacun des cas élémentaires (sur F) décrits ci-dessus. Dans le premier cas, la conjecture est tautologique. Dans les quatre autres cas, quite à changer de corps de base, on est ramené au cas d’une paire de groupes déployés de l’un des types (B_{n}, C_{n}), (C_{n}, B_{n}), (F_{4}), (G_{2}).

1.8 Le premier théorème

Théorème. Considérons toutes les données (η, ϵ, H̄, H̄, s̄, ˆ ξ̄, j_{∗}) vérifiant les conditions suivantes :

(a) η est un élément semi-simple de G̃(F) et ϵ est un élément semi-simple de H_{z}(F) ;

(b) (H̄, H̄, s̄, ˆ ξ̄) est une donnée endoscopique de G_{η,SC} (rappelons que G_{η,SC} est le revêtement simplement connexe du groupe dérivé de la composante neutre G_{η} du commutant de η dans G) ;

(c) le triplet (H_{ϵ,SC}, H̄_{SC}, j_{∗}) vérifie les hypothèses ”non standard” du paragraphe 1.7.

Pour chacune de ces données, on suppose que :

(d) la conjecture de transfert pour les algèbres de Lie du paragraphe 1.6 est vérifiée pour le couple (𝔤_{η,SC}, 𝔥̄) ;

(e) la conjecture de transfert non standard du paragraphe 1.7 est vérifiée pour le couple (𝔥_{ϵ,SC}, 𝔥̄_{SC}).

Alors la conjecture de transfert du paragraphe 1.5 est vérifiée pour le triplet (G̃, θ, ω) et sa donnée endoscopique (H, H, s, ξ̂).

Ce théorème sera démontré en 3.11. En fait, la démonstration est constructive : on construit une famille de données telle que la conclusion de l’énoncé soit vraie pourvu que chaque donnée de la famille vérifie les conditions (d) et (e). Cela permet de préciser l’énoncé dans certaines situations. Plaçons-nous sur F̄ et décomposons G_{SC}^{∗} en produit de composantes quasi-simples. L’automorphisme θ^{∗} permute ces composantes. Pour chaque composante G_{0}^{∗}, soit m(G_{0}^{∗}) le plus petit entier > 0 tel que θ^{m(G_{0}^{∗})} conserve G_{0}^{∗} et soit θ_{G_{0}^{∗}} la restriction de θ^{m(G_{0}^{∗})} à G_{0}^{∗}. On sait classifier les couples (G_{0}^{∗}, θ_{G_{0}^{∗}}) possibles : ou bien θ_{G_{0}^{∗}} est l’identité ; ou bien θ_{G_{0}^{∗}} est d’ordre 2 et G_{0}^{∗} est de l’un des types A_{n}, D_{n} ou E_{6} ; ou bien θ_{G_{0}^{∗}} est d’ordre 3 et G_{0}^{∗} est de type D_{4}.

Précisions sur le théorème. (1) Supposons que pour chaque composante quasi-simple G_{0}^{∗}, θ_{G_{0}^{∗}} soit l’identité. Alors, dans l’énoncé du théorème, on peut se limiter aux données pour lesquelles le triplet (H_{ϵ,SC}, H̄_{SC}, j_{∗}) est tautologique, et on peut supprimer l’hypothèse (e) qui est automatiquement vérifiée.

(2) Supposons que parmi les couples (G_{0}^{∗}, θ_{G_{0}^{∗}}) ne figurent ni le couple formé d’un groupe de type E_{6} avec son automorphisme non trivial, ni celui formé d’un groupe de type D_{4} muni d’un automorphisme d’ordre 3. Alors, dans l’énoncé du théorème, on peut se limiter aux données pour lesquelles le triplet (H_{ϵ,SC}, H̄_{SC}, j_{∗}) est produit de triplets élémentaires qui sont soit tautologiques, soit obtenus par restriction des scalaires à partir d’un triplet de type (B_{n}, C_{n}) ou (C_{n}, B_{n}).

(3) Supposons ω = 1. Alors, dans l’énoncé du théorème, on peut se limiter aux données pour lesquelles (H̄, H̄, s̄, ˆ ξ̄) provient, par un relèvement usuel, d’une donnée endoscopique pour G_{η}.

1.9 Le cas du changement de base

Soient G_{0} un groupe réductif connexe défini sur F et E une extension galoisienne finie de F, cyclique, c’est-à-dire que le groupe de Galois Gal(E/F) = Γ_{E}\Γ_{F} est cyclique. Supposons que G soit la restriction des scalaires à la Weil de G_{0} relativement à l’extension E/F, ce que l’on note G = Res_{E/F} (G_{0}). On a :

G = G_{0}^{Γ_{E}\Γ_{F}} ,

autrement dit un élément g ∈ G est une fonction de Γ_{E}\Γ_{F} dans G_{0}. L’action de Γ_{F} se décrit ainsi : pour g ∈ G, σ ∈ Γ_{F} et γ ∈ Γ_{E}\Γ_{F}, on a (σg)(γ) = σ(g(γσ)). Fixons un générateur θ de Γ_{E}\Γ_{F}. Alors θ agit sur G par (θg)(γ) = g(θ^{−1}γ) pour tous g ∈ G et γ ∈ Γ_{E}\Γ_{F}. Le triplet (G, θ, ω = 1) vérifie les hypothèses de 1.2.

Pour un tel triplet, le théorème 1.8 se simplifie. D’abord, la fonction z de 1.2 est égale à 1. Ensuite, on est à la fois dans les situations (1) et (3) des précisions qui suivent le théorème. Enfin, fixons une forme intérieure quasi-déployée G_{0}^{∗} de G_{0}. Pour tout élément semi-simple η ∈ G̃(F), on sait qu’il existe un élément semi-simple η_{0}^{∗} ∈ G_{0}^{∗}(F) tel que G_{0,η_{0}∗}^{∗} soit quasi-déployé et G_{η} soit une forme intérieure de G_{0,η_{0}∗}^{∗} ([Lab1] lemme 2.4.4). Pour une donnée endoscopique (H, H, s, ξ̂) de (G, θ, 1), on obtient :

Corollaire. Dans la situation ci-dessus, considérons toutes les données (η_{0}^{∗}, G′_{η_{0}^{∗}}, ϵ, H̄, H̄, s̄, ˆ ξ̄) telles que :

(a) η_{0}^{∗} est un élément semi-simple de G_{0}^{∗}(F), G_{0,η_{0}^{∗}}^{∗} est quasi-déployé et ϵ est un élément semi-simple de H(F) ;

(b) G′_{η_{0}^{∗}} est une forme intérieure de G_{0,η_{0}^{∗}}^{∗};

(c) (H̄, H̄, s̄, ˆ ξ̄) est une donnée endoscopique de G′_{η_{0}^{∗}} et H̄ = H_{ϵ}.

Supposons que pour chacune de ces données, la conjecture de transfert pour les algèbres de Lie du paragraphe 1.6 soit vérifiée pour le couple (𝔤′_{η_{0}^{∗}}, 𝔥̄). Alors la conjecture de transfert du paragraphe 1.5 est vérifiée pour le triplet (G̃, θ, 1) et sa donnée endoscopique (H, H, s, ξ̂).

Dans le cas particulier où H = G_{0}^{∗} est le groupe endoscopique principal, on a nécessairement H̄ = G_{0,η_{0}^{∗}}^{∗} et la conjecture de transfert est connue pour le couple (𝔤′_{η_{0}^{∗}}, 𝔥̄). On retrouve alors le théorème 3.3.1 de [Lab1]. D’autre part, si G_{0}^{∗} = SL(n) ou si G_{0}^{∗} = U(n) (groupe unitaire), un commutant G_{0,η_{0}^{∗}}^{∗} est produit de groupes qui sont ou bien unitaires, ou bien ont pour revêtement simplement connexe un groupe Res_{F′/F} (SL(n)), où F′ est une extension finie de F. La conjecture de transfert est connue pour toute forme intérieure G′_{η_{0}^{∗}} d’un tel groupe et toute donnée endoscopique (H̄, H̄, s̄, ˆ ξ̄) (grâce à [LN] dans le cas unitaire). Alors :

Corollaire. Dans la situation ci-dessus, supposons G_{0}^{∗} = SL(n) ou G_{0}^{∗} = U(n). Alors la conjecture de tranfert est vérifiée pour le triplet (G̃, θ, 1) et toute donnée endoscopique (H, H, s, ξ̂).

2 Analyse harmonique

2.1 Voisinages d’un élément semi-simple

Notons (B_{1}, T_{1}) la paire de Borel de H_{1}, image réciproque de (B_{H}, T_{H}). Remarquons que le groupe de Weyl de H_{1} relatif à T_{1} est le même groupe Ω_{H} que celui de H relatif à T_{H}. posons E_{1} = T_{1}/Ω_{H}. Cet ensemble paramètre les classes de conjugaison semisimples dans H_{1}. On note π_{1} : H_{1} → E_{1} l’application qui, à un élément de H_{1}, associe le paramètre de sa partie semi-simple. On sait que E_{1} est naturellement munie d’une structure de variété algébrique lisse sur F et que π_{1} est une application régulière. On doit tordre l’action naturelle de Γ_{F} sur E_{1}. Pour cela, on remarque que Z_{H_{1}} agit naturellement sur E_{1} (par multiplication). On note E_{1,z} la variété E_{1}, munie de l’action de Γ_{F} :

e ↦ z_{H_{1}}(σ)^{−1}σ(e)

pour tout σ ∈ Γ_{F}. Alors π_{1,z} : H_{1,z} → E_{1,z} est équivariante pour les actions de Γ_{F} et se restreint en une application π_{F} : H_{1,z}(F) → E_{1,z}(F).

Remarque. Reprenons la remarque de 1.3, en l’appliquant au groupe H_{1}. On fixe donc un plongement i : H_{1} → H′_{1} ayant les mêmes propriétés que dans cette remarque, on fixe z_{1} ∈ Z_{H′_{1}} tel que σ(z_{1})^{−1}z_{1} = i(z_{H_{1}}(σ)) pour tout σ ∈ Γ_{F} et on définit i_{z_{1}} : H_{1,z} → H′_{1} par i_{z_{1}}(x) = i(x)z_{1}. Notons T′_{1} l’unique sous-tore maximal de H′_{1} contenant i(T_{1}). De nouveau, le groupe de Weyl de H′_{1} relatif à T′_{1} est le même que celui de H_{1} relatif à T_{1}. On introduit la variété E′_{1} = T′_{1}/Ω_{H}. L’application :

\begin{matrix}T_{1} & → & T′_{1} \\ x & ↦ & i(x)z_{1} \end{matrix}

se descend en un plongement i_{E} : E_{1,z} → E′, qui est équivariant pour les actions de Γ_{F}. Notons D = H′_{1}/i(H_{1}). La projection j : H′_{1} → D se descend en une projection j_{E} : E′ → D. L’image du plongement précédent est la fibre de j_{E} au-dessus de j(z_{1}). Alors π_{1} s’interprète comme l’application rendant commutatif le diagramme :

H_{1,z} →^{π_{1}} E_{1,z}
i_{z_{1}} ↓  ↓ i_{E}
H′_{1}  →^{π′_{1}} E′_{1}

où π′_{1} est l’analogue de π_{1}. □

La torsion de l’action galoisienne est inessentielle : on montre que E_{1,z}(F) est une variété analytique lisse sur F et que π_{F} est un morphisme de variétés analytiques.

Cela résulte de la remarque précédente en se rappelant que H′_{1} et E′_{1} sont des variétés algébriques lisses et que π′_{1} est régulière. En particulier, π_{F} est continue. Elle est surjective. Plus précisément, notons H_{1,♯}(F) le sous-ensemble des x ∈ H_{1,z}(F) qui sont semi-simples et dont le commutant connexe H_{1,x} est quasi-déployé sur F. Alors :

(1) on a l’égalité π_{F} (H_{1,♯}(F)) = E_{1,z}(F).

En effet, soit e ∈ E_{1,z}(F), choisissons y ∈ T_{1} tel que π_{1}(y) = e, posons B_{1,y} = B_{1}∩H_{1,y} et fixons un épinglage de H_{1,y} relatif à la paire de Borel (B_{1,y}, T_{1}) de H_{1,y}. Soit σ ∈ Γ_{F}. Puisque e appartient à E_{1,z}(F), il existe un élément n_{σ} ∈ N_{H_{1}}(T_{1}) tel que z_{H_{1}}(σ)^{−1}σ(y) = n_{σ}yn_{σ}^{−1}. Cet élément normalise H_{1,y}. Puisque H_{1,der} est simplement connexe, le centralisateur H_{1}^{y} est connexe, égal à H_{1,y} et la classe n_{σ}N_{H_{1,y}}(T_{1}) est uniquement déterminée. Quitte à changer n_{σ} dans cette classe, on peut supposer que Int(n_{σ}) conserve B_{1,y} et l’épinglage. Alors n_{σ} est uniquement déterminé modulo le centre de H_{1,y}. On définit une structure galoisienne sur H_{1,y} en faisant agir tout σ ∈ Γ_{F} par x ↦ n_{σ}σ(x)n_{σ}^{−1}. Par restriction, on obtient une nouvelle structure sur T_{1}. Parce que H_{1} est quasi-déployé, le tore T_{1} muni de cette structure est justiciable de [Ko1] corollaire 2.2. D’où l’existence de h ∈ H_{1} tel que, pour tout σ ∈ Γ_{F}, σ(h)^{−1}h ∈ n_{σ}T_{1}. Posons ϵ = hyh^{−1}. Alors σ(ϵ) = z_{H_{1}}(σ)ϵ pour tout σ, i.e. ϵ ∈ H_{1,z}(F). Evidemment, ϵ est semi-simple et π_{F} (ϵ) = π_{1}(y) = e. Enfin H_{1,ϵ} = Int(h)(H_{1,y}) et on vérifie que la paire (Int(h)(B_{1,y}), Int(h)(T_{1})) est définie sur F. Donc H_{1,ϵ} est quasi-déployé sur F et ϵ appartient à H_{1,♯}(F). □

On note |.| la valeur absolue usuelle de F, que l’on prolonge à F̄ en une valeur absolue à valeurs dans ℚ. Pour tout tore T et tout réel r > 0, notons T^{<r} l’ensemble des t ∈ T tels que |1 − x^{∗}(t)| < r pour tout x^{∗} ∈ X^{∗}(T). Soit ϵ ∈ H_{1,♯}(F), choisissons y ∈ T_{1} qui soit conjugué à ϵ par un élément de H_{1} et posons :

V^{<r}(ϵ) = π_{F}^{−1}(π_{1}(T_{1}^{<r}y) ∩ E_{1,z}(F)).

Cet ensemble ne dépend pas du choix de y car π_{1}(T_{1}^{<r}y) n’en dépend pas. On a :

(2) V^{<r}(ϵ) est un voisinage ouvert et fermé de x. Il est clair que π_{1}(T_{1}^{<r}y) ∩ E_{1,z}(F) est un voisinage ouvert et fermé de π_{F} (ϵ). L’assertion résulte de la continuité de π_{F}.

On a aussi :

(3) soit V un voisinage de ϵ dans H_{1,z}(F). Alors il existe r > 0 tel que, pour tout élément semi-simple x ∈ V^{<r}(ϵ), il existe h ∈ H_{1} et x′ ∈ V tels que hxh^{−1} = x′.

Fixons un ensemble de représentants T des classes de conjugaison par H_{1,ϵ}(F) dans l’ensemble des tores maximaux de H_{1,ϵ} définis sur F. Soit y comme ci-dessus. On choisit r assez petit pour que les conditions suivantes soient vérifiées :

- si ω ∈ Ω_{H} vérifie ω(T_{1}^{<r}y) ∩ T_{1}^{<r}y ≠ ∅, alors ω(y) = y;

- pour tout T ∈ T , on a l’inclusion (T^{<r} ∩ T (F))ϵ ⊂ V.

Soit x un élément semi-simple de V^{<r}(ϵ), fixons un sous-tore maximal T_{x} de H_{1,x}, défini sur F. Soit h_{1} ∈ H_{1} tel que T_{x} = Int(h_{1})(T_{1}), posons y_{1} = Int(h_{1}^{−1})(x). Remarquons que x appartient à T_{x}, donc y_{1} appartient à T_{1}. Quitte à multiplier h_{1} par un élément de N_{H_{1}}(T_{1}), on peut supposer que y_{1} appartient à T_{1}^{<r}y : cela résulte de l’hypothèse x ∈ V^{<r}(ϵ). Soit σ ∈ Γ_{F}. Parce que T_{x} et T_{1} sont tous deux définis sur F, on a σ(h_{1})^{−1}h_{1} ∈ N_{H_{1}}(T_{1}). Notons m_{σ} l’image de cet élément dans Ω_{H}. On a l’égalité m_{σ}(y_{1}) = z_{H_{1}}(σ)^{−1}σ(y_{1}). Puisque π_{1}(y) = π_{F} (ϵ) appartient à E_{1,z}(F), il existe aussi n_{σ} ∈ Ω_{H} tel que n_{σ}(y) = z_{H_{1}}(σ)^{−1}σ(y). Ecrivons y_{1} = ty, avec t ∈ T_{1}^{<r}. Alors n_{σ}^{−1}m_{σ}(ty) = n_{σ}^{−1}(σ(t))y. Puisque ty et n_{σ}^{−1}(σ(t))y appartiennent tous deux à T_{1}^{<r}, n_{σ}^{−1}m_{σ} fixe y, d’où résulte l’égalité m_{σ}(y) = z_{H_{1}}(σ)σ(y). Posons ϵ′ = h_{1}yh_{1}^{−1}. De l’égalité précédente résulte que ϵ′ appartient à H_{1,z}(F). Cet élément ϵ′ est conjugué à ϵ par un élément de H_{1}. Fixons h ∈ H_{1} tel que hϵ′h^{−1} = ϵ. Alors Int(h) se restreint en un torseur intérieur de H_{1,ϵ′} dans H_{1,ϵ}. Remarquons que ϵ′ appartient à T_{x} donc T_{x} est un sous-tore maximal de H_{1,ϵ′} défini sur F. Puisque H_{1,ϵ} est quasi-déployé, on peut appliquer [Ko1] corollaire 2.2 : quitte à multiplier h par un élément de H_{1,ϵ}, on peut supposer que le tore T′ = Int(h)(T_{x}) est défini sur F et que la restriction de Int(h) est un isomorphisme défini sur F de T_{x} sur T′. Quitte à multiplier encore h par un élément de H_{1,ϵ}(F), on peut supposer que T′ appartient à T . Posons x′ = hxh^{−1}. Puisque la restriction de Int(h) est définie sur F, x′ appartient à T′ ∩ H_{1,z}(F), c’est-à-dire à T′(F)ϵ. Enfin, le couple (x′, ϵ) est conjugué par hh_{1} à (y_{1}, y) donc x′ϵ^{−1} appartient à T^{_{′}<r}. Alors x′ ∈ (T^{_{′}<r} ∩ T′(F))ϵ, a fortiori x′ ∈ V^{<r}(ϵ). □

2.2 Transfert local

Le lemme suivant reprend le lemme 2.2.A de [LS1].

Lemme. Soit f ∈ C_{c}^{∞}(G̃(F)). Supposons que pour tout ϵ_{1} ∈ H_{1,♯}(F), il existe un voisinage V de ϵ_{1} dans H_{1,z}(F) et une fonction f_{V} ∈ C_{c}^{∞}(H_{1,z}(F)) telle que SO_{γ_{1}}(f_{V}) = O_{γ_{1}}^{G̃,ω}(f) pour tout élément γ_{1} ∈ V ∩ H_{1,z,G̃−reg}(F). Alors il existe f_{1} ∈ C_{1}^{∞}(H_{1,z}(F)) qui soit un transfert de f.

Preuve. On montre d’abord :

(1) pour tout ϵ_{1} ∈ H_{1,♯}(F), il existe r > 0 et f_{ϵ_{1}} ∈ C_{1}^{∞}(H_{1,z}(F)) tels que l’on ait l’égalité :

SO_{γ_{1}}(f_{ϵ_{1}}) = O_{γ_{1}}^{G̃,ω}(f)

pour tout γ_{1} ∈ (Z_{1}(F)V^{<r}(ϵ_{1})) ∩ H_{1,z,G̃−reg}(F).

On fixe ϵ_{1} ∈ H_{1,♯}(F). Soient V le voisinage de ϵ_{1} et f_{V} la fonction fournis par l’hypothèse de l’énoncé. Choisissons r de sorte que la propriété 2.1(3) soit vérifiée pour ce voisinage. Pour γ_{1} ∈ V^{<r}(ϵ_{1}) ∩ H_{1,z,G̃−reg}(F), SO_{γ_{1}}(f_{V}) ne dépend que de la restriction de f_{V} à V^{<r}(ϵ_{1}). En se rappelant que V^{<r}(ϵ_{1}) est ouvert et fermé (cf. 2.1(2)), on peut remplacer V par V ∩ V^{<r}(ϵ_{1}) et f_{V} par son produit avec la fonction caractéristique de V^{<r}(ϵ_{1}).

Pour x ∈ H_{1,z}(F), considérons l’ensemble {z ∈ Z_{1}(F); zx ∈ V^{<r}(ϵ_{1})}. Il est ouvert car V^{<r}(ϵ_{1}) l’est. Il est aussi compact. En effet, notons P : H_{1} → H_{1}/H_{1,der} la projection naturelle. L’image P (V^{<r}(ϵ_{1})) est relativement compacte et la restriction de P à Z_{1}(F) est propre. Il en résulte que notre ensemble est relativement compact. Il est de plus fermé puisque V^{<r}(ϵ_{1}) l’est. L’assertion en résulte. Fixons une mesure de Haar sur Z_{1}(F) et notons m(x) la mesure de {z ∈ Z_{1}(F); zx ∈ V^{<r}(ϵ_{1})}. La fonction m ainsi définie est localement constante. Pour tout γ_{1} ∈ H_{1,z,G̃−reg}(F), elle est constante sur la classe de conjugaison stable de γ_{1}. Définissons f_{ϵ_{1}} par :

f_{ϵ_{1}}(x) = \{ \begin{matrix}0, & si x ∉ Z_{1}(F)V^{<r}(ϵ_{1}), \\ m(x)^{−1} ∫_{Z_{1}(F)} f_{V} (zx)λ_{1}(z) dz, & si x ∈ Z_{1}(F)V^{<r}(ϵ_{1}). \end{matrix}

Cette fonction appartient à l’espace C_{1}^{∞}(H_{1,z}(F)). Soit γ_{1} ∈ (Z_{1}(F)V^{<r}(ϵ_{1}))∩H_{1,z,G̃−reg}(F). On a l’égalité :

SO_{γ_{1}}(f_{ϵ_{1}}) = m(γ_{1})^{−1} ∫_{Z_{1}(F)} SO_{zγ_{1}}(f_{V})λ_{1}(z) dz.

Soit z ∈ Z_{1}(F). Si zγ_{1} ∉ V^{<r}(ϵ_{1}), f_{V} s’annule sur la classe de conjugaison stable de zγ_{1} et SO_{zγ_{1}}(f_{V}) = 0. Supposons zγ_{1} ∈ V^{<r}(ϵ_{1}), choisissons γ′_{1} ∈ V stablement conjugué à zγ_{1}. Parce que les intégrales orbitales stables et le facteur de transfert sont invariants par conjugaison stable, on a :

SO_{zγ_{1}}(f_{V}) = SO_{γ′_{1}}(f_{V}) = O_{γ′_{1}}^{G̃,ω}(f) = O_{zγ_{1}}^{G̃,ω}(f).

Grâce à [KS] lemme 5.1.C, on a aussi :

O_{zγ_{1}}^{G̃,ω}(f) = λ_{1}(z)^{−1}O_{γ_{1}}^{G̃,ω}(f).

Alors :

SO_{γ_{1}}(f_{ϵ_{1}}) = m(γ_{1})^{−1}O_{γ_{1}}^{G̃,ω}(f) ∫_{z∈Z_{1}(F),zγ_{1}∈V^{<r}(ϵ_{1})} dz = O_{γ_{1}}^{G̃,ω}(f),

ce qui prouve (1).

Considérons l’ensemble E_{1,z}(F)/Z_{1}(F) muni de la topologie quotient. C’est un espace topologique séparé et localement compact. Notons π′_{F} : H_{1,z}(F) → E_{1,z}(F)/Z_{1}(F) la composée de π_{F} et de la projection naturelle de E_{1,z}(F) sur son quotient. Parce que f est à support compact, il existe un sous-ensemble compact C de E_{1,z}(F)/Z_{1}(F) tel que, pour tout γ_{1} ∈ H_{1,z,G̃−reg}(F), on ait l’implication :

O_{γ_{1}}^{G̃,ω}(f) ≠ 0 ⇒ π′_{F} (γ_{1}) ∈ C.

Fixons un tel C, que l’on peut supposer ouvert. Pour tout e ∈ C, fixons ϵ_{e} ∈ H_{1,♯}(F) tel que π′_{F} (ϵ_{e}) = e. C’est possible d’après 2.1(1). Fixons un réel r_{e} > 0 et une fonction f_{e} ∈ C_{1}^{∞}(H_{1,z}(F)) qui vérifient la conclusion de (1) relativement au point ϵ_{e}. L’ensemble π′_{F} (V^{<r_{e}}(ϵ_{e})) est un voisinage ouvert de e dans E_{1,z}(F)/Z_{1}(F). Quand e parcourt C, on obtient un recouvrement ouvert de C dont on peut extraire un recouvrement fini. Plus précisément, on fixe un ensemble fini E ⊂ C tel que (C ∩ π′_{F} (V^{<r_{e}}(ϵ_{e})))_{e∈E} soit un recouvrement de C. Fixons une partition de l’unité (α_{e})_{e∈E} adaptée à ce recouvrement. On définit une fonction f_{1} sur H_{1,z}(F) par :

f_{1}(x) = ∑_{e∈E} α_{e} ∘ π′_{F} (x)f_{e}(x)

pour tout x ∈ H_{1,z}(F). Cette fonction appartient à C_{1}^{∞}(H_{1,z}(F)). Pour γ_{1} ∈ H_{1,z,G̃−reg}(F), on a l’égalité :

SO_{γ_{1}}(f_{1}) = ∑_{e∈E} α_{e} ∘ π′_{F} (γ_{1})SO_{γ_{1}}(f_{e}).

Si e ∈ E est tel que α_{e}∘π′_{F} (γ_{1}) ≠ 0, l’élément γ_{1} appartient nécessairement à Z_{1}(F)V^{<r_{e}}(ϵ_{e}), et la propriété (1) entraîne l’égalité SO_{γ_{1}}(f_{e}) = O_{γ_{1}}^{G̃,ω}(f). Alors :

SO_{γ_{1}}(f_{1}) = O_{γ_{1}}^{G̃,ω}(f) ∑_{e∈E} α_{e} ∘ π′_{F} (γ_{1}).

Si π′_{F} (γ_{1}) appartient à C, la somme vaut 1 et l’expression ci-dessus vaut O_{γ_{1}}^{G̃,ω}(f). Si π′_{F} (γ_{1}) ∉ C, la somme est nulle mais O_{γ_{1}}^{G̃,ω}(f) aussi d’après le choix de C. En tout cas, on a l’égalité :

SO_{γ_{1}}(f_{1}) = O_{γ_{1}}^{G̃,ω}(f).

□

2.3 Descente aux algèbres de Lie

Commençons par quelques rappels généraux. Soit M un groupe réductif connexe défini sur F. Dans l’algèbre de Lie 𝔪(F), la conjugaison stable n’est autre que la conjugaison par M. C’est-à-dire que deux éléments X, Y ∈ 𝔪(F) sont stablement conjugués si et seulement s’il existe m ∈ M tel que Y = m^{−1}Xm. Disons que deux éléments x, y ∈ M(F) sont géométriquement conjugués s’il existe m ∈ M tel que y = m^{−1}xm. Il existe des voisinages ouverts 𝔙 de 0 dans 𝔪(F) et V de 1 dans M(F) tels que l’on puisse définir l’application exponentielle habituelle exp : 𝔙 → V. On peut supposer de plus les conditions suivantes :

(1) 𝔙 est invariant par conjugaison stable et V l’est par conjugaison géométrique ;

(2) exp est un homéomorphisme ;

(3) exp transporte la conjugaison stable en la conjugaison géométrique. Précisément, soient X ∈ 𝔙 et m ∈ M. Alors m^{−1}Xm ∈ 𝔪(F) ⇔ m^{−1}exp(X)m ∈ M(F). Si m^{−1}Xm ∈ 𝔪(F), on a l’égalité exp(m^{−1}Xm) = m^{−1}exp(X)m;

Quand on parlera d’exponentielle, il sera implicite que l’on a fixé de tels voisinages et que l’on ne considère que des éléments qui leur appartiennent.

Soit m ∈ M(F) un élément semi-simple. La théorie de la descente de Harish-Chandra affirme l’existence d’un voisinage 𝔘 de 0 dans 𝔪_{m}(F) (𝔪_{m} est l’algèbre de Lie du centralisateur connexe M_{m} de m) vérifiant les propriétés suivantes :

(4) 𝔘 est invariant par conjugaison par M^{m}(F) ; pour X ∈ 𝔘, X est semi-simple régulier dans 𝔪_{m}(F) si et seulement si exp(X)m est semi-simple régulier dans M(F) ;

(5) soient X, Y ∈ 𝔘 et x ∈ M tels que x^{−1}exp(X)mx = exp(Y)m. Alors x ∈ M^{m};

(6) soit f ∈ C_{c}^{∞}(M(F)) ; alors il existe φ ∈ C_{c}^{∞}(𝔪_{m}(F)) telle que O_{X}^{M_{m}}(φ) = O_{exp(X)m}^{M}(f) pour tout X ∈ 𝔘 tel que exp(X)m ∈ M_{reg}(F). On a précisé les notations en indiquant en exposant le groupe ambiant : O_{X}^{M_{m}}(φ) est l’intégrale de φ sur l’orbite de X pour la conjugaison par M_{m}(F), O_{exp(X)m}^{M}(f) est l’intégrale de f sur l’orbite de exp(X)m pour la conjugaison par M(F) ;

(7) soit φ ∈ C_{c}^{∞}(𝔪_{m}(F)). Supposons que l’on ait l’égalité O_{X}^{M_{m}}(φ) = O_{x^{−1}Xx}^{M_{m}}(φ) pour tout X ∈ 𝔘 ∩ 𝔪_{m,reg}(F) et tout x ∈ M^{m}(F). Alors il existe f ∈ C_{c}^{∞}(M(F)) telle que :

(7)(a) O_{x}^{M}(f) = 0 pour tout élément x ∈ M_{reg}(F) qui n’est conjugué par M(F) à aucun élément de exp(𝔘)m;

(7)(b) O_{exp(X)m}^{M}(f) = O_{X}^{M_{m}}(φ) pour tout X ∈ 𝔘 tel que exp(X)m ∈ M_{reg}(F).

On peut de plus supposer :

(8) 𝔘 est invariant par conjugaison stable.

La situation que l’on vient de considérer est celle où M(F) agit par conjugaison sur lui-même. Nous avons à considérer la situation où H_{1}(F) agit par conjugaison sur l’espace ”tordu” H_{1,z}(F). En utilisant la remarque 1.3, on voit que la torsion de l’action galoisienne est inessentielle et que les résultats restent valables dans cette situation tordue.

Lemme. Soit f ∈ C_{c}^{∞}(G̃(F)). Supposons que pour tout élément ϵ_{1} ∈ H_{1,♯}(F), il existe un voisinage 𝔙 de 0 dans 𝔥_{1,ϵ_{1}}(F) et une fonction φ ∈ C_{c}^{∞}(𝔥_{1,ϵ_{1}}(F)) telle que l’on ait l’égalité :

SO_{X}^{H_{1,ϵ_{1}}}(φ) = O_{exp(X)ϵ_{1}}^{G̃,ω}(f)

pour tout X ∈ 𝔙 tel que exp(X)ϵ_{1} ∈ H_{1,z,G̃−reg}(F). Alors il existe f_{1} ∈ C_{1}^{∞}(H_{1,z}(F)) qui soit un transfert de f.

Preuve. On va montrer que l’hypothèse du lemme 2.2 est vérifiée. Soit ϵ_{1} ∈ H_{1,♯}(F). Fixons 𝔙 et φ vérifiant les hypothèses de l’énoncé ci-dessus. Fixons aussi un voisinage 𝔘 de 0 dans 𝔥_{1,ϵ_{1}}(F) vérifiant les propriétés (4) à (8) ci-dessus (appliquées à M = H_{1} et m = ϵ_{1} ∈ H_{1,z}(F)). On peut supposer 𝔙 ⊂ 𝔘. Posons :

V = {x^{−1}exp(X)ϵ_{1}x; x ∈ H_{1}(F), X ∈ 𝔙}.

Grâce à (5), l’application :

\begin{matrix}H_{1}(F) × 𝔘 & → & H_{1,z}(F) \\ (x, Y) & ↦ & x^{−1}exp(Y)ϵ_{1}x \end{matrix}

est partout submersive. Cela entraîne que V est un voisinage ouvert de ϵ_{1} dans H_{1,z}(F). Puisque H_{1,der} est simplement connexe, H_{1}^{ϵ_{1}} est connexe, égal à H_{1,ϵ_{1}}. L’hypothèse de (7) est automatiquement vérifiée. On peut donc fixer une fonction f_{V} ∈ C_{c}^{∞}(H_{1,z}(F)) telle que :

(9) O_{γ_{1}}^{H_{1}}(f_{V}) = 0 pour tout γ_{1} ∈ H_{1,z,reg}(F) qui n’est conjugué à aucun élément de exp(𝔘)ϵ_{1} ;

(10) O_{exp(X)ϵ_{1}}^{H_{1}}(f_{V}) = O_{X}^{H_{1,ϵ_{1}}}(φ) pour tout X ∈ 𝔘 tel que exp(X)ϵ_{1} ∈ H_{1,z,reg}(F).. Soit γ_{1} ∈ V ∩ H_{1,z,G̃−reg}(F). Fixons un ensemble de représentants E des classes de

conjugaison par H_{1}(F) dans la classe de conjugaison stable de γ_{1}. On peut supposer que, pour tout e ∈ E, ou bien la classe de conjugaison de e par H_{1}(F) ne coupe pas exp(𝔘)ϵ_{1}, ou bien e ∈ exp(𝔘)ϵ_{1}. On note E_{0} le sous-ensemble des e ∈ E qui vérifient cette dernière condition et, pour e ∈ E_{0}, on note X_{e} l’élément de 𝔘 tel que e = exp(X_{e})ϵ_{1}. On peut supposer que γ_{1} ∈ E et l’hypothèse γ_{1} ∈ V entraîne alors que γ_{1} ∈ E_{0}. Posons simplement X = X_{γ_{1}}. Montrons que :

(11) l’ensemble {X_{e}; e ∈ E_{0}} est un ensemble de représentants des classes de conjugaison par H_{1,ϵ_{1}}(F) dans la classe de conjugaison stable de X.

Soit e ∈ E_{0}. Il existe x ∈ H_{1} tel que e = x^{−1}γ_{1}x. Puisque e et γ_{1} appartiennent tous deux à exp(𝔘)ϵ_{1}, la propriété (5) et la connexité de H_{1}^{ϵ_{1}} entraînent que x appartient à H_{1,ϵ_{1}}. Alors X_{e} = x^{−1}Xx, donc X_{e} appartient à la classe de conjugaison stable de X. Inversement, soit Y dans cette classe de conjugaison stable. posons y = exp(Y)ϵ_{1}. Alors y est stablement conjugué à γ_{1} et il existe un unique e ∈ E tel que y soit conjugué à e par un élément de H_{1}(F). On considère cet élément e, soit x ∈ H_{1}(F) tel que y = x^{−1}ex. Rappelons que Y est stablement conjugué à X qui appartient à 𝔘. Grâce à (8), Y appartient lui-aussi à 𝔘, donc e appartient à E_{0}. De nouveau, la propriété (5) et la connexité de H_{1}^{ϵ_{1}} entraînent que x ∈ H_{1,ϵ_{1}}(F). Puis Y = x^{−1}X_{e}x. Cela montre que tout élément de la classe de conjugaison stable de X est conjugué par H_{1,ϵ_{1}}(F) à l’un des X_{e}. Enfin, pour deux éléments distincts e, e′ ∈ E_{0}, X_{e} et X_{e′} ne peuvent pas être conjugués par un élément de H_{1,ϵ_{1}}(F), sinon e et e′ le seraient par le même élément. Cela prouve (11).

Il en résulte que :

SO_{X}^{H_{1,ϵ_{1}}}(φ) = ∑_{e∈E_{0}} O_{X_{e}}^{H_{1,ϵ_{1}}}(φ).

En utilisant (10), on obtient :

SO_{X}^{H_{1,ϵ_{1}}}(φ) = ∑_{e∈E_{0}} O_{e}^{H_{1}}(f_{V}).

D’après (9) et la définition de E_{0}, on a O_{e}^{H_{1}}(f_{V}) = 0 pour tout e ∈ E \ E_{0}. D’où l’égalité :

SO_{X}^{H_{1,ϵ_{1}}}(φ) = ∑_{e∈E} O_{e}^{H_{1}}(f_{V}).

Le membre de droite ci-dessus est SO_{γ_{1}}^{H_{1}}(f_{V}). Puisque γ_{1} appartient à V, on peut supposer que X appartient à 𝔙. Le membre de gauche ci-dessus est égal à O_{γ_{1}}^{G̃,ω}(f) par l’hypothèse de l’énoncé. Mais alors V et f_{V} vérifient l’hypothèse du lemme 2.2. □

2.4 Descente pour l’espace tordu

Soit η un élément semi-simple de G̃(F). Les propriétés énoncées au paragraphe précédent s’étendent sans difficulté au cadre des espaces tordus. Ainsi, il existe un voisinage 𝔘 de 0 dans 𝔤_{η}(F) vérifiant les propriétés suivantes :

(1) 𝔘 est invariant par conjugaison stable ; pour X ∈ 𝔘, X est semi-simple régulier dans 𝔤_{η}(F) si et seulement si exp(X)η est semi-simple régulier dans G̃(F) ;

(2) soient X, Y ∈ 𝔘 et x ∈ G tels que x^{−1}exp(X)ηx = exp(Y)η; alors x ∈ G^{η}; a fortiori, si X ∈ 𝔘 est semi-simple régulier, on a l’inclusion G_{exp(X)η} ⊂ G_{η}.

On peut de plus supposer 𝔘 ouvert et fermé. Nous aurons besoin d’une version un peu plus sophistiquée de 2.3(6), que nous allons démontrer. Pour cela, on peut imposer de plus à 𝔘 de vérifier la propriété :

(3) soit C ⊂ G̃(F) un sous-ensemble compact ; alors l’ensemble des x ∈ G(F) tels que x^{−1}exp(𝔘)ηx ∩ C ≠ ∅ a pour image dans G_{η}(F)\G(F) un ensemble relativement compact.

Cette propriété est prouvée par Harish-Chandra dans le cas des groupes connexes ([HC] lemme 19) et s’étend au cadre des espaces tordus ([A] lemme 2.1).

On a déjà fixé une mesure de Haar sur G(F). Dans le lemme ci-dessous, on fixe des mesures de Haar sur les groupes G_{η}(F) et G_{exp(X)η}(F) qui figurent dans l’énoncé, et on munit les espaces quotients des mesures quotients.

Lemme. Soit η un élément semi-simple de G̃(F). Il existe un voisinage 𝔘 de 0 dans 𝔤_{η}(F), invariant par conjugaison par G_{η}(F), qui vérifie la propriété suivante. Soit f ∈ C_{c}^{∞}(G̃(F)). Alors il existe une fonction ϕ ∈ C_{c}^{∞}(𝔤_{η}(F)) telle que l’on ait l’égalité :

∫_{G_{exp(X)η}(F)\G(F)} ω(x)f(x^{−1}exp(X)ηx) dx = ∫_{G_{exp(X)η}(F)\G_{η}(F)} ω(x)ϕ(x^{−1}Xx) dx

pour tout élément X ∈ 𝔘 tel que exp(X)η ∈ G̃_{reg}(F) et ω soit trivial sur G_{exp(X)η}(F).

Preuve. Il suffit d’adapter la preuve de Harish-Chandra. On choisit 𝔘 ouvert et fermé vérifiant les conditions (1), (2) et (3). Soit S = {x ∈ G(F); ∃X ∈ 𝔘, x^{−1}exp(X)ηx ∈ Supp(f)\}. Notons \underline{S} l’adhérence de l’image de S dans G_{η}(F)\G(F). C’est un ensemble compact. On peut fixer une fonction α ∈ C_{c}^{∞}(G(F)) telle que la fonction :

\begin{aligned}\underline{α} : & G_{η}(F)\G(F) & → & ℂ \\ & x & ↦ & ∫_{G_{η}(F)} α(zx) dz \end{aligned}

soit la fonction caractéristique d’un ensemble compact contenant \underline{S}. Définissons la fonction ϕ sur 𝔘 par :

ϕ(X) = ∫_{G(F)} f(y^{−1}exp(X)ηy)α(y)ω(y) dy.

On prolonge ϕ à tout 𝔤_{η}(F) par 0 hors de 𝔘. Alors ϕ est localement constante et à support compact. Soit X ∈ 𝔘, supposons exp(X)η fortement régulier et ω trivial sur G_{exp(X)η}(F). Alors :

∫_{G_{exp(X)η}(F)\G_{η}(F)} ω(x)ϕ(x^{−1}Xx) dx =

∫_{G_{exp(X)η}(F)\G_{η}(F)} ∫_{G(F)} ω(x)f(y^{−1}x^{−1}exp(X)ηxy)α(y)ω(y) dy dx.

Cette intégrale est absolument convergente et on peut permuter les intégrales. On obtient :

∫_{G_{exp(X)η}(F)\G_{η}(F)} ω(x)ϕ(x^{−1}Xx) dx =

∫_{G(F)} ∫_{G_{exp(X)η}(F)\G_{η}(F)} f(y^{−1}x^{−1}exp(X)ηxy)α(y)ω(xy) dx dy

= ∫_{G_{η}(F)\G(F)} ∫_{G_{η}(F)} ∫_{G_{exp(X)η}(F)\G_{η}(F)} f(y^{−1}z^{−1}x^{−1}exp(X)ηxzy)α(zy)ω(xzy) dx dz dy.

Par le changement de variable x ↦ xz^{−1}, on obtient :

∫_{G_{exp(X)η}(F)\G_{η}(F)} ω(x)ϕ(x^{−1}Xx) dx =

∫_{G_{η}(F)\G(F)} ∫_{G_{η}(F)} ∫_{G_{exp(X)η}(F)\G_{η}(F)} f(y^{−1}x^{−1}exp(X)ηxy)α(zy)ω(xy) dx dz dy

= ∫_{G_{η}(F)\G(F)} ∫_{G_{exp(X)η}(F)\G_{η}(F)} f(y^{−1}x^{−1}exp(X)ηxy)\underline{α}(y)ω(xy) dx dy.

Si y ∈ G(F) est tel qu’il existe x ∈ G_{exp(X)η}(F)\G_{η}(F) pour lequel f(y^{−1}x^{−1}exp(X)ηxy) est non nul, on a y ∈ S et \underline{α}(y) = 1. On peut donc supprimer ce terme \underline{α}(y) dans l’expression ci-dessus et on obtient :

∫_{G_{exp(X)η}(F)\G_{η}(F)} ω(x)ϕ(x^{−1}Xx) dx =

∫_{G_{η}(F)\G(F)} ∫_{G_{exp(X)η}(F)\G_{η}(F)} f(y^{−1}x^{−1}exp(X)ηxy)ω(xy) dx dy

= ∫_{G_{exp(X)η}(F)\G(F)} ω(x)f(x^{−1}exp(X)ηx) dx,

ce qui est l’égalité requise. □

3 Classes de conjugaison stable et correspondances endoscopiques

3.1 Conjugaison stable dans G̃(F)

Notons G̃_{ss} l’ensemble des éléments semi-simples de G̃. Pour η ∈ G̃_{ss}, on a déjà défini le centralisateur G^{η} et sa composante neutre G_{η}. On note Z_{G}^{η} le commutant de η dans le centre Z_{G} de G. Remarquons que ce groupe est indépendant de η et est égal par exemple à Z_{G}^{θ}. On pose :

I_{η} = Z_{G}^{η}G_{η},

cf. [Lab 1] définition II.1.3. C’est évidemment un sous-groupe de G^{η}. Rappelons que si T^{♮} est un sous-tore maximal de G_{η}, le centralisateur T = Z_{G}(T^{♮}) est un sous-tore maximal de G conservé par Int(η). On a la propriété suivante :

(1) pour η, T^{♮} et T comme ci-dessus, on a l’égalité G_{η}T ∩ G^{η} = I_{η}.

Preuve. L’inclusion I_{η} ⊂ G_{η}T ∩ G^{η} est claire. Pour l’inclusion inverse, l’assertion étant géométrique, on peut supposer G = G^{∗}. On peut aussi conjuguer la situation et supposer que T = T^{∗} et η = νθ^{∗} où ν ∈ T^{∗}. Alors G_{η}T ∩G^{η} = G_{νθ^{∗}}^{∗}T^{∗,θ^{∗}}, T^{∗,θ^{∗}}∩G_{νθ^{∗}}^{∗} = T_{θ^{∗}}^{∗} (rappelons que T_{θ∗}^{∗} = (T^{∗,θ∗})^{0}) et il s’agit de prouver l’égalité T^{∗,θ^{∗}} = Z_{G^{∗}}^{θ^{∗}}T_{θ^{∗}}^{∗}. Introduisons le groupe adjoint G_{AD}^{∗} et l’image T_{ad}^{∗} de T^{∗} dans G_{AD}^{∗}. Considérons l’homomorphisme naturel :

T^{∗,θ^{∗}} → T_{ad}^{∗,θ^{∗}}.

L’image de T_{θ^{∗}}^{∗} est la composante neutre de T_{ad}^{∗,θ^{∗}}. Or ce groupe est connexe ([KS] paragraphe 1.1). La restriction à T_{θ^{∗}}^{∗} de l’homomorphisme ci-dessus est donc surjective. Donc T^{∗,θ^{∗}} est contenu dans le produit de sa composante neutre et du noyau de l’homomorphisme, lequel n’est autre que Z_{G^{∗}}^{θ^{∗}}. □

On a aussi :

(2) si η est fortement régulier, on a l’égalité G^{η} = I_{η}.

Preuve. Puisque η est fortement régulier, G^{η} est commutatif. Alors G_{η} est un tore que l’on peut noter T^{♮} et, avec les notations ci-dessus,on a G^{η} ⊂ T. Il reste à appliquer (1) □

D’après [Lab 1] définition III.1.1, pour η, η′ ∈ G̃_{ss}(F), on dit que η et η′ sont stablement conjugués si et seulement s’il existe y ∈ G tel que η′ = yηy^{−1} et σ(y)^{−1}y ∈ I_{η} pour tout σ ∈ Γ_{F}.

Pour η ∈ G̃_{ss}(F), on pose :

Y_{η} = {y ∈ G; ∀σ ∈ Γ_{F} , σ(y)^{−1}y ∈ I_{η}}.

Pour y ∈ Y_{η}, l’élément yηy^{−1} appartient à G̃_{ss}(F) et est stablement conjugué à η. L’automorphisme Int(y) se restreint en un torseur intérieur de G_{η} sur G_{yηy^{−1}}. L’ensemble Y_{η} est invariant par multiplication à gauche par G(F), à droite par I_{η}. L’ensemble des doubles classes :

G(F)\Y_{η}/I_{η}

est fini ([Lab 1], corollaire III.1.3). On fixe un sous-ensemble Ẏ_{η} ⊂ Y_{η} de représentants des doubles classes.

Remarque. Tout élément de la classe de conjugaison stable de η est conjugué par G(F) à yηy^{−1} pour un y ∈ Ẏ_{η}. Mais il n’y a pas toujours unicité de cet y, c’est-à-dire que ces éléments yηy^{−1} ne forment pas en général un ensemble de représentants des classes de conjugaison par G(F) dans la classe de conjugaison stable.

3.2 Diagrammes

On note H_{ss} l’ensemble des éléments semi-simples de H et H_{ss,z} le même ensemble mais vu comme sous-ensemble de H_{z}.

On fixe pour les paragraphes 3.2 à 3.10 inclus un élément ϵ ∈ H_{ss,z}(F).

On appelle diagramme issu de ϵ un octuplet D = (T^{♭}, T_{0}, T, T^{♮}, h, g_{0}, g_{1}, η) tel que :

(1) η ∈ G̃_{ss}(F) ;

(2) T^{♭}, resp. T_{0}, T^{♮}, est un sous-tore maximal défini sur F de H_{ϵ}, resp. G^{∗}, G_{η}, et T = Z_{G}(T^{♮}) (alors T est un sous-tore maximal défini sur F de G) ;

(3) h ∈ H_{SC}, g_{0} ∈ G_{θ^{∗},SC}^{∗}, g_{1} ∈ G_{SC}^{∗} (G_{θ^{∗},SC}^{∗} est le revêtement simplement connexe du groupe dérivé de la composante neutre du centralisateur de θ^{∗} dans G^{∗}; il est égal au commutant de θ^{∗} dans le revêtement simplement connexe G_{SC}^{∗} du groupe dérivé de G^{∗}) ;

(4) Int(h)(T^{♭}) = T_{H} ; Int(g_{0})(T_{0}) = T^{∗}, Int(g_{1}) ∘ ψ(T) = T_{0} ;

(5) les homomorphismes :

Int(g_{1}) ∘ ψ : T → T_{0} et Int(h^{−1}) ∘ ξ ∘ Int(g_{0}) : T_{0} → T^{♭}

sont définis sur F ;

(6) on a Int(g_{0}g_{1}) ∘ ψ̃(η) ∈ T^{∗}θ^{∗} et, si on note νθ^{∗} cet élément, avec ν ∈ T^{∗}, on a l’égalité Int(h^{−1}) ∘ ξ(ν) = ϵ.

Un diagramme D issu de ϵ étant donné, on posera, avec les notations ci-dessus, η_{D} = η, ν_{D} = ν, μ_{D} = ξ(ν_{D}) = Int(h)(ϵ). On note D(ϵ) l’ensemble des diagrammes issus de ϵ.

Lemme. Supposons D(ϵ) = ∅. Alors il existe un voisinage 𝔙 de 0 dans 𝔥_{ϵ}(F) vérifiant la condition : il n’existe aucun élément de D de la forme (exp(Y)ϵ, δ), où Y ∈ 𝔙.

Preuve. Fixons un voisinage 𝔙 de 0 dans 𝔥_{ϵ}(F) tel que, pour tout Y ∈ 𝔙, on ait l’inclusion H_{exp(Y)ϵ} ⊂ H_{ϵ}, cf. 2.3(5). Supposons qu’il existe un élément (exp(Y)ϵ, δ) ∈ D, avec Y ∈ 𝔙. D’après [KS], lemme 3.3.B, il existe un diagramme D = (T^{♭}, T_{0}, T, T^{♮}, h, g_{0}, g_{1}, δ) issu de exp(Y)ϵ. Puisque exp(Y)ϵ est fortement régulier, on a T^{♭} = H_{exp(Y)ϵ}. Puisque Y ∈ 𝔙, T^{♭} est inclus dans H_{ϵ}. Alors T^{♭} commute à la fois à ϵ et à exp(Y)ϵ, donc aussi à exp(Y). De plus, c’est un sous-tore maximal de H, donc ϵ ∈ T^{♭} et Y ∈ 𝔱^{♭}, plus exactement Y ∈ 𝔱^{♭}(F). L’application composée de la suite d’applications :

𝔱 →^{Int(g_{0}g_{1})∘ψ} 𝔱^{∗} →^{ξ} 𝔱_{H} →^{Int(h)^{−1}} 𝔱^{♭}

est définie sur F. Il en est de même de la restriction :

𝔱^{♮} →^{Int(g_{0}g_{1})∘ψ} 𝔱^{∗,θ^{∗}} →^{ξ} 𝔱_{H} →^{Int(h)^{−1}} 𝔱^{♭}.

Cette dernière est bijective car, d’après notre hypothèse de finitude de l’ordre de θ^{∗}, l’application ξ restreinte à 𝔱^{∗,θ^{∗}} est bijective. Soit X l’élément de 𝔱^{♮}(F) dont l’image par l’application ci-dessus est Y. Posons η = exp(−X)δ (à conjugaison près par G(F), on peut supposer que T appartient à un ensemble fixé fini de représentants des classes de conjugaison de tores dans G; quitte à restreindre 𝔙, on peut alors supposer que l’exponentielle est définie au point −X). Le tore T^{♮} est encore un sous-tore maximal de G_{η}. Et (T^{♭}, T_{0}, T, T^{♮}, h, g_{0}, g_{1}, η) est un diagramme issu de ϵ. □

3.3 Ensembles de racines

Posons X^{∗} = X^{∗}(T^{∗}), X_{∗} = X_{∗}(T^{∗}), X_{ℚ}^{∗} = X^{∗} ⊗_{ℤ} ℚ, X_{∗,ℚ} = X_{∗} ⊗_{ℤ} ℚ, notons Σ et Σ̌ les ensembles de racines et coracines de T^{∗} dans G^{∗}. Posons :

Y^{∗} = X^{∗}/(X^{∗} ∩ (1 − θ^{∗})X_{ℚ}^{∗}), Y_{∗} = X_{∗}/(X_{∗} ∩ (1 − θ^{∗})X_{∗,ℚ}),

et notons p^{∗} : X^{∗} → Y^{∗}, p_{∗} : X_{∗} → Y_{∗} les projections naturelles. Le groupe Θ^{∗} agit naturellement sur X^{∗} et X_{∗}. Remarquons que Y^{∗}, resp. Y_{∗} est naturellement le ℤ-module dual de X_{∗}^{Θ^{∗}}, resp. X^{∗,Θ^{∗}}. Pour α ∈ Σ, resp. α̌ ∈ Σ̌, on note N(α), resp. N(α̌), la somme des éléments de l’orbite de α, resp. α̌, sous l’action de Θ^{∗}. D’après [KS], paragraphe 1.3, on distingue trois types de racines : pour α ∈ Σ, on dit que α est de type 1, resp. 2,3, si 2p^{∗}(α) et \frac{1}{2}α n’appartiennent pas à p^{∗}(Σ), resp. 2p^{∗}(α) ∈ p^{∗}(Σ), resp. \frac{1}{2}α ∈ p^{∗}(Σ) (on montre que ces conditions sont exclusives l’une de l’autre). Pour α̌ ∈ Σ̌, on dit que α̌ est de type 1, resp. 2,3, si la racine associée α est de type 1, resp. 2,3. On pourrait d’ailleurs échanger les rôles des racines et coracines dans cette définition (et changer p^{∗} en p_{∗}), cela conduirait au même résultat. Posons :

Σ^{res} = p^{∗}(Σ) ⊂ Y^{∗},

Σ̌^{res} = {N(α̌); α̌ ∈ Σ̌, α̌ de type 1 ou 3} ∪ {2N(α̌); α̌ ∈ Σ̌, α̌ de type 2} ⊂ X_{∗}^{Θ^{∗}},

Σ_{res} = {N(α); α ∈ Σ, α de type 1 ou 3} ∪ {2N(α); α ∈ Σ, α de type 2} ⊂ X^{∗,Θ^{∗}},

Σ̌_{res} = p_{∗}(Σ̌) ⊂ Y_{∗}.

Alors Σ^{res} est un système de racines, en général non réduit, de système de coracines associé Σ̌^{res}. Et Σ_{res} est un système de racines, en général non réduit, de système de coracines associé Σ̌_{res}.

Via le plongement ξ̂, on identifie T̂_{H} à T̂θ̂ et via l’isomorphisme ξ, on identifie T_{Θ^{∗}}^{∗} à T_{H}. Modulo ces identifications, on a les égalités X^{∗}(T^{H}) = X^{∗,Θ^{∗}}, X_{∗}(T_{H}) = Y_{∗}. En utilisant [KS], paragraphe 1.3, on calcule les ensembles Σ_{H} et Σ̌_{H} de racines et coracines de H :

Σ_{H} = {N(α); α ∈ Σ, α de type 1, N(α̌)(s) = 1}∪

{2N(α); α ∈ Σ, α de type 2, N(α̌)(s) = 1}∪{N(α); α ∈ Σ, α de type 3, N(α̌)(s) = −1},

Σ̌_{H} = \{p_{∗}(α̌); α̌ ∈ Σ̌, N(α̌)(s) = \{ \begin{matrix}1, & si α̌ est de type 1 ou 2, \\ −1, & si α̌ est de type 3 \end{matrix} \}

(on a noté α ↔ α̌ la correspondance habituelle entre Σ et Σ̌ ; on rappelle que tout élément de X_{∗} définit un caractère de T̂, que l’on peut évaluer au point s, ce qui donne un sens à N(α̌)(s)).

Soit D̄ = (T̄^{♭}, T̄_{0}, T̄, T̄^{♮}, h̄, ḡ_{0}, ḡ_{1}, η̄) ∈ D(ϵ), posons μ̄ = μD̄, ν̄ = νD̄. Le groupe G_{ν̄θ^{∗}}^{∗} a pour tore maximal T_{θ^{∗}}^{∗}, et on a les égalités X^{∗}(T_{θ^{∗}}^{∗}) = Y^{∗}, X_{∗}(T_{θ^{∗}}^{∗}) = X_{∗}^{Θ^{∗}}. Notons ΣḠ et Σ̌Ḡ ses ensembles de racines et coracines. On les calcule :

ΣḠ = \{p^{∗}(α); α ∈ Σ, N(α)(ν̄) = \{ \begin{matrix}1, & si α est de type 1 ou 2, \\ −1, & si α est de type 3 \end{matrix} \},

Σ̌Ḡ = {N(α̌); α̌ ∈ Σ̌, α̌ de type 1, N(α)(ν̄) = 1}∪

{2N(α̌); α̌ ∈ Σ̌, α̌ de type 2, N(α)(ν̄) = 1}∪{N(α̌); α̌ ∈ Σ̌, α̌ de type 3, N(α)(ν̄) = −1}.

Le groupe Hμ̄ a pour tore maximal T_{H}. Notons Σ_{1} et Σ̌_{1} ses ensembles de racines et coracines. On calcule :

Σ_{1} = {N(α); α ∈ Σ, α de type 1, N(α̌)(s) = 1, N(α)(ν̄) = 1}∪
{2N(α); α ∈ Σ, α de type 2, N(α̌)(s) = 1, N(α)(ν̄) = ±1}∪
{N(α); α ∈ Σ, α de type 3, N(α̌)(s) = −1, N(α)(ν̄) = 1},

Σ̌_{1} = \{p_{∗}(α̌); α̌ ∈ Σ̌, (N(α)(ν̄), N(α̌)(s)) = \{ \begin{matrix}(1, 1), & si α̌ est de type 1, \\ (±1, 1), & si α̌ est de type 2, \\ (1, −1), & si α̌ est de type 3 \end{matrix} \}

(remarquons que, modulo les identifications que l’on a faites de T_{H} à T_{Θ^{∗}}^{∗} et X^{∗}(T_{H}) à X^{∗,Θ^{∗}}, on a l’égalité x^{∗}(μ̄) = x^{∗}(ν̄) pour tout x^{∗} ∈ X^{∗,Θ^{∗}}).

Nous allons définir une application :

ǐ: Σ̌_{1} → Σ̌Ḡ.

Soit α̌ ∈ Σ̌, supposons α̌ de type 1, N(α̌)(s) = 1 et N(α)(ν̄) = 1. Alors p_{∗}(α̌) appartient à Σ̌_{1} tandis que N(α̌) appartient à Σ̌Ḡ. On pose ǐ(p_{∗}(α̌)) = N(α̌). Cette définition est correcte car, si β̌ ∈ Σ̌ est tel que p_{∗}(β̌) = p_{∗}(α̌), alors β̌ appartient à l’orbite de α̌ sous l’action de Θ^{∗} et on a l’égalité N(β̌) = N(α̌). Les définitions qui suivent seront correctes pour la même raison.

Soit α̌ ∈ Σ̌, supposons α̌ de type 2, N(α̌)(s) = 1 et N(α)(ν̄) = 1. Alors p_{∗}(α̌) appartient à Σ̌_{1} tandis que 2N(α̌) appartient à Σ̌Ḡ. On pose ǐ(p_{∗}(α̌)) = 2N(α̌).

Soit α̌ ∈ Σ̌, supposons α̌ de type 2, N(α̌)(s) = 1 et N(α)(ν̄) = −1. Alors p_{∗}(α̌) appartient à Σ̌_{1}. Notons ℓ le nombre d’éléments de l’orbite de α̌ sous l’action de Θ^{∗}. D’après [KS] paragraphe 1.3, parce que α̌ est de type 2, ℓ est pair et, si l’on pose β̌ = α̌+ θ^{∗,ℓ/2}(α̌), β̌ est une coracine de type 3. Remarquons que p_{∗}(β̌) = 2p_{∗}(α̌) et N(β̌) = N(α̌). Alors N(β̌) appartient à Σ̌Ḡ. On pose ǐ(p_{∗}(α̌)) = N(β̌).

Soit α̌ ∈ Σ̌, supposons α̌ de type 3, N(α̌)(s) = −1 et N(α)(ν̄) = 1. Alors p_{∗}(α̌) appartient à Σ̌_{1}. Parce que α̌ est de type 3, il existe β̌ ∈ Σ̌ de type 2 et vérifiant les conditions suivantes. Notons ℓ le nombre d’éléments de l’orbite de β̌ sous l’action de Θ^{∗}. Comme on l’a dit ci-dessus, ℓ est pair. On a l’égalité α̌ = β̌ + θ^{∗,ℓ/2}(β̌). Alors 2N(β̌) appartient à Σ̌Ḡ. On pose ǐ(p_{∗}(α̌)) = 2N(β̌).

On a traité tous les cas possibles et cela définit l’application ǐ. Elle est évidemment injective. Remarquons que la restriction de p_{∗} à X_{∗}^{Θ^{∗}} est un homomorphisme injectif de ce ℤ-module dans Y_{∗}, de conoyau fini. Et, pour toute coracine γ̌ ∈ Σ̌_{1} ⊂ Y_{∗}, on a une égalité p_{∗} ∘ ǐ(γ̌) = b(γ̌)γ̌, où b(γ̌) ∈ ℚ_{>0}.

Notons Ω_{♯} le groupe de Weyl de Hμ̄, qui s’identifie naturellement à un sous-groupe de Ω_{H}. Notons ΩḠ le groupe de Weyl de G_{ν̄θ^{∗}}, qui s’identifie naturellement à un sous-groupe de Ω^{Θ^{∗}}. On a identifié Ω_{H} à un sous-groupe de Ω^{Θ^{∗}}. On déduit de la remarque ci-dessus :

(1) le groupe Ω_{♯} est un sous-groupe de ΩḠ; en particulier, pour γ̌ ∈ Σ̌_{1}, la symétrie associée à γ̌ (qui est un élément de Ω_{♯}) est égale à la symétrie associée à ǐ(γ̌) (qui est un élément de ΩḠ).

Posons :

Σ_{2} = \{p^{∗}(α); α ∈ Σ, (N(α)(ν̄), N(α̌)(s)) = \{ \begin{matrix}(1, 1), & si α est de type 1, \\ (1, ±1), & si α est de type 2, \\ (−1, 1), & , si α est de type 3 \end{matrix} ,

Σ̌_{2} = {N(α̌); α̌ ∈ Σ̌, α̌ de type 1, N(α)(ν̄) = 1, N(α̌)(s) = 1}
∪{2N(α̌); α̌ ∈ Σ̌, α̌ de type 2, N(α)(ν̄) = 1, N(α̌)(s) = ±1}
∪{N(α̌); α̌ ∈ Σ̌, α̌ de type 3, N(α)(ν̄) = −1, N(α̌)(s) = 1}.

On vérifie :

(2) Σ_{2} est un sous-système de racines de Σ^{res} et Σ̌_{2} est son ensemble de coracines associé dans Σ̌^{res}; Σ̌_{2} est l’image de Σ̌_{1} par l’application ǐ.

3.4 Diagrammes et classes de conjugaison stable

Lemme. Ou bien l’ensemble D(ϵ) est vide. Ou bien l’ensemble des éléments η_{D}, pour D ∈ D(ϵ), est inclus dans une classe de conjugaison stable dans G̃_{ss}(F).

Preuve. On suppose D(ϵ) non vide et on considère deux éléments D = (T^{♭}, T_{0}, T, T^{♮}, h, g_{0}, g_{1}, η) et D̄ = (T̄^{♭}, T̄_{0}, T̄, T̄^{♮}, h̄, ḡ_{0}, ḡ_{1}, η̄) de D(ϵ). Puisque T^{♭} et T̄^{♭} sont deux sous-tores maximaux de H_{ϵ}, il existe h′′ ∈ H_{ϵ,SC} tel que Int(h′′)(T^{♭}) = T̄^{♭}. On fixe un tel h′′ et on pose h′ = h̄h′′. On a l’égalité Int(h′)(T^{♭}) = T_{H}. L’élément h′h^{−1} appartient à N_{H}(T_{H}) et définit un élément de Ω_{H}. Puisque Ω_{H} est un sous-groupe de Ω^{Θ^{∗}}, lequel n’est autre que le groupe de Weyl du groupe G_{θ^{∗},SC}^{∗}, on peut choisir n ∈ G_{θ^{∗},SC}^{∗}, normalisant T^{∗}, de sorte que l’on ait l’égalité ξ ∘ Int(n)(t) = Int(h′h^{−1}) ∘ ξ(t) pour tout t ∈ T^{∗}. On fixe un tel n, on pose g′_{0} = ng_{0} et :

D′ = (T^{♭}, T_{0}, T, T^{♮}, h′, g′_{0}, g_{1}, η).

C’est encore un diagramme issu de ϵ. Il vérifie l’égalité Int(h′)(ϵ) = Int(h̄)(ϵ), i.e. μ_{D′} = μD̄. Il existe donc t^{∗} ∈ T^{∗} tel que ν_{D′}θ^{∗} = Int(t^{∗})(νD̄θ^{∗}). Fixons un tel t^{∗} et posons t̄ = ψ^{−1} ∘ Int(ḡ_{1}^{−1}ḡ_{0}^{−1})(t^{∗}). Alors t̄ ∈ T̄. Notons x l’élément de G_{SC} tel que g′_{0}g_{1}ψ(x) = ḡ_{0}ḡ_{1}. On a Int(x)(T̄) = T. Posons y = xt̄. On vérifie l’égalité :

(1) Int(y)(η̄) = η.

On va prouver que y appartient à Yη̄. Soit σ ∈ Γ_{F}. Puisque η̄ et η appartiennent tous deux à G̃(F), l’égalité ci-dessus entraîne :

(2) σ(y)^{−1}y ∈ Gη̄.

Puisque Int(x)(T̄) = T et T et T̄ sont tous deux définis sur F, σ(x)^{−1}x normalise T̄ et l’on voit que :

(3) σ(y)^{−1}y ∈ σ(x)^{−1}xT̄.

Posons u = Int(ḡ_{0}ḡ_{1}) ∘ ψ(σ(x)^{−1}x). On a les égalites :

u = Int(ḡ_{0}ḡ_{1}u(σ)) ∘ σ(ψ)(σ(x)^{−1})Int(ḡ_{0}ḡ_{1}) ∘ ψ(x)
= Int(ḡ_{0}ḡ_{1}u(σ)) ∘ σ(ψ(x)^{−1})Int(ḡ_{0}ḡ_{1}) ∘ ψ(x)
= ḡ_{0}ḡ_{1}u(σ)σ(ḡ_{0}ḡ_{1})σ(g′_{0}g_{1})u(σ)^{−1}(g′_{0}g_{1})^{−1}.

Parce que la restriction de Int(ḡ_{1}) ∘ ψ à T̄ est définie sur F, on voit que ḡ_{1}u(σ)σ(ḡ_{1})^{−1} ∈ T̄_{0}. De même, σ(g_{1})u(σ)^{−1}g_{1}^{−1} ∈ T_{0}. En permutant ces termes respectivement avec ḡ_{0} et g_{0}^{_{′}−1}, on obtient la relation :

u ∈ T^{∗}ḡ_{0}σ(ḡ_{0})^{−1}σ(g′_{0})g_{0}^{_{′}−1}T^{∗}.

Puisque Int(ḡ_{0})(T̄_{0}) = T^{∗} et que ces deux tores sont définis sur F, le terme ḡ_{0}σ(ḡ_{0})^{−1} appartient à N_{G^{∗}}(T^{∗}). De même, σ(g′_{0})g_{0}^{_{′}−1} ∈ N_{G^{∗}}(T^{∗}). On en déduit déjà :

u ∈ ḡ_{0}σ(ḡ_{0})^{−1}σ(g′_{0})g_{0}^{_{′}−1}T^{∗}.

Notons ω l’élément de Ω défini par ḡ_{0}σ(ḡ_{0})^{−1}σ(g′_{0})g_{0}^{_{′}−1}. On a l’égalité d’applications définies sur T^{∗} :

ξ ∘ ω = ξ ∘ Int(ḡ_{0}σ(ḡ_{0})^{−1}) ∘ Int(σ(g′_{0})g_{0}^{_{′}−1}).

Parce que Int(h̄^{−1}) ∘ ξ ∘ Int(ḡ_{0}) est défini sur F, on a :

ξ ∘ Int(ḡ_{0}σ(ḡ_{0})^{−1}) = Int(h̄σ(h̄)^{−1}) ∘ σ(ξ).

De même :

σ(ξ) ∘ Int(σ(g′_{0})g_{0}^{_{′}−1}) = Int(σ(h′)h^{_{′}−1}) ∘ ξ.

D’où :

ξ ∘ ω = Int(h̄σ(h̄)^{−1}σ(h′)h^{_{′}−1}) ∘ ξ = Int(h̄σ(h′′)h^{_{′′}−1}h̄^{−1}) ∘ ξ.

Mais h′′ ∈ H_{ϵ}. On en déduit que h̄σ(h′′)h^{_{′′}−1}h̄^{−1} appartient à Hμ̄, où μ̄ = μD̄ = μ_{D′}. Plus précisément, cet élément appartient au normalisateur de T_{H} dans Hμ̄. Il définit un élément du groupe noté Ω_{♯} au paragraphe 3.2. En utilisant 3.2(1), il existe donc ω′ ∈ ΩḠ tel que ξ ∘ ω = ξ ∘ ω′. Par construction, ω′ appartient à Ω^{Θ^{∗}}. C’est aussi le cas de ω, car g_{0} et g′_{0} appartiennent à G_{θ^{∗},SC}^{∗}. Or l’application qui, à un élément de Ω^{Θ^{∗}} , associe son action naturelle sur T_{Θ^{∗}}^{∗} est injective ([KS] paragraphe 1.1). Donc ω = ω′ ∈ ΩḠ, puis ḡ_{0}σ(ḡ_{0})^{−1}σ(g′_{0})g_{0}^{_{′}−1} ∈ G_{ν̄θ^{∗}}^{∗}T^{∗} et u ∈ G_{ν̄θ^{∗}}^{∗}T^{∗}. En revenant à la définition de u, on obtient la relation :

σ(x)^{−1}x ∈ Gη̄T̄.

En utilisant cette relation, les relations (2), (3) et 3.1(1), on obtient y ∈ Yη̄. Alors, d’après (1), η est stablement conjugué à η̄. □

3.5 Définition d’une donnée endoscopique

On suppose que D(ϵ) n’est pas vide. On fixe D̄ = (T̄^{♭}, T̄_{0}, T̄, T̄^{♮}, h̄, ḡ_{0}, ḡ_{1}, η̄) ∈ D(ϵ).

On pose ν̄ = νD̄, Ḡ = Gη̄, Ḡ^{∗} = G_{ν̄θ^{∗}}^{∗}. On note T̄^{∗} = T_{θ^{∗}}^{∗} et B̄^{∗} = B^{∗} ∩ Ḡ^{∗}. Le couple (T̄^{∗}, B̄^{∗}) est une paire de Borel de Ḡ^{∗}. On fixe un épinglage de Ḡ^{∗} relatif à cette paire de Borel. Puique Int(ḡ_{0}ḡ_{1}) ∘ ψ̃(η̄) = ν̄θ^{∗}, l’application Int(ḡ_{0}ḡ_{1}) ∘ ψ se restreint en un isomorphisme de Ḡ sur Ḡ^{∗}, que l’on note ψ̄. Le groupe Ḡ est défini sur F puisque η̄ ∈ G̃(F). Pour σ ∈ Γ_{F}, on peut fixer un élément ū(σ) ∈ Ḡ_{SC}^{∗} de sorte que l’application Int(ū(σ))^{−1} ∘ ψ̄ ∘ σ ∘ ψ̄^{−1} de Ḡ^{∗} dans lui-même conserve la paire (B̄^{∗}, T̄^{∗}) et l’épinglage. Cet élément est bien déterminé modulo ZḠ^{∗}. On peut alors définir une action de Γ_{F} sur Ḡ^{∗} de sorte que σ agisse par Int(ū(σ))^{−1} ∘ ψ̄ ∘ σ ∘ ψ̄^{−1}. Cela munit Ḡ^{∗} d’une structure de groupe quasi-déployé sur F. L’isomorphisme ψ̄ est un torseur intérieur : on a l’égalité ψ̄∘σ(ψ̄)^{−1} = Int(ū(σ)). Remarquons que, puisque T̄ est défini sur F, ψ̄∘σ ∘ψ̄^{−1} conserve T̄^{∗}, donc ū(σ) ∈ NḠ^{∗}(T̄^{∗}).

Introduisons le groupe ˆ Ḡ dual de Ḡ^{∗}, muni d’une paire de Borel ( ˆB̄, ˆ T̄) définie sur F, et le L-groupe ^{L}Ḡ. Remarquons que le X_{∗}(T̄_{sc}^{∗}) est le sous-ℤ-module de X_{∗}(T_{θ^{∗}}^{∗}) engendré par les coracines de T_{θ^{∗}}^{∗} dans Ḡ^{∗}. Grâce au calcul fait en 3.3 et avec les notations de ce paragraphe, X_{∗}(T̄_{sc}^{∗}) est donc le sous-ℤ-module de X_{∗} engendré par l’ensemble :

Σ̌Ḡ = {N(α̌); α̌ ∈ Σ̌, α̌ de type 1, N(α)(ν̄) = 1}∪

{2N(α̌); α̌ ∈ Σ̌, α̌ de type 2, N(α)(ν̄) = 1}∪{N(α̌); α̌ ∈ Σ̌, α̌ de type 3, N(α)(ν̄) = −1}.

On obtient dualement une suite exacte :

1 → Ẑν̄ → T̂ →^{τ̂} ˆ T̄_{ad} → 1

où Ẑν̄ est le sous-groupe (en général non connexe) des t ∈ T̂ vérifiant les conditions :

\{ \begin{matrix}N(α̌)(t) = 1 pour tout α̌ de type 1 tel que N(α)(ν̄) = 1, \\ N(α̌)(t) = ±1 pour tout α̌ de type 2 tel que N(α)(ν̄) = 1, \\ N(α̌)(t) = 1 pour tout α̌ de type 3 tel que N(α)(ν̄) = −1. \end{matrix}

Remarquons que Ẑν̄ contient le centre ZĜ ainsi que l’image (1 − θ̂)(T̂) de T̂ par l’application 1 − θ̂.

On a supposé s ∈ T̂. Posons s̄ = τ̂(s), ˆ H̄ = Z_{ˆḠ_{AD}}(s̄)^{0}, B̂H̄ = ˆ H̄ ∩ ˆ B̄_{ad}. Le couple

(B̂H̄, ˆ T̄_{ad}) est une paire de Borel de ˆ H̄. On fixe un épinglage relatif à cette paire. On va définir une action de Γ_{F} sur ˆ H̄ qui conserve la paire de Borel et l’épinglage. Soit σ ∈ Γ_{F}. On a déjà dit que ū(σ) normalisait T̄^{∗}. Notons n̄(σ) son image dans le groupe de Weyl de Ḡ^{∗}. Ce groupe est celui noté ΩḠ en 3.3. Il s’identifie au groupe de Weyl de ˆ Ḡ. Montrons que :

(1) n̄(σ)(σ(s̄)) = s̄.

Notons τ : T̄_{sc}^{∗} → T^{∗} la projection naturelle. Par définition de l’action galoisienne sur Ḡ^{∗} et Ḡ_{SC}^{∗}, on a la relation :

τ ∘ Int(ū(σ)) ∘ σ = Int(ḡ_{0}ḡ_{1}) ∘ ψ ∘ σ ∘ ψ^{−1} ∘ Int(ḡ_{0}ḡ_{1})^{−1} ∘ τ.

Posons x̄(σ) = ḡ_{0}ḡ_{1}u(σ)σ(ḡ_{0}ḡ_{1})^{−1}. Le membre de droite ci-dessus est égal à Int(x̄(σ)) ∘ σ ∘ τ. L’élément x̄(σ) normalise T^{∗} et définit un élément de Ω que l’on note m̄(σ). En fait, cet élément appartient à Ω^{Θ^{∗}} car ḡ_{1}u(σ)σ(ḡ_{1}^{−1}) ∈ T̄_{0} et ḡ_{0} ∈ G_{θ^{∗},SC}^{∗}. On obtient dualement la relation :

(2) n̄(σ) ∘ σ ∘ τ̂ = τ̂ ∘ m̄(σ) ∘ σ.

L’élément h̄σ(h̄)^{−1} de H normalise T_{H}. Notons m̄_{H}(σ) son image dans Ω_{H}. En utilisant le fait que l’application :

Int(h̄)^{−1} ∘ ξ ∘ Int(ḡ_{0}ḡ_{1}) ∘ ψ : T̄ → T̄^{♭}

est définie sur F, on obtient l’égalité :

(3) m̄_{H}(σ) ∘ σ ∘ ξ = ξ ∘ m̄(σ) ∘ σ.

De nouveau, on a l’égalité duale :

ξ̂∘ m̄_{H}(σ) ∘ σ = m̄(σ) ∘ σ ∘ ξ̂.

On a dit que l’on identifiait Ω_{H} à un sous-groupe de Ω. L’égalité précédente s’écrit alors :

(4) ξ̂∘ σ = m̄_{H}(σ)^{−1}m̄(σ) ∘ σ ∘ ξ̂.

Choisissons une extension galoisienne finie E de F telle que G^{∗} et H soient déployés sur E. Puisque l’application W_{F} → Γ_{F} /Γ_{E} est surjective, on peut fixer w ∈ W_{F} qui ait même image que σ dans Γ_{F} /Γ_{E} et qui agisse donc de la même façon sur Ĝ et Ĥ. Choisissons h_{w} ∈ H dont l’image dans W_{F} soit w et tel que Int(h_{w}) agisse sur Ĥ comme σ. Posons ξ̂(h_{w}) = (g_{w}, w) ∈ ^{L}G. Evidemment g_{w} normalise T̂ et définit un élément de Ω que l’on note ω(σ). On a l’égalité :

(5) ξ̂∘ σ = ω(σ) ∘ σ ∘ ξ̂.

L’hypothèse 1.3(4)(a) entraîne l’égalité :

(6) sθ̂(g_{w}) = a(h_{w})g_{w}σ(s).

En particulier, g_{w} et θ̂(g_{w}) ont même image dans Ω, donc ω(σ) ∈ Ω^{Θ^{∗}}. Deux éléments de ce groupe qui agissent de la même façon sur ξ̂(T̂_{H}) = T̂θ̂ sont égaux. Grâce à l’égalité (5), il en résulte d’abord que notre notation est justifiée : l’élément ω(σ) ne dépend que de σ et pas des choix de w et h_{w}. Ensuite, en comparant avec (4), on obtient l’égalité m̄(σ) = m̄_{H}(σ)ω(σ). Puisque Ω^{Θ^{∗}} est égal au groupe de Weyl de Ĝθ̂, on peut écrire g_{w} = t_{w}g′_{w}, où t_{w} ∈ T̂ et g′_{w} ∈ Ĝθ̂. L’égalité (6) entraîne :

s = a(h_{w})t_{w}θ̂(t_{w})^{−1}ω(σ) ∘ σ(s).

On a a(h_{w})t_{w}θ̂(t_{w})^{−1} ∈ ZĜ(1 − θ̂)(T̂) ⊂ Ẑν̄, donc ω(σ) ∘ σ(s) ∈ Ẑν̄s. Puisque ξ̂(Ĥ) centralise s, on a aussi m̄_{H}(σ)(s) = s, d’où m̄(σ) ∘ σ(s) ∈ Ẑν̄s. Grâce à (2) et à la définition s̄ = τ̂(s), on en déduit (1).

Relevons n̄(σ) en un élément ḡ_{σ} ∈ N_{ˆḠ_{AD}}( ˆT̄_{ad}). Grâce à (1), l’automorphisme Int(ḡ_{σ})∘

σ de ˆ Ḡ_{AD} conserve ˆ H̄. Quitte à multiplier à gauche ḡ_{σ} par un élément de ˆ H̄, on peut supposer qu’il conserve aussi la paire (B̂H̄, ˆ T̄_{ad}) et l’épinglage. Alors ḡ_{σ} est uniquement déterminé modulo le centre Z_{ˆH̄} et on peut définir une action galoisienne sur ˆ H̄ en faisant agir σ par Int(ḡ_{σ}) ∘ σ. Il est clair que cette action se factorise par un quotient Γ_{F} /Γ_{E}, où E est une extension galoisienne finie suffisamment grande de F (il suffit que G^{∗} et H soient déployés et que h̄ et ḡ_{0} soient définis sur E). Fixons une telle extension. Notons H̄ le sous-groupe de ^{L}Ḡ_{AD} engendré par ˆ H̄ et les éléments (ḡ_{σ}, w) tels que σ ∈ Γ_{F} et w ∈ W_{F} aient même image dans Γ_{F} /Γ_{E}, où ḡ_{σ} est comme ci-dessus. Cette définition ne dépend pas du choix de ces éléments ḡ_{σ}. Le groupe H̄ est une extension de W_{F} par ˆH̄. En utilisant de lemme A.1 de l’appendice A, on voit qu’elle est scindée. D’après (1), on a l’inclusion H̄ ⊂ Z_{L}Ḡ_{AD}(s̄). On note ˆ ξ̄ : H̄ → ^{L}Ḡ_{AD} l’injection naturelle. Fixons enfin un groupe réductif connexe H̄, défini sur F et quasi-déployé, dont ˆ H̄ soit le groupe dual. Alors le quadruplet (H̄, H̄, s̄, ˆ ξ̄) est une donnée endoscopique pour le groupe Ḡ_{SC}^{∗} (il s’agit d’endoscopie ordinaire, avec automorphisme et caractère triviaux). C’est aussi une donnée endoscopique pour le groupe Ḡ_{SC} qui est une forme intérieure de Ḡ_{SC}^{∗}.

Soit y ∈ Ẏη̄. Posons Ḡ[y] = G_{yη̄y^{−1}}. L’automorphisme Int(y^{−1}) est un torseur intérieur de Ḡ[y] sur Ḡ. Alors ψ̄ ∘ Int(y^{−1}) : Ḡ[y] → Ḡ^{∗} est un torseur intérieur, que l’on note ψ̄[y]. Le quadruplet (H̄, H̄, s̄, ˆ ξ̄) est encore une donnée endoscopique pour Ḡ[y]_{SC}.

Remarque. (7) Supposons le caractère ω trivial. Alors le cocycle a de 1.3 (4)(a) est un cobord et on peut fixer z ∈ ZĜ tel que a(w) = z^{−1}w(z) pour tout w ∈ W_{F}. En remplaçant s par sz, on est ramené à une situation où a = 1. On peut alors reprendre les constructions ci-dessus en travaillant avec le groupe Ḡ^{∗} et non plus avec le revêtement simplement connexe Ḡ_{SC}^{∗} de son groupe dérivé : on définit une donnée endoscopique pour le groupe Ḡ^{∗} dont (H̄, H̄, s̄, ˆ ξ̄) est le relèvement usuel. Le point est que, pour assurer la condition (1), on n’a plus besoin d’envoyer s dans ˆ T̄_{ad}, il suffit de l’envoyer dans ˆ T̄, i.e. en notant s̃ cette image de s dans ˆ T̄, on a maintenant l’égalité n̄(σ)(σ(s̃)) = s̃.

3.6 Une donnée endoscopique non standard

On note H_{♯}(F) l’ensemble des éléments semi-simples de H_{z}(F) dont le commutant connexe est quasi-déployé.

On suppose dans ce paragraphe et jusqu’en 3.10 inclus que ϵ ∈ H_{♯}(F) et que D(ϵ) n’est pas vide.

On reprend les constructions du paragraphe précédent et on fixe de plus une paire de Borel (B^{♭∗}, T^{♭∗}) de H_{ϵ}, définie sur F. Posons B̄^{♭} = H_{ϵ} ∩ Int(h̄^{−1})(B_{H}). Alors (B̄^{♭}, T̄^{♭}) est une paire de Borel de H_{ϵ} et on peut fixer h̄_{0} ∈ H_{ϵ,SC} tel que Int(h̄_{0})^{−1} envoie cette paire sur (B^{♭∗}, T^{♭∗}). On a la suite d’homomorphismes :

(1) T_{sc}^{♭∗} × Z_{H_{ϵ}}^{0} → T^{♭∗} →^{Int(h̄h̄_{0})} T_{H}

(on rappelle que T_{sc}^{♭∗} est l’image réciproque de T^{♭∗} dans le revêtement simplement connexe H_{ϵ,SC} du groupe dérivé de H_{ϵ}).

D’autre part, fixons une paire de Borel (BH̄, TH̄) du groupe H̄, définie sur F. On note ξ̄: TH̄ → T̄_{sc}^{∗} l’isomorphisme dual de ˆ ξ̄. On a la suite d’homomorphismes :

(2) T_{H̄,sc} × Z0 ; H̄ × Z0 ; Ḡ^{∗} → TH̄ × Z0 ; Ḡ^{∗} →^{ξ̄×id} T̄_{sc}^{∗} × Z0 ; Ḡ^{∗} → T_{θ^{∗}}^{∗}.

Enfin considérons l’homomorphisme :

(3) ξ : T_{θ^{∗}}^{∗} → T_{Θ^{∗}}^{∗} ≃ T_{H}.

Notre hypothèse que θ^{∗} est d’ordre fini entraîne que cet homomorphisme est une isogénie, c’est-à-dire qu’il est surjectif et de noyau fini. Il en est de même de chacun des homomorphismes intervenant dans les suites (1) et (2). Toute isogénie entre deux tores T_{1} et T_{2} détermine un couple d’isomorphismes en dualité :

X_{∗,ℚ}(T_{1}) → X_{∗,ℚ}(T_{2}), X_{ℚ}^{∗}(T_{2}) → X_{ℚ}^{∗}(T_{1}),

où on note par exemple X_{∗,ℚ}(T_{1}) = X_{∗}(T_{1}) ⊗_{ℤ} ℚ. En particulier, on déduit des suites d’applications (1), (2) et (3) un couple d’isomorphismes en dualité :

(4) j_{∗} : X_{∗,ℚ}(T_{sc}^{♭∗}) ⊕ X_{∗,ℚ}(Z_{H_{ϵ}}^{0}) → X_{∗,ℚ}(T_{H̄,sc}) ⊕ X_{∗,ℚ}(Z0 ; H̄) ⊕ X_{∗,ℚ}(Z0 ; Ḡ^{∗}),

j^{∗} : X_{ℚ}^{∗}(T_{H̄,sc}) ⊕ X_{ℚ}^{∗}(Z0 ; H̄) ⊕ X_{ℚ}^{∗}(Z0 ; Ḡ^{∗}) → X_{ℚ}^{∗}(T_{sc}^{♭∗}) ⊕ X_{ℚ}^{∗}(Z_{H_{ϵ}}^{0}).

Tous les ℤ-modules intervenant ci-dessus sont munis d’une action de Γ_{F} (l’action sur Z0 ; Ḡ^{∗} est déduite de celle sur Ḡ^{∗}).

Lemme. (i) L’isomorphisme j_{∗} se restreint en des isomorphismes de X_{∗,ℚ}(T_{sc}^{♭∗}) sur X_{∗,ℚ}(T_{H̄,sc}) et de X_{∗,ℚ}(Z_{H_{ϵ}}^{0}) sur X_{∗,ℚ}(Z0 ; H̄) ⊕ X_{∗,ℚ}(Z0 ; Ḡ^{∗}). L’isomorphisme j^{∗} se restreint en des isomorphismes de X_{ℚ}^{∗}(T_{H̄,sc}) sur X_{ℚ}^{∗}(T_{sc}^{♭∗}) et de X_{ℚ}^{∗}(Z0 ; H̄) ⊕ X_{ℚ}^{∗}(Z0 ; Ḡ^{∗}) sur X_{ℚ}^{∗}(Z_{H_{ϵ}}^{0}).

(ii) Ces isomorphismes sont équivariants pour les actions de Γ_{F}.

(iii) Le triplet (H_{ϵ,SC}, H̄_{SC}, j_{∗}) vérifie les conditions (1) et (2) de 1.7 (ici, on a encore noté j_{∗} l’isomorphisme de X_{∗,ℚ}(T_{sc}^{♭∗}) sur X_{∗,ℚ}(T_{H̄,sc}) restriction de l’homomorphisme (4)).

Preuve. Utilisons les notations de 3.3. On a X_{∗}(T_{θ^{∗}}^{∗}) = X_{∗}^{Θ^{∗}}, X_{∗}(T_{H}) = Y_{∗}. On a défini des ensembles Σ̌_{1} et Σ̌_{2}. Via le plongement X_{∗}(T_{sc}^{♭∗}) → Y_{∗} issu de la suite d’applications (1), Σ̌_{1} s’identifie à l’ensemble de coracines du groupe H_{ϵ,SC}. Via le plongement X_{∗}(T_{H̄,sc}) → X_{∗}^{Θ^{∗}} issu de la suite d’applications (2), l’ensemble Σ̌_{2} s’identifie à l’ensemble de coracines du groupe H̄_{SC}. D’après la remarque 3.3(2), l’application ǐ définie en 3.3 est une bijection de Σ̌_{1} sur Σ̌_{2}. D’autre part, p_{∗} définit un isomorphisme de X_{∗,ℚ}^{Θ^{∗}} sur Y_{∗,ℚ} et, pour γ̌ ∈ Σ̌_{1}, ǐ(γ̌) est égal à l’image inverse par cet isomorphisme de γ̌, multiplié par un rationnel > 0. Il en résulte que l’image par j_{∗} de l’espace engendré par Σ̌_{1} est l’espace engendré par Σ̌_{2}, autrement dit que j_{∗}(X_{∗,ℚ}(T_{sc}^{♭∗})) = X_{∗,ℚ}(T_{H̄,sc}). Un même raisonnement vaut en utilisant les racines au lieu des coracines. On obtient l’égalité j^{∗}(X_{ℚ}^{∗}(T_{H̄,sc})) = X_{ℚ}^{∗}(T^{♭∗}). L’assertion (i) de l’énoncé résulte par dualité de ces deux égalités.

Du raisonnement ci-dessus résulte également que le triplet (H_{ϵ,SC}, H̄_{SC}, j_{∗}) vérifie la condition (1) de 1.7. Il reste à prouver le (ii) de l’énoncé, d’où résultera la condition (2) de 1.7.

Reprenons les calculs et notations de 3.5. On a muni Ḡ^{∗} d’une action de Γ_{F}. Sur T̄^{∗} = T_{θ^{∗}}^{∗}, c’est l’action telle que tout σ ∈ Γ_{F} agisse par n̄(σ)^{−1}m̄(σ) ∘ σ (le dernier σ désignant l’action provenant de la structure de G^{∗} sur F). Notons σḠ^{∗} cette action. En reprenant les définitions, on voit que l’application naturelle TH̄ → T_{θ^{∗}}^{∗} transporte l’action de Γ_{F} sur TH̄ en une action sur T_{θ^{∗}}^{∗} de la forme σ ↦ r̄_{2}(σ)n̄(σ) ∘ σḠ^{∗}, où r̄_{2}(σ) est un élément du groupe de Weyl Ω_{2} engendré par les symétries relatives aux coracines appartenant à Σ̌_{2}. Identifions X_{∗,ℚ}(T_{H̄,sc}) ⊕ X_{∗,ℚ}(Z0 ; H̄) ⊕ X_{∗,ℚ}(Z0 ; Ḡ^{∗}) à X_{∗,ℚ}^{Θ^{∗}} par l’isomorphisme issu de la suite d’applications (2). Alors l’action naturelle de Γ_{F} sur le premier espace se transporte en l’action pour laquelle σ agit par r̄_{2}(σ)n̄(σ) ∘ σḠ^{∗} sur les deux premiers facteurs, et par σḠ^{∗} sur le troisième. Puisque r̄_{2}(σ)n̄(σ) appartient au groupe de Weyl de Ḡ^{∗}, il agit trivialement sur ce facteur X_{∗,ℚ}(Z0 ; Ḡ^{∗}), et on peut aussi bien faire agir σ sur tout X_{∗,ℚ}^{Θ^{∗}} par r̄_{2}(σ)n̄(σ) ∘ σḠ^{∗}, autrement dit par r̄_{2}(σ)m̄(σ) ∘ σ. D’autre part, la suite d’applications (1) transporte l’action de Γ_{F} sur l’espace de départ en l’action sur T_{H} définie par σ ↦ Int(h̄h̄_{0}σ(h̄h̄_{0})^{−1}) ∘ σ_{H}, où, pour plus de précision, on note σ_{H} l’action provenant de la structure de H sur F. En se rappelant que h̄_{0} ∈ H_{ϵ,SC}, cette action est de la forme σ ↦ r̄_{1}(σ)m̄_{H}(σ) ∘ σ_{H}, où r̄_{1}(σ) est un élément du groupe de Weyl Ω_{1} engendré par les coracines appartenant à Σ̌_{1}. Identifions X_{∗,ℚ}(T_{sc}^{♭∗})⊕X_{∗,ℚ}(Z_{H_{ϵ}}^{0}) à Y_{∗,ℚ} via la suite d’applications (1). Alors l’action naturelle sur l’ensemble de départ se transporte en l’action σ ↦ r̄_{1}(σ)m̄_{H}(σ)∘σ_{H}. D’après 3.5(3), l’isomorphisme de X_{∗,ℚ}^{Θ^{∗}} sur Y_{∗,ℚ} issu de (3) transporte l’action σ ↦ m̄(σ) ∘ σ en l’action σ ↦ m̄_{H}(σ) ∘ σ_{H}. D’autre part, d’après 1.7(1) et ce que l’on a déjà prouvé, cet isomorphisme identifie les deux groupes Ω_{1} et Ω_{2}. On en déduit que, pour tout σ ∈ Γ_{F}, il existe r̄(σ) dans le groupe de Weyl de H̄ (lequel s’identifie à Ω_{2}), de sorte que l’on ait la relation :

(5) j_{∗} ∘ σ = r̄(σ) ∘ σ ∘ j_{∗}.

On a fixé dans chacun des groupes H_{ϵ,SC} et H̄_{SC} des paires de Borel définies sur F. On en déduit des sous-ensembles de coracines positives. En reprenant les constructions, il est facile de les déterminer. Modulo l’identification de l’ensemble des coracines de H_{ϵ,SC} à Σ̌_{1}, resp. de H̄_{SC} à Σ̌_{2}, ce sont les ensembles de coracines décrits de la même façon qu’en 3.3, resp. que ci-dessus, en ajoutant la condition que les coracines α̌ doivent être positives dans Σ̌, pour l’ordre relatif à la paire de Borel (B^{∗}, T^{∗}). On en déduit que j_{∗} envoie toute coracine positive de H_{ϵ,SC} sur un multiple rationnel > 0 d’une coracine positive de H̄_{SC}. Mais alors l’élément r̄(σ) qui intervient dans (5) est nécessairement égal à 1. Donc j_{∗} est équivariante pour les actions de Γ_{F}, ce qui achève la preuve. □

3.7 Contraintes sur les données endoscopiques non standard

On a classifié en 1.7 les triplets endoscopiques non standards. Etudions quels sont les triplets (H_{ϵ,SC}, H̄_{SC}, j_{∗}) que l’on peut obtenir. Puisqu’il s’agit de déterminer des systèmes de racines, on peut se placer sur F̄, supposer G^{∗} simplement connexe et décomposer G^{∗} en produit de composantes quasi-simples permutées par Θ^{∗}. Le triplet (H_{ϵ,SC}, H̄_{SC}, j_{∗}) se décompose en produit de façon telle que l’on est ramené au cas où Θ^{∗} agit de façon transitive sur l’ensemble des composantes quasi-simples. Dans ce cas, en fixant une telle composante G_{0}^{∗}, on peut identifier G^{∗} au produit G_{0}^{∗} × ... × G_{0}^{∗} de m facteurs G_{0}^{∗}, m étant un entier > 0, de telle sorte que l’action de θ^{∗} soit donnée par θ^{∗}(g_{1}, ..., g_{m}) = (θ_{0}^{∗}(g_{m}), g_{1}, ..., g_{m−1}), θ_{0}^{∗} étant un certain automorphisme de G_{0}^{∗}. On peut aussi fixer une paire de Borel (B_{0}^{∗}, T_{0}^{∗}) de G_{0}^{∗}, conservée par θ_{0}^{∗}, et supposer que la paire (B^{∗}, T^{∗}) est le produit de m facteurs (B_{0}^{∗}, T_{0}^{∗}). On voit que, quitte à conjuguer ν̄θ^{∗}, on peut supposer que ν̄ est de la forme (ν̄_{0}, 1, ..., 1), avec ν̄_{0} ∈ T_{0}^{∗}. Dans ce cas, G_{ν̄θ^{∗}}^{∗} est isomorphe à G_{0,ν̄_{0}θ_{0}^{∗}}^{∗}, plus précisément c’est l’ensemble des (g, ..., g) pour g ∈ G_{0,ν̄_{0}θ_{0}^{∗}}^{∗}.

Considérons d’abord le cas où θ_{0}^{∗} est l’identité. Alors toutes les racines sont de type 1 (des racines de type 2 ou 3 n’interviennent que si G_{0}^{∗} est de type A_{n} avec n pair et θ_{0}^{∗} est d’ordre 2, cf. [KS] 1.3). Les orbites pour l’action de Θ^{∗} dans l’ensemble de racines Σ ont toutes m éléments. En reprenant la démonstration du paragraphe précédent, on voit que la fonction b̌ qui intervient dans la condition (1) de 1.7 est constante de valeur \frac{1}{m}. En examinant la classification de 1.7, le triplet (H_{ϵ,SC}, H̄_{SC}, j_{∗}) est alors nécessairement égal à un produit de triplets ”tautologiques”.

Supposons maintenant G_{0}^{∗} de type A_{n} ou D_{n} et θ_{0}^{∗} d’ordre 2. Les systèmes de racines possibles pour G_{0,ν̄_{0}θ_{0}^{∗}}^{∗} sont déterminés par [Kac] proposition 8.6. On voit que G_{0,ν̄_{0}θ_{0}^{∗},SC}^{∗} est produit de groupes classiques, c’est-à-dire de types A_{n}, B_{n}, C_{n} ou D_{n} (ce n’est bien sûr plus le même n). Alors ˆ Ḡ_{AD} est lui-aussi produit de groupes classiques. Puis ˆ H̄, qui est le commutant d’un élément semi-simple dans ˆ Ḡ_{AD}, est lui aussi ”classique”, c’est-à-dire que ˆ H̄_{SC} est produit de groupes classiques. Enfin H̄_{SC} est produit de groupes classiques. Donc (H_{ϵ,SC}, H̄_{SC}, j_{∗}) est produit de triplets qui sont tautologiques ou de type (B_{n}, C_{n}) ou de type (C_{n}, B_{n}).

Une étude analogue vaut si G_{0}^{∗} est de type E_{6} et θ_{0}^{∗} est d’ordre 2, ou si G_{0}^{∗} est de type D_{4} et θ_{0}^{∗} est d’ordre 3. On voit que, dans le premier cas, (H_{ϵ,SC}, H̄_{SC}, j_{∗}) est produit de triplets qui sont tautologiques ou de type (B_{n}, C_{n}) ou de type (C_{n}, B_{n}) ou de type (F_{4}). Dans le second, (H_{ϵ,SC}, H̄_{SC}, j_{∗}) est produit de triplets qui sont tautologiques ou de type (G_{2}).

3.8 Décomposition locale des classes de conjugaison stable

On a la décomposition :

𝔥_{ϵ} = 𝔥_{ϵ,SC} ⊕ 𝔷_{H_{ϵ}}.

Soit Y ∈ 𝔥_{ϵ}(F). On décompose Y en Y = Y_{SC} +Y_{Z}, avec Y_{SC} ∈ 𝔥_{ϵ,SC}(F) et Y_{Z} ∈ 𝔷_{H_{ϵ}}(F). On pose γ = exp(Y)ϵ ∈ H_{z}(F). On suppose que γ est G̃-fortement régulier. Notons C̃ l’ensemble des δ ∈ G̃(F) tels que (γ, δ) ∈ D. On sait que C̃ est vide ou est une classe de conjugaison stable dans G̃(F). On note C̃/ ∼ l’ensemble des classes de conjugaison par G(F) contenues dans C̃.

On a défini un triplet endoscopique non standard (H_{ϵ,SC}, H̄_{SC}, j_{∗}). En dérivant les diverses applications définies en 3.6, on obtient des applications entre les algèbres de Lie, selon le diagramme suivant :

(1) 𝔱_{sc}^{♭∗} ⊕ 𝔷_{H_{ϵ}} → 𝔱_{H} → 𝔱^{∗,Θ^{∗}} → 𝔱H̄_{SC} ⊕ 𝔷H̄ ⊕ 𝔷Ḡ^{∗}.

Toutes ces applications sont des isomorphismes. On note encore j_{∗} leur composé. Il est équivariant pour les actions de Γ. D’après le lemme 3.6, j_{∗} se restreint en des isomorphismes de 𝔱_{sc}^{♭∗} sur 𝔱H̄_{SC} et de 𝔷_{H_{ϵ}} sur 𝔷H̄ ⊕𝔷Ḡ^{∗}. Comme on l’a dit en 1.7, de j_{∗} se déduit une correspondance bijective entre les classes de conjugaison stable semi-simples régulières dans 𝔥_{ϵ,SC}(F) et les classes analogues dans 𝔥̄_{SC}(F). Remarquons que l’hypothèse que γ est G̃-fortement régulier entraîne que Y_{SC} est semi-simple régulier ([KS] lemme 3.3.C). Soit donc Ȳ_{SC} ∈ 𝔥̄_{SC}(F) un élément appartenant à la classe de conjugaison stable correspondant à celle de Y_{SC}. Posons j_{∗}(Y_{Z}) = Ȳ_{Z} + X_{Z}^{∗}, avec Ȳ_{Z} ∈ 𝔷H̄(F) et X_{Z}^{∗} ∈ 𝔷Ḡ^{∗}(F). On a la décomposition :

𝔥̄ = 𝔥̄_{SC} ⊕ 𝔷H̄.

Posons Ȳ = Ȳ_{SC} +Ȳ_{Z} ∈ 𝔥̄(F). Rappelons que, pour tout y ∈ Ẏη̄, on a construit un groupe Ḡ[y] tel que (H̄, H̄, s̄, ˆ ξ̄) soit une donnée endoscopique de Ḡ[y]_{SC}. En reprenant les calculs de systèmes de racines effectués en 3.3, on montre que l’hypothèse que γ est G̃-fortement régulier entraîne que Ȳ est Ḡ[y]_{SC}-régulier. La classe de conjugaison stable de Ȳ dans 𝔥̄(F) peut se transférer ou non à 𝔤̄[y]_{SC}(F). Si oui, elle se transfère en une unique classe de conjugaison stable de 𝔤̄[y]_{SC}(F) que l’on note C̄[y]_{SC}. Si non, on pose C̄[y]_{SC} = ∅. Comme tout torseur intérieur, ψ̄[y] se restreint en un isomorphisme défini sur F entre les centres des groupes Ḡ[y] et Ḡ^{∗}. On pose X_{Z}[y] = ψ̄[y]^{−1}(X_{Z}^{∗}) ∈ 𝔷_{Ḡ[y]}(F). Alors l’ensemble C̄[y] = X_{Z}[y] + C̄[y]_{SC} est une classe de conjugaison stable dans 𝔤̄[y](F) (qui est vide si C̄[y]_{SC} l’est). On note C̄ la réunion disjointe des ensembles C̄[y] quand y parcourt Ẏη̄. On introduit une relation d’équivalence sur cet ensemble de la façon suivante. Pour tout y ∈ Ẏη̄, le groupe I_{yη̄y^{−1}}(F) agit par conjugaison sur Ḡ[y], donc aussi sur 𝔤̄[y], et cette action est définie sur F. On dit que deux éléments X, X′ ∈ C̄ sont équivalents s’il existe y ∈ Ẏη̄ et x ∈ I_{yη̄y^{−1}}(F) tels que X, X′ ∈ C̄[y] et X′ = xXx^{−1}. On note C̄/ ∼ l’ensemble des classes d’équivalence dans C̄.

On définit une application :

φ : C̄ → G̃(F)

de la façon suivante : pour y ∈ Ẏη̄ et X ∈ C̄[y], φ(X) = exp(X)yη̄y^{−1}.

Remarque. Dans les constructions ci-dessus, on a supposé définis les termes exp(Y) et exp(X). C’est loisible si l’on suppose Y assez proche de 0.

Lemme. On suppose Y assez proche de 0. Alors l’application φ prend ses valeurs dans C̃ et se quotiente en une bijection de C̄/ ∼ sur C̃/ ∼.

Preuve. Puisque T_{sc}^{♭∗} est un sous-tore maximal de H_{ϵ,SC}, on peut fixer un élément Y_{SC}^{∗} ∈ 𝔱_{sc}^{♭∗} conjugué à Y_{SC} par un élément de H_{ϵ,SC}. Posons Ȳ_{SC}^{∗} = j_{∗}(Y_{SC}^{∗}) ∈ 𝔱H̄_{SC}. Par définition de la correspondance entre classes de conjugaison stable dans 𝔥_{ϵ,SC}(F) et 𝔥̄_{SC}(F), Ȳ_{SC} est conjugué à Ȳ_{SC}^{∗} par un élément de H̄_{SC}. Notons Y_{H} l’élément de 𝔱_{H} qui correspond à Y_{SC}^{∗} + Y_{Z} via le premier isomorphisme de la suite (1). Notons X^{∗} l’élément de 𝔱^{∗,Θ^{∗}} qui correspond à Y_{H} par le deuxième isomorphisme et décomposons X^{∗} en X_{SC}^{∗} + X_{Z}^{∗} de sorte que X_{SC}^{∗} corresponde à Ȳ_{SC}^{∗} + Ȳ_{Z} par le troisième isomorphisme.

Puisque Y_{SC} est conjugué à Y_{SC}^{∗} par un élément de H_{ϵ,SC}, Y l’est à Y_{SC}^{∗} + Y_{Z} par le même élément. On a Y_{H} = Int(h̄h̄_{0})(Y_{SC}^{∗} +Y_{Z}) avec h̄_{0} ∈ H_{ϵ,SC}, donc il existe h̄_{1} ∈ H_{ϵ,SC} tel que Y_{H} = Int(h̄h̄_{1})(Y). Alors :

(2) Int(h̄h̄_{1})(γ) = Int(h̄h̄_{1})(exp(Y)ϵ) = exp(Y_{H})Int(h̄)(ϵ) = exp(Y_{H})μ̄.

Soient y ∈ Ẏη̄ et X ∈ C̄[y]. On écrit X = X_{SC} + X_{Z}[y], avec X_{SC} ∈ C̄[y]_{SC}. Cette dernière relation signifie que ψ̄[y](X_{SC}) est conjugué à X_{SC}^{∗} par un élément de Ḡ_{SC}^{∗}. En revenant à la définition de ψ̄[y], il revient au même de dire qu’il existe x ∈ G_{ν̄θ^{∗},SC}^{∗} tel que :

Int(xḡ_{0}ḡ_{1}) ∘ ψ ∘ Int(y^{−1})(X_{SC}) = X_{SC}^{∗}.

On peut aussi bien ajouter les éléments ”centraux” dans cette relation, c’est-à-dire ajouter X_{Z}[y] à X_{SC} et X_{Z}^{∗} à X_{SC}^{∗}. On obtient alors :

Int(xḡ_{0}ḡ_{1}) ∘ ψ ∘ Int(y^{−1})(X) = X^{∗}.

D’où :

Int(xḡ_{0}ḡ_{1}) ∘ ψ̃ ∘ Int(y^{−1})(φ(X)) = Int(xḡ_{0}ḡ_{1}) ∘ ψ̃ ∘ Int(y^{−1})(exp(X)yη̄y^{−1})
= exp(X^{∗})Int(xḡ_{0}ḡ_{1}) ∘ ψ̃(η̄) = exp(X^{∗})Int(x)(ν̄θ^{∗}) = exp(X^{∗})ν̄θ^{∗}.

Mais ξ(ν̄) = μ̄ et ξ(X^{∗}) = Y_{H}. La relation ci-dessus, jointe à (2), entraîne que φ(X) appartient à la classe de conjugaison stable de G̃(F) qui correspond à γ, c’est-à-dire à C̃. Cela démontre la première assertion de l’énoncé.

Il est clair que φ se quotiente en une application, notons-la φ_{∼}, de C̄/ ∼ dans C̃/ ∼. Soit δ ∈ C̃. D’après [KS], lemme 3.3.B, il existe un diagramme D_{δ} = (T^{♭}, T_{0}, T, T^{♮}, h, g_{0}, g_{1}, δ) issu de γ. Dans la preuve du lemme 3.2, on a construit un élément X ∈ 𝔱^{♮}(F), on a posé η = exp(−X)δ et constaté que D = (T^{♭}, T_{0}, T, T^{♮}, h, g_{0}, g_{1}, η) était un diagramme issu de ϵ. Dans la preuve du lemme 3.4, on a déduit de D un diagramme modifié D′ = (T^{♭}, T_{0}, T, T^{♮}, h′, g′_{0}, g_{1}, η) et construit un élément y ∈ Yη̄ tel que Int(y)(η̄) = η. Choisissons ẏ ∈ Ẏη̄, g ∈ G(F) et ι ∈ Iη̄ tels que gy = ẏι. On a les égalités :

Int(g)(η) = Int(gy)(η̄) = Int(ẏι)(η̄) = Int(ẏ)(η̄) = ẏη̄ẏ^{−1},

et Int(g) se restreint en un isomorphisme défini sur F de G_{η} sur Ḡ[y]. Posons X′ = Int(g)(X) et δ′ = Int(g)(δ) = exp(X′)ẏη̄ẏ^{−1}. On va prouver que δ′ appartient à l’image de φ, ce qui prouvera la surjectivité de φ_{∼}. Il s’agit de prouver que X′ appartient à C̄[ẏ] et, d’après le même calcul que ci-dessus, il revient au même de prouver que Int(ḡ_{0}ḡ_{1}) ∘ ψ ∘ Int(ẏ^{−1})(X′) est conjugué à X^{∗} par un élément de Ḡ^{∗}. Posons X_{1} = Int(ḡ_{0}ḡ_{1}) ∘ ψ ∘ Int(ẏ^{−1})(X′). On a :

X_{1} = Int(ḡ_{0}ḡ_{1}) ∘ ψ ∘ Int(ιy^{−1}g^{−1})(X′).

Posons X_{2} = Int(ḡ_{0}ḡ_{1})∘ψ∘Int(y^{−1}g^{−1})(X′). Remarquons que Int(ḡ_{0}ḡ_{1})∘ψ(ι) appartient à I_{ν̄θ^{∗}}. Puisque ce groupe agit sur Ḡ^{∗} par automorphismes intérieurs, X_{1} est conjugué à X_{2} par un élément de Ḡ^{∗}. On a :

X_{2} = Int(ḡ_{0}ḡ_{1}) ∘ ψ ∘ Int(y^{−1})(X).

Revenons à la définition de y donnée dans la preuve du lemme 3.4. On a y ∈ xT̄ = T x. Puisque X ∈ 𝔱, on a Int(y^{−1})(X) = Int(x^{−1})(X). D’autre part, g′_{0}g_{1}ψ(x) = ḡ_{0}ḡ_{1}. Alors :

X_{2} = Int(g′_{0}g_{1}) ∘ ψ(X).

D’après la définition de X donnée dans la preuve du lemme 3.2, Int(g_{0}g_{1}) ∘ ψ(X) est l’élément X_{3} ∈ 𝔱^{∗,θ^{∗}} tel que ξ(X_{3}) = Int(h)(Y). D’après la définition du diagramme D′, il revient au même de dire que X_{2} est l’élément de 𝔱^{∗,Θ^{∗}} tel que ξ(X_{2}) = Int(h′)(Y). On a une égalité h′ = h̄h′′, avec h′′ ∈ H_{ϵ,SC} et Int(h′′)(T^{♭}) = T̄^{♭}. Rappelons que l’on a fixé un élément h̄_{0} ∈ H_{ϵ,SC} tel que Int(h̄_{0})(T^{♭∗}) = T̄^{♭}. Posons Y_{2} = Int(h̄_{0}^{−1}h′′)(Y). Alors :

ξ(X_{2}) = Int(h̄h̄_{0})(Y_{2}).

Les éléments Y_{2} et Ẏ_{SC} + Y_{Z} sont tous deux conjugués à Y par un élément de H_{ϵ,SC}. Ils appartiennent tous deux à 𝔱^{♭∗}. Donc ils sont conjugués par un élément de N_{H_{ϵ}}(T^{♭∗}). En transportant ce résultat par Int(h̄h̄_{0}), on voit qu’il existe un élément ω du groupe de Weyl Ω_{♯} (cf. 3.3) tel que Int(h̄h̄_{0})(Y_{2}) = ω(Y_{H}). D’après 3.3(1), on peut identifier ω à un élément du groupe de Weyl ΩḠ de sorte que ω ∘ ξ = ξ ∘ ω. Alors :

ξ(X_{2}) = ω(Y_{H}) = ω ∘ ξ(X^{∗}) = ξ ∘ ω(X^{∗}).

Les éléments X_{2} et ω(X^{∗}) appartiennent tous deux à 𝔱^{∗,Θ^{∗}} et la restriction de ξ à cet espace est injective. Donc X_{2} = ω(X^{∗}). Mais ΩḠ n’est autre que le groupe de Weyl de Ḡ^{∗}, donc X_{2} est conjugué à X^{∗} par un élément de ce groupe Ḡ^{∗}. Il en est de même de X_{1} et X^{∗}, ce qui achève de prouver la surjectivité de ψ/ ∼.

Prouvons son injectivité. Soient y_{1}, y_{2} ∈ Ẏη̄, X_{1} ∈ C̄[y_{1}], X_{2} ∈ C̄[y_{2}], supposons φ(X_{1}) et φ(X_{2}) conjugués, plus précisément fixons g ∈ G(F) tel que gφ(X_{1})g^{−1} = φ(X_{2}). Pour i = 1, 2, posons X′_{i} = Int(y_{i}^{−1})(X_{i}), δ_{i} = Int(y_{i}^{−1}) ∘ φ(X_{i}) = exp(X′_{i})η̄. Posons g′ = y_{2}^{−1}gy_{1}. Alors Int(g′)(δ_{1}) = δ_{2}. L’hypothèse X_{i} ∈ C̄[y_{i}] pour i = 1, 2 entraîne que X′_{1} et X′_{2} sont conjugués par un élément de Ḡ_{SC}. Soit donc x ∈ Ḡ_{SC} tel que Int(x)(X′_{1}) = X′_{2}. On a aussi Int(x)(δ_{1}) = δ_{2}, donc Int(x^{−1}g′)(δ_{1}) = δ_{1}, i.e. x^{−1}g′ ∈ G^{δ_{1}}. Mais δ_{1} est fortement régulier donc G^{δ_{1}} = I_{δ_{1}} (cf. 3.1(2)) . On peut supposer que δ_{1} est conjugué par un élément de Gη̄ à un élément assez proche de η̄ (il suffit pour cela que Y soit assez proche de 0). Alors G_{δ_{1}} ⊂ Gη̄, donc aussi I_{δ_{1}} = Z_{G}^{θ}G_{δ_{1}} ⊂ Z_{G}^{θ}Gη̄ = Iη̄. Alors x^{−1}g′ ∈ Iη̄. Puisque x ∈ Gη̄, on a aussi g′ ∈ Iη̄, puis y_{2} = gy_{1}g^{_{′}−1} ∈ G(F)y_{1}Iη̄. Puisque Ẏη̄ est un ensemble de représentants du quotient G(F)\Yη̄/Iη̄, cette relation entraîne y_{1} = y_{2}. Alors g = Int(y_{1})(g′) appartient à I_{y_{1}η̄y_{1}^{−1}} et, puisque g ∈ G(F), on a même g ∈ I_{y_{1}η̄y_{1}^{−1}}(F). Alors Int(g)(X_{1}) = X_{2} et X_{1} et X_{2} sont équivalents dans C̄. Cela achève la preuve. □

3.9 Egalité de facteurs de transfert

On a rappelé en 1.4 l’existence d’un facteur de transfert Δ : D_{1} ×D_{1} → ℂ^{×}. Pour y ∈ Ẏη̄, on a dit que le quadruplet (H̄, H̄, s̄, ˆ ξ̄) était une donnée endoscopique pour le groupe Ḡ[y]_{SC}. Notons 𝔇̄[y] l’ensemble des couples (Y, X) tels que Y ∈ 𝔥̄(F), X ∈ 𝔤̄[y]_{SC}(F), X et Y sont semi-simples réguliers et la classe de conjugaison stable de X correspond à la classe de conjugaison stable de Y. On a alors un facteur de transfert :

Δ̄[y] : 𝔇̄[y] × 𝔇̄[y] → ℂ^{×}.

Fixons un élément ϵ_{1} ∈ H_{1,z}(F) dont l’image dans H_{z}(F) soit ϵ. Soit Y_{1} ∈ 𝔥_{1,ϵ_{1}}(F), notons Y son image dans 𝔥_{ϵ}(F). On suppose que Y vérifie les conditions du paragraphe précédent (il est assez proche de 0 et l’élément γ est G̃-fortement régulier). On construit à partir de Y tous les éléments définis dans ce paragraphe. On pose γ_{1} = exp(Y_{1})ϵ_{1}. Considérons un autre élément \underline{Y}_{1} ∈ 𝔥_{1,ϵ_{1}}(F) vérifiant les mêmes hypothèses. On construit les éléments analogues, que l’on note en les soulignant : \underline{Y}, \underline{γ} etc...

Théorème. Il existe un voisinage 𝔙_{1} de 0 dans 𝔥_{1,ϵ_{1}}(F) tel que, si Y_{1} et \underline{Y}_{1} vérifient les conditions ci-dessus et appartiennent tous deux à 𝔙_{1}, la condition suivante soit vérifiée.

Soient y ∈ Ẏη̄, X ∈ C̄[y] et \underline{X} ∈ \underline{C̄}[y]. Ecrivons X = X_{SC} + X_{Z}[y], \underline{X} = \underline{X}_{SC} + \underline{X}_{Z}[y], avec X_{SC} ∈ C̄[y]_{SC} et \underline{X}_{SC} ∈ \underline{C̄}[y]_{SC}. Alors on a l’égalité :

Δ(γ_{1}, φ(X); \underline{γ}_{1}, \underline{φ}(\underline{X})) = Δ̄[y](Ȳ , X_{SC}; \underline{Ȳ} , \underline{X}_{SC}).

Cela sera démontré dans [W2]. Grâce à ce théorème, on peut fixer des facteurs de transfert Δ̄[y], cette fois sur 𝔇̄[y], de sorte que, pour tout Y, y et X comme ci-dessus, on ait l’égalité Δ(γ_{1}, φ(X)) = Δ̄[y](Ȳ , X_{SC}). C’est ce que l’on fait dans la suite.

3.10 Définition des mesures

Rappelons que si M est un groupe réductif connexe défini sur F, il y a une bijection naturelle entre les mesures de Haar sur M(F) et celles sur 𝔪(F) : la mesure dx sur M(F) correspond à la mesure dX sur 𝔪(F) si, pour tout voisinage ouvert assez petit 𝔙 de 0 dans 𝔪(F), la mesure de 𝔙 pour dX est égale à la mesure de exp(𝔙) pour dx.

On a déjà fixé des mesures de Haar sur G(F) et H(F). Pour tout γ ∈ H_{z}(F), semisimple et G̃-fortement régulier, on munit H_{γ}(F) d’une mesure de Haar. On suppose que, si γ et γ′ sont stablement conjugués, les mesures sur H_{γ}(F) et sur H_{γ′}(F) se correspondent par l’isomorphisme canonique que la conjugaison stable détermine entre ces deux groupes.

Soit (γ, δ) ∈ D. Comme on l’a dit en 3.2, il existe un diagramme D = (T^{♭}, T_{0}, T, T^{♮}, h, g_{0}, g_{1}, δ) issu de γ. Ce diagramme détermine un isomorphisme de 𝔱^{♮}(F) sur 𝔱^{♭}(F). On vérifie que cet isomorphisme ne dépend pas du choix du diagramme (parce que nos éléments sont fortement réguliers). La mesure choisie sur H_{γ}(F) détermine une mesure sur 𝔥_{γ}(F) = 𝔱^{♭}(F). On transporte cette mesure en une mesure sur 𝔱^{♮}(F) par l’isomorphisme précédent. On en déduit une mesure sur T^{♮}(F) = G_{δ}(F). Ce sont ces mesures qui sont utilisées dans la définition des intégrales orbitales.

Remarque. La définition de [KS] est un peu différente (essentiellement parce qu’ils ne supposent pas θ^{∗} d’ordre fini). Avec nos notations, elle se traduit ainsi : à une mesure sur 𝔱^{♭}(F), Kottwitz et Shelstad associent la mesure sur 𝔱^{♮}(F) qui correspond par l’isomorphisme précedent à la mesure sur 𝔱^{♭}(F) multipliée par |c|^{−1}, où |.| est la valeur absolue usuelle de F et c est le déterminant de 1 − θ^{∗} agissant sur t^{∗}/t^{∗,Θ^{∗}}. Puisque ce terme est indépendant du couple (γ, δ) et puisque, si l’on envisage une situation définie sur un corps de nombres, le produit de ces termes sur toutes les places du corps sera égal à 1, on ne change pas grand’chose en supprimant ce terme |c|.

De la même façon, considèrons un triplet (G_{1}, G_{2}, j_{∗}) comme en 1.7. Pour i = 1, 2, soit X_{i} un élément semi-simple régulier de 𝔤_{i}(F) et supposons que les classes de conjugaison stable de X_{1} et de X_{2} se correspondent. Alors, l’isomorphisme j_{∗} permet de définir un isomorphisme 𝔤_{1,X_{1}}(F) ≃ 𝔤_{2,X_{2}}(F). On munit ces deux espaces de mesures qui se correspondent, puis les tores G_{1,X_{1}}(F) et G_{2,X_{2}}(F) des mesures correspondantes. Ce sont ces mesures qui sont utilisées dans la définition des intégrales orbitales.

Considérons enfin la situation de 3.8, dont on reprend les notations. On note T^{♭} = H_{exp(Y)ϵ} = Z_{H_{ϵ}}(Y), T̄^{♭} = H̄Ȳ. D’après ce que l’on a dit ci-dessus, on dispose d’une mesure de Haar sur T^{♭}(F). On fixe des mesures de Haar sur 𝔷H̄(F), 𝔷Ḡ^{∗}(F), H_{ϵ}(F), H̄(F) et Ḡ^{∗}(F).

Via l’isomorphisme j_{∗}, les mesures sur 𝔷H̄(F) et 𝔷Ḡ^{∗}(F) déterminent une mesure sur 𝔷_{H_{ϵ}}(F). Les mesures sur les groupes déterminent des mesures sur les algèbres de Lie 𝔥_{ϵ}(F), 𝔥̄(F), 𝔤̄^{∗}(F). Grâce aux égalités :

𝔥_{ϵ}(F) = 𝔥_{ϵ,SC}(F) ⊕ 𝔷_{H_{ϵ}}(F),
𝔥̄(F) = 𝔥̄_{SC}(F) ⊕ 𝔷H̄(F),
𝔤̄^{∗}(F) = 𝔤̄_{SC}^{∗}(F) ⊕ 𝔷Ḡ^{∗}(F),

on en déduit des mesures sur les espaces 𝔥_{ϵ,SC}(F), 𝔥̄_{SC}(F), 𝔤̄_{SC}^{∗}(F), puis sur les groupes H_{ϵ,SC}(F), H̄_{SC}(F), Ḡ_{SC}^{∗}(F).

Soient y ∈ Ẏη̄ et X ∈ C̄[y], que l’on écrit X = X_{SC} + X_{Z}[y], avec X_{SC} ∈ C̄[y]_{SC}. On note T^{♮} le commutant de X dans Ḡ[y]. Puisque Ḡ[y], resp. Ḡ[y]_{SC}, est une forme intérieure de Ḡ^{∗}, resp. Ḡ_{SC}^{∗}, la mesure déjà fixée sur le groupe des points sur F de ce groupe détermine une mesure sur Ḡ[y](F), resp Ḡ[y]_{SC}(F). De même, la mesure sur 𝔷Ḡ^{∗}(F) se transporte en une mesure sur 𝔷_{Ḡ[y]}(F). La mesure choisie sur T^{♭}(F) en détermine une sur T^{♮}(F). On en déduit des mesures sur 𝔱^{♭}(F) et 𝔱^{♮}(F). Grâce aux égalités :

𝔱^{♭}(F) = 𝔱_{sc}^{♭}(F) ⊕ 𝔷H̄(F),
𝔱^{♮}(F) = 𝔱_{sc}^{♮}(F) ⊕ 𝔷_{Ḡ[y]}(F),

on obtient des mesures sur 𝔱_{sc}^{♭}(F) et 𝔱_{sc}^{♮}(F). Parce Ȳ_{SC} correspond à Y_{SC} par la correspondance définie par le triplet endoscopique non standard (H_{ϵ,SC}, H̄_{SC}, j_{∗}), la mesure sur 𝔱_{sc}^{♭}(F) en détermine une sur 𝔱̄_{sc}^{♭}(F). Parce que Ȳ correspond à X_{SC} par la correspondance définie par la donnée endoscopique (H̄, H̄, s̄, ˆ ξ̄), la mesure sur 𝔱_{sc}^{♮}(F) en détermine une sur 𝔱̄^{♭}(F). Il est plus ou moins clair que les mesures ainsi définies sont cohérentes pour la décomposition :

𝔱̄^{♭}(F) = 𝔱̄_{sc}^{♭}(F) ⊕ 𝔷H̄(F).

On a aussi des mesures sur les tores T_{sc}^{♭}(F), T_{sc}^{♮}(F), etc...

Considérons les classes de conjugaison stable C̄[y] et C̄[y]_{SC}. Munissons-les de mesures déduites de formes différentielles algébriques de degré maximal invariantes par conjugaison. Cela détermine ces mesures à une constante près et on les normalise de sorte que les injections :

\begin{matrix}T^{♮}(F)\Ḡ[y](F) & → & C̄[y] \\ x & ↦ & x^{−1}Xx, \end{matrix}

resp.

\begin{matrix}T_{sc}^{♮}(F)\Ḡ[y]_{SC}(F) & → & C̄[y]_{SC} \\ x & ↦ & x^{−1}Xx, \end{matrix}

préservent les mesures. Alors l’isomorphisme :

\begin{matrix}C̄[y]_{SC} & → & C̄[y] \\ X′ & ↦ & X′ + X_{Z}[y] \end{matrix}

préserve les mesures. Des considérations analogues s’appliquent aux classes de conjugaison stable de Y_{SC} dans 𝔥_{ϵ,SC}(F) et de Y dans 𝔥_{ϵ}(F), ainsi qu’à celles de Ȳ_{SC} dans 𝔥̄_{SC}(F) et de Ȳ dans 𝔥̄(F).

Dans le paragraphe suivant, on munit tous les groupes qui apparaissent des mesures que l’on vient de définir.

3.11 Preuve du théorème 1.8

Soient f ∈ C_{c}^{∞}(G̃(F)) et ϵ_{1} ∈ H_{1,♯}(F). On va montrer que l’hypothèse du lemme 2.3 est vérifiée. On note ϵ l’image de ϵ_{1} dans H_{z}(F), qui appartient à H_{♯}(F). Si D(ϵ) = ∅, le lemme 3.2 entraîne que O_{γ_{1}}^{G̃,ω}(f) = 0 pour tout γ_{1} dans un voisinage de ϵ_{1}. L’hypothèse du lemme 2.3 est satisfaite en prenant φ = 0. On suppose désormais D(ϵ) ≠ ∅ et on effectue toutes les constructions des paragraphes 3.2 à 3.10 relatives à cet élément. On fixe un voisinage 𝔙_{1} de 0 dans 𝔥_{1,ϵ_{1}}(F) de sorte que l’hypothèse du paragraphe 3.9 soit vérifiée et que tout élément Y ∈ 𝔥_{ϵ}(F) dans l’image naturelle de 𝔙_{1} soit assez proche de 0 pour qu’on puisse appliquer le lemme 3.8.

Soit y ∈ Ẏη̄. On fixe une mesure de Haar sur Ḡ[y](F). On fixe un voisinage 𝔘[y] de 0 dans 𝔤̄[y](F) et une fonction ϕ[y] ∈ C_{c}^{∞}(𝔤̄[y](F)) qui vérifient les propriétés du lemme 2.4 relatives à la fonction f. Puisqu’on a l’égalité :

𝔤̄[y](F) = 𝔤̄[y]_{SC}(F) ⊕ 𝔷_{Ḡ[y]}(F),

on peut décomposer ϕ[y] en une somme :

ϕ[y] = ∑_{j∈J[y]} ϕ_{j} ⊗ ϕ_{Z,j},

où J[y] est un ensemble fini d’indices et, pour tout j ∈ J[y], ϕ_{j} ∈ C_{c}^{∞}(𝔤̄[y]_{SC}(F)) et ϕ_{Z,j} ∈ C_{c}^{∞}(𝔷_{Ḡ[y]}(F)). Quitte à restreindre 𝔙_{1}, on peut supposer que si Y_{1} ∈ 𝔙_{1} et X ∈ 𝔤̄[y](F) sont tels que (exp(Y_{1})ϵ_{1}, exp(X)yη̄y^{−1}) ∈ D_{1}, alors X ∈ 𝔘[y].

On pose c[y] = [I_{yη̄y^{−1}}(F) : Ḡ[y](F)]^{−1}.

Lemme. Pour tout Y_{1} ∈ 𝔙_{1} tel que exp(Y_{1})ϵ_{1} soit G̃-fortement régulier, on a l’égalité :

O_{exp(Y_{1})ϵ_{1}}^{G̃,ω}(f) = ∑_{y∈Ẏη̄} c[y] ∑_{j∈J[y]} ϕ_{Z,j}(X_{Z}[y])OḠ[y]_{SC} ; Ȳ(ϕ_{j}).

Remarque sur l’énoncé. On a noté Y l’image de Y_{1} dans 𝔥_{ϵ}(F). Les éléments X_{Z}[y] et Ȳ sont ceux que l’on a associés à Y en 3.8.

Preuve. On fixe Y_{1} ∈ 𝔙_{1}, on définit Y comme ci-dessus et on adopte les notations de 3.8. Pour tout y ∈ Ẏη̄, fixons un ensemble de représentants Ξ[y] des classes de conjugaison par Ḡ[y](F) dans C̄[y]. Notons Ξ la réunion disjointe des Ξ[y] et :

φ_{Ξ} : Ξ → C̃/ ∼

la composée de la restriction de φ à Ξ avec la projection naturelle de C̃ sur C̃/ ∼. D’après le lemme 3.8, φ_{Ξ} est surjective. Elle n’est pas forcément injective car l’équivalence définie en 3.8 sur C̄ utilisait la conjugaison par I_{yη̄y^{−1}}(F) au lieu de Ḡ[y](F). Soient y ∈ Ẏη̄ et X ∈ Ξ[y]. Grâce au lemme 3.8, la fibre de φ_{Ξ} au-dessus de φ_{Ξ}(X) a pour nombre d’éléments le nombre de classes de conjugaison par Ḡ[y](F) contenues dans la classe de conjugaison par I_{yη̄y^{−1}}(F) de X. C’est donc le nombre d’éléments de l’ensemble de doubles classes :

Ḡ[y](F)\I_{yη̄y^{−1}}(F)/G^{φ(X)}(F).

Mais Ḡ[y](F) est un sous-groupe distingué de I_{yη̄y^{−1}}(F) et le nombre d’éléments de l’ensemble ci-dessus est égal à :

[I_{yη̄y^{−1}}(F) : Ḡ[y](F)][G^{φ(X)}(F) : G_{φ(X)}(F)]^{−1}.

Remarquons que, si δ et δ′ sont deux éléments de G̃_{reg}(F) stablement conjugués, les groupes G^{δ} et G^{δ′} sont isomorphes et l’isomorphisme est défini sur F. Le nombre [G^{φ(X)}(F) : G_{φ(X)}(F)] qui intervient ci-dessus est donc indépendant de X et y.

On pose γ_{1} = exp(Y_{1})ϵ_{1}. D’après les définitions de 1.5, on a l’égalité :

O_{γ_{1}}^{G̃,ω}(f) = ∑_{δ∈C̃/∼} Δ(γ_{1}, δ)[G^{δ}(F) : G_{δ}(F)]^{−1} ∫_{G_{δ}(F)\G(F)} f(g^{−1}δg)ω(g) dg.

Grâce aux considérations qui précèdent, on obtient :

(1) O_{γ_{1}}^{G̃,ω}(f) = ∑_{y∈Ẏη̄} c[y] ∑_{X∈Ξ[y]} Δ(γ_{1}, φ(X)) ∫_{G_{φ(X)}(F)\G(F)} f(g^{−1}φ(X)g)ω(g) dg.

Fixons y ∈ Ẏη̄ et X ∈ Ξ[y]. D’après le lemme 2.4 et les définitions, on a l’égalité :

Δ(γ_{1}, φ(X)) ∫_{G_{φ(X)}(F)\G(F)} f(g^{−1}φ(X)g)ω(g) dg =

Δ(γ_{1}, φ(X)) ∫_{G_{φ(X)}(F)\Ḡ[y](F)} ϕ[y](x^{−1}Xx)ω(x) dx

= Δ(γ_{1}, φ(X)) ∑_{j∈J[y]} ϕ_{Z,j}(X_{Z}[y]) ∫_{G_{φ(X)}(F)\Ḡ[y](F)} ϕ_{j}(x^{−1}X_{SC}x)ω(x) dx.

La classe de conjugaison de X_{SC} par Ḡ[y](F) se décompose en un nombre fini de classes de conjugaison par Ḡ[y]_{SC}(F). Fixons un ensemble fini E_{X} ⊂ Ḡ[y](F) tel que {e^{−1}X_{SC}e; e ∈ E_{X}} soit un ensemble de représentants de ces dernières classes. Pour tout e ∈ E_{X}, notons T_{y,X,e} le commutant de e^{−1}X_{SC}e dans Ḡ[y]_{SC}. On a défini nos mesures de sorte que l’on ait l’égalité :

∫_{G_{φ(X)}(F)\Ḡ[y](F)} ϕ_{j}(x^{−1}X_{SC}x)ω(x) dx =

∑_{e∈E_{X}} ∫_{T_{y,X,e}(F)\Ḡ[y]_{SC}(F)} ϕ_{j}(x^{−1}e^{−1}X_{SC}ex)ω(ex) dx.

Puisque Ḡ[y]_{SC} est simplement connexe, ω est trivial sur Ḡ[y]_{SC}(F). D’autre part, d’après [KS] théorème 5.1.D(2), on a l’égalité :

Δ(γ_{1}, φ(X))ω(e) = Δ(γ_{1}, φ(e^{−1}Xe)),

donc, d’après le théorème 3.9,

Δ(γ_{1}, φ(X))ω(e) = Δ̄[y](Ȳ , e^{−1}X_{SC}e).

On obtient alors :

Δ(γ_{1}, φ(X)) ∫_{G_{φ(X)}(F)\G(F)} f(g^{−1}φ(X)g)ω(g) dg =

∑_{j∈J[y]} ϕ_{Z,j}(X_{Z}[y]) ∑_{e∈E_{X}} Δ̄[y](Ȳ , e^{−1}X_{SC}e) ∫_{T_{y,X,e}(F)\Ḡ[y]_{SC}(F)} ϕ_{j}(x^{−1}e^{−1}X_{SC}ex) dx,

puis :

∑_{X∈Ξ[y]} Δ(γ_{1}, φ(X)) ∫_{G_{φ(X)}(F)\G(F)} f(g^{−1}φ(X)g)ω(g) dg =

∑_{j∈J[y]} ϕ_{Z,j}(X_{Z}[y]) ∑_{X∈Ξ[y]} ∑_{e∈E_{X}} Δ̄[y](Ȳ , e^{−1}X_{SC}e) ∫_{T_{y,X,e}(F)\Ḡ[y]_{SC}(F)} ϕ_{j}(x^{−1}e^{−1}X_{SC}ex) dx.

Mais {e^{−1}Xe; X ∈ Ξ[y], e ∈ E_{X}} est un système de représentants des classes de conjugaison par Ḡ[y](F) dans la classe de conjugaison stable C̄[y]_{SC}. Alors l’expression ci-dessus est égale à :

∑_{j∈J[y]} ϕ_{Z,j}(X_{Z}[y])OḠ[y]_{SC} ; Ȳ(ϕ_{j}).

La formule de l’énoncé résulte maintenant de (1). □

Soient y ∈ Ẏη̄ et j ∈ J[y]. Par l’hypothèse du théorème, on peut transférer ϕ_{j} en une fonction sur l’algèbre de Lie du groupe endoscopique H̄. Soit donc ϕ′_{j} ∈ C_{c}^{∞}(𝔥̄(F)) un transfert de ϕ_{j}. En utilisant la décomposition :

𝔥̄(F) = 𝔥̄_{SC}(F) ⊕ 𝔷H̄(F),

on décompose ϕ′_{j} en une somme finie :

ϕ′_{j} = ∑_{k∈K_{j}} ϕ_{j,k} ⊗ ϕ_{Z,j,k},

où ϕ_{j,k} ∈ C_{c}^{∞}(𝔥̄_{SC}(F)) et ϕ_{Z,j,k} ∈ C_{c}^{∞}(𝔷H̄(F)). Soit k ∈ K_{j}. Puisque (H_{ϵ,SC}, H̄_{SC}, j_{∗}) est une donnée endoscopique non standard, l’hypothèse du théorème permet de transférer la fonction ϕ_{j,k} en une fonction sur 𝔥_{ϵ,SC}(F). Soit donc Φ_{j,k} ∈ C_{c}^{∞}(𝔥_{ϵ,SC}(F)) un transfert de ϕ_{j,k}.

Par le torseur intérieur ψ̄[y], la fonction ϕ_{Z,j} s’identifie à une fonction ϕ_{Z,j}^{∗} sur 𝔷Ḡ^{∗}(F). Pour k ∈ K_{j}, considérons la fonction ϕ_{Z,j,k} ⊗ϕ_{Z,j}^{∗} sur 𝔷H̄(F)⊕𝔷Ḡ^{∗}(F). Par l’isomorphisme j_{∗}, elle s’identifie à une fonction Φ_{Z,j,k} sur 𝔷_{H_{ϵ}}(F). Posons :

Φ = ∑_{y∈Ẏη̄} c[y] ∑_{j∈J[y]} ∑_{k∈K_{j}} Φ_{j,k} ⊗ Φ_{Z,j,k}.

C’est un élément de C_{c}^{∞}(𝔥_{ϵ}(F)). Via la projection naturelle de 𝔥_{1,ϵ_{1}}(F)) sur 𝔥_{ϵ}(F), on peut la remonter en une fonction sur 𝔥_{1,ϵ_{1}}(F)) que l’on note encore Φ. Soit alors Y_{1} ∈ 𝔙_{1} tel que exp(Y_{1})ϵ_{1} soit G̃-fortement régulier. Avec les notations ci-dessus, on a les égalités :

O_{exp(Y_{1})ϵ_{1}}^{G̃,ω}(f) = ∑_{y∈Ẏη̄} c[y] ∑_{j∈J[y]} ϕ_{Z,j}(X_{Z}[y])OḠ[y]_{SC} ; Ȳ(ϕ_{j})

= ∑_{y∈Ẏη̄} c[y] ∑_{j∈J[y]} ϕ_{Z,j}^{∗}(X_{Z})SOH̄ ; Ȳ(ϕ′_{j})

= ∑_{y∈Ẏη̄} c[y] ∑_{j∈J[y]} ∑_{k∈K_{j}} ϕ_{Z,j}^{∗}(X_{Z})ϕ_{Z,j,k}(Ȳ_{Z})SOH̄_{SC} ; Ȳ_{SC}(ϕ_{j,k})

= ∑_{y∈Ẏη̄} c[y] ∑_{j∈J[y]} ∑_{k∈K_{j}} Φ_{Z,j,k}(Y_{Z})SO_{Y_{SC}}^{H_{ϵ,SC}}(Φ_{j,k})

= SO_{Y}^{H_{ϵ}}(Φ)
= SO_{Y_{1}}^{H_{1,ϵ_{1}}}(Φ).

La fonction Φ satisfait donc la condition du lemme 2.3. Cela achève la démonstration. □

Les précisions sur le théorème figurant au paragraphe 1.8 résultent de la preuve cidessus et du paragraphe 3.7 pour ce qui concerne les précisions (1) et (2), de la remarque 3.5(7) pour ce qui concerne la précision (3).

4 Le cas non ramifié

4.1 Groupes non ramifiés

Notons p la caractéristique résiduelle de F, 𝔽_{q} le corps résiduel de F et 𝔽̄_{q} une clôture algébrique de 𝔽_{q}. Notons F^{nr} l’extension maximale non ramifiée contenue dans F̄ et Γ^{nr} le groupe de Galois de l’extension F^{nr}/F. Ce groupe s’identifie au groupe de Galois de l’extension 𝔽̄_{q}/𝔽_{q}. Il a un générateur topologique canonique, l’élément de Frobenius. On note W^{nr} le sous-groupe (isomorphe à ℤ) engendré par cet élément. On note I_{F} le sous-groupe d’inertie de Γ_{F}. On a la suite exacte :

1 → I_{F} → Γ_{F} → Γ^{nr} → 1.

On peut aussi considérer I_{F} comme un sous-groupe de W_{F} et on a la suite exacte :

1 → I_{F} → W_{F} → W^{nr} → 0.

On appelera élément de Frobenius dans Γ_{F}, resp. W_{F}, un élément dont l’image dans Γ^{nr}, resp. W^{nr}, est l’élément de Frobenius. On note 𝔬 l’anneau des entiers de F et 𝔬^{nr} l’anneau des entiers de F^{nr}. Pour tout groupe A, on note A_{p′} le sous-groupe des éléments de A d’ordre fini premier à p. On a l’inclusion (F̄^{×})_{p′} ⊂ 𝔬^{nr,×} car toute racine de l’unité d’ordre premier à p engendre une extension non ramifiée de F. L’application de réduction définit des isomorphismes de groupes de (𝔬^{×})_{p′} sur 𝔽_{q}^{×} et de (𝔬^{nr,×})_{p′} sur 𝔽̄_{q}^{×}.

Soit T un tore défini sur F. On dit qu’il est non ramifié s’il se déploie sur F^{nr}. Il revient au même de dire que l’action de Γ_{F} sur X_{∗}(T) ou X^{∗}(T) se factorise par une action de Γ^{nr}. Supposons T non ramifié. Alors T a une structure naturelle de schéma en groupes lisse sur 𝔬, pour laquelle :

T (𝔬^{nr}) = X_{∗}(T) ⊗_{ℤ} 𝔬^{nr,×} ⊂ X_{∗}(T) ⊗_{ℤ} F^{nr,×} = T (F^{nr}),
T (𝔬) = T (𝔬^{nr})^{Γ^{nr}} ⊂ T (F^{nr})^{Γ^{nr}} = T (F).

La fibre spéciale T = T ×_{𝔬}𝔽_{q} est le tore sur 𝔽_{q} dont le groupe des cocaractères est X_{∗}(T) muni de son action de Γ^{nr}. Par similarité avec les conventions que l’on adoptées pour les groupes définis sur F, on identifiera les groupes définis sur 𝔽_{q} avec leurs ensembles de points sur 𝔽̄_{q} (par exemple T = T(𝔽̄_{q})). On a l’inclusion T_{p′} ⊂ T (𝔬^{nr})_{p′}. L’application de réduction définit des isomorphismes de groupes de T (𝔬)_{p′} sur T(𝔽_{q}) et de T (𝔬^{nr})_{p′} sur T. L’algèbre de Lie 𝔱 a elle-aussi une structure naturelle sur 𝔬, pour laquelle :

𝔱(𝔬^{nr}) = X_{∗}(T) ⊗_{ℤ} 𝔬^{nr} ⊂ X_{∗}(T) ⊗_{ℤ} F^{nr} = 𝔱(F^{nr}).

La fibre spéciale 𝔱 = 𝔱 ×_{𝔬} 𝔽_{q} est l’algèbre de Lie de T.

Soit M un groupe algébrique sur F, réductif et connexe. On sait définir les immeubles Imm^{nr}, resp. Imm, de M sur F^{nr}, resp. F. Le groupe M(F^{nr}), resp. M(F), agit sur Imm^{nr}, resp. Imm. Le groupe Γ^{nr} agit sur Imm^{nr} et Imm s’identifie à l’ensemble des points fixes (Imm^{nr})^{Γ^{nr}} de façon compatible aux actions de M(F). Soit T un sous-tore maximal de M défini sur F. Notons T_{F^{nr}}, resp. T_{F} le plus grand sous-tore de T déployé sur F^{nr}, resp. F. Supposons que T_{F} est un sous-tore déployé maximal de M et T_{F^{nr}} est un sous-tore déployé sur F^{nr} maximal de M. Au tore T_{F^{nr}}, resp. T_{F}, est associé un appartement A^{nr} ⊂ Imm^{nr}, resp. A ⊂ Imm. On a A = (A^{nr})^{Γ^{nr}}. A tout point a ∈ A, la théorie de Bruhat-Tits associe un schéma en groupes lisse K_{a} sur 𝔬. Sa fibre générique s’identifie à M. Le groupe K_{a}(𝔬^{nr}), resp. K_{a}(𝔬), est un sous-groupe parahorique de M(F^{nr}), resp. M(F), contenu et d’indice fini dans le fixateur de a dans M(F^{nr}), resp. M(F). On note K_{a} la fibre spéciale de K_{a}. C’est un groupe algébrique linéaire défini sur 𝔽_{q}. On définit le plus grand sous-schéma pro-p-unipotent K_{a}^{+} de K_{a}. Il est tel que la suite suivante soit exacte :

1 → K_{a}^{+}(𝔬^{nr}) → K_{a}(𝔬^{nr}) → K_{a,red}(𝔽̄_{q}) → 1,

où K_{a,red} est le plus grand quotient réductif de K_{a}.

A K_{a} est associée une algèbre de Lie 𝔨_{a} sur 𝔬. Sa fibre générique s’identifie à 𝔪. L’ algèbre 𝔨_{a}(𝔬^{nr}), resp. 𝔨_{a}(𝔬) est un sous-𝔬^{nr}-réseau de 𝔪(F^{nr}), resp. un sous-𝔬-réseau de 𝔪(F). On note 𝔨_{a} la fibre spéciale de 𝔨_{a}. C’est l’algèbre de Lie de K_{a}.

On dit que M est non ramifié s’il est quasi-déployé sur F et déployé sur F^{nr}. Supposons M non ramifié. Fixons une paire de Borel (B, T) de M et un épinglage (X_{α})_{α∈Δ} relatif à cette paire, le tout étant défini sur F. Notons T_{F} le plus grand sous-tore de T déployé sur F et introduisons comme ci-dessus les immeubles Imm^{nr}, resp. Imm, et les appartements A^{nr}, resp. A, associés à T, resp. T_{F}. Le choix de l’épinglage permet d’identifier A^{nr} à X_{∗}(T) ⊗_{ℤ} ℝ. Considérons le cas du point a = 0, notons simplement K = K_{0}, 𝔨 = 𝔨_{0}. Alors K(𝔬^{nr}), resp. K(𝔬), est un sous-groupe compact hyperspécial de M(F^{nr}), resp. M(F), égal au fixateur de 0 dans M(F^{nr}), resp. M(F). Rappelons que tous les sous-groupes compacts hyperspéciaux sont conjugués par le groupe adjoint M_{AD}(F^{nr}), resp. M_{AD}(F). La fibre spéciale K de K est le groupe algébrique sur 𝔽_{q}, réductif et connexe, associé aux mêmes données de racines que M, munies de l’action de Γ^{nr} quotient de celle de Γ_{F}. Notons K^{1} le noyau de l’application de réduction de K sur K. Il est égal au schéma en groupes K^{+} défini ci-dessus et K^{1}(𝔬^{nr}), resp. K^{1}(𝔬), est le plus grand sous-groupe distingué pro-p-unipotent de K(𝔬^{nr}), resp. K(𝔬). On a des suites exactes :

1 → K^{1}(𝔬^{nr}) → K(𝔬^{nr}) → K → 1,
1 → K^{1}(𝔬) → K(𝔬) → K(𝔽_{q}) → 1.

Il existe une paire de Borel (B, T) de K, définie sur 𝔽_{q}, de sorte que B, resp. T, soit égal à l’image de B(F^{nr}) ∩ K(𝔬^{nr}), resp. T (F^{nr}) ∩ K(𝔬^{nr}) par la projection de K(𝔬^{nr}) sur K. Le groupe T est celui déduit de la structure naturelle sur 𝔬 de T. On a l’égalité T (𝔬^{nr}) = T (F^{nr}) ∩ K(𝔬^{nr}). Les groupes de Weyl de M relativement à T et de K relativement à T sont naturellement isomorphes. Plus précisément, les deux homomorphismes ci-dessous sont des isomorphismes :

N_{K(𝔬^{nr})}(T (𝔬^{nr}))/T (𝔬^{nr})
↙  ↘
N_{M}(T)/T  N_{K}(T)/T

Fixons une uniformisante ϖ_{F} de 𝔬. L’algèbre de Lie 𝔨^{1} de K^{1} vérifie l’égalité 𝔨^{1}(𝔬^{nr}) = ϖ_{F} 𝔨(𝔬^{nr}). On a la suite exacte :

1 → ϖ_{F} 𝔨(𝔬^{nr}) → 𝔨(𝔬^{nr}) → 𝔨 → 0

et une suite analogue pour les points à valeurs dans 𝔬. Tous les éléments X_{α} de l’épinglage appartiennent à 𝔨(𝔬^{nr}). Notons X_{α} l’image de X_{α} dans 𝔨. Alors la famille (X_{α})_{α∈Δ} est un épinglage défini sur 𝔽_{q} de K.

Introduisons le groupe M_{SC} muni de la paire de Borel (B_{sc}, T_{sc}) et du même épinglage (X_{α})_{α∈Δ}. On définit comme ci-dessus un schéma en groupes K_{SC}. Il est immédiat que K_{SC}(𝔬^{nr}), resp. K_{SC}(𝔬), est l’image réciproque dans M_{SC}(F^{nr}), resp. M_{SC}(F), du groupe K(𝔬^{nr}), resp. K(𝔬). D’autre part, la fibre spéciale de K_{SC} est isomorphe au revêtement simplement connexe du groupe dérivé de K (la notation K_{SC} sera donc sans ambiguïté).

Soit b ∈ H^{1}(W_{F} , ZM̂). Ce cocycle définit un caractère χ de M(F). On a :

(1) supposons que b provient par inflation d’un élément de H^{1}(W^{nr}, ZM̂) ; alors χ est trivial sur K(𝔬).

Preuve. Le groupe K(𝔬) est engendré par T (𝔬) et des sous-groupes unipotents. Ces derniers sont contenus dans le sous-groupe des commutateurs de M(F), donc sont dans le noyau de tout caractère. On a un homomorphisme naturel ZĜ → T̂ et la restriction à T (F) du caractère χ provient du cocycle image de b dans H^{1}(W_{F} , T̂). Cela nous ramène au cas où M = T. On a une suite exacte :

1 → T (𝔬) → T (F) →^{π} X_{∗}(T)^{Γ^{nr}} → 1.

On a aussi l’égalité H^{1}(W^{nr}, T̂) = (X^{∗}(T)⊗ℂ^{×})_{Γ^{nr}}, et ce groupe est le dual de X_{∗}(T)^{Γ^{nr}}. Il résulte des constructions des différentes dualités que χ est le composé de l’homomorphisme π et du caractère de X_{∗}(T)^{Γ^{nr}} défini par l’image de b dans H^{1}(W^{nr}, T̂). Il est trivial sur T (𝔬) puisque π annule ce groupe. □

Ainsi qu’on l’a dit ci-dessus, tous les sous-groupes compacts hyperspéciaux de M(F) sont conjugués par le groupe adjoint M_{AD}(F). Pour toute mesure de Haar sur M(F), ils ont donc la même mesure. On appelle mesure de Haar non ramifiée sur M(F) celle pour laquelle la mesure de tout sous-groupe compact hyperspécial vaut 1.

4.2 Une variante du théorème de Lang

Soit M un groupe réductif connexe défini sur F, non ramifié. On introduit un schéma en groupes hyperspécial K comme dans le paragraphe précédent. Notons 𝔒^{nr} le complété de 𝔬^{nr}. L’action du groupe Γ^{nr} sur 𝔬^{nr} se prolonge par continuité en une action sur 𝔒^{nr}. Soit ϕ ∈ Γ^{nr} l’élément de Frobenius.Pour tout entier N ∈ ℤ, les sous-groupes de points fixes 𝔬^{nr,ϕ^{N}} et 𝔒^{nr,ϕ^{N}} sont égaux. Le lemme suivant est bien connu.

Lemme. (i) Soit ϕ ∈ Γ^{nr} un élément de Frobenius. Pour tout x ∈ K(𝔒^{nr}), il existe y ∈ K(𝔒^{nr}) tel que yϕ(y)^{−1} = x.

(ii) On a l’égalité H^{1}(Γ^{nr}, K(𝔬^{nr})) = {0}.

Preuve de (i). Pour tout entier n ≥ 1, on note K^{n}(𝔒^{nr}) le noyau de l’homomorphisme :

K(𝔒^{nr}) → K(𝔒^{nr}/ϖ_{F}^{n} 𝔒^{nr}).

On pose K^{0}(𝔒^{nr}) = K(𝔒^{nr}). On a ainsi défini une filtration du groupe K(𝔒^{nr}) dont les termes tendent vers 0. Parce que K(𝔒^{nr}) est un espace topologique complet, un raisonnement standard nous ramène à prouver la propriété du (i) de l’énoncé pour tous les termes du gradué associé à la filtration. Le terme de degré 0 est K et l’assertion n’est autre que le théorème de Lang. Les termes de degré > 0 sont isomorphes à 𝔨 et l’assertion résulte du théorème Hilbert 90.

Preuve de (ii). Soit ψ un cocycle de Γ^{nr} dans K(𝔬^{nr}). Par définition, un tel cocycle se factorise par Γ^{nr}/NΓ^{nr} pour un certain entier N > 0, où NΓ^{nr} est la fermeture du sousgroupe engendré par ϕ^{N}. Grâce à (i), choisissons y ∈ K(𝔒^{nr}) tel que yϕ(y)^{−1} = ψ(ϕ). On a les égalités :

ψ(ϕ^{N}) = ψ(ϕ)ϕ(ψ(ϕ))...ϕ^{N−1}(ψ(ϕ)) = yϕ^{N}(y)^{−1}.

Donc y est fixe par ϕ^{N} et y ∈ K(𝔬^{nr}). L’égalité yϕ(y)^{−1} = ψ(ϕ) entraîne que ψ est un bord. □

On utilisera diverses variantes de ce lemme. Soit R ⊂ K(𝔬^{nr}) un sous-groupe. Supposons R invariant par l’action de Γ^{nr} et supposons que tout élément de R est d’ordre fini. Alors :

(1) pour tout x ∈ R, il existe y ∈ K(𝔬^{nr}) tel que yϕ(y)^{−1} = x.

Il suffit de prouver qu’il existe un cocycle ψ : Γ^{nr} → K(𝔬^{nr}) tel que ψ(ϕ) = x. Il suffit pour cela qu’il existe un entier N > 0 tel que xϕ(x)...ϕ^{N−1}(x) = 1. Puisque x ∈ K(𝔬^{nr}), on peut choisir r ≥ 1 tel que ϕ^{r}(x) = x. Alors, pour tout n ≥ 1, on a l’égalité :

xϕ(x)...ϕ^{rn−1}(x) = (xϕ(x)...ϕ^{r−1}(x))^{n}.

Les hypothèses entraînent que xϕ(x)...ϕ^{r−1}(x) appartient à R, donc est d’ordre fini. Notons n son ordre et posons N = rn. Alors xϕ(x)...ϕ^{N−1}(x) = 1, ce qui prouve (1).

On conserve les mêmes hypothèses sur R. Soit x ∈ R. Notons x son image dans K. Soit y ∈ K tel que yϕ(y)^{−1} = x. Alors :

(2) il existe y ∈ K(𝔬^{nr}) dont l’image dans K soit y et tel que yϕ(y)^{−1} = x.

En effet, choisissons un y_{0} ∈ K(𝔬^{nr}) relevant y. Considérons l’élément x_{1} = ϕ(y_{0})xy_{0}^{−1}. On montre comme ci-dessus qu’il existe un cocycle ψ : Γ^{nr} → K^{1}(𝔬^{nr}) tel que ψ(ϕ) = x_{1}. Une variante du lemme nous dit que H^{1}(Γ^{nr}, K^{1}(𝔬^{nr})) = {0}. Cela prouve (2).

4.3 Exponentielle, éléments topologiquement unipotents, éléments topologiquement nilpotents

Soit M un groupe réductif connexe défini sur F, que l’on ne suppose plus non ramifié. Introduisons l’immeuble Imm de M sur F et un élément a ∈ Imm dans l’intérieur d’une alcôve, posons J = K_{a}. Alors J(𝔬) est un sous-groupe d’Iwahori de M(F). Notons dim(M) la dimension de M (en tant que variété algébrique).

Soit x ∈ M(F). On dit que x est topologiquement unipotent si lim_{n→∞}x^{p^{n}} = 1. On a :

(1) supposons p > dim(M)+1 ; alors x est topologiquement unipotent si et seulement s’il est conjugué par un élément de M(F) à un élément de J^{+}(𝔬).

Puisque J^{+}(𝔬) est pro-p-unipotent, tout élément de ce groupe est topologiquement unipotent. Inversement, soit x topologiquement unipotent. Alors le sous-groupe fermé engendré par x est compact. Il est contenu dans un sous-groupe compact maximal de M(F). Quitte à conjuguer x, on peut supposer qu’il existe un point b dans l’adhérence de l’alcôve contenant a tel que x appartienne au stabilisateur de b dans M(F). Notons S_{b}(𝔬) ce stabilisateur. L’ordre du quotient S_{b}(𝔬)/K_{b}(𝔬) est calculable, cf. [T] 3.5.3. L’hypothèse p > dim(M)+1 entraîne qu’il est premier à p. Un élément topologiquement unipotent de S_{b}(𝔬) appartient donc nécessairement à K_{b}(𝔬), en particulier x ∈ K_{b}(𝔬). Notons x l’image de x dans K_{b}(𝔽_{q}). L’élément x est unipotent, donc contenu dans le radical unipotent d’un sous-groupe de Borel. Mais l’image réciproque dans K_{b}(𝔬) d’un tel sous-groupe est conjuguée à J^{+}(𝔬) par un élément de K_{b}(𝔬). D’où (1).

On note M(F)_{tu} le sous-ensemble des éléments topologiquement unipotents de M(F). Par analogie, on dit qu’un élément X ∈ 𝔪(F) est topologiquement nilpotent s’il

est conjugué par un élément de M(F) à un élément de 𝔧^{+}(𝔬). On note 𝔪(F)_{tn} le sousensemble des éléments topologiquement nilpotents de 𝔪(F).

Soit T un sous-tore maximal de M défini sur F. Notons val_{F} la valuation usuelle de F, à valeurs dans ℤ ∪ {∞}, que l’on prolonge en une valuation sur F̄, à valeurs dans ℚ ∪ {∞}. Soit x ∈ M(F), resp. X ∈ 𝔪(F). Fixons un élément x′ ∈ T qui soit conjugué à la partie semi-simple de x par un élément de M. De même, fixons un élément X′ ∈ 𝔱 qui soit conjugué à la partie semi-simple de X par un élément de M. On a :

(2) supposons p > dim(M)+1 ; alors x est topologiquement unipotent si et seulement si val_{F} (x^{∗}(x′ − 1)) > 0 pour tout x^{∗} ∈ X^{∗}(T) ; X est topologiquement nilpotent si et seulement si val_{F} (x^{∗}(X)) > 0 pour tout x^{∗} ∈ X^{∗}(T).

Pour tout entier n ≥ 1, notons ψ(n) le plus grand entier d ≥ 1 tel que ϕ(d) ≤ n, où ϕ est ici la fonction d’Euler. Notons rang(M) le rang de M, c’est-à-dire la dimension d’un sous-tore maximal. Posons :

N(M) = sup(ψ(rang(M)), dim(M)).

Enfin, notons e_{F} l’indice de ramification de F sur ℚ_{p}. On a :

(3) supposons p > N(M)e_{F} +1 ; alors l’exponentielle est définie sur l’ensemble 𝔪(F)_{tn} et définit un homéomorphisme de cet ensemble sur M(F)_{tu}. Si b ∈ Imm, l’exponentielle se restreint en un homéomorphisme de 𝔨_{b}^{+}(𝔬) sur K_{b}^{+}(𝔬).

C’est bien connu, mais nous n’avons pas trouvé de référence. Nous donnerons une démonstration dans l’appendice B.

4.4 Les hypothèses dans la situation non ramifiée

On considère les mêmes données G, θ, ψ, ω, (H, H, s, ξ̂), (H_{1}, ξ_{1}, ξ̂_{1}) des paragraphes 1.2, 1.3 et 1.4. On leur impose dans les paragraphes 4 et 5 les hypothèses supplémentaires (H1) à (H7) ci-dessous.

(H1) p > N(G)e_{F} + 1.

Cette condition implique facilement que l’ordre de θ^{∗} est premier à p.

(H2) G^{∗} est non ramifié, G = G^{∗} et ψ est l’identité.

On a fixé en 1.2 une paire de Borel et un épinglage de G^{∗}. On leur associe comme dans le paragraphe 4.1 un schéma en groupes K.

(H3) g_{θ} ∈ K_{SC}(𝔬^{nr}).

(H4) ω est non ramifié, c’est-à-dire que le cocycle a_{ω} ∈ H^{1}(W_{F} , ZĜ) associé à ω provient par inflation d’un élément de H^{1}(W^{nr}, ZĜ).

(H5) H est non ramifié et ξ̂(H) contient le sous-groupe Ĥ ⋊ I_{F} de ^{L}G.

(H6) H_{1} est non ramifié et ξ̂_{1}(H) contient le sous-groupe Ĥ ⋊ I_{F} de ^{L}H_{1}.

On a fixé en 1.3 une paire de Borel de H définie sur F. On fixe aussi un épinglage relatif à cette paire, défini sur F. On associe à ces données un schéma en groupes K_{H}.

L’image réciproque dans H_{1} de la paire de Borel est une paire de Borel de H_{1} définie sur F. Les algèbres de Lie des groupes dérivés de H et H_{1} étant les mêmes, l’épinglage de H est aussi un épinglage de H_{1}. On associe à ces données un schéma en groupes K_{1}. On verra ci-dessous que les hypothèses précédentes entraînent que H_{z}(F) ∩ K_{H}(𝔬^{nr}) n’est pas vide. On a besoin de la condition analogue pour H_{1} :

(H7) l’ensemble H_{1,z}(F) ∩ K_{1}(𝔬^{nr}) n’est pas vide.

Tirons quelques conséquences de ces hypothèses.Puisque ψ est l’identité, on ne perd rien à supposer que la fonction σ ↦ u(σ) est triviale. Par construction et d’après (H3), la fonction z : Γ_{F} → Z_{G_{SC}^{∗}} est un cocycle, qui se factorise en un cocycle défini sur Γ^{nr}. Dorénavant, on identifiera G à G^{∗} et, pour simplifier, on ne conservera que la notation G (à l’exception du paragraphe suivant). On identifiera G̃ à l’ensemble Gθ^{∗} muni de l’action de Γ_{F} pour laquelle σ agit par x ↦ z(σ)^{−1}σ(x). On pose :

K̃(𝔬) = G̃(F) ∩ K(𝔬^{nr})θ^{∗} = K(𝔬)θ.

On sait calculer le nombre d’éléments de Z_{G_{SC}} en fonction du système de racines Σ : on décompose G_{SC} en produit de groupes quasi-simples (sur F̄) ; pour un groupe quasisimple et simplement connexe, le nombre d’éléments du centre est égal à celui du quotient du réseau des poids par celui engendré par les racines. En consultant les tables de [B], l’hypothèse p > dim(G) + 1 entraîne que le nombre d’éléments de Z_{G_{SC}} est premier à p. Donc :

(1) Z_{G_{SC}} = Z_{G_{SC},p′} ⊂ T_{sc}^{∗}(𝔬^{nr})_{p′} ⊂ K_{SC}(𝔬^{nr}).

Puisque l’automorphisme θ^{∗} préserve l’épinglage, il normalise K. Le commutant connexe G_{θ^{∗}} de θ^{∗} est lui aussi non ramifié. On peut construire un épinglage de G_{θ^{∗}}, relatif à la paire (B^{∗} ∩ G_{θ^{∗}}, T_{θ^{∗}}), formé de sommes (avec coefficients 1) d’éléments de l’épinglage de G, cf. [KS] 1.3. On définit alors un schéma en groupes K_{θ^{∗}}. Il est clair que K_{θ^{∗}}(𝔬^{nr}) = K(𝔬^{nr}) ∩ G_{θ^{∗}}(F^{nr}). D’autre part, l’automorphisme θ^{∗} se descend en un automorphisme de la fibre spéciale K, noté encore θ^{∗}. La fibre spéciale de K_{θ^{∗}} n’est autre que la composante neutre du commutant de θ^{∗} dans K (la notation K_{θ^{∗}} sera donc sans ambiguïté).

Le cocycle z_{H} se factorise en un cocycle défini sur Γ^{nr}. Il prend ses valeurs dans l’image dans T_{H} de Z_{G_{SC}}, qui est contenue dans T_{H}(𝔬^{nr})_{p′}. En appliquant par exemple 4.2(1), il existe h ∈ K_{H}(𝔬^{nr}) tel que z_{H}(σ) = h^{−1}σ(h) pour tout σ ∈ Γ_{F}. A fortiori, H_{z}(F)∩K_{H}(𝔬^{nr}) n’est pas vide. L’hypothèse (H7) entraîne en sens inverse que le cocycle z_{H_{1}} se factorise en un cocycle défini sur Γ^{nr} et qu’il prend ses valeurs dans K_{1}(𝔬^{nr}). On pose :

K_{H,z}(𝔬) = H_{z}(F) ∩ K_{H}(𝔬^{nr}),
K_{1,z}(𝔬) = H_{1,z}(F) ∩ K_{1}(𝔬^{nr}).

Ces sous-ensembles sont des espaces principaux homogènes sous K_{H}(𝔬), resp. K_{1}(𝔬).

4.5 Légitimité des hypothèses

Considérons des données G, θ, ψ, ω, (H, H, s, ξ̂), (H_{1}, ξ_{1}, ξ̂_{1}), définies pour ce paragraphe sur un corps de nombres k (cf. [KS] pour une définition précise dans ce cas). On suppose que H_{z}(k) n’est pas vide (sinon, les données n’ont aucun intérêt). Pour toute place v de k, ces données fournissent des données définies sur le corps complété k_{v}, que l’on note avec un indice v : G_{v}, θ_{v} etc... On va montrer que pour presque toute place v, ces données locales sont isomorphes à des données qui vérifient les hypothèses du paragraphe précédent, le corps F étant remplacé par k_{v}. On utilise ci-dessous des notations similaires à celles que l’on a introduites dans la situation locale.

L’ hypothèse (H1) est vérifiée pour presque tout v. L’hypothèse (H2) l’est aussi, à isomorphisme près. L’élément g_{θ} appartient à G^{∗}(k̄). Tout élément de ce groupe appartient à G^{∗}(k_{v}^{nr}) et même à un sous-groupe hyperspécial K(𝔬_{v}^{nr}) ⊂ G^{∗}(k_{v}^{nr}) pour presque tout v. Tous les sous-groupes hyperspéciaux étant conjugués par le groupe adjoint, on peut supposer à isomorphisme près que le groupe K ci-dessus est celui que l’on a défini, d’où (H3). Le cocycle a_{ω} appartient à H^{1}(W_{k}, ZĜ) et tout élément de ce groupe est non ramifié pour presque tout v, d’où (H4). Le groupe H est non ramifié pour presque tout v. Par hypothèse, l’extension H est scindée. Fixons un homomorphisme continu c : W_{k} → H section de la projection de H sur W_{k}. Fixons une extension galoisienne finie k′ de k telle que Γ_{k′} agisse trivialement sur Ĝ. Définissons d : W_{k′} → Ĝ par ξ̂∘ c(w) = (d(w), w) pour tout w ∈ W_{k′}. Alors d est un homomorphisme continu. Fixons un voisinage de l’unité V dans Ĝ qui ne contienne pas de sous-groupe non trivial, et un voisinage de l’unité U dans W_{k′} tel que d(U) ⊂ V. Pour presque tout v, k′ est non ramifiée en v. Si on choisit une place de k′ au-dessus de v, que l’on note encore v, on a l’égalité des groupes d’inertie I_{k′_{v}} = I_{k_{v}}. Par définition de la topologie de W_{k′}, on a I_{k′_{v}} ⊂ U pour presque tout v. Pour une telle place, d(I_{k′_{v}}) est un sous-groupe de V, donc égal à 1. Alors ξ̂_{v}(H_{v}) contient le sous-groupe {1}×I_{k_{v}} de ^{L}G_{v}. L’hypothèse (H5) en résulte pour presque tout v. De même pour l’hypothèse (H6). Puisqu’on a supposé H_{z}(k) non vide, H_{1,z}(k) ne l’est pas non plus par construction. Fixons h_{1} ∈ H_{1,z}(k). On a h_{1} ∈ H_{1}(k̄). Le même raisonnement que l’on a fait pour traiter l’hypothèse (H3) assure qu’à isomorphisme près, on a h_{1} ∈ K_{1}(𝔬_{v}^{nr}) pour presque tout v. D’où (H7).

Remarque. Il ne serait pas légitime de supposer g_{θ} ∈ G^{∗}(F) car dans une situation globale, elle n’est pas forcément vérifiée pour presque tout v : considérer un cas où G = G^{∗} et θ = Int(g_{θ}) ∘ θ^{∗}, avec g_{θ} ∈ G_{AD}^{∗}(k), mais g_{θ} n’appartient pas à l’image de G^{∗}(k) dans ce groupe adjoint.

4.6 Normalisation des facteurs de transfert

Soient γ ∈ K_{H,z}(𝔬) et D = (T^{♭}, T_{0}, T, T^{♮}, h, g_{0}, g_{1}, δ) ∈ D(γ). On dit que D est non ramifié si h ∈ K_{H,SC}(𝔬^{nr}), g_{0} ∈ K_{θ^{∗},SC}(𝔬^{nr}), g_{1} ∈ K_{SC}(𝔬^{nr}) et δ ∈ K̃(𝔬). Si D est non ramifié, les tores T^{♭}, T_{0}, T et T^{♮} le sont aussi : sur F^{nr}, ils sont isomorphes respectivement à T_{H}, T^{∗}, T^{∗}, T_{θ^{∗}}^{∗}. Puisque ν_{D}θ^{∗} = Int(g_{0}g_{1})(δ), l’élément ν_{D} appartient à T^{∗}∩K(𝔬^{nr}) = T^{∗}(𝔬^{nr}). Cela entraîne que, pour tout α ∈ Σ, N(α)(ν_{D}) ∈ F^{nr}. A fortiori, pour u ∈ {±1}, val_{F} (N(α)(ν_{D}) − u) ∈ ℤ ∪ {∞}. En supposant D non ramifié, on dit que D est pair si, pour tout α ∈ Σ et tout u ∈ {±1}, val_{F} (N(α)(ν_{D}) − u) ∈ 2ℤ ∪ {∞}.

Notons D_{1,nr} le sous-ensemble des couples (γ_{1}, δ) ∈ D_{1} tels que :

- γ_{1} ∈ K_{1,z}(𝔬) ;

- en notant γ ∈ K_{H,z}(𝔬) l’image de γ_{1} dans H_{z}(F), il existe un diagramme D = (T^{♭}, T_{0}, T, T^{♮}, h, g_{0}, g_{1}, δ) ∈ D(γ) qui est non ramifié et pair.

Rappelons que le facteur de transfert Δ défini par Kottwitz et Shelstad est produit de différents termes. En particulier, pour (γ_{1}, δ) ∈ D_{1}, on définit le terme Δ_{IV} (γ_{1}, δ), qui est un produit simple de valeurs absolues ([KS] 4.5).

Lemme. (i) L’ensemble D_{1,nr} n’est pas vide.

(ii) Soient (γ_{1}, δ), (γ̄_{1}, δ̄) deux éléments de D_{1,nr}. Alors on a l’égalité :

Δ(γ_{1}, δ; γ̄_{1}, δ̄) = Δ_{IV} (γ_{1}, δ)Δ_{IV} (γ̄_{1}, δ̄)^{−1}.

Nous démontrerons ce lemme dans [W2]. Grâce à lui, on peut normaliser le facteur de transfert Δ : D_{1} → ℂ^{×} de sorte que Δ(γ_{1}, δ) = Δ_{IV} (γ_{1}, δ) pour tout (γ_{1}, δ) ∈ D_{1,nr}. C’est ce facteur que nous utiliserons désormais.

Remarque. Il serait plus simple et plus naturel d’imposer aux diagrammes la condition val_{F} (N(α)(ν_{D})−u) ∈ {0, ∞} au lieu de val_{F} (N(α)(ν_{D})−u) ∈ 2ℤ∪{∞}. La normalisation serait alors Δ(γ_{1}, δ) = 1 pour les couples vérifiant cette condition modifiée. Mais, pour démontrer l’analogue du (i) du lemme, c’est-à-dire l’existence de couples vérifiant cette condition modifiée, il faudrait imposer à p des conditions plus fortes que la simple condition p > N(G)e_{F} + 1.

4.7 Normalisation des facteurs de transfert, cas des algèbres de Lie

Considérons la situation de 1.6. Supposons G′ et H′ non ramifiés et fixons un sousgroupe compact hyperspécial de G′(F), dont on déduit un schéma en groupes K′. Pour X ∈ 𝔨′(𝔬^{nr}), on dit que X est de réduction régulière si son image X ∈ 𝔨′ est semi-simple régulière. Notons D′_{nr} le sous-ensemble des (Y, X) ∈ D′ tels que X ∈ 𝔨′(𝔬) et X est de réduction régulière.

Lemme. (i) L’ensemble D′_{nr} n’est pas vide.

(ii) Soient (Y, X), (Ȳ , X̄) deux éléments de D′_{nr}. Alors on a l’égalité :

Δ′(Y, X; Ȳ , X̄) = 1.

Nous démontrerons ce lemme dans [W2]. Grâce à lui, on peut normaliser le facteur de transfert Δ′ : D′ → ℂ^{×} de sorte que Δ′(Y, X) = 1 pour tout (Y, X) ∈ D′_{nr}.

4.8 Enoncé du lemme fondamental

On a défini en 4.4 le sous-ensemble K̃(𝔬) de G̃(F). On note fK̃ sa fonction caractéristique.

On a défini en 4.4 le sous-ensemble K_{1,z}(𝔬) de H_{1,z}(F). L’intersection Z_{1}(F)∩K_{1,z}(𝔬) est le sous-groupe compact Z_{1}(𝔬), cf. 4.1. Les hypothèses (H5) et (H6) entraînent que le caractère λ_{1} défini en 1.4 est non ramifié. Sa restriction à Z_{1}(𝔬) est donc triviale, cf. 4.1(1). On définit une fonction f_{K_{1},λ_{1}} sur H_{1,z}(F) par :

f_{K_{1,z},λ_{1}}(x) = \{ \begin{matrix}0, & si x ∉ Z_{1}(F)K_{1,z}(𝔬), \\ λ_{1}(z)^{−1}, & si x = zk, avec z ∈ Z_{1}(F), k ∈ K_{1,z}(𝔬). \end{matrix}

Cette fonction appartient à C_{1}^{∞}(H_{1,z}(F)).

On munit G(F) et H(F) des mesures de Haar non ramifiées.

Conjecture. La fonction f_{K_{1,z},λ_{1}} est un transfert de fK̃.

4.9 Enoncé du lemme fondamental pour les algèbres de Lie

Considérons la situation de 1.6. On suppose G′ et H′ non ramifiés. On fixe des sousgroupes compacts hyperspéciaux de G′(F) et H′(F), dont on déduit des schémas en groupes K′ et K_{H′}. On note f_{𝔨′}, resp. f_{𝔨_{H′}}, la fonction caractéristique de 𝔨′(𝔬) dans 𝔤′(F), resp. 𝔨_{H′}(𝔬) dans 𝔥′(F). On normalise les facteurs de transfert comme en 4.7 et on munit G′(F) et H′(F) des mesures de Haar non ramifiées.

Conjecture. La fonction f_{𝔨_{H′}} est un transfert de f_{𝔨′}.

4.10 Enoncé du lemme fondamental non standard

Considérons la situation de 1.7. On impose les deux hypothèses suivantes :

- G_{1} et G_{2} sont non ramifiés ;

- les fonctions b et b̌ intervenant en 1.7(1) prennent leurs valeurs dans le groupe ℤ_{(p)}^{×} des rationnels de valuation p-adique nulle.

Pour i = 1, 2, on fixe un sous-groupe compact hyperspécial de G_{i}(F), dont on déduit un schéma en groupes K_{i}. On note f_{𝔨_{i}} la fonction caractéristique de 𝔨_{i}(𝔬) dans 𝔤_{i}(F). On munit G_{i}(F) de la mesure de Haar non ramifiée.

Conjecture. La fonction f_{𝔨_{1}} est un transfert de f_{𝔨_{2}}.

4.11 Le deuxième théorème

Théorème. Considérons toutes les données (η, ϵ, H̄, H̄, s̄, ˆ ξ̄, j_{∗}) vérifiant les conditions suivantes :

(a) η est un élément semi-simple de K̃(𝔬) et ϵ est un élément semi-simple de K_{H,z}(𝔬) ;

(b) ϵ est d’ordre fini premier à p dans H(F^{nr}) ;

(c) (H̄, H̄, s̄, ˆ ξ̄) est une donnée endoscopique de G_{η,SC} ; H̄ et G_{η,SC} sont non ramifiés ;

(d) le triplet (H_{ϵ,SC}, H̄_{SC}, j_{∗}) vérifie les hypothèses ”non standard” du paragraphe 1.7 et les deux hypothèses de non ramification du paragraphe 4.10.

Pour chacune de ces données, on suppose que :

(e) le lemme fondamental pour les algèbres de Lie du paragraphe 4.9 est vérifié pour le couple (𝔤_{η,SC}, 𝔥̄) ;

(f) le lemme fondamental non standard du paragraphe 4.10 est vérifié pour le couple (𝔥_{ϵ,SC}, 𝔥̄_{SC}).

Alors le lemme fondamental du paragraphe 4.8 est vérifié pour le triplet (G̃, θ, ω) et sa donnée endoscopique (H, H, s, ξ̂).

On démontrera ce théorème en V.12. Encore une fois, la démonstration est constructive et on peut préciser les données qui peuvent effectivement intervenir. Les précisions que l’on peut apporter s’énoncent exactement de la même façon qu’en 1.8 (sauf que le (e) du théorème 1.8 devient le (f) du théorème ci-dessus).

4.12 Le cas du changement de base

Comme en 1.9, supposons que G = Res_{E/F} (G_{0}), où E est une extension galoisienne finie cyclique de F. On suppose de plus G_{0} et E non ramifiés. Le théorème du paragraphe précédent se simplifie pour les mêmes raisons qu’en 1.9. On obtient :

Corollaire. Dans la situation ci-dessus, considérons toutes les données (η_{0}, ϵ, H̄, H̄, s̄, ˆ ξ̄) vérifiant les conditions suivantes :

(a) η_{0} ∈ G_{0}(F)_{p′} et ϵ ∈ H(F)_{p′};

(b) G_{0,η_{0}} et H_{ϵ} sont non ramifiés ;

(c) (H̄, H̄, s̄, ˆ ξ̄) est une donnée endoscopique de G_{0,η_{0}} et H̄ = H_{ϵ}.

Pour chacune de ces données, on suppose vérifié le lemme fondamental pour les algèbres de Lie du paragraphe 4.9 pour le couple (𝔤_{0,η_{0}}, 𝔥̄). Alors le lemme fondamental du paragraphe 4.8 est vérifié pour le triplet (G̃, θ, 1) et sa donnée endoscopique (H, H, s, ξ̂).

Dans le cas particulier où H = G_{0} est le groupe endoscopique principal, on a nécessairement H̄ = G_{0,η_{0}} et le lemme fondamental pour le couple (𝔤_{0,η_{0}}, 𝔥̄) est tautologique. On retrouve le résultat de [Ko3] corollaire du paragraphe 1. Dans le cas où G_{0} = SL(n) ou G_{0} = U(n), les lemmes fondamentaux nécessaires sont connus, grâce à [LN] dans le cas unitaire. On obtient :

Corollaire. Dans la situation ci-dessus, supposons de plus G_{0} = SL(n) ou G_{0} = U(n). Alors le lemme fondamental du paragraphe 4.8 est vérifié pour le triplet (G̃, θ, 1) et toute donnée endoscopique (H, H, s, ξ̂).

5 Cas non ramifié : les preuves

5.1 Elimination de H_{1}

Soit ϕ ∈ W_{F} un élément de Frobenius. Pour w ∈ W_{F}, on note val_{F} (w) l’entier relatif tel que l’image de w dans W^{nr} soit égale à celle de ϕ^{val_{F} (w)}. Choisissons un élément h_{ϕ} ∈ H d’image ϕ dans W_{F} et tel que Int(h_{ϕ}) agisse comme ϕ dans Ĥ. En utilisant l’hypothèse (H5) de 4.4, on définit une application :

\begin{aligned}c : & W_{F} & → & ξ̂(H) ⊂ ^{L}G \\ & w & ↦ & ξ̂(h_{ϕ})^{val_{F} (w)}(1, ϕ^{−val_{F} (w)}w) \end{aligned}

C’est un homomorphisme continu, section de la projection sur W_{F}. Alors l’application :

\begin{matrix}^{L}H & → & ξ̂(H) \\ (h, w) & ↦ & hc(w) \end{matrix}

est un isomorphisme. Mais ξ̂ est un isomorphisme de H sur son image ξ̂(H) ([KS] paragraphe 2.2). Donc H est isomorphe à ^{L}H. Identifions ces deux groupes et considérons désormais ξ̂ comme un plongement de ^{L}H dans ^{L}G. Il résulte des hypothèses (H5) et (H6) de 4.4 que ξ̂_{1} s’écrit sous la forme :

ξ̂_{1}(h, w) = (a_{1}(w)h, w)

pour tout (h, w) ∈ ^{L}H, où a_{1} est un cocycle non ramifié de W_{F} dans ZĤ_{1}. Ce cocycle détermine un caractère Λ_{1} de H_{1}(F). En se rappelant la définition de λ_{1}, on voit que ce dernier n’est autre que la restriction de Λ_{1} à Z_{1}(F). Soit h_{1} un élément de K_{1,z}(𝔬). On définit une fonction Λ_{1,z} sur H_{1,z}(F) par Λ_{1,z}(x) = Λ_{1}(xh_{1}^{−1}) pour tout x ∈ H_{1,z}(F). Cela ne dépend pas du choix de h_{1}.

On peut reprendre toutes les définitions en remplaçant le triplet (H_{1}, ξ_{1}, ξ̂_{1}) par (H, id, id). En particulier, on définit un facteur, que l’on note provisoirement :

Δ_{0} : D → ℂ^{×},

normalisé de la même façon qu’en 4.8. Soit (γ_{1}, δ) ∈ D_{1}. Notons γ l’image de γ_{1} dans H_{z}(F). Nous prouverons dans [W2] l’égalité :

(1) Δ(γ_{1}, δ) = Λ_{1,z}(γ_{1})^{−1}Δ_{0}(γ, δ).

On note f_{K_{H,z}} la fonction caractéristique de K_{H,z}(𝔬) dans H_{z}(F). On pose la même conjecture qu’en 4.8 : la fonction f_{K_{H,z}} est un transfert de fK̃. Le lemme suivant montre que cette conjecture entraîne celle de 4.8.

Lemme. Soient γ_{1} ∈ H_{1,z,G̃−reg}(F) et γ son image dans H_{z,G̃−reg}(F). Alors on a les égalités :

SO_{γ_{1}}(f_{K_{1,z},λ_{1}}) = Λ_{1,z}(γ_{1})^{−1}SO_{γ}(f_{K_{H,z}}),
O_{γ_{1}}^{G̃,ω}(f_{K}) = Λ_{1,z}(γ_{1})^{−1}O_{γ}^{G̃,ω}(f_{K}).

Preuve. La deuxième égalité résulte des définitions et de (1).

Parce que le support de f_{K_{1,z},λ_{1}} est Z_{1}(F)K_{1,z}(𝔬) et que ce support se projette surjectivement sur le support K_{H,z}(𝔬) de f_{K_{H,z}}, on vérifie l’égalité :

(2) f_{K_{1,z},λ_{1}}(x_{1}) = Λ_{1,z}(x_{1})^{−1}f_{K_{H,z}}(x)

pour tout x_{1} ∈ H_{1,z}(F), où x est l’image de x_{1} dans H_{z}(F). Montrons que :

(3) la fonction Λ_{1,z} est constante sur les classes de conjugaison géométrique dans H_{1,z}(F).

Rappelons que le groupe dérivé de H_{1} est simplement connexe par hypothèse, égal à H_{1,SC}. Introduisons le tore quotient D = H_{1}/H_{1,SC}. Alors ZĤ_{1} est le tore dual de D et on peut identifier ZĤ_{1} à Hom(X_{∗}(D), ℂ^{×}). Puisque H_{1,SC} est simplement connexe, on a H^{1}(Γ_{F′}, H_{1,SC}) = {0} pour toute extension finie F′ de F. On en déduit que l’homomorphisme :

(4) H_{1}(F^{nr}) → D(F^{nr})

est surjectif. D’autre part, D est non ramifié et on a un isomorphisme surjectif :

D(F^{nr}) → X_{∗}(D)

qui annule D(𝔬^{nr}) et qui, pour x_{∗} ∈ X_{∗}(D), envoie x_{∗}(ϖ_{F}) sur x_{∗}. D’où un homomorphisme surjectif :

H_{1}(F^{nr}) → X_{∗}(D).

Son noyau contient le groupe K_{1}(𝔬^{nr}).Soit z ∈ ZĤ_{1} la valeur que prend le cocycle a_{1} sur un élément de Frobenius. Il détermine un caractère de X_{∗}(D), donc un caractère de H_{1}(F^{nr}) via l’homomorphisme précédent. En explicitant les définitions, on voit que Λ_{1,z} est la restriction de ce dernier caractère à H_{1,z}(F) ⊂ H_{1}(F^{nr}). Une classe de conjugaison géométrique dans H_{1,z}(F) s’envoie sur un unique point par l’application (4). L’assertion (3) en résulte.

Notons C_{1}(γ_{1}), resp. C(γ), la classe de conjugaison stable de γ_{1} dans H_{1,z}(F), resp. de γ dans H_{z}(F). Montrons que :

(5) la projection de H_{1,z}(F) sur H_{z}(F) se restreint en une bijection de C_{1}(γ_{1}) sur C(γ).

D’après [Ko1], lemme 3.1, les commutants H_{γ} et H_{γ_{1}} sont égaux. Introduisons l’ensemble :

X_{γ} = {x ∈ H; ∀σ ∈ Γ_{F} , σ(x)^{−1}x ∈ H_{γ}}.

Alors X_{γ}/H_{γ} s’identifie à la fois à C_{1}(γ_{1}) et à C(γ), respectivement par x ↦ xγ_{1}x^{−1} et x ↦ xγx^{−1}. Puisque xγ_{1}x^{−1} se projette sur xγx^{−1}, cela entraîne (5).

On peut considérer SO_{γ_{1}}(f_{K_{1,z},λ_{1}}), resp. SO_{γ}(f_{K_{H,z}}), comme une intégrale sur C_{1}(γ_{1}), resp. C(γ), ces ensembles étant munis de mesures. Ces mesures se correspondent par la bijection précédente : elles se déduisent toutes deux de la même mesure sur H_{γ}(F)\H(F). Grâce à (2) et (3), les fonctions que l’on intègre se correspondent aussi. La première égalité de l’énoncé en résulte. □

Dorénavant, nous supposerons que (H_{1}, ξ_{1}, ξ̂_{1}) = (H, id, id).

5.2 Eléments compacts

Soit M un groupe algébrique linéaire défini sur F, de composante neutre M^{0} réductive. Soit x ∈ M(F). On dit que x est compact si le groupe x^{ℤ} = {x^{n}; n ∈ ℤ} engendré par x est d’adhérence compacte dans M(F). On a la propriété suivante :

(1) soit x un élément compact de M(F) ; il existe d’uniques éléments x_{p′}, x_{tu} ∈ M(F) tels que x = x_{p′}x_{tu} = x_{tu}x_{p′}, x_{p′} ∈ M(F)_{p′} et x_{tu} ∈ M(F)_{tu}; ces éléments appartiennent à l’adhérence de x^{ℤ}. (la notion d’élément topologiquement unipotent se définit comme dans le cas où M est connexe, cf. 4.3). Rappelons la preuve bien connue. On fixe un sous-groupe ouvert U ⊂ M^{0}(F) qui soit pro-p-unipotent. Notons X l’adhérence de x^{ℤ}. C’est un groupe abélien compact. Donc X/(X ∩ U) est fini. Notons c le plus grand entier premier à p qui divise le nombre d’éléments de X/(X ∩ U). Il existe alors un entier N ∈ ℕ tel que x^{cp^{N}} ∈ X ∩ U. Puisque U est pro-p-unipotent, x^{cp^{N}} est topologiquement unipotent, donc x^{c} l’est aussi. Pour tout élément topologiquement unipotent y, l’application :

\begin{matrix}ℤ & → & M(F)_{tu} \\ n & ↦ & y^{n} \end{matrix}

se prolonge en un homomorphisme continu du complété ℤ_{p} dans M(F)_{tu}. Soit c′ l’inverse de c dans ℤ_{p}. Posons x_{tu} = (x^{c})^{c′}, x_{p′} = xx_{tu}^{−1}. Ces éléments vérifient les propriétés requises. Inversement, si y_{p′} et y_{tu} forment un autre couple vérifiant les mêmes propriétés, on a y_{p′}^{c} = x^{c}y_{tu}^{−c}, donc y_{p′}^{c} ∈ M(F)_{tu}. Mais y_{p′}^{c} est, comme y_{p′}, d’ordre fini premier à p, donc y_{p′}^{c} = 1. Donc y_{tu}^{c} = x^{c}. Alors y_{tu} = (y_{tu}^{c})^{c′} = (x^{c})^{c′} = x_{tu}, puis y_{p′} = x_{p′}. □

Notons que la notion d’élément compact et la décomposition ci-dessus sont insensibles à une extension du corps de base. C’est-à-dire que, si F′ est une extension finie de F et si x ∈ M(F), x est compact en tant qu’élément de M(F) si et seulement s’il l’est en tant qu’élément de M(F′) et la décomposition (1) est la même que l’on se place dans M(F) ou dans M(F′). On a :

(2) soit x un élément compact de M(F), soit y ∈ M, posons x′ = yxy^{−1} ; supposons x′ ∈ M(F) ; alors x′ est compact et on a les égalités x′_{p′} = yx_{p′}y^{−1}, x′_{tu} = yx_{tu}y^{−1}. Comme on vient de le dire, on peut remplacer F par une extension finie. Cela nous permet de supposer y ∈ M(F). Dans ce cas, les assertions sont à peu près évidentes.

On a H_{z}(F) ⊂ H(F^{nr}). En fait, il existe une extension finie et non ramifiée E de F telle que H_{z}(F) ⊂ H(E). On dit qu’un élément x ∈ H_{z}(F) est compact s’il l’est dans H(E) pour une telle extension E. Soit x un élément compact de H_{z}(F) et x = x_{p′}x_{tu} sa décomposition dans H(E). Alors :

(3) x_{p′} appartient à H_{z}(F) et x_{tu} appartient à H(F)_{tu}. En effet, soit σ ∈ Γ_{F}. Puisque x ∈ H_{z}(F), on a l’égalité σ(x) = z_{H}(σ)x, d’où σ(x_{p′})σ(x_{tu}) = z_{H}(σ)x_{p′}x_{tu}. Parce que z_{H}(σ) est central et d’ordre fini premier à p (cf. 4.4(1)), on a ici deux décompositions du même élément σ(x). D’après l’unicité de la décomposition, σ(x_{p′}) = z_{H}(σ)x_{p′} et σ(x_{tu}) = x_{tu}. D’où (3).

Introduisons le groupe G^{+} = G⋊Θ^{∗}. On a G̃(F) ⊂ G^{+}(F^{nr}) et il existe une extension finie et non ramifiée de F telle que G̃(F) ⊂ G^{+}(E). On dit qu’un élément x ∈ G̃(F) est compact s’il l’est dans G^{+}(E). Soit x un élément compact de G̃(F) et x = x_{p′}x_{tu} sa décomposition dans G^{+}(E). Alors :

(4) x_{p′} appartient à G̃(F) et x_{tu} appartient à G(F)_{tu}. Notons m(θ^{∗}) l’ordre de θ^{∗}. D’après (H1), m(θ^{∗}) est premier à p. Il en résulte que G^{+}(E)_{tu} = G(E)_{tu}. Donc x_{tu} ∈ G(E) et x_{p′} ∈ G(E)θ^{∗}. Soit σ ∈ Γ_{F}. Comme cidessus, on a l’égalité σ(x_{p′})σ(x_{tu}) = z(σ)x_{p′}x_{tu}. L’élément z(σ) appartient à Z_{G_{SC}} mais n’est pas forcément central dans G^{+}(E). Toutefois, Θ^{∗} conserve l’ensemble Z_{G_{SC}}, donc (z(σ)x_{p′})^{m(θ^{∗})} appartient à Z_{G_{SC}}x_{p′}^{m(θ^{∗})}. Tous les éléments de cet ensemble sont d’ordre fini premier à p, donc z(σ)x_{p′} l’est aussi. Alors, de nouveau, on a ci-dessus deux décompositions du même élément, et on conclut comme dans la preuve de (3).

On pose H_{z}(F)_{p′} = H_{z}(F)∩H(F^{nr})_{p′}, G̃(F)_{p′} = G̃(F)∩G^{+}(F^{nr})_{p′}. Notons \overline{𝔬} l’anneau des entiers de F̄.

Lemme. (i) Soit γ un élément semi-simple de H_{z}(F). Alors γ est compact, resp. γ ∈ H_{z}(F)_{p′}, si et seulement s’il existe un élément x ∈ H tel que xγx^{−1} ∈ T_{H}(\overline{𝔬}), resp. xγx^{−1} ∈ T_{H}(𝔬^{nr})_{p′}.

(ii) Soit δ un élément semi-simple de G̃(F). Alors δ est compact, resp. δ ∈ G̃(F)_{p′}, si et seulement s’il existe un élément x ∈ G tel que xδx^{−1} ∈ T^{∗}(\overline{𝔬})θ^{∗}, resp. xδx^{−1} ∈ T^{∗}(𝔬^{nr})_{p′}θ^{∗}.

Preuve de (i). Puisque γ est semi-simple, on peut fixer x ∈ H tel que xγx^{−1} ∈ T_{H}. Fixons une extension finie F′ telle que H_{z}(F) ⊂ H(F′) et x ∈ H(F′). Si γ est compact, resp. γ ∈ H_{z}(F)_{p′}, alors xγx^{−1} est compact dans H(F′), resp. H(F′)_{p′}. Evidemment un élément de T_{H}(F′) est compact, resp. appartient à H(F′)_{p′}, si et seulement s’il appartient à T_{H}(𝔬′), resp. à T_{H}(𝔬′)_{p′}, où 𝔬′ est l’anneau des entiers de F′. Si γ est compact, resp. γ ∈ H_{z}(F)_{p′}, xγx^{−1} appartient donc à T_{H}(𝔬′) ⊂ T_{H}(\overline{𝔬}), resp. T_{H}(𝔬′)_{p′} ⊂ T_{H}(\overline{𝔬})_{p′}. On remarque ensuite que T_{H}(\overline{𝔬})_{p′} = T_{H}(𝔬^{nr})_{p′}, car \overline{𝔬}_{p′}^{×} = 𝔬_{p′}^{nr,×} (extraire des racines de l’unité d’ordre premier à p ne crée que des extensions non ramifiées). Cela prouve l’assertion ”seulement si” de (i). La réciproque est évidente.

Preuve de (ii). Puisque δ est semi-simple, on peut fixer u ∈ G tel que uδu^{−1} ∈ T^{∗}θ^{∗}. Fixons une extension finie F′ telle que G̃(F) ⊂ G^{+}(F′), u ∈ G(F′) et T^{∗} soit déployé sur F′. On peut identifier :

T^{∗}(F′) = X_{∗}(T^{∗}) ⊗_{ℤ} F^{_{′}×}, T^{∗}(𝔬′) = X_{∗}(T^{∗}) ⊗_{ℤ} 𝔬^{_{′}×}.

Fixons une uniformisante ϖ_{F′} de F′. Tout élément de T^{∗}(F′) s’écrit de façon unique comme produit t_{1}x_{∗}(ϖ_{F′}), où t_{1} ∈ T^{∗}(𝔬′) et x_{∗} ∈ X_{∗}(T^{∗}). Ecrivons uδu^{−1} = tθ^{∗} et t = t_{1}x_{∗}(ϖ_{F′}) comme on vient de le dire. On a uδ^{m(θ^{∗})}u^{−1} = P (θ^{∗})(t_{1})P (θ^{∗})(x_{∗})(ϖ_{F′}), où P est le polynôme P (X) = X^{m(θ^{∗})−1} +...+X +1. Remarquons que θ^{∗} conserve T^{∗}(𝔬′) donc P (θ^{∗})(t_{1}) ∈ T^{∗}(𝔬′). Supposons δ compact. Alors uδ^{m(θ^{∗})}u^{−1} l’est aussi dans G(F′). Puisque cet élément appartient à T^{∗}(F′), il appartient à T^{∗}(𝔬′). Donc P (θ^{∗})(x_{∗}) = 0. Définissons le polynôme :

Q(X) = X^{m(θ^{∗})−2} + 2X^{m(θ^{∗})−3} + ... + (m(θ^{∗}) − 2)X + m(θ^{∗}) − 1.

On a l’égalité :

P (X) − (X − 1)Q(X) = m(θ^{∗}).

Posons y_{∗} = Q(θ^{∗})(x_{∗}). Alors m(θ^{∗})x_{∗} = (1 − θ^{∗})(y_{∗}). Fixons une racine m(θ^{∗})-ième ϖ_{0} de ϖ_{F′} dans F̄, posons t_{2} = y_{∗}(ϖ_{0}). Alors x_{∗}(ϖ_{F′}) = (1 − θ^{∗})(t_{2}). Posons x = t_{2}^{−1}u. Alors xδx^{−1} = t_{1}θ^{∗} ∈ T^{∗}(\overline{𝔬})θ^{∗}. Supposons maintenant δ ∈ G̃(F)_{p′}. D’après ce que l’on vient de prouver, quitte à modifier u et F′, on peut supposer t ∈ T^{∗}(𝔬′). Notons 𝔬_{1}^{_{′}×} = 1 + ϖ_{F′}𝔬′, posons T^{∗}(𝔬_{1}^{_{′}×}) = X_{∗}(T^{∗}) ⊗_{ℤ} 𝔬_{1}^{_{′}×}. Tout élément de T^{∗}(𝔬′) s’écrit de façon unique comme produit t_{1}t_{2}, où t_{1} ∈ T^{∗}(𝔬′)_{p′} et t_{2} ∈ T^{∗}(𝔬_{1}^{_{′}×}). Ecrivons donc t = t_{1}t_{2}. Le même argument que ci-dessus montre que P (θ^{∗})(t_{2}) = 1. Posons t_{3} = Q(θ^{∗})(t_{2}). Alors t_{2}^{m(θ^{∗})} = (1 − θ^{∗})(t_{3}). L’élément t_{3} appartient à T^{∗}(𝔬_{1}^{_{′}×}) qui est un pro-p-groupe. Puisque m(θ^{∗}) est premier à p, on peut extraire une racine m(θ^{∗})-ième t_{4} ∈ T^{∗}(𝔬_{1}^{_{′}×}) de t_{3}. Alors t_{2}^{m(θ^{∗})} = ((1 − θ^{∗})(t_{4}))^{m(θ^{∗})}. L’élévation à la puissance m(θ^{∗}) est injective dans un pro-p-groupe. Donc t_{2} = (1 − θ^{∗})(t_{4}). De nouveau, posons x = t_{4}^{−1}u. Alors xδx^{−1} = t_{1}θ^{∗} ∈ T (𝔬′)_{p′}θ^{∗}. Le même argument que dans la preuve de (i) montre que T (𝔬′)_{p′} ⊂ T (𝔬^{nr})_{p′}. Cela prouve l’assertion ”seulement si” de (ii). La réciproque est évidente. □

5.3 Elements d’ordre fini premier à p dans H_{z}(F)

Rappelons que l’on a défini un sous-ensemble H_{♯}(F) ⊂ H_{z}(F) en 3.6. On a aussi défini un sous-schéma en groupes K_{H}^{1} en 4.1.

Lemme. (i) Soient ϵ_{1}, ϵ_{2} ∈ H_{z}(F)_{p′} ∩ K_{H,z}(𝔬). Supposons que ces deux éléments aient même image dans K_{H}. Alors il existe k ∈ K_{H}^{1}(𝔬) tel que Int(k)(ϵ_{1}) = ϵ_{2}.

(ii) Soit ϵ ∈ H_{z}(F)_{p′} ∩ K_{H,z}(𝔬). Alors H_{ϵ} est non ramifié et H_{ϵ}(F) ∩ K_{H}(𝔬) est un sous-groupe hyperspécial de H_{ϵ}(F).

(iii) Soient ϵ ∈ H_{z}(F)_{p′} ∩ K_{H,z}(𝔬) et x ∈ H tel que x^{−1}ϵx ∈ K_{H,z}(𝔬) et σ(x)x^{−1} ∈ H_{ϵ} pour tout σ ∈ Γ_{F}. Alors x ∈ H_{ϵ}K_{H}(𝔬).

(iv) Soit ϵ ∈ H_{♯}(F) ∩ H_{z}(F)_{p′}. Alors ϵ est stablement conjugué à un élément de K_{H,z}(𝔬) si et seulement si H_{ϵ} est non ramifié.

Preuve de (i). Dans la preuve du lemme 4.2, on a défini le sous-schéma en groupes K_{H}^{n} pour tout entier n ≥ 1. En raisonnant par récurrence, il suffit de prouver l’assertion suivante :

(1) soit n un entier ≥ 1, supposons ϵ_{1}ϵ_{2}^{−1} ∈ K_{H}^{n}(𝔬) ; alors il existe k ∈ K_{H}^{n}(𝔬) tel que Int(k)(ϵ_{1})ϵ_{2}^{−1} ∈ K_{H}^{n+1}(𝔬).

Considérons l’automorphisme 1 − Int(ϵ_{2}) de 𝔥. Remarquons qu’il est défini sur F car l’image de H_{z}(F) dans H_{AD} est contenue dans H_{AD}(F). Il agit donc sur 𝔥(F). Il conserve 𝔨_{H}(𝔬) parce que ϵ_{2} appartient à K_{H,z}(𝔬). Parce que ϵ_{2} est d’ordre fini premier à p, les valeurs propres de Int(ϵ_{2}) sont des racines de l’unité d’ordre premier à p. Aucune telle racine différente de 1 n’est congrue à 1 modulo ϖ_{F} 𝔬. Donc les valeurs propres non nulles de 1 − Int(ϵ_{2}) sont des unités. Il en résulte que 𝔨_{H}(𝔬) se décompose en somme directe :

𝔨_{H}(𝔬) = 𝔞 ⊕ 𝔟,

où 𝔞, resp. 𝔟, est l’intersection de 𝔨_{H}(𝔬) et du noyau, resp. de l’image, de 1 − Int(ϵ_{2}). De plus, 1 − Int(ϵ_{2}) se restreint en un automorphisme de 𝔟. Remarquons que le quotient K_{H}^{n}(𝔬)/K_{H}^{n+1}(𝔬) s’identifie à 𝔨_{H}(𝔬). Notons x̄ l’image de ϵ_{1}ϵ_{2}^{−1} dans 𝔨_{H}(𝔬) et écrivons x̄ = x̄_{a}+x̄_{b} conformément à la décomposition ci-dessus. Soit ȳ ∈ 𝔟 tel que 1−Int(ϵ_{2})(ȳ) = −x̄_{b}, choisissons y ∈ K_{H}^{n}(𝔬) dont l’image dans 𝔨_{H}(𝔬) soit ȳ. Posons u = Int(y)(ϵ_{1})ϵ_{2}^{−1}. C’est un élément de K_{H}^{n}(𝔬). Un calcul simple montre que son image dans 𝔨_{H}(𝔬) est égale à x̄_{a}. On a l’égalité Int(y)(ϵ_{1}) = uϵ_{2}. Choisissons un entier e premier à p tel que ϵ_{1}^{e} = ϵ_{2}^{e} = 1. Elevons l’égalité précédente à la puissance e. On obtient :

uInt(ϵ_{2})(u)...Int(ϵ_{2}^{e−1})(u) = 1.

Projetons cette égalité dans 𝔨_{H}(𝔬). Parce que x̄_{a} est dans le noyau de 1 − Int(ϵ_{2}), on obtient l’égalité ex̄_{a} = 0. Puisque e est premier à p, on en déduit x̄_{a} = 0. Alors u appartient à K_{H}^{n+1}(𝔬), ce qui prouve (1) et (i).

Preuve de (ii). Notons k ↦ k l’application de réduction de K_{H}(𝔬^{nr}) dans K_{H}. L’élément ϵ est d’ordre premier à p, donc est semi-simple et on peut fixer k ∈ K_{H} de sorte que μ = Int(k^{−1})(ϵ) appartienne à T_{H}. Notons H_{ϵ}, resp. H_{μ}, la composante neutre du commutant de ϵ, resp. μ, dans K_{H}. Soit ϕ un élément de Frobenius de Γ_{F}. On a ϕ(ϵ) = z_{H}(ϕ)ϵ. L’élément z_{H}(ϕ) est central donc :

(1) Int(k^{−1}) ∘ ϕ ∘ Int(k)(μ) = z_{H}(ϕ)μ.

Alors Int(k^{−1})∘ϕ∘Int(k) conserve H_{μ}. Le couple (B_{H} ∩H_{μ}, T_{H}) est une paire de Borel de H_{μ}, il existe donc x ∈ H_{μ} tel que :

Int(x)(B_{H} ∩ H_{μ}, T_{H}) = Int(k^{−1}) ∘ ϕ ∘ Int(k)(B_{H} ∩ H_{μ}, T_{H}).

En appliquant le théorème de Lang à H_{μ} et au Frobenius tordu ϕ′ = Int(k^{−1}) ∘ ϕ ∘ Int(k), on peut écrire x = ϕ^{_{′}−1}(y)y pour un élément y ∈ H_{μ}. Alors Int(y^{−1}k^{−1}) ∘ ϕ ∘ Int(ky) conserve la paire de Borel (B_{H} ∩ H_{μ}, T_{H}). Quitte à remplacer k par ky, on peut supposer que Int(k^{−1}) ∘ ϕ ∘ Int(k) conserve cette paire. En particulier, cet automorphisme conserve T_{H}. Or Int(k^{−1}) ∘ ϕ ∘ Int(k) = Int(k^{−1}ϕ(k)) ∘ ϕ. Puisque ϕ conserve T_{H}, k^{−1}ϕ(k) appartient au normalisateur de T_{H} dans K_{H}. Notons simplement N(T_{H}) ce normalisateur. Montrons que :

(2) il existe k ∈ K_{H}(𝔬^{nr}), dont l’image dans K_{H} soit k, et tel que k^{−1}ϕ(k) ∈ N_{H}(T_{H}). Springer a défini une section n : Ω_{H} → N_{H}(T_{H}), cf. [LS1] paragraphe 2.1. Son

image engendre un groupe fini conservé par Γ_{F}. D’après la définition de n et le choix de notre épinglage, ce groupe est contenu dans K_{H}(𝔬^{nr}). Notons R le groupe engendré par l’image de n et par T_{H}(𝔬^{nr})_{p′}. Il est inclus dans K_{H}(𝔬^{nr}), conservé par Γ_{F}, et s’envoie surjectivement sur N(T_{H}). On vérifie que tout élément de R est d’ordre fini. Choisissons un élément y ∈ R tel que y = k^{−1}ϕ(k). Grâce à 4.2(2), il existe k ∈ K_{H}(𝔬^{nr}) dont l’image dans K_{H} soit k et tel que k^{−1}ϕ(k) = y. Cela prouve (2).

Fixons k vérifiant (2) et μ ∈ T_{H}(𝔬^{nr})_{p′} dont l’image dans T_{H} soit μ. Considérons les deux éléments Int(k^{−1}) ∘ ϕ ∘ Int(k)(μ) et z_{H}(ϕ)μ. Ce sont deux éléments de T_{H}(𝔬^{nr}) : pour le premier, cela résulte du choix de k. Ils sont tous deux d’ordre fini premier à p. D’après (1), leurs images dans T_{H} sont égales. Puisque l’application de réduction est injective sur T_{H}(𝔬^{nr})_{p′}, l’égalité :

Int(k^{−1}) ∘ ϕ ∘ Int(k)(μ) = z_{H}(ϕ)μ

en résulte. Posons ϵ_{0} = Int(k)(μ). Cet élément appartient à K_{H}(𝔬^{nr}) et est d’ordre fini premier à p. L’égalité précédente se traduit par ϕ(ϵ_{0}) = z_{H}(ϕ)ϵ_{0}. Donc ϵ_{0} ∈ H_{z}(F), et même ϵ_{0} ∈ H_{z}(F)_{p′} ∩ K_{H,z}(𝔬). Enfin, toujours d’après le choix de k, ϵ_{0} a même image que ϵ dans K_{H}. En appliquant le (i) de l’énoncé, les deux éléments ϵ et ϵ_{0} sont conjugués par un élément de K_{H}^{1}(𝔬). Alors la conclusion de (ii) est vérifiée pour l’élément ϵ si et seulement si elle l’est pour ϵ_{0}. On peut donc supposer ϵ = ϵ_{0}.

On a déjà dit que l’ensemble des racines Σ_{H} de T_{H} dans H s’identifiait à celui des racines de T_{H} dans K_{H}, cf. 4.1. Notons Σ_{1} l’ensemble des racines de T_{H} dans H_{μ} et Σ_{μ} celui des racines de T_{H} dans H_{μ}. L’ensemble Σ_{1} est celui des α ∈ Σ tels que α(μ) = 0. L’ensemble Σ(μ) est celui des α ∈ Σ tels que α(μ) = 0. Par définition de l’identification des différents ensembles de racines, α(μ) est la réduction dans 𝔽̄_{q} de α(μ) ∈ 𝔬^{nr}. Parce que μ est d’ordre fini premier à p, cette réduction est nulle si et seulement si α(μ) = 0. On en déduit l’égalité Σ_{1} = Σ_{μ}. Considérons la paire de Borel (B_{H} ∩ H_{μ}, T_{H}) de H_{μ}. Elle est évidemment invariante par I_{F}. Je dis que :

(3) cette paire est conservée par l’automorphisme Int(k^{−1}) ∘ ϕ ∘ Int(k).

En effet, cet automorphisme conserve T_{H} d’après le choix de k. Donc l’automorphisme transforme notre paire en une paire (B′, T_{H}). Tout sous-groupe de Borel de H_{μ} contenant T_{H}, resp. de H_{μ} contenant T_{H}, détermine un sous-ensemble positif dans Σ_{1}, resp. Σ_{μ}. Le sous-ensemble de Σ_{1} = Σ_{μ} associé à B_{H} ∩H_{μ} est égal à celui associé à B_{H} ∩H_{μ}. Il est clair que le sous-ensemble associé à B′ est égal à celui associé à Int(k^{−1})∘ϕ∘Int(k)(B_{H} ∩H_{μ}). Or on a supposé que ce dernier sous-groupe de Borel était égal à B_{H} ∩ H_{μ}. D’où B′ = B_{H} ∩ H_{μ}, ce qui prouve (3).

Si l’on fixe un épinglage de H_{μ}, relatif à la paire de Borel (B_{H} ∩ H_{μ}, T_{H}), conservé par le Frobenius tordu ϕ′ (cf. ci-dessus), il est facile de le relever en un épinglage de H_{μ}, relatif à la paire de Borel (B_{H} ∩ H_{μ}, T_{H}), contenu dans 𝔥_{μ}(F^{nr}) ∩ 𝔨_{H}(𝔬^{nr}) et conservé par l’automorphisme Int(k^{−1})∘ϕ∘Int(k). Par transport de structure, le couple (Int(k)(B_{H})∩ H_{ϵ}, Int(k)(T_{H})) est une paire de Borel de H_{ϵ} définie sur F. Puisque Int(k)(T_{H}) est déployé sur F^{nr} (ce tore est isomorphe sur F^{nr} à T_{H}), H_{ϵ} est non ramifié. Enfin, l’image par Int(k) de l’épinglage de H_{μ} contruit ci-dessus est un épinglage de H_{ϵ} défini sur F. En reprenant les définitions, on voit que H_{ϵ}(F) ∩ K_{H}(𝔬) est le sous-groupe hyperspécial de H_{ϵ}(F) associé à cet épinglage. Cela prouve (ii).

Preuve de (iii). D’après la preuve de (ii), on peut fixer k ∈ K_{H}(𝔬^{nr}) et μ ∈ T_{H}(𝔬^{nr})_{p′} tels que Int(k)(μ) = ϵ. Posons ϵ′ = x^{−1}ϵx. Cet élément vérifie les mêmes hypothèses que ϵ et on peut fixer k′ ∈ K_{H}(𝔬^{nr}) et μ′ ∈ T_{H}(𝔬^{nr})_{p′} tels que ϵ′ = Int(k′)(μ′). Puisque ϵ et ϵ′ sont géométriquement conjugués, μ et μ′ le sont aussi. Puisque ces deux derniers éléments appartiennent à T_{H}, ils sont conjugués par un élément de N_{H}(T_{H}). Puisque l’application naturelle de N_{H}(T_{H}) ∩ K_{H}(𝔬^{nr}) dans Ω_{H} est surjective, ils le sont par un élément de N_{H}(T_{H}) ∩ K_{H}(𝔬^{nr}). Quitte à multiplier k′ à droite par cet élément, on peut supposer μ = μ′. On a alors Int(k^{−1}xk′)(μ) = μ, donc k^{−1}xk′ ∈ H^{μ}. On a les inclusions :

H^{μ} ⊂ H_{μ}N_{H}(T_{H}) ⊂ H_{μ}T_{H}(N_{H}(T_{H}) ∩ K_{H}(𝔬^{nr})) ⊂ H_{μ}K_{H}(𝔬^{nr}).

Donc k^{−1}xk′ ∈ H_{μ}K_{H}(𝔬^{nr}), puis :

x ∈ kH_{μ}k^{−1}kK_{H}(𝔬^{nr})k^{_{′}−1} = H_{ϵ}K_{H}(𝔬^{nr}).

Ecrivons x = hy, avec h ∈ H_{ϵ}, y ∈ K_{H}(𝔬^{nr}). Par hypothèse, ϕ(x)x^{−1} ∈ H_{ϵ}, donc aussi ϕ(y)y^{−1} ∈ H_{ϵ}, et même ϕ(y)y^{−1} ∈ H_{ϵ} ∩ K_{H}(𝔬^{nr}). Notons K_{ϵ} le shéma en groupes associé au sous-groupe hyperspécial H_{ϵ}(F) ∩ K_{H}(𝔬). On a H_{ϵ} ∩ K_{H}(𝔬^{nr}) = K_{ϵ}(𝔬^{nr}). On peut appliquer à K_{ϵ} le lemme 4.2(i) : il existe u ∈ K_{ϵ}(𝔒^{nr}) tel que ϕ(y)y^{−1} = ϕ(u^{−1})u. Alors uy ∈ K_{H}(𝔒^{nr}) et uy est fixe par ϕ. Donc uy ∈ K_{H}(𝔬), puis u ∈ K_{ϵ}(𝔬^{nr}) ⊂ H_{ϵ}. Donc y = u^{−1}uy ∈ H_{ϵ}K_{H}(𝔬), puis x = hy ∈ H_{ϵ}K_{H}(𝔬). Cela prouve (iii).

Preuve de (iv). Supposons que ϵ soit stablement conjugué à un élément ϵ′ ∈ K_{H,z}(𝔬). On a encore ϵ′ ∈ H_{z}(F)_{p′}, donc H_{ϵ′} est non ramifié d’après (ii). La conjugaison stable définit un torseur intérieur entre H_{ϵ} et H_{ϵ′}. Ces deux groupes sont quasi-déployés (le premier par hypothèse, le second puisqu’il est non ramifié). L’existence d’un torseur intérieur entre deux groupes quasi-déployés entraîne que ces deux groupes sont isomorphes. Donc H_{ϵ} est non ramifié, comme H_{ϵ′}.

Réciproquement, supposons H_{ϵ} non ramifié, fixons un sous-tore maximal T_{ϵ} de H_{ϵ}, défini sur F et déployé sur F^{nr}. Puisque T_{ϵ} et T_{H} sont deux tores maximaux de H déployés sur F^{nr}, il existe y ∈ H(F^{nr}) tel que Int(y)(T_{ϵ}) = T_{H}. Puisque les deux tores sont définis sur F, on a ϕ(y)y^{−1} ∈ N_{H}(T_{H}). On peut choisir k ∈ K_{H} tel que ϕ(k^{−1})k ∈ N(T_{H}) et que les deux éléments ϕ(y)y^{−1} et ϕ(k^{−1})k aient même image dans Ω_{H}. Comme en (2), on peut ensuite choisir k ∈ K_{H}(𝔬^{nr}) tel que ϕ(k^{−1})k ∈ N_{H}(T_{H}) et tel que cet élément ait même image que ϕ(y)y^{−1} dans Ω_{H}, autrement dit ϕ(k^{−1})k ∈ ϕ(y)y^{−1}T_{H}. Posons x = ky. Alors x ∈ H(F^{nr}). On a :

ϕ(x^{−1})x = ϕ(y^{−1}k^{−1})ky ∈ ϕ(y^{−1})ϕ(y)y^{−1}T_{H}y = T_{ϵ} ⊂ H_{ϵ}.

Posons ϵ′ = xϵx^{−1}. La relation précédente entraîne que ϵ′ appartient à H_{z}(F) et est stablement conjugué à ϵ. D’autre part, posons μ = Int(y)(ϵ). C’est un élément de (T_{H})_{p′} = T_{H}(𝔬^{nr})_{p′} ⊂ K_{H}(𝔬^{nr}). Donc ϵ′ = kμk^{−1} ∈ K_{H}(𝔬^{nr}), puis ϵ′ ∈ H_{z}(F)∩K_{H}(𝔬^{nr}) = K_{H,z}(𝔬). Cela prouve que ϵ est stablement conjugué à un élément de cet ensemble. D’où (iv). □

5.4 Descente à l’algèbre de Lie d’une intégrale orbitale stable

Soit γ ∈ H_{z,G̃−reg}(F). On suppose γ compact et on décompose γ en produit γ = γ_{p′}γ_{tu}, cf. 5.2(1). On pose ϵ = γ_{p′}. On suppose ϵ ∈ K_{H,z}(𝔬). D’après le (ii) du lemme précédent, H_{ϵ} est non ramifié, a fortiori quasi-déployé, c’est-à-dire que ϵ ∈ H_{♯}(F). Certainement, l’ordre de H^{ϵ}/H_{ϵ} divise celui de Ω_{H}. L’hypothèse p > dim(G) + 1 entraîne que cet ordre est premier à p. Donc H^{ϵ}(F)_{tu} = H_{ϵ}(F)_{tu} et γ_{tu} ∈ H_{ϵ}(F)_{tu}. Il existe un unique Y ∈ 𝔥_{ϵ}(F)_{tn} tel que exp(Y) = γ_{tu}. On décompose Y en Y = Y_{SC} + Y_{Z}, avec Y_{SC} ∈ 𝔥_{ϵ,SC}(F) et Y_{Z} ∈ 𝔷_{H_{ϵ}}(F). Ces deux éléments sont encore topologiquement nilpotents.

Toujours d’après le (ii) du lemme précédent, H_{ϵ}(F) ∩ K_{H}(𝔬) est un sous-groupe hyperspécial de H_{ϵ}(F), que l’on note K_{ϵ}(𝔬). Son algèbre de Lie est 𝔥_{ϵ}(F) ∩ 𝔨_{H}(𝔬). Alors 𝔥_{ϵ,SC}(F) ∩ 𝔨_{H}(𝔬) est encore l’algèbre de Lie d’un sous-groupe hyperspécial de H_{ϵ,SC}(F), que l’on note K_{ϵ,SC}(𝔬). On note f_{ϵ,SC} la fonction caractéristique de ce réseau dans 𝔥_{ϵ,SC}(F). Le tore Z_{H_{ϵ}}^{0} est non ramifié et est muni d’une structure sur 𝔬. On a l’égalité Z_{H_{ϵ}}^{0}(𝔬) = Z_{H_{ϵ}}^{0}(F)∩K_{H}(𝔬). On note f_{ϵ,Z} la fonction caractéristique du réseau hyperspécial 𝔷_{H_{ϵ}}(𝔬) dans 𝔷_{H_{ϵ}}(F).

On a déjà fixé sur H(F) la mesure de Haar non ramifiée.Les groupes H_{ϵ} et Z_{H_{ϵ}}^{0} sont non ramifiés et on munit leurs groupes de points H_{ϵ}(F) et Z_{H_{ϵ}}^{0}(F) des mesures de Haar non ramifiées. Enfin, posons T^{♭} = H_{γ} (ce tore est aussi le commutant de Y dans H_{ϵ}). Munissons T^{♭}(F) d’une mesure de Haar. De même qu’en 3.8, les mesures sur les groupes déterminent des mesures sur les algèbres de Lie et on en déduit des mesures sur 𝔥_{ϵ,SC}(F) et 𝔱_{sc}^{♭}(F), puis, en sens inverse, des mesures sur H_{ϵ,SC}(F) et T_{sc}^{♭}(F). On a :

(1) la mesure sur H_{ϵ,SC}(F) est non ramifiée.

Considérons par exemple la correspondance entre la mesure sur H(F) et celle sur 𝔥(F). Parce que l’exponentielle envoie ϖ_{F} 𝔨_{H}(𝔬) sur K_{H}^{1}(𝔬), on a mes(ϖ_{F} 𝔨_{H}(𝔬)) = mes(K_{H}^{1}(𝔬)). Puisque mes(K_{H}(𝔬)) = 1, on en déduit l’égalité :

mes(𝔨_{H}(𝔬)) = q^{dim(𝔥)}|K_{H}(𝔽_{q})|^{−1},

où dim(𝔥) est la dimension de 𝔥. Inversement, cette relation assure que mes(K_{H}(𝔬)) = 1. Ceci s’applique à tous nos autres groupes. En se rappelant comment sont définies nos mesures, on voit que (1) est équivalent à l’égalité suivante :

(2) q^{dim(𝔥_{ϵ})}|K_{ϵ}(𝔽_{q})|^{−1} = q^{dim(𝔥_{ϵ,SC})}|K_{ϵ,SC}(𝔽_{q})|^{−1}q^{dim(𝔷_{Hϵ})}|Z_{H_{ϵ}}^{0}(𝔽_{q})|^{−1}.

Les puissances de q se correspondent évidemment. On a une suite exacte :

1 → A → K_{ϵ,SC} × Z_{H_{ϵ}}^{0} → K_{ϵ} → 1,

où A est un groupe central fini. Par le théorème de Lang, H^{1}(Γ^{nr}, K_{ϵ}) = {0}. On en déduit une suite exacte :

1 → A^{Γ^{nr}} → K_{ϵ,SC}(𝔽_{q}) × Z_{H_{ϵ}}^{0}(𝔽_{q}) → K_{ϵ}(𝔽_{q}) → H^{1}(Γ^{nr}, A) → 0.

Mais, si ϕ est l’élément de Frobenius de Γ^{nr}, on a aussi la suite exacte :

1 → A^{Γ^{nr}} → A →^{1−ϕ} A → H^{1}(Γ^{nr}, A) → 0.

Ces deux suites entrainent l’égalité des nombres d’éléments des deux groupes K_{ϵ,SC}(𝔽_{q})× Z_{H_{ϵ}}^{0}(𝔽_{q}) et K_{ϵ}(𝔽_{q}). Cela prouve (2) et (1).

Lemme. On a l’égalité :

SO_{γ}^{H}(f_{K_{H,z}}) = f_{ϵ,Z}(Y_{Z})SO_{Y_{SC}}^{H_{ϵ,SC}}(f_{ϵ,SC}).

Preuve. Fixons un ensemble de représentants (γ_{j})_{j∈J} des classes de conjugaison par H(F) dans la classe de conjugaison stable de γ. Soit J_{0} le sous-ensemble des j ∈ J tels que la classe de conjugaison par H(F) de γ_{j} coupe K_{H,z}(𝔬). Pour j ∈ J_{0}, on peut supposer γ_{j} ∈ K_{H,z}(𝔬) et on fixe x_{j} ∈ H tel que Int(x_{j})(γ_{j}) = γ. On pose ϵ_{j} = Int(x_{j})^{−1}(ϵ), γ_{j,tu} = Int(x_{j})^{−1}(γ_{tu}). D’après 5.2(2), la décomposition γ_{j} = ϵ_{j}γ_{j,tu} est la décomposition de γ_{j} définie en 5.2(1). En particulier ϵ_{j} ∈ H_{z}(F) et γ_{j,tu} ∈ H(F)_{tu}. De plus, ces deux éléments appartiennent à la fermeture du groupe engendré par γ_{j}. Puisque γ_{j} ∈ K_{H,z}(𝔬), ils appartiennent à K_{H}(𝔬^{nr}), donc ϵ_{j} ∈ K_{H,z}(𝔬) et γ_{j,tu} ∈ K_{H}(𝔬). Appliquons le lemme 5.3(iii) : il entraîne que x_{j} ∈ H_{ϵ}K_{H}(𝔬). Quitte à conjuguer γ_{j} par un élément de K_{H}(𝔬), on peut supposer x_{j} ∈ H_{ϵ}, donc ϵ_{j} = ϵ. Alors γ_{j,tu} ∈ K_{H}(𝔬) ∩ H_{ϵ}(F) = K_{ϵ}(𝔬). Posons Y_{j} = Int(x_{j})^{−1}(Y). On a γ_{j,tu} = exp(Y_{j}) et Y_{j} ∈ 𝔨_{ϵ}(𝔬)_{tn}. Montrons que :

(2) la famille (Y_{j})_{j∈J_{0}} est un ensemble de représentants des classes de conjugaison par H_{ϵ}(F) coupant 𝔨_{ϵ}(𝔬) dans la classe de conjugaison stable de Y.

Soit Y′ ∈ 𝔨_{ϵ}(𝔬) un élément de cette classe de conjugaison stable. Fixons y ∈ H_{ϵ} tel que Y′ = Int(y)(Y). Posons γ′ = ϵexp(Y′). On a γ′ ∈ H_{z}(F) et γ′ = Int(y)(γ). Puisque γ est fortement régulier, sa classe de conjugaison stable coïncide avec sa classe de conjugaison géométrique. Les relations précédentes entraînent que γ′ est stablement conjugué à γ. On peut donc fixer j ∈ J et h ∈ H(F) tels que γ′ = Int(h^{−1})(γ_{j}). Puisque Y′ ∈ 𝔨_{ϵ}(𝔬), on a γ′ ∈ K_{H,z}(𝔬), donc j ∈ J_{0}. On a les égalités :

γ = Int(y^{−1})(γ′) = Int(y^{−1}h^{−1})(γ_{j}) = Int(y^{−1}h^{−1}x_{j}^{−1})(γ).

Donc x_{j}hy ∈ T^{♭} ⊂ H_{ϵ}. Puisque x_{j} et y appartiennent aussi à H_{ϵ}, on a aussi h ∈ H_{ϵ}. Donc h ∈ H_{ϵ} ∩ H(F) = H_{ϵ}(F). De plus, l’égalité Int(h)(γ′) = γ_{j} entraîne Int(h)(Y′) = Y_{j}. Donc Y′ est conjugué par un élément de H_{ϵ}(F) à l’un des éléments de la famille (Y_{j})_{j∈J_{0}}. D’autre part, deux éléments Y_{j}, Y_{j′} de cette famille, pour j ≠ j′, ne peuvent pas être conjugués par un élément de H_{ϵ}(F) : sinon γ_{j} et γ_{j′} seraient conjugués par le même élément, ce qui contredirait la définition de J. Cela démontre (2).

Les classes de conjugaison des γ_{j}, pour j ∈ J \ J_{0}, ne contribuent évidemment pas à l’intégrale stable SO_{γ}^{H}(f_{K_{H,z}}). On a donc l’égalité :

(3) SO_{γ}^{H}(f_{K_{H,z}}) = ∑_{j∈J_{0}} ∫_{T^{♭}(F)\H(F)} f_{K_{H,z}}(x^{−1}γ_{j}x) dx.

Notons f_{ϵ} la fonction caractéristique du réseau 𝔨_{ϵ}(𝔬) dans 𝔥_{ϵ}(F). Grâce à (2), on a, pour la même raison :

(4) SO_{Y}^{H_{ϵ}}(f_{ϵ}) = ∑_{j∈J_{0}} ∫_{T^{♭}(F)\H_{ϵ}(F)} f_{ϵ}(x^{−1}Y_{j}x) dx.

Fixons j ∈ J_{0} et posons :

I_{j} = ∫_{T^{♭}(F)\H(F)} f_{K_{H,z}}(x^{−1}γ_{j}x) dx.

Soit x ∈ H(F) tel que x^{−1}γ_{j}x ∈ K_{H,z}(𝔬). Alors x^{−1}ϵx ∈ K_{H,z}(𝔬). Grâce au lemme 5.3(iii), x appartient à H_{ϵ}K_{H}(𝔬). Puisque x ∈ H(F), on a même x ∈ H_{ϵ}(F)K_{H}(𝔬). D’où l’égalité :

I_{j} = ∫_{T^{♭}(F)\H_{ϵ}(F)K_{H}(𝔬)} f_{K_{H,z}}(x^{−1}γ_{j}x) dx.

Puisque f_{K_{H,z}} est invariante par conjugaison par K_{H}(𝔬), on en déduit :

I_{j} = ∑_{x∈T^{♭}(F)\H_{ϵ}(F)K_{H}(𝔬)/K_{H}(𝔬)}mes(T^{♭}(F)\T^{♭}(F)xK_{H}(𝔬))f_{K_{H,z}}(x^{−1}γ_{j}x).

L’application naturelle :

H_{ϵ}(F) → T^{♭}(F)\H_{ϵ}(F)K_{H}(𝔬)/K_{H}(𝔬)

se quotiente en une bijection :

T^{♭}(F)\H_{ϵ}(F)/K_{ϵ}(F) → T^{♭}(F)\H_{ϵ}(F)K_{H}(𝔬)/K_{H}(𝔬).

Pour x ∈ H_{ϵ}(F), on a les égalités :

mes(T^{♭}(F)\T^{♭}(F)xK_{H}(𝔬)) = mes(K_{H}(𝔬))mes(T^{♭}(F) ∩ xK_{H}(𝔬)x^{−1})^{−1}
= mes(T^{♭}(F) ∩ xK_{H}(𝔬)x^{−1})^{−1} = mes(T^{♭}(F) ∩ xK_{ϵ}(𝔬)x^{−1})^{−1}
= mes(K_{ϵ}(𝔬))mes(T^{♭}(F)\xK_{ϵ}(𝔬)x^{−1})^{−1} = mes(T^{♭}\T^{♭}(F)xK_{ϵ}(𝔬)).

Grâce à 4.3(3), on a aussi :

f_{K_{H,z}}(x^{−1}γ_{j}x) = f_{ϵ}(x^{−1}Y_{j}x).

D’où :

I_{j} = ∑_{x∈T^{♭}(F)\H_{ϵ}(F)/K_{ϵ}(𝔬)}mes(T^{♭}(F)\T^{♭}(F)xK_{ϵ}(𝔬))f_{ϵ}(x^{−1}Y_{j}x)

= ∫_{T^{♭}(F)\H_{ϵ}(F)} f_{ϵ}(x^{−1}Y_{j}x) dx.

De (3) et (4) se déduit l’égalité :

SO_{γ}^{H}(f_{K_{H,z}}) = SO_{Y}^{H_{ϵ}}(f_{ϵ}).

Considérons les classes de conjugaison stable C de Y et C_{SC} de Y_{SC}. On peut considérer les intégrales orbitales stables SO_{Y}^{H_{ϵ}}(f_{ϵ}), resp. SO_{Y_{SC}}^{H_{ϵ,SC}}(f_{ϵ,SC}), comme des intégrales sur C, resp. C_{SC}, ces ensembles étant munis de mesures. Comme en 3.10, on montre que l’application :

\begin{matrix}C_{SC} & → & C \\ Y′_{SC} & ↦ & Y′_{SC} + Y_{Z} \end{matrix}

est une bijection qui préserve les mesures. De plus, pour Y′_{SC} ∈ C_{SC}, on a l’égalité :

f_{ϵ}(Y′_{SC} + Y_{Z}) = f_{ϵ,Z}(Y_{Z})f_{ϵ,SC}(Y′_{SC}).

On en déduit l’égalité :

SO_{Y}^{H_{ϵ}}(f_{ϵ}) = f_{ϵ,Z}(Y_{Z})SO_{Y_{SC}}^{H_{ϵ,SC}}(f_{ϵ,SC}),

ce qui achève la démonstration. □

5.5 Eléments d’ordre fini premier à p dans G̃(F)

On a défini l’ensemble G̃(F)_{p′} des éléments de G̃(F) d’ordre fini premier à p dans G^{+}(F^{nr}), cf. 5.2.

Lemme. Soit η ∈ G̃(F)_{p′} ∩ K̃(𝔬). Alors le groupe G_{η} est non ramifié et G_{η}(F) ∩ K(𝔬) est un sous-groupe hyperspécial de G_{η}(F).

Preuve. Introduisons le groupe K ⋊ Θ^{∗} et son sous-ensemble Kθ^{∗}. On définit une application :

\begin{matrix}K̃(𝔬) & → & Kθ^{∗} \\ x & ↦ & x \end{matrix}

de la façon suivante : à x = kθ^{∗}, avec k ∈ K(𝔬^{nr}), on associe x = kθ^{∗}, où k est l’image naturelle de k dans K. La propriété suivante se prouve comme le (i) du lemme 5.3 :

(1) soient η_{1}, η_{2} deux éléments de G̃(F)_{p′} ∩ K̃(𝔬) tels que η_{1} = η_{2} ; alors il existe k ∈ K^{1}(𝔬) tel que Int(k)(η_{1}) = η_{2}.

L’élément η ∈ K ⋊ Θ^{∗} est d’ordre fini premier à p. Il est donc semi-simple et on peut fixer k ∈ K tel que Int(k)^{−1}(η) ∈ T^{∗}θ^{∗}. Notons ν l’élément de T^{∗} tel que Int(k)^{−1}(η) = νθ^{∗}. Soit ϕ un élément de Frobenius de Γ_{F}. On a l’égalité ϕ(η) = z(ϕ)η, d’où :

(2) Int(k^{−1}) ∘ ϕ ∘ Int(k)(νθ^{∗}) = z(ϕ)νθ^{∗}.

Alors Int(k^{−1})∘ϕ∘Int(k) conserve K_{νθ^{∗}}. De même que dans la preuve du lemme 5.3(ii), on peut supposer que cet automorphisme conserve la paire de Borel (B^{∗} ∩ K_{νθ^{∗}}, T_{θ^{∗}}^{∗}) de K_{νθ^{∗}}. En particulier, Int(k^{−1}ϕ(k)) conserve T_{θ^{∗}}^{∗}, donc k^{−1}ϕ(k) ∈ N_{K}(T_{θ^{∗}}^{∗}). Cette relation entraîne que l’élément ω ∈ Ω défini par k^{−1}ϕ(k) appartient en fait à Ω^{Θ^{∗}}. Rappelons que ce dernier groupe est le groupe de Weyl de K_{θ^{∗}}. En appliquant le théorème de Lang à ce groupe, on peut trouver k_{1} ∈ K_{θ^{∗}} tel que k_{1}^{−1}ϕ(k_{1}) appartienne à N_{K_{θ^{∗}}}(T_{θ^{∗}}^{∗}) et ait pour image ω dans Ω^{Θ^{∗}}. Alors k^{−1}ϕ(k) = tk_{1}^{−1}ϕ(k_{1}), avec t ∈ T^{∗}. Appliquons le théorème de Lang à T^{∗} muni de l’action de Frobenius ωϕ : on peut trouver u ∈ T^{∗} tel que t = u^{−1}ωϕ(u). Alors ku^{−1}k_{1}^{−1} est fixe par ϕ, i.e. ku^{−1}k_{1}^{−1} ∈ K(𝔽_{q}). Quitte à remplacer k par ku^{−1} et ν par νuθ^{∗}(u^{−1}), on peut supposer u = 1 et kk_{1}^{−1} ∈ K(𝔽_{q}). Relevons ce terme en un élément k_{2} ∈ K(𝔬). Comme en 5.3, preuve de la relation (2), on montre que l’on peut trouver k_{1} ∈ K_{θ^{∗}}(𝔬^{nr}) dont l’image dans K_{θ^{∗}} soit k_{1} et qui vérifie la relation k_{1}^{−1}ϕ(k_{1}) ∈ N_{G_{θ^{∗}}}(T_{θ^{∗}}^{∗}). Posons k = k_{2}k_{1}. On a k ∈ K(𝔬^{nr}) et l’image de k dans K est k.

Relevons ν en un élément ν ∈ T^{∗}(𝔬^{nr})_{p′}. Définissons x ∈ G par Int(k^{−1}) ∘ ϕ ∘ Int(k)(νθ^{∗}) = xθ^{∗}. Evidemment x ∈ K(𝔬^{nr}) et, grâce à (2), l’image de x dans K est égale à z(ϕ)ν. Je dis que x ∈ T^{∗}(𝔬^{nr})_{p′}. En effet, parce que k_{2} ∈ K(𝔬), on a Int(k^{−1}) ∘ ϕ ∘ Int(k) = Int(k_{1}^{−1}) ∘ ϕ ∘ Int(k_{1}). Parce que k_{1} ∈ G_{θ^{∗}}, on a alors :

x = Int(k_{1}^{−1}) ∘ ϕ ∘ Int(k_{1})(ν) = Int(k_{1}^{−1}ϕ(k_{1})) ∘ ϕ(ν).

Puisque k_{1}^{−1}ϕ(k_{1}) ∈ N_{G}(T^{∗}), cela entraîne bien x ∈ T^{∗}(𝔬^{nr})_{p′}. Alors x et z(ϕ)ν sont deux éléments de T^{∗}(𝔬^{nr})_{p′} qui ont même image dans T^{∗}. Donc ils sont égaux. Posons η′ = Int(k)(νθ^{∗}). Evidemment η′ ∈ K(𝔬^{nr})θ^{∗} et l’égalité précédente s’écrit ϕ(η′) = z(ϕ)η′. Autrement dit, η′ ∈ K̃(𝔬). On a aussi l’égalité η′ = η. D’après (1), η et η′ sont conjugués par un élément de K^{1}(𝔬). L’assertion de l’énoncé pour η est équivalente à la même assertion pour η′. On peut donc supposer que η = η′. Mais on montre comme dans la preuve du lemme 5.3(ii) que la paire de Borel (Int(k)(B^{∗} ∩ G_{νθ^{∗}}), Int(k)(T_{θ^{∗}}^{∗})) de G_{η} est conservée par ϕ. Cela prouve que G_{η} est non ramifiée. Et de même que dans la preuve du lemme 5.3(ii), on montre que G_{η}(F) ∩ K(𝔬) est un sous-groupe hyperspécial en construisant un épinglage auquel ce groupe est associé. □

5.6 Une remarque sur l’ordre d’un groupe de composantes

Le groupe Z_{G,p′} est évidemment conservé par θ^{∗}.

Lemme. L’homomorphisme naturel :

(T_{θ^{∗}}^{∗}(𝔬^{nr}) ∩ Z_{G,p′}^{θ^{∗}})\Z_{G,p′}^{θ^{∗}} → T_{θ^{∗}}^{∗}\T^{θ^{∗}}

est un isomorphisme.

Preuve. On a les inclusions :

(1) Z_{G,p′} ⊂ T_{p′}^{∗} = T^{∗}(𝔬^{nr})_{p′} ⊂ K(𝔬^{nr})_{p′},

et l’égalité T_{θ^{∗}}^{∗} ∩ K(𝔬^{nr}) = T_{θ^{∗}}^{∗}(𝔬^{nr}). L’injectivité de l’application de l’énoncé en résulte.

On a déjà remarqué que le nombre d’éléments de Z_{G_{SC}} était premier à p d’après l’hypothèse p > dim(G) + 1. L’ordre du quotient Z_{G}/Z_{G}^{0} divise le nombre précédent et est donc aussi premier à p. Montrons que :

(2) le nombre d’éléments de (Z_{G}^{0})^{θ^{∗}}/(Z_{G}^{0})_{θ^{∗}} est premier à p.

Posons X_{∗} = X_{∗}(Z_{G}^{0}), X_{∗,ℚ} = X_{∗} ⊗_{ℤ}ℚ. On peut trouver une base x_{1}, ..., x_{n} de X_{∗} sur ℤ, un entier m ≤ n et des entiers e_{1}, ..., e_{m} ≥ 1 de sorte que e_{1}x_{1}, ..., e_{m}x_{m} soit une base du sous-réseau (1−θ^{∗})(X_{∗}). L’automorphisme 1−θ^{∗} se restreint en un automorphisme de (1−θ^{∗})(X_{∗,ℚ}), notons d le déterminant de cet automorphisme. C’est un produit de termes 1 − ζ, où ζ est une racine de l’unité (dans une clôture algébrique de ℚ) d’ordre premier à p, et ζ ≠ 1. Donc c’est un entier premier à p. Notons L le réseau engendré par x_{1}, ..., x_{m}. Il est égal à X_{∗} ∩ (1 − θ^{∗})(X_{∗,ℚ}). Alors d est le nombre d’éléments de L/(1 − θ^{∗})(L). Mais (1 − θ^{∗})(L) ⊂ (1 − θ^{∗})(X_{∗}) et le nombre d’éléments de L/(1 − θ^{∗})(X_{∗}) est e_{1}...e_{m}. Il en résulte que tous les e_{i} sont premiers à p. Pour tout i = 1, ..., m, choisissons y_{i} ∈ X_{∗} tel que (1 − θ^{∗})(y_{i}) = e_{i}x_{i}. Alors y_{1}, ..., y_{m} est une base d’un supplémentaire de X_{∗}^{Θ^{∗}} dans X_{∗}. Choisissons une base y_{m+1}, ..., y_{n} de X_{∗}^{Θ^{∗}}. Alors y_{1}, ..., y_{n} est une base de X_{∗}. Soit z ∈ (Z_{G}^{0})^{θ^{∗}}. Ecrivons z = ∏_{i=1,...,n} y_{i}(z_{i}), où z_{i} ∈ F̄^{×} pour tout i. On a l’égalité (1 − θ^{∗})(z) = ∏_{i=1,...,m} x_{i}(z_{i}^{e_{i}}) = 1. Puisque (1 − θ^{∗})(z) = 1, on a z_{i}^{e_{i}} = 1 pour tout i = 1, ..., m. Choisissons un entier e ≥ 1, premier à p et multiple de tous les e_{i}. Alors z^{e} = ∏_{i=m+1,...,n} y_{i}(z_{i}^{e}) et ce terme appartient à (Z_{G}^{0})_{θ^{∗}}. D’où (2).

Il en résulte que Z_{G}^{θ^{∗}}/(Z_{G}^{0})_{θ^{∗}} est d’ordre premier à p. Notons r cet ordre. Soit z ∈ Z_{G}^{θ^{∗}}. Alors z^{r} ∈ (Z_{G}^{0})_{θ^{∗}}. Ce dernier groupe est un tore, donc divisible : on peut choisir z_{0} ∈ (Z_{G}^{0})_{θ^{∗}} tel que z_{0}^{r} = z^{r}. Alors zz_{0}^{−1} ∈ Z_{G,p′}^{θ^{∗}}. Cela prouve que Z_{G,p′}^{θ^{∗}} s’envoie surjectivement sur Z_{G}^{θ^{∗}}/(Z_{G}^{0})_{θ^{∗}}, a fortiori sur Z_{G}^{θ^{∗}}/(T_{θ^{∗}}^{∗} ∩ Z_{G}^{θ^{∗}}). Mais on a vu dans la preuve de 3.1(1) que ce groupe s’envoyait surjectivement sur T^{∗,θ^{∗}}/T_{θ^{∗}}^{∗}. D’où la surjectivité de l’application de l’énoncé. □

Une conséquence du lemme et des inclusions (1) est que l’action de Γ_{F} sur T^{∗,θ^{∗}}/T_{θ^{∗}}^{∗} se factorise en une action de Γ^{nr}.

Définition. On note c_{T^{∗}} le nombre d’éléments du groupe des points fixes (T^{∗,θ^{∗}}/T_{θ^{∗}}^{∗})^{Γ^{nr}}.

5.7 Classes de conjugaison d’éléments de G̃(F) d’ordre premier à p

Pour η ∈ G̃_{ss}(F), on a défini en 3.1 l’ensemble Y_{η}. On note Y_{η}^{K} le sous-ensemble des y ∈ Y_{η} tels que la classe de conjugaison par G(F) de yηy^{−1} coupe K̃(𝔬).

Lemme. Soit η ∈ G̃(F)_{p′} ∩ K̃(𝔬). Alors :

(i) l’ensemble des x ∈ G(F) tels que x^{−1}ηx ∈ K̃(𝔬) est égal à G_{η}(F)K(𝔬) ; (ii) l’image dans G(F)\Y_{η}/I_{η} de Y_{η}^{K} a c_{T^{∗}} éléments ; (iii) le quotient I_{η}(F)/G_{η}(F) a c_{T^{∗}} éléments.

Preuve de (i). On va d’abord prouver :

(1) soit x ∈ G tel que x^{−1}ηx ∈ K̃(𝔬) ; alors x ∈ G_{η}K(𝔬^{nr}).

On a vu dans la preuve du lemme 5.5 qu’il existait k ∈ K(𝔬^{nr}) et ν ∈ T^{∗}(𝔬^{nr})_{p′} tels que νθ^{∗} = Int(k)(η). Soit x vérifiant l’hypothèse de (1). Il existe de même k′ ∈ K(𝔬^{nr}) et ν′ ∈ T^{∗}(𝔬^{nr})_{p′} tels que Int(k′)(ν′θ^{∗}) = x^{−1}ηx. Alors Int(kxk′)(ν′θ^{∗}) = νθ^{∗}. L’automorphisme Int(kxk′) envoie G_{ν′θ^{∗}} sur G_{νθ^{∗}}. Puisque T_{θ^{∗}}^{∗} est un tore maximal de chacun de ces deux groupes, on peut trouver u ∈ G_{νθ^{∗}} tel que Int(ukxk′) conserve T_{θ^{∗}}^{∗}. Cet automorphisme conserve aussi T^{∗}, puisque T^{∗} est le commutant de T_{θ^{∗}}^{∗} dans G, et définit un élément ω ∈ Ω^{Θ^{∗}}. Ainsi qu’on l’a déjà fait plusieurs fois, on peut choisir un élément h ∈ K_{θ^{∗}}(𝔬^{nr}) ∩ N_{G}(T^{∗}) dont l’image dans Ω soit ω^{−1}. Alors ukxk′h appartient à T^{∗} et on a les égalités :

Int(ukxk′h)(h^{−1}ν′hθ^{∗}) = Int(ukxk′h)(h^{−1}ν′θ^{∗}h) = Int(ukxk′)(ν′θ^{∗}) = νθ^{∗}.

Posons ν_{1} = h^{−1}ν′h et k_{1} = k′h. On a les relations ν_{1} ∈ T^{∗}(𝔬^{nr})_{p′}, k_{1} ∈ K(𝔬^{nr}), ukxk_{1} ∈ T^{∗}, Int(ukxk_{1})(ν_{1}θ^{∗}) = νθ^{∗}. Posons t_{0} = ukxk_{1}. Alors ν = t_{0}θ^{∗}(t_{0})^{−1}ν_{1}. Puisque ν, ν_{1} ∈ T^{∗}(𝔬^{nr})_{p′}, on a aussi t_{0}θ^{∗}(t_{0}^{−1}) ∈ T^{∗}(𝔬^{nr})_{p′}. Montrons que :

(2) on a l’égalité T^{∗}(𝔬^{nr})_{p′} ∩ (1 − θ^{∗})(T^{∗}) = (1 − θ^{∗})(T^{∗}(𝔬^{nr})_{p′}).

Soit t ∈ T^{∗} tel que tθ^{∗}(t)^{−1} ∈ T^{∗}(𝔬^{nr})_{p′}. Fixons une extension finie F′ de F telle que T^{∗} soit déployé sur F′, t ∈ T^{∗}(F′) et tθ^{∗}(t)^{−1} ∈ T^{∗}(𝔬′), où 𝔬′ est l’anneau des entiers de F′. Fixons une uniformisante ϖ_{F′} de F′. Tout élément de T^{∗}(F′) s’écrit de façon unique comme un produit t_{c}x_{∗}(ϖ_{F′}) où t_{c} ∈ T^{∗}(𝔬′) et x_{∗} ∈ X_{∗}(T^{∗}). Ecrivons ainsi t = t_{c}x_{∗}(ϖ_{F′}). Alors tθ^{∗}(t)^{−1} = t_{c}θ^{∗}(t_{c})^{−1}(1 − θ^{∗})(x_{∗})(ϖ_{F′}). Puisque tθ^{∗}(t)^{−1} ∈ T^{∗}(𝔬′), cette relation entraine (1−θ^{∗})(x_{∗}) = 0 et tθ^{∗}(t)^{−1} = t_{c}θ^{∗}(t_{c})^{−1}. Choisissons t′ ∈ T^{∗}(𝔬^{nr})_{p′} ayant même image que t_{c} dans T^{∗}. Alors tθ^{∗}(t)^{−1} et t′θ^{∗}(t′)^{−1} ont même image dans T^{∗}. Ce sont deux éléments de T^{∗}(𝔬^{nr})_{p′}. Comme l’application de réduction est injective sur ce groupe, on a l’égalité tθ^{∗}(t)^{−1} = t′θ^{∗}(t′)^{−1}. Cela prouve (2).

Grâce à (2), écrivons t_{0}θ^{∗}(t_{0})^{−1} = t_{1}θ^{∗}(t_{1})^{−1}, avec t_{1} ∈ T^{∗}(𝔬^{nr})_{p′}. Alors t_{0} ∈ t_{1}T^{∗,θ^{∗}} et, grâce au lemme 5.6, t_{0} ∈ t_{1}T^{∗}(𝔬^{nr})_{p′}T_{θ^{∗}}^{∗} = T_{θ^{∗}}^{∗}T^{∗}(𝔬^{nr})_{p′}. Ecrivons donc t_{0} = t_{2}t_{3}, avec t_{2} ∈ T_{θ^{∗}}^{∗} et t_{3} ∈ T^{∗}(𝔬^{nr})_{p′}. Alors x = k^{−1}u^{−1}t_{2}t_{3}k_{1}^{−1} = k^{−1}u^{−1}t_{2}kk^{−1}t_{3}k_{1}. Puisque T_{θ^{∗}}^{∗} ⊂ G_{νθ^{∗}}, on a u^{−1}t_{2} ∈ G_{νθ^{∗}} et k^{−1}u^{−1}t_{2}k ∈ G_{η}. On a k^{−1}t_{3}k_{1} ∈ K(𝔬^{nr}). L’égalité précedente montre que x ∈ G_{η}K(𝔬^{nr}), ce qui prouve (1).

Soit maintenant x vérifiant l’hypothèse de (i). Puisque x ∈ G(F), la conclusion de (1) se renforce en x ∈ G_{η}(F^{nr})K(𝔬^{nr}). Oublions les notations précédentes et écrivons x = yk, avec y ∈ G_{η}(F^{nr}) et k ∈ K(𝔬^{nr}). Soit ϕ l’élément de Frobenius de Γ^{nr}. Puisque x ∈ G(F), on a ϕ(x) = x et cela entraîne kϕ(k)^{−1} = y^{−1}ϕ(y) ∈ G_{η}(F^{nr}) ∩ K(𝔬^{nr}). D’après le lemme 5.5, le groupe K_{η}(𝔬) = G_{η}(F) ∩ K(𝔬) est un sous-groupe hyperspécial de G_{η}(F). On peut lui appliquer le lemme 4.2(i) : il existe k_{1} ∈ K_{η}(𝔒^{nr}) tel que kϕ(k)^{−1} = k_{1}ϕ(k_{1})^{−1}. Alors l’élément k_{1}^{−1}k de K(𝔒^{nr}) est fixe par ϕ, donc appartient à K(𝔬). Cela entraîne que k_{1} ∈ K_{η}(𝔬^{nr}) ⊂ G_{η}(F^{nr}). On a x = yk_{1}k_{1}^{−1}k ∈ G_{η}(F^{nr})K(𝔬). De nouveau, puisque x ∈ G(F), cela force x ∈ G_{η}(F)K(𝔬). Cela prouve (i).

Preuve de (ii). D’après la preuve du lemme 5.5, on peut trouver k ∈ K(𝔬^{nr}) et ν ∈ T^{∗}(𝔬^{nr})_{p′} tels que Int(k)(νθ^{∗}) = η et Int(k)(T_{θ^{∗}}^{∗}) soit un sous-tore défini sur F de G_{η}. Notons T^{♮} ce tore et T = Int(k)(T^{∗}) son commutant dans G. Remarquons que :

(3) les groupes I_{η}/G_{η} et T^{∗,θ^{∗}}/T_{θ^{∗}}^{∗} sont isomorphes en tant que groupes munis d’actions de Γ_{F} ; l’application naturelle :

(I_{η} ∩ K(𝔬^{nr}))/(G_{η} ∩ K(𝔬^{nr})) → I_{η}/G_{η}

est un isomorphisme.

En effet, Int(k^{−1}) se quotiente en un isomorphisme de T^{η}/T^{♮} sur T^{∗,θ^{∗}}/T_{θ^{∗}}^{∗}, qui entrelace l’action naturelle de Γ_{F} sur T^{η}/T^{♮} avec l’action sur T^{∗,θ^{∗}}/T_{θ^{∗}}^{∗} pour laquelle σ ∈ Γ_{F} agit par Int(k^{−1}σ(k)) ∘ σ. Mais, d’après la preuve de 3.1(1) (ou le lemme 5.6), Z_{G}^{θ^{∗}} s’envoie surjectivement sur T^{∗,θ^{∗}}/T_{θ^{∗}}^{∗} et Int(k^{−1}σ(k)) agit trivialement sur Z_{G}^{θ^{∗}}. Donc les deux groupes T^{η}/T^{♮} et T^{∗,θ^{∗}}/T_{θ^{∗}}^{∗} sont isomorphes en tant que groupes munis d’actions de Γ_{F}. Puisque l’homomorphisme naturel :

T^{η}/T^{♮} → I_{η}/G_{η}

est un isomorphisme, la première assertion de (3) en résulte. D’après le lemme 5.6, Z_{G,p′}^{θ^{∗}} s’envoie surjectivement sur T^{∗,θ^{∗}}/T_{θ^{∗}}^{∗}. En appliquant Int(k), Z_{G,p′}^{θ^{∗}} s’envoie aussi surjectivement sur T^{η}/T^{♮}. Puisque Z_{G,p′}^{θ^{∗}} ⊂ K(𝔬^{nr}), I_{η} ∩ K(𝔬^{nr}) s’envoie surjectivement sur I_{η}/G_{η}. D’où la seconde assertion.

On a l’égalité :

(4) Y_{η}^{K} = G(F)(K(𝔬^{nr}) ∩ Y_{η})I_{η}.

En effet, soit y ∈ Y_{η}^{K}. On choisit g ∈ G(F) tel que Int(gy)(η) ∈ K̃(𝔬). En appliquant (1) à y^{−1}g^{−1}, on voit que y appartient à G(F)K(𝔬^{nr})G_{η}. Puisque Y_{η} est invariante à droite par G_{η} et à gauche par G(F), on a même y ∈ G(F)(K(𝔬^{nr}) ∩ Y_{η})G_{η}. Donc Y_{η}^{K} est inclus dans le membre de droite de (4). L’inclusion opposée est évidente.

Définissons une application :

ψ : K(𝔬^{nr}) ∩ Y_{η} → I_{η}/G_{η}

de la façon suivante : pour y ∈ K(𝔬^{nr}) ∩ Y_{η}, ψ(y) est l’image de ϕ(y)^{−1}y dans I_{η}/G_{η}. Notons π : I_{η}/G_{η} → (I_{η}/G_{η})_{Γ^{nr}} la projection naturelle. Montrons que :

(5) pour y_{1}, y_{2} ∈ K(𝔬^{nr}) ∩ Y_{η}, on a l’égalité π ∘ ψ(y_{1}) = π ∘ ψ(y_{2}) si et seulement si y_{1} et y_{2} ont même image dans G(F)\Y_{η}/I_{η}.

Supposons que y_{1} et y_{2} aient même image dans G(F)\Y_{η}/I_{η}. Ecrivons y_{1} = gy_{2}u, avec g ∈ G(F) et u ∈ I_{η}. Nécessairement, u appartient à I_{η}(F^{nr}). Notons ū l’image de u dans I_{η}/G_{η}. On a l’égalité ϕ(y_{1})^{−1}y_{1} = ϕ(u)^{−1}ϕ(y_{2})^{−1}y_{2}u. Puisque I_{η}/G_{η} est commutatif, on en déduit l’égalité ψ(y_{1}) = ψ(y_{2})ϕ(ū)^{−1}ū. En passant aux coinvariants, le terme ϕ(ū)^{−1}ū disparaît et π ∘ ψ(y_{1}) = π ∘ π(y_{2}). Inversement, supposons vérifiée cette égalité. Alors il existe ū ∈ I_{η}/G_{η} tel que ψ(y_{1}) = ψ(y_{2})ϕ(ū)^{−1}ū. Grâce à la deuxième assertion de (3), on peut choisir u ∈ I_{η}∩K(𝔬^{nr}) dont l’image dans I_{η}/G_{η} soit ū. En utilisant la commutativité de I_{η}/G_{η}, on voit que les deux éléments ϕ(y_{1})^{−1}y_{1} et ϕ(y_{2}u)^{−1}y_{2}u de I_{η} ont même image dans I_{η}/G_{η}. Ecrivons ϕ(y_{1})^{−1}y_{1} = ϕ(y_{2}u)^{−1}y_{2}uk, avec k ∈ G_{η}. D’après la preuve de (3), on peut trouver z ∈ Z_{G,p′}^{θ^{∗}} et h ∈ G_{η} tels que ϕ(y_{2}u)^{−1}y_{2}u = zh. Puisque y_{1}, y_{2}, u, z ∈ K(𝔬^{nr}), on a aussi h, k ∈ K(𝔬^{nr}), donc h, k ∈ K_{η}(𝔬^{nr}). Appliquons le lemme 4.2(i) à ce groupe : il existe h_{0}, k_{0} ∈ K_{η}(𝔒^{nr}) tels que h = ϕ(h_{0})h_{0}^{−1}, hk = ϕ(k_{0})k_{0}^{−1}. Posons v = h_{0}k_{0}^{−1}. On a les égalités (dans K(𝔒^{nr})) :

ϕ(y_{1})^{−1}y_{1} = ϕ(y_{2}u)^{−1}y_{2}uk = zhk = zϕ(k_{0})k_{0}^{−1}
= zϕ(v^{−1}h_{0})h_{0}^{−1}v = zϕ(v)^{−1}hv = ϕ(v)^{−1}zhv = ϕ(y_{2}uv)^{−1}y_{2}uv.

Posons g = y_{1}(y_{2}uv)^{−1}. Cet élément est fixe par ϕ et appartient donc à K(𝔬). Il en résulte que v appartient à K(𝔬^{nr}), donc à K_{η}(𝔬^{nr}) ⊂ I_{η}. L’égalité y_{1} = gy_{2}uv montre que y_{1} et y_{2} ont même image dans G(F)\Y_{η}/I_{η}. Cela prouve (5).

Montrons que ψ est surjective. D’après la preuve de (3), il suffit de prouver que tout z ∈ Z_{G,p′}^{θ^{∗}} s’écrit z = ϕ(y)^{−1}y pour un y ∈ K(𝔬^{nr}) ∩ Y_{η}. D’après 4.2(1), on peut choisir y ∈ K(𝔬^{nr}) vérifiant cette égalité. Mais cette égalité elle-même entraîne que y ∈ Y_{η}. D’où l’assertion. Montrons que les ensembles suivants ont tous même nombre d’éléments :

- l’image de Y_{η}^{K} dans G(F)\Y_{η}/I_{η};

- (I_{η}/G_{η})_{Γ^{nr}} ;

- (T^{∗,θ^{∗}}/T_{θ^{∗}}^{∗})_{Γ^{nr}} ;

- (T^{∗,θ^{∗}}/T_{θ^{∗}}^{∗})^{Γ^{nr}}.

On compare les deux premiers grâce aux relations (4), (5) et à la surjectivité de ψ. On compare les deux suivants grâce à (3). Enfin, pour tout groupe abélien fini A sur lequel agit Γ^{nr}, les ensembles A_{/Γ^{nr}} et A^{Γ^{nr}} ont même nombre d’éléments : on a rappelé la preuve dans la démonstration de 5.4(1). Cela achève la preuve de (ii).

Preuve de (iii). Grâce à (i), on a l’inclusion I_{η}(F) ⊂ K(𝔬)G_{η}(F), donc I_{η}(F) ⊂ (K(𝔬) ∩ I_{η}(F))G_{η}(F). L’application naturelle :

(K(𝔬) ∩ I_{η}(F))/K_{η}(𝔬) → I_{η}(F)/G_{η}(F)

est donc bijective. Considérons la suite exacte :

1 → K_{η}(𝔬^{nr}) → K(𝔬^{nr}) ∩ I_{η} → (K_{η}(𝔬^{nr}) ∩ I_{η})/K_{η}(𝔬^{nr}) → 1

Grâce au lemme 4.2(ii) appliqué à K_{η}, prendre les invariants par Γ^{nr} laisse la suite exacte. Donc l’application naturelle :

(K(𝔬) ∩ I_{η}(F))/K_{η}(𝔬) → ((K(𝔬^{nr}) ∩ I_{η})/K_{η}(𝔬^{nr}))^{Γ^{nr}}

est bijective. Enfin il résulte de (3) que ce dernier ensemble a c_{T^{∗}} éléments. Cela achève la preuve. □

5.8 Descente d’une intégrale orbitale

Soit η ∈ G̃(F)_{p′} ∩ K̃(𝔬). D’après le lemme 5.5, on peut introduire comme dans la preuve précédente le schéma en groupes K_{η} tel que K_{η}(𝔬) = G_{η}(F) ∩ K(𝔬). Son algèbre de Lie 𝔨_{η}(𝔬) se décompose en une somme 𝔨_{η,SC}(𝔬) ⊕ 𝔷_{G_{η}}(𝔬), où 𝔨_{ϵ,SC}(𝔬) est une sousalgèbre hyperspéciale de 𝔤_{η,SC}(F). Notons f_{η,SC}, resp. f_{η,Z}, les fonctions caractéristiques de 𝔨_{η,SC}(𝔬) dans 𝔤_{η,SC}(F), resp. de 𝔷_{G_{η}}(𝔬) dans 𝔷_{G_{η}}(F).

On a déjà fixé sur G(F) la mesure de Haar non ramifiée. On munit également G_{η}(F) de la mesure de Haar non ramifiée.

Corollaire. Soit X ∈ 𝔤_{η}(F)_{tn}. Supposons que exp(X)η ∈ G̃_{reg}(F) et que ω soit trivial sur G_{exp(X)η}(F). Ecrivons X = X_{Z} + X_{SC}, où X_{Z} ∈ 𝔷_{G_{η}}(F) et X_{SC} ∈ 𝔤_{η,SC}(F). Alors on a l’égalité :

∫_{G_{exp(X)η}(F)\G(F)} ω(x)fK̃(x^{−1}exp(X)ηx) dx =

f_{η,Z}(X_{Z}) ∫_{G_{exp(X)η}(F)\G_{η}(F)} ω(x)f_{η,SC}(x^{−1}X_{SC}x) dx.

Dans la preuve du lemme 5.4, on a calculé un terme I_{j}. En utilisant le lemme 5.7(i) au lieu de 5.3(ii), et le fait que ω est trivial sur K(𝔬) d’après 4.1(1), le même calcul conduit à l’égalité ci-dessus. □

5.9 Diagrammes

Lemme. (i) Soient γ ∈ H_{z}(F) et D = (T^{♭}, T_{0}, T, T^{♮}, h, g_{0}, g_{1}, δ) un diagramme issu de γ. Alors γ est compact si et seulement si δ l’est. De même, γ ∈ H_{z}(F)_{p′} si et seulement si δ ∈ G̃(F)_{p′}.

(ii) Soit ϵ ∈ K_{H,z}(𝔬)∩H_{z}(F)_{p′}. Alors il existe un diagramme D = (T^{♭}, T_{0}, T, T^{♮}, h, g_{0}, g_{1}, η) ∈ D(ϵ) qui est non ramifié (cf. 4.6) et vérifie de plus : g_{1} = 1, η ∈ K̃(𝔬) ∩ G̃(F)_{p′} et ν_{D} ∈ T^{∗}(𝔬^{nr})_{p′}.

Preuve de (i). Posons μ = μ_{D}, ν = ν_{D}. Supposons δ compact. Alors il est conjugué à un élément de T^{∗}(\overline{𝔬})θ^{∗}, cf. lemme 5.2. Il est aussi conjugué à νθ^{∗}. Soient donc ν_{0} ∈ T^{∗}(\overline{𝔬}) et x ∈ G tels que Int(x)(ν_{0}θ^{∗}) = νθ^{∗}. Le même argument que dans la preuve de 5.7(1) permet de supposer que Int(x) normalise T_{θ^{∗}}^{∗}, donc T^{∗}, puis d’écrire x = tn, avec t ∈ T^{∗} et n ∈ G_{θ^{∗}} ∩ N_{G}(T^{∗}). Alors ν = tθ^{∗}(t)^{−1}Int(n)(ν_{0}). D’où μ = ξ(ν) = ξ(Int(n)(ν_{0})). Mais Int(n)(ν_{0}) ∈ T^{∗}(\overline{𝔬}) et ξ(T^{∗}(\overline{𝔬})) ⊂ T_{H}(\overline{𝔬}). Donc μ ∈ T_{H}(\overline{𝔬}). Puisque γ est conjugué à μ, il est compact d’après le lemme 5.2.

Inversement, supposons γ compact. Alors il est conjugué à un élément de T_{H}(\overline{𝔬}). Il est aussi conjugué à μ. Deux élément de T_{H} qui sont conjugués le sont par un élément de N_{H}(T_{H}) et la conjugaison par un tel élément conserve T_{H}(\overline{𝔬}). Donc μ ∈ T_{H}(\overline{𝔬}). Montrons que :

(1) la restriction de ξ à T^{∗}(\overline{𝔬}) est un homomorphisme surjectif de T^{∗}(\overline{𝔬}) sur T_{H}(\overline{𝔬}).

Comme en 3.2, posons X_{∗} = X_{∗}(T^{∗}), Y_{∗} = X_{∗}/(X_{∗}∩(1−θ^{∗})(X_{∗}⊗_{ℤ}ℚ)). On a l’égalité Y_{∗} = X_{∗}(T_{H}). Le diagramme suivant est commutatif :

T^{∗}(\overline{𝔬}) →^{ξ} T_{H}(\overline{𝔬})
∥  ∥
X_{∗} ⊗_{ℤ} \overline{𝔬}^{×} → Y_{∗} ⊗_{ℤ} \overline{𝔬}^{×}

Mais la flèche horizontale du bas est évidemment surjective, d’où (1).

Soit donc ν_{0} ∈ T^{∗}(\overline{𝔬}) tel que ξ(ν_{0}) = μ. Alors ξ(ν) = ξ(ν_{0}), donc il existe un élément t ∈ T^{∗} tel que ν = tθ^{∗}(t)^{−1}ν_{0}. Alors νθ^{∗} = Int(t)(ν_{0}θ^{∗}). Puisque δ est conjugué à νθ^{∗}, il l’est à ν_{0}θ^{∗} et δ est compact d’après le lemme 5.2. Cela prouve la première assertion de (i). La deuxième assertion se prouve de façon analogue, en remplaçant les groupes T^{∗}(\overline{𝔬}) et T_{H}(\overline{𝔬}) par T^{∗}(𝔬^{nr})_{p′} et T_{H}(𝔬^{nr})_{p′}.

Preuve de (ii). Dans la preuve du lemme 5.3(ii), on a montré qu’il existait h ∈ K_{H}(𝔬^{nr}) et μ ∈ T_{H}(𝔬^{nr})_{p′} tels que Int(h)(ϵ) = μ et ϕ(h)h^{−1} ∈ N_{H}(T_{H}), où ϕ est l’élément de Frobenius de Γ^{nr}. Les groupes K_{H}(𝔬^{nr}) et K_{H,SC}(𝔬^{nr}) ont même image dans H_{AD}, on peut donc supposer que h ∈ K_{H,SC}(𝔬^{nr}). Posons T^{♭} = Int(h^{−1})(T_{H}). Ce tore contient ϵ et est défini sur F. D’après les hypothèses de 1.3 et 4.4, il existe ω_{1} ∈ Ω^{Θ^{∗}} tel que ϕ ∘ ξ = ξ ∘ ω_{1} ∘ ϕ. D’autre part Ω_{H} se plonge dans Ω^{Θ^{∗}}, il existe donc ω_{2} ∈ Ω^{Θ^{∗}} tel que Int(ϕ(h) ∘ h^{−1}) ∘ ξ = ξ ∘ ω_{2}. Posons ω = ω_{2}^{−1}ω_{1}. L’application K_{θ^{∗},SC}(𝔬^{nr}) ∩ N_{G_{θ^{∗},SC}}(T_{θ^{∗},sc}^{∗}) → Ω^{Θ^{∗}} est surjective. Comme dans la preuve du lemme 5.3(ii), on peut trouver g_{0} ∈ K_{θ^{∗},SC}(𝔬^{nr}) tel que g_{0}ϕ(g_{0})^{−1} appartienne à N_{G}(T^{∗}) et ait pour image ω dans Ω^{Θ^{∗}}. Posons T_{0} = Int(g_{0})^{−1}(T^{∗}). Alors T_{0} est défini sur F et l’application :

(2) Int(h^{−1}) ∘ ξ ∘ Int(g_{0}) : T_{0} → T^{♭}

est définie sur F. Remarquons que T_{0}, resp. T^{♭}, sont non ramifiés puisque isomorphes sur F^{nr} à T^{∗}, resp. T_{H}.

La restriction de ξ à T^{∗}(𝔬^{nr})_{p′} est un homomorphisme surjectif de T^{∗}(𝔬^{nr})_{p′} sur T_{H}(𝔬^{nr})_{p′} : cela se prouve comme (1). Soit ν′ ∈ T^{∗}(𝔬^{nr})_{p′} tel que ξ(ν′) = μ. Posons ρ′ = Int(g_{0})^{−1}(ν′). Cet élément appartient à T_{0}(𝔬^{nr})_{p′}. Puisque ϵ ∈ H_{z}(F), on a ϕ(ϵ) = z_{H}(ϕ)ϵ. Puisque z_{H}(ϕ) = ξ(z(ϕ)) et que (2) se quotiente en un isomorphisme défini sur F de T_{0,Θ^{∗}} sur T^{♭} (rappelons que T_{0,Θ^{∗}} est le groupe des coinvariants pour l’action de Θ^{∗} dans T_{0}), on voit que les images de ϕ(ρ′) et de z(ϕ)ρ′ dans T_{0,Θ^{∗}} sont égales. On peut fixer t ∈ T_{0} tel que ϕ(ρ′) = z(ϕ)tθ^{∗}(t)^{−1}ρ′. Puisque ρ′ et z(ϕ) appartiennent tous deux à T_{0}(𝔬^{nr})_{p′}, tθ^{∗}(t)^{−1} appartient aussi à ce groupe. On peut appliquer 5.7(2), en y remplaçant T^{∗} par T_{0}. On peut alors supposer que t ∈ T_{0}(𝔬^{nr})_{p′}. Grâce à 4.2(1), on peut écrire t = t′ϕ(t′)^{−1} avec t′ ∈ T_{0}(𝔬^{nr}). Décomposons t′ en produit t′ = t′_{p′}t′_{tu}. L’égalité précédente s’écrit tt_{p′}^{_{′}−1}ϕ(t′_{p′}) = t′_{tu}ϕ(t′_{tu})^{−1}. Le membre de gauche est d’ordre fini premier à p, celui de droite est topologiquement unipotent. Ils sont donc tous deux égaux à 1. Donc t = t′_{p′}ϕ(t′_{p′})^{−1}. Quitte à remplacer t′ par t′_{p′}, on peut supposer t′ ∈ T_{0}(𝔬^{nr})_{p′}. Posons η = t′ρ′θ^{∗}t^{_{′}−1}. C’est un élément de G(F^{nr}). On voit que ϕ(η) = z(ϕ)η, donc η ∈ G̃(F). Puisque g_{0} ∈ K(𝔬^{nr}), on a T_{0}(𝔬^{nr}) ⊂ K(𝔬^{nr}), donc aussi η ∈ K(𝔬^{nr}). Donc η ∈ K(𝔬^{nr}) ∩ G̃(F) = K̃(𝔬). Enfin η est conjugué à ν′θ^{∗}, donc η est d’ordre fini premier à p. Posons T^{♮} = T_{0,θ^{∗}} (= T_{0}^{θ^{∗},0}). C’est bien un sous-tore maximal de G_{η}. Posons enfin g_{1} = 1. On vérifie que D = (T^{♭}, T_{0}, T, T^{♮}, h, g_{0}, g_{1}, η) est un diagramme issu de ϵ. On calcule ν_{D} = ν′Int(g_{0})(t′θ^{∗}(t′)^{−1}). C’est un élément de T^{∗}(𝔬^{nr})_{p′}. □

5.10 Egalité de facteurs de transfert

Soit ϵ ∈ H_{♯}(F) tel que D(ϵ) ne soit pas vide. On fixe un diagramme D̄ ∈ D(ϵ). Dans les paragraphes 3.5 à 3.7, on a effectué diverses constructions à partir de ces données. Puis, en 3.8, on a effectué des constructions supplémentaires dépendant d’un élément Y ∈ 𝔥_{ϵ}(F) tel que :

(1) exp(Y)ϵ est G̃-fortement régulier ;

(2) Y appartient à un certain voisinage 𝔙 de 0 dans 𝔥_{ϵ}(F).

Supposons ϵ ∈ H_{z}(F)_{p′}. La condition (1) reste inchangée. Mais, en inspectant les constructions, on voit que (2) peut être remplacée par :

(2)’ Y ∈ 𝔥_{ϵ}(F)_{tn}.

En effet les conditions sur 𝔙 sont que l’exponentielle y soit définie ; que tout élément h ∈ H tel que Int(h)(exp(𝔙)ϵ) ∩ (exp(𝔙)ϵ) ≠ ∅ appartienne à H^{ϵ}; et que des conditions analogues soient vérifiées par d’autres couples analogues à (ϵ, 𝔙) apparaissant dans la construction. Indiquons seulement pourquoi le couple (ϵ, 𝔥_{ϵ}(F)_{tn}) vérifie ces conditions. Parce que p > N(G)e_{F} + 1, l’exponentielle est définie sur 𝔥_{ϵ}(F)_{tn}. Soient Y, Y′ ∈ 𝔥_{ϵ}(F)_{tn} et h ∈ H, supposons Int(h)(exp(Y)ϵ) = exp(Y′)ϵ. Posons γ = exp(Y)ϵ, γ′ = exp(Y′)ϵ′. Ce sont des éléments compacts de H_{z}(F), tels que γ_{p′} = γ′_{p′} = ϵ. L’égalité Int(h)(γ) = γ′ entraîne Int(h)(ϵ) = ϵ, cf. 5.2(2). Donc h ∈ H^{ϵ}.

On a alors la forme plus précise du théorème 3.9, où on utilise les mêmes notations que dans ce paragraphe.

Proposition. On suppose que ϵ ∈ H_{z}(F)_{p′}. Soient Y, \underline{Y} ∈ 𝔥_{ϵ}(F)_{tn}, posons γ = exp(Y)ϵ et \underline{γ} = exp(\underline{Y})ϵ. On suppose que γ et \underline{γ} sont G̃-fortement réguliers. Soient y ∈ Ẏη̄, X ∈ C̄[y], \underline{X} ∈ \underline{C̄}[y]. Ecrivons X = X_{SC} + X_{Z}[y], \underline{X} = \underline{X}_{SC} + \underline{X}_{Z}[y], avec X_{SC} ∈ C̄[y]_{SC} et \underline{X}_{SC} ∈ \underline{C̄}[y]_{SC}. Alors on a l’égalité :

Δ(γ, φ(X); \underline{γ}, \underline{φ}(\underline{X})) = Δ̄[y](Ȳ , X_{SC}; \underline{Ȳ} , \underline{X}_{SC}).

Cette proposition sera prouvée dans [W2].

5.11 Egalité de facteurs de transfert non ramifiés

Soit ϵ ∈ H_{♯}(F) ∩ K_{H,z}(𝔬) ∩ H_{z}(F)_{p′}. Alors D(ϵ) n’est pas vide et on peut fixer un diagramme D̄ = (T̄^{♭}, T̄_{0}, T̄, T̄^{♮}, h̄, ḡ_{0}, ḡ_{1}, η̄) ∈ D(ϵ) vérifiant les conditions du lemme 5.8(ii). En particulier, η̄ ∈ K̃(𝔬) ∩ G̃(F)_{p′}. Posons ẎK ; η̄ = Ẏη̄ ∩ YK ; η̄. On suppose, ainsi qu’il est loisible, que yη̄y^{−1} ∈ K̃(𝔬) pour tout y ∈ ẎK ; η̄. Pour tout y ∈ ẎK ; η̄, le groupe Ḡ[y] = G_{yη̄y^{−1}} est non ramifié et Ḡ[y](F)∩K(𝔬) en est un sous-groupe compact hyperspécial (cf. lemme 5.5). Les données endoscopiques (H̄, H̄, s̄, ˆ ξ̄) de Ḡ[y]_{SC} sont non ramifiées : d’après 3.6, le groupe H̄ possède un sous-tore isogène à un sous-tore de T^{♭∗}, où on rappelle que (B^{♭∗}, T^{♭∗}) est une paire de Borel de H_{ϵ} définie sur F ; et, d’après le lemme 5.3 (ii), T^{♭∗} est non ramifié. On peut alors normaliser le facteur de transfert Δ̄[y] (défini sur D̄[y]) comme indiqué en 4.7, relativement au sous-groupe hyperspécial Ḡ[y]_{SC}(F) ∩ K(𝔬).

Proposition. Sous ces hypothèses, soit Y ∈ 𝔥_{ϵ}(F)_{tn}, posons γ = exp(Y)ϵ, supposons que γ est G̃-fortement régulier. Soient y ∈ ẎK ; η̄ et X ∈ C̄[y]. Ecrivons X = X_{SC} + X_{Z}[y], avec X_{SC} ∈ C̄[y]_{SC}. Alors on a l’égalité :

Δ(γ, φ(X)) = Δ̄[y](Ȳ , X_{SC}).

Cette proposition sera prouvée dans [W2].

5.12 Preuve du théorème 4.11

Soit γ ∈ H_{z,G̃−reg}(F). On veut prouver l’égalité :

(1) SO_{γ}^{H}(f_{K_{H,z}}) = O_{γ}^{G̃,ω}(fK̃).

Si γ n’est pas compact, sa classe de conjugaison stable ne coupe pas K_{H,z}(𝔬) et le membre de gauche est nul. S’il n’existe aucun élément de D de la forme (γ, δ), le membre de droite est nul. Sinon, tous les δ qui apparaissent ainsi sont eux aussi non compacts d’après le lemme 5.8(i), leur classe de conjugaison ne coupe pas K̃(𝔬) et le membre de droite est encore nul.

On suppose γ compact, on décompose γ en produit γ = γ_{p′}γ_{tu}, on pose ϵ = γ_{p′} et on note Y l’élément de 𝔥_{ϵ}(F)_{tn} tel que γ_{tu} = exp(Y). On note T̄^{♭} = H_{γ}, qui est aussi le commutant de Y dans H_{ϵ}. Les deux termes de l’égalité (1) ne dépendent que de la classe de conjugaison stable de γ, on peut donc remplacer γ par n’importe quel élément de cette classe. Montrons que :

(2) on peut supposer ϵ ∈ H_{♯}(F).

En effet, réintroduisons pour un instant une z-extension H_{1} et relevons ϵ en ϵ_{1} ∈ H_{1,z}(F). D’après 2.1(1), il existe un élément ϵ′_{1} ∈ H_{1,♯}(F) qui soit stablement conjugué à ϵ_{1}. Fixons un tel élément et notons ϵ′ son image dans H_{z}(F). Alors ϵ′ est stablement conjugué à ϵ, cf. [Ko1] lemme 3.1. Soit x ∈ H tel que ϵ′ = Int(x)(ϵ) et σ(x)^{−1}x ∈ I_{ϵ} pour tout σ ∈ Γ_{F}. Alors Int(x) est un torseur intérieur de H_{ϵ} sur H_{ϵ′}. Puisque ce dernier groupe est quasi-déployé, on peut utiliser [Ko1] corollaire 2.2 : quitte à multiplier x à gauche par un élément de H_{ϵ′}, on peut supposer que Int(x)(T̄^{♭}) est défini sur F ainsi que l’isomorphisme de T̄^{♭} sur Int(x)(T̄^{♭}) obtenu par restriction de Int(x). Posons alors γ′ = Int(x)(γ). Alors γ′ est stablement conjugué à γ, on a γ′_{p′} = ϵ′ et, par construction, cet élément appartient à H_{♯}(F).

Supposons désormais ϵ ∈ H_{♯}(F). Si D(ϵ) = ∅, le membre de droite de (1) est nul par définition. D’après le lemme 5.9(ii), ϵ n’appartient pas à K_{H,z}(𝔬). Plus généralement, aucun conjugué stable de ϵ n’appartient à K_{H,z}(𝔬) (puisque la condition D(ϵ) = ∅ ne dépend que de la classe de conjugaison stable de ϵ). Donc aucun conjugué stable de γ n’appartient à K_{H,z}(𝔬) : on a déjà dit que si γ ∈ K_{H,z}(𝔬), on a aussi ϵ ∈ K_{H,z}(𝔬) puisque ϵ appartient à la fermeture du groupe engendré par γ. Le membre de gauche de (1) est nul lui aussi.

On suppose désormais D(ϵ) ≠ ∅, on fixe un élément D̄ = (T̄^{♭}, T̄_{0}, T̄, T̄^{♮}, h̄, ḡ_{0}, ḡ_{1}, η). Ainsi qu’on l’a dit en 5.10, on peut effectuer les constructions des paragraphes 3.5 à 3.8 pour ϵ, D̄ et l’élément Y ∈ 𝔥_{ϵ}(F). On fixe aussi des mesures comme en 3.10. Introduisons l’ensemble ẎK ; η̄ = Ẏη̄ ∩ YK ; η̄. On peut supposer que yη̄y^{−1} ∈ K̃(𝔬) pour tout y ∈ ẎK ; η̄. Dans le cas où ẎK ; η̄ n’est pas vide, le groupe Ḡ^{∗} = G_{ν̄θ^{∗}} est non ramifié : c’est une forme intérieure quasi-déployée de Ḡ[y] pour n’importe quel y ∈ ẎK ; η̄ et ce dernier groupe est non ramifié d’après le lemme 5.5. On suppose alors que la mesure de Haar sur Ḡ^{∗}(F) est non ramifiée. De même, Z0 ; Ḡ^{∗} est un tore non ramifié et on munit Z_{Ḡ∗}^{0}(F) de la mesure de Haar non ramifiée. On en déduit une mesure sur 𝔷Ḡ^{∗}(F). Pour tout y ∈ ẎK ; η̄, on introduit les fonctions f_{yη̄y^{−1},Z} et f_{yη̄y^{−1},SC} de 5.8. Montrons que l’on a l’égalité :

(3) O_{γ}^{G̃,ω}(fK̃) = c_{T^{∗}}^{−1} ∑_{y∈ẎK ; η̄} f_{yη̄y^{−1},Z}(X_{Z}[y])OḠ[y]_{SC} ; Ȳ(f_{yη̄y^{−1},SC}).

Reprenons la preuve du lemme 3.11. On arrive à l’égalité (1) de ce paragraphe, où f est cette fois la fonction fK̃. Remarquons que, pour y ∈ Ẏη̄ et X ∈ Ξ[y], l’élément φ(X) est compact et on a les égalités φ(X)_{p′} = yη̄y^{−1}, φ(X)_{tu} = exp(X). Il est alors clair que la contribution des y ∈ Ẏη̄\ẎK ; η̄ à l’égalité (1) de 3.11 est nulle. On peut limiter l’ensemble de sommation à ẎK ; η̄. Pour y ∈ ẎK ; η̄, on a c[y] = c_{T^{∗}}^{−1} d’après le lemme 5.7(iii). Les deux groupes Ḡ[y] et Ḡ^{∗} sont isomorphes car tous deux non ramifiés et formes intérieures l’un de l’autre. Nos choix de mesures sont tels que la mesure sur Ḡ[y](F) est non ramifiée. On poursuit alors la démonstration en utilisant le corollaire 5.8 en lieu et place du lemme 2.4 et on obtient l’égalité (3).

Supposons que H_{ϵ} n’est pas non ramifié. D’après le lemme 5.3(iv), aucun conjugué stable de ϵ n’appartient à K_{H,z}(𝔬) et, comme on l’a dit ci-dessus, le membre de gauche de (1) est nul. Si ẎK ; η̄ est vide, il en est de même du membre de droite d’après (3). Supposons ẎK ; η̄ non vide, soit y ∈ ẎK ; η̄. Par le même argument qu’en 5.11, l’hypothèse que H_{ϵ} n’est pas non ramifié entraîne que H̄ ne l’est pas non plus. Donc (H̄, H̄, s̄, ˆ ξ̄) sont des données endoscopiques de Ḡ[y]_{SC} qui ne sont pas non ramifiées. La proposition 7.5 de [Ko2] implique que :

OḠ[y]_{SC} ; Ȳ(f_{yη̄y^{−1},SC}) = 0

(le résultat de Kottwitz est énoncé pour des fonctions sur le groupe Ḡ[y](F), mais le même argument s’applique pour notre fonction f_{yη̄y^{−1},SC} sur l’algèbre de Lie 𝔤̄[y]_{SC}(F)). L’égalité (3) entraîne que le membre de droite de (1) est nul.

On suppose enfin que H_{ϵ} est non ramifié. Quitte à remplacer ϵ par un conjugué stable, on peut supposer ϵ ∈ K_{H,z}(𝔬) d’après le lemme 5.3(iv). On peut supposer que le diagramme D̄ vérifie les conditions du lemme 5.8(ii). Les groupes H_{ϵ}, H̄ et Z0 ; H̄ sont non ramifiés. On munit leurs groupes de points H_{ϵ}(F), H̄(F) et Z0 ; H̄(F) des mesures de Haar non ramifiées. On en déduit une mesure sur 𝔷H̄(F). Comme on l’a expliqué en 3.10, de ces choix se déduit une mesure sur 𝔷_{H_{ϵ}}(F) (en fait parce que 𝔷_{H_{ϵ}} ≃ 𝔷H̄ ⊕ 𝔷Ḡ^{∗}). Un calcul analogue à celui de la preuve de 5.4(1) montre qu’elle est égale à celle déduite de la mesure de Haar non ramifiée sur Z_{H_{ϵ}}^{0}(F). Le groupe H̄ étant non ramifié, on en fixe un sous-groupe compact hyperspécial, dont on déduit un schéma en groupes KH̄. Notons Φ la fonction caractéristique de 𝔨H̄(𝔬) dans 𝔥̄(F).

Le membre de droite de (1) est calculé par (3). Soit y ∈ ẎK ; η̄.D’après l’hypothèse du théorème, on peut appliquer le lemme fondamental pour les algèbres de Lie à Ḡ[y]_{SC} et sa donnée endoscopique (H̄, H̄, s̄, ˆ ξ̄). Remarquons que l’on montre comme en 5.4(1) que la mesure sur Ḡ[y]_{SC}(F) qui intervient dans la formule (3) est la mesure de Haar non ramifiée. D’autre part, le facteur de transfert qui intervient dans la formule (3) est celui associé comme en 4.7 au sous-groupe hyperspécial image réciproque de K(𝔬) dans Ḡ[y]_{SC}(F), cela d’après 5.11. D’où l’égalité :

OḠ[y]_{SC} ; Ȳ(f_{yη̄y^{−1},SC}) = SOH̄ ; Ȳ(Φ).

Notons Φ_{SC}, resp. Φ_{Z}, la fonction caractéristique de 𝔨_{H̄,SC}(𝔬) dans 𝔥̄_{SC}(F), resp. de 𝔷H̄(𝔬) dans 𝔷H̄(F). Comme dans la preuve de 5.4, on a l’égalité :

SOH̄ ; Ȳ(Φ) = Φ_{Z}(Ȳ_{Z})SOH̄_{SC} ; Ȳ_{SC}(Φ_{SC}).

Le triplet (H_{ϵ,SC}, H̄_{SC}, j_{∗}) est un triplet endoscopique non standard qui vérifie les conditions de 4.10. En effet, les deux groupes sont non ramifiés. En reprenant la construction de 3.6, on voit que les fonctions b et b̌ intervenant en 1.7(1) ont pour valeurs des nombres de la forme 2^{±1}m^{±1}, où m est l’ordre d’une orbite dans Σ pour l’action de Θ^{∗}. Puisque p ≠ 2 et p ne divise pas l’ordre de Θ^{∗}, ces valeurs appartiennent à ℤ_{(p)}^{×}. D’après l’hypothèse du théorème, on peut appliquer à ce triplet le lemme fondamental non standard, d’où l’égalité :

SOH̄_{SC} ; Ȳ_{SC}(Φ_{SC}) = SO_{Y_{SC}}^{H_{ϵ,SC}}(f_{ϵ,SC}).

L’égalité (3) est maintenant transformée en :

O_{γ}^{G̃,ω}(fK̃) = c_{T^{∗}}^{−1} ∑_{y∈ẎK ; η̄} f_{yη̄y^{−1},Z}(X_{Z}[y])Φ_{Z}(Ȳ_{Z})SO_{Y_{SC}}^{H_{ϵ,SC}}(f_{ϵ,SC}).

Rappelons que, pour tout y ∈ ẎK ; η̄, on a l’isomorphisme :

𝔷_{H_{ϵ}}(F) ≃ 𝔷_{Ḡ[y]}(F) ⊕ 𝔷H̄(F).

Par cet isomorphisme, la fonction f_{ϵ,Z} correspond à f_{yη̄y^{−1},Z} ⊗ Φ_{Z} et l’élément Y_{Z} correspond à X_{Z}[y] + Ȳ_{Z}. Donc :

f_{yη̄y^{−1},Z}(X_{Z}[y])Φ_{Z}(Ȳ_{Z}) = f_{ϵ,Z}(Y_{Z}).

En utilisant le lemme 5.7(ii), l’égalité ci-dessus devient :

O_{γ}^{G̃,ω}(fK̃) = c_{T^{∗}}^{−1}f_{ϵ,Z}(Y_{Z})SO_{Y_{SC}}^{H_{ϵ,SC}}(f_{ϵ,SC})|ẎK ; η̄|

= f_{ϵ,Z}(Y_{Z})SO_{Y_{SC}}^{H_{ϵ,SC}}(f_{ϵ,SC}).

D’après le lemme 5.4, cette dernière expression est égale au membre de gauche de (1). Cela achève de prouver (1) et le théorème. □

Appendice A : sections d’extensions

On va démontrer deux lemmes qui sont bien connus des spécialistes mais ne sont peutêtre pas très clairement énoncés dans la littérature. Considérons les données suivantes :

- Ĥ est un groupe réductif connexe complexe, muni d’une paire de Borel (B̂, T̂), d’un épinglage relatif à cette paire et d’une action de Γ_{F} qui préserve la paire et l’épinglage ;

- H est un groupe topologique séparé et localement compact, qui contient Ĥ comme sous-groupe distingué fermé, et qui est muni d’un homomorphisme continu π de sorte que la suite suivante soit exacte :

1 → Ĥ → H →^{π} W_{F} → 1.

On suppose que, pour tout w ∈ W_{F}, il existe x(w) ∈ H tel que Int(x(w)) agisse sur Ĥ comme w. On suppose aussi qu’il existe une extension finie E de F et un homomorphisme continu c_{E} : W_{E} → H qui scinde la projection π.

Lemme A.1. Sous ces hypothèses, il existe un homomorphisme continu c : W_{F} → H qui scinde la projection π.

On note Ω le groupe de Weyl de Ĥ relatif à T̂. Considérons de plus un tore complexe T̂_{0} muni d’une action de Γ_{F}. On note ^{L}T_{0} le produit semi-direct T̂_{0} ⋊ W_{F}. Supposons donné un isomorphisme j : T̂_{0} → T̂ tel que, pour tout σ ∈ Γ_{F}, il existe ω(σ) ∈ Ω tel que ω(σ) ∘ σ ∘ j = j ∘ σ.

Lemme A.2. Sous ces hypothèses, j se prolonge en un isomorphisme de ^{L}T_{0} sur un sous-groupe fermé de H, qui commute aux projections sur W_{F}.

Preuve. Dans les hypothèses figure une extension E. On peut évidemment la remplacer par une extension plus grande. On peut ainsi supposer que E est galoisienne sur F et que les actions de Γ_{E} sur Ĥ et sur T̂_{0} (sous les hypothèses du lemme A.2) sont triviales. Montrons que :

(1) il existe une extension galoisienne finie K de F contenue dans E et un homomorphisme continu c_{K} : W_{K} → H scindant la projection π et tel que, pour tout w ∈ W_{K}, Int(c_{K}(w)) agisse trivialement sur Ĥ.

Rappelons que l’on note I_{F} le sous-groupe d’inertie de W_{F} ou de Γ_{F} et que l’on appelle Frobenius un élément de W_{F} qui se projette sur le générateur canonique de W_{F} /I_{F} ≃ ℤ. Pour w ∈ W_{F}, on note val_{F} (w) son image dans ℤ. On adopte les mêmes notation et terminologie pour les extensions de F. D’après les hypothèses, pour tout x ∈ H, il existe h_{AD}(x) ∈ Ĥ_{AD} tel que Int(x) coïncide avec Int(h_{AD}(x)) ∘ π(x) sur Ĥ. Cet élément h_{AD}(x) est évidemment unique dans le groupe adjoint et l’application x ↦ h_{AD}(x) est continue. Considérons l’application :

(2) \begin{matrix}W_{E} & → & Ĥ_{AD} \\ w & ↦ & h_{AD}(c_{E}(w)) \end{matrix}

Parce que c_{E} est un homomorphisme et Γ_{E} agit trivialement sur Ĥ, cette application est un homomorphisme. De plus, elle est continue. Il y a un voisinage de l’unité dans Ĥ_{AD} qui ne contient pas de sous-groupe non trivial, tandis qu’au contraire W_{E} possède un système fondamental de voisinages de l’unité formé de sous-groupes. Donc l’application ci-dessus est constante égale à 1 sur un voisinage de l’unité dans W_{E}. Un tel voisinage contient I_{K} pour une certaine extension finie K de E, que l’on peut supposer galoisienne et que l’on fixe. Fixons un Frobenius w_{1} ∈ W_{K} et un élément h_{1} ∈ Ĥ qui relève h_{AD}(w_{1}). On définit c_{K} : W_{K} → H par :

c_{K}(w) = h_{1}^{−val_{K}(w)}c_{E}(w).

C’est évidemment une section continue de la projection π. Puisque l’application (2) est un homomorphisme trivial sur I_{K}, pour tout w ∈ W_{K}, h_{AD}(c_{E}(w)) est l’image dans Ĥ_{AD} de h_{1}^{val_{K}(w)}. Donc Int(c_{K}(w)) agit trivialement sur Ĥ. Pour w, w′ ∈ W_{K}, on a les égalités :

c_{K}(ww′) = h_{1}^{−val_{K}(w′)}h_{1}^{−val_{K}(w)}c_{E}(w)c_{E}(w′),
= h_{1}^{−val_{K}(w′)}c_{K}(w)c_{E}(w′) = c_{K}(w)h_{1}^{−val_{K}(w′)}c_{E}(w′) = c_{K}(w)c_{K}(w′),

la troisième égalité venant du fait que Int(c_{K}(w)) agit trivialement sur Ĥ. Donc c_{K} est un homomorphisme et (1) est démontré.

Dans la situation du lemme A.2, l’application σ ↦ ω(σ) se factorise par le quotient Gal(E/F) = Γ_{F} /Γ_{E} et, puisque ce quotient est aussi égal à W_{F} /W_{E}, on peut définir ω(w) pour w ∈ W_{F}. Notons H_{0} le sous-ensemble des x ∈ H tels que Int(x) conserve T̂ et agisse sur ce groupe de la même façon que ω(w) ∘ w, où w = π(x). On vérifie aisément que c’est un sous-groupe, que la restriction de π à ce sous-groupe est surjective et que le noyau de cette restriction est T̂. L’ensemble H_{0} est fermé, donc localement compact. En effet, si l’on fixe un élément fortement régulier t ∈ T̂, la condition qui définit H_{0} équivaut à xtx^{−1} = ω(w) ∘ w(t), et cette dernière condition est évidemment fermée. Considérons T̂_{0} comme un sous-groupe de H_{0} via les homomorphismes T̂_{0} →^{j} T̂ → H_{0}. Alors les données T̂_{0} et H_{0} vérifient les mêmes hypothèses que Ĥ et H. En effet, par construction, pour tout élément x ∈ H_{0}, Int(x) agit sur T̂_{0} de la même façon que π(x). D’autre part, l’image de c_{K} est contenue dans H_{0} et c_{K} est un homomorphisme continu qui scinde π au-dessus de W_{K}. Supposons prouvée l’assertion du lemme A.1 pour les données T̂_{0} et H_{0}, soit donc c : W_{F} → H_{0} un homomorphisme continu scindant la projection π. Alors l’application :

\begin{matrix}^{L}T_{0} & → & H_{0} \\ (t, w) & ↦ & tc(w) \end{matrix}

est un isomorphisme de groupes topologiques, ce qui prouve le lemme A.2. Pour ce qui est du lemme A.1, on peut toujours appliquer la construction ci-dessus au cas où T̂_{0} = T̂ et j est l’identité. Si un homomorphisme c vérifie les conditions requises pour les données T̂_{0} et H_{0}, il vérifie aussi les mêmes conditions pour les données Ĥ et H. En résumé, il suffit de prouver le lemme A.1 dans le cas où Ĥ est un tore, ce que l’on suppose désormais. Remarquons que cette hypothèse implique que, pour tout x ∈ H, Int(x) agit sur Ĥ de la même façon que π(x).

Pour x ∈ H et w ∈ W_{K}, considérons le terme xc_{K}(w)x^{−1}. Parce que Int(c_{K}(w)) agit trivialement sur Ĥ, ce terme ne dépend que de l’image π(x) de x dans W_{F}. Pour u ∈ W_{F}, posons c_{K,u}(w) = xc_{K}(w)x^{−1} où x est n’importe quel élément de H tel que π(x) = u. Posons aussi c′_{K,u}(w) = c_{K}(uwu^{−1}) et t_{u}(w) = c′_{K,u}(w)c_{K,u}(w)^{−1}. On calcule π(t_{u}(w)) = 1, donc t_{u}(w) ∈ Ĥ. Les applications c_{K,u} et c′_{K,u} sont toutes deux des homomorphismes continus et, pour w ∈ W_{K}, Int(c_{K,u}(w)) comme Int(c′_{K,u}(w)) agissent trivialement sur Ĥ. On en déduit que t_{u} est un homomorphisme continu de W_{K} dans Ĥ. Dans le cas où u ∈ W_{K}, on peut prendre x = c_{K}(u) dans la construction ci-dessus. Puisque c_{K} est un homomorphisme, on voit que t_{u} est trivial. Soient u, u′ ∈ W_{F}. Choisissons x, x′ ∈ H tels que π(x) = u, π(x′) = u′. Alors π(xx′) = uu′ et on calcule, pour w ∈ W_{K} :

c′_{K,uu′}(w) = c_{K}(uu′wu^{_{′}−1}u^{−1}) = c′_{K,u}(u′wu^{_{′}−1}) = t_{u}(u′wu^{_{′}−1})c_{K,u}(u′wu^{_{′}−1})
= t_{u}(u′wu^{_{′}−1})xc_{K}(u′wu^{_{′}−1})x^{−1} = t_{u}(u′wu^{_{′}−1})xc′_{K,u′}(w)x^{−1}
= t_{u}(u′wu^{_{′}−1})xt_{u′}(w)c_{K,u′}(w)x^{−1} = t_{u}(u′wu^{_{′}−1})u(t_{u′}(w))xc_{K,u′}(w)x^{−1}
= t_{u}(u′wu^{_{′}−1})u(t_{u′}(w))xx′c_{K}(w)x^{_{′}−1}x^{−1} = t_{u}(u′wu^{_{′}−1})u(t_{u′}(w))c_{K,uu′}(w).

D’où l’égalité :

(3) t_{uu′}(w) = t_{u}(u′wu^{_{′}−1})u(t_{u′}(w)).

Grâce à cette relation et au fait que t_{u} est trivial pour u ∈ W_{K}, on voit que t_{u} ne dépend que de l’image de u dans Gal(K/F). Par un raisonnement déjà fait plus haut, pour tout u ∈ W_{F}, t_{u} est trivial sur un sous-groupe I_{L}, pour une certaine extension finie L de K. Le résultat de finitude que l’on vient de prouver entraîne alors que, quitte à remplacer K par une extension finie, on peut supposer que t_{u} est trivial sur I_{K} pour tout u ∈ W_{F}. Remarquons qu’alors, l’égalité (3) se simplifie en :

t_{uu′}(w) = t_{u}(w)u(t_{u′}(w)),

car u′wu^{_{′}−1} ∈ I_{K}w. Fixons un Frobenius w_{1} ∈ W_{K}. Considérons l’application :

\begin{matrix}W_{F} & → & Ĥ \\ u & ↦ & t_{u}(w_{1}). \end{matrix}

D’après la relation précédente, c’est un cocycle, qui se factorise en un cocycle défini sur Gal(K/F). Un tel cocycle est nécessairement d’ordre fini. Elever le cocycle à une puissance N remplace w_{1} par w_{1}^{N} qui est un Frobenius pour l’extension non ramifiée de K de degré N. Quitte à remplacer K par cette extension, on peut supposer le cocycle trivial et fixer t ∈ Ĥ tel que t_{u}(w_{1}) = u(t)t^{−1}. Définissons alors une application c′_{K} : W_{K} → H par c′_{K}(w) = t^{val_{K}(w)}c_{K}(w) pour tout w ∈ W_{K}.. Cette application vérifie les mêmes propriétés que c_{K}. Si on remplace c_{K} par c′_{K} dans les définitions, on voit que cette fois, t_{u} est le caractère trivial pour tout u ∈ W_{F}. Autrement dit, on a l’égalité :

(4) c′_{K}(uwu^{−1}) = xc′_{K}(w)x^{−1}

pour tous u ∈ W_{F}, w ∈ W_{K}, x ∈ H tels que π(x) = u.

Fixons un ensemble de représentants U ⊂ W_{F} du quotient Gal(K/F) et, pour tout u ∈ U, choisissons x_{u} ∈ H tel que π(x_{u}) = u. Définissons une application :

c′ : W_{F} → H

par c′(wu) = c′_{K}(w)x_{u} pour tous w ∈ W_{K}, u ∈ U. C’est une section continue de la projection π. Pour tout w, w′ ∈ W_{F}, posons :

a(w, w′) = c′(w)c′(w′)c′(ww′)^{−1}.

La fonction a est un 2-cocycle de W_{F} dans T̂. En utilisant la relation (4), on vérifie qu’elle se factorise en un 2-cocycle défini sur Gal(K/F). Grâce à [Lan2] lemme 4, on peut fixer une application continue b : W_{F} → T̂ telle que :

a(w, w′) = b(w)w(b(w′))b(ww′)^{−1}

pour tous w, w′ ∈ W_{F}. Définissons enfin l’application c : W_{F} → Ĥ par c(w) = b(w)^{−1}c′(w) pour tout w ∈ W_{F}. C’est encore une section continue de π et on vérifie que c’est un homomorphisme. Cela achève la preuve. □

Appendice B : l’exponentielle

Conformément à nos définitions, on note val_{ℚ_{p}} la valuation de ℚ̄_{p} qui prolonge la valuation usuelle de ℚ_{p}. Posons :

𝔲 = \{x ∈ ℚ̄_{p}; val_{ℚ_{p}}(x) > \frac{1}{p − 1}\}, U = \{x ∈ ℚ̄_{p}^{×}; val_{ℚ_{p}}(1 − x) > \frac{1}{p − 1}\}.

Les propriétés suivantes sont bien connues :

- pour tout x ∈ 𝔲, la série exp(x) = ∑_{n≥0} \frac{x^{n}}{n!} est normalement convergente et sa somme appartient à U ;

- pour tout x ∈ U, la série log(x) = ∑_{n≥1}(−1)^{n+1} \frac{(x−1)^{n}}{n} est normalement convergente et sa somme appartient à 𝔲;

- les fonctions exp : 𝔲 → U et log : U → 𝔲 ainsi définies sont des isomorphismes de groupes topologiques inverses l’un de l’autre ; ils sont équivariants pour les actions du groupe de galois Γ_{ℚ_{p}}.

Remarque. La preuve de ces propriétés est immédiate, elle repose sur la simple inégalité val_{ℚ_{p}}(n!) < \frac{n}{p−1} pour tout entier n ≥ 1.

Rappelons que l’on a défini en 4.3 une fonction ψ sur l’ensemble des entiers n ≥ 1 : ψ(n) est le plus grand entier d tel que ϕ(d) ≤ n, où ϕ est la fonction d’Euler.

Soit T un tore défini sur F. On note X^{∗}, resp. X_{∗}, son groupe des caractères, resp. des cocaractères. On pose :

𝔱(F)_{tn} = {X ∈ 𝔱(F); ∀x^{∗} ∈ X^{∗}, val_{ℚ_{p}}(x^{∗}(X)) > 0},
T (F)_{tu} = {t ∈ T (F); ∀x^{∗} ∈ X^{∗}, val_{ℚ_{p}}(1 − x^{∗}(t)) > 0}.

Remarque. Ces définitions ne coïncident pas toujours avec celles données en 4.3, mais il y a coïncidence si p vérifie les hypothèses que l’on impose ci-dessous.

Lemme B. Supposons p > e_{F} ψ(dim(T)) + 1. Alors :

(i) pour tous x^{∗} ∈ X^{∗}, X ∈ 𝔱(F)_{tn}, t ∈ T (F)_{tu}, on a x^{∗}(X) ∈ 𝔲 et x^{∗}(t) ∈ U ;

(ii) il existe une unique application exp : 𝔱(F)_{tn} → T (F)_{tu} telle que, pour tous x^{∗} ∈ X^{∗} et X ∈ 𝔱(F)_{tn}, on ait l’égalité x^{∗}(exp(X)) = exp(x^{∗}(X)) ;

(iii) cette application est un isomorphisme de groupes topologiques de 𝔱(F)_{tn} sur T (F)_{tu}.

Preuve. On peut énoncer un lemme analogue en remplaçant le corps F par son extension non ramifiée maximale F^{nr}. Le lemme pour le corps F résulte de celui pour le corps F^{nr} : on prend pour exponentielle sur 𝔱(F)_{tn} la restriction de l’exponentielle sur 𝔱(F^{nr})_{tn}, les propriétés de cette application étant immédiates. Travaillons donc sur le corps de base F^{nr}. Notons F′ la plus petite extension galoisienne de F^{nr} telle que T soit déployé sur F′. C’est une extension finie de F^{nr}. Montrons que :

(1) F′ est une extension modérément ramifiée de F^{nr}.

Soit σ ∈ Γ_{F^{nr}}. Alors σ agit sur X^{∗} par un opérateur d’ordre fini, et il s’agit de prouver que cet ordre est premier à p. Posons X∗ ; ℚ̄ = X^{∗} ⊗_{ℤ} ℚ̄. Soit ζ une valeur propre de l’action de σ dans X∗ ; ℚ̄. C’est une racine de l’unité, notons d son ordre. Puisque l’action de σ est définie sur ℚ (σ agit dans X^{∗}), tous les conjugués de ζ par le groupe de Galois de ℚ̄/ℚ sont aussi valeurs propres. Il y a ϕ(d) conjugués. Donc ϕ(d) ≤ dim(T), puis d ≤ ψ(dim(T). Alors d < p, ce qui prouve (1).

Le groupe de Galois de F′/F^{nr} est cyclique, fixons un générateur σ. On peut décomposer X∗ ; ℚ̄ en somme directe :

X∗ ; ℚ̄ = ⊕_{d≥1}X_{ℚ̄,d}^{∗},

où, pour tout entier d ≥ 1, X_{ℚ̄,d}^{∗} est la somme des espaces propres pour l’action de σ associés à des valeurs propres d’ordre d. On pose X_{d}^{∗} = X_{ℚ̄,d}^{∗} ∩ X^{∗}. Remarquons que le polynôme minimal de l’action de σ dans X_{ℚ̄,d}^{∗} (pour un entier d tel que cet espace soit non nul) est le d-ième polynôme cyclotomique. On a montré que les d qui intervenaient étaient premiers à p. Alors les réductions dans 𝔽_{p}[X] des différents polynômes cyclotomiques intervenant sont des polynômes premiers deux à deux. Le lemme de Hensel entraîne l’égalité :

X^{∗} ⊗_{ℤ} ℤ_{p} = ⊕_{d≥1}X_{d}^{∗} ⊗_{ℤ} ℤ_{p}.

Autrement dit, on peut fixer un entier a ≥ 1 premier à p tel que :

aX^{∗} ⊂ ⊕_{d≥1}X_{d}^{∗}.

Pour tout entier d ≥ 1 premier à p, notons F′_{d} l’extension modérément ramifiée de F^{nr} de degré d. Si X_{d}^{∗} n’est pas nul, F′_{d} est contenu dans F′. Le groupe de Galois Γ_{F′_{d}} agit trivialement sur X_{d}^{∗}.

Soient x^{∗} ∈ X^{∗} et t ∈ T (F)_{tu}. Ecrivons ax^{∗} = ∑_{d≥1} x_{d}^{∗}, où x_{d}^{∗} ∈ X_{d}^{∗} pour tout d. Soit d tel que x_{d}^{∗} ≠ 0. Puisque t ∈ T (F), on a γ(x_{d}^{∗}(t)) = (γ(x_{d}^{∗}))(t). Puisque Γ_{F′_{d}} agit trivialement sur X_{d}^{∗}, cela entraîne que x_{d}^{∗}(t) ∈ F_{d}^{_{′}×}. Puisque t ∈ T (F)_{tu}, on a val_{ℚ_{p}}(1 − x_{d}^{∗}(t)) > 0. Ces deux dernières conditions entraînent val_{ℚ_{p}}(1 − x_{d}^{∗}(t)) ≥ _{\frac{1}{e_{F′_{d}}}} = \frac{1}{de_{F}}. On a

déjà remarque l’inégalité d ≤ ψ(dim(T)) et l’hypothèse sur p entraînent val_{ℚ_{p}}(1−x_{d}^{∗}(t)) > \frac{1}{p−1}. On en déduit val_{ℚ_{p}}(1−(ax^{∗})(t)) > \frac{1}{p−1}. Puisque val_{ℚ_{p}}(1−x^{∗}(t)) > 0 et a est premier à p, on a l’égalité val_{ℚ_{p}}(1 − x^{∗}(t)) = val_{ℚ_{p}}(1 − (ax^{∗})(t)), donc val_{ℚ_{p}}(1 − x^{∗}(t)) > \frac{1}{p−1}. Cela prouve que x^{∗}(t) appartient à U, ce qui est la seconde assertion de (i). La première se prouve de façon analogue.

On a l’égalité 𝔱(F̄) = 𝔱(ℚ̄_{p}) = X_{∗} ⊗_{ℤ} ℚ̄_{p}. Fixons une base e_{1}, ..., e_{D} de X_{∗}, où D = dim(T). Soit X ∈ 𝔱(F)_{tn}, écrivons X = ∑_{i=1,...,D} x_{i}e_{i}, avec des x_{i} ∈ ℚ̄_{p}. D’après ce que l’on vient de prouver, x_{i} ∈ 𝔲 pour tout i. On peut poser exp(X) = ∏_{i=1,...,D} e_{i}(exp(x_{i})). Il est clair que l’application ainsi définie vérifie les conditions du (ii) de l’énoncé. Son unicité est immédiate. On construit son inverse de façon analogue, en utilisant l’application log : U → 𝔲. L’assertion (iii) de l’énoncé s’en déduit. □

On considère maintenant un groupe réductif connexe M défini sur F et on adopte les notations de 4.3.

Proposition B. Supposons p > N(M)e_{F} + 1.

(i) Il existe une unique application continue exp : 𝔪(F)_{tn} → M(F) telle que, pour tout sous-tore T ⊂ M défini sur F, cette application se restreigne à 𝔱(F)_{tn} en l’application du lemme B.

(ii) Cette application est un homéomorphisme de 𝔪(F)_{tn} sur M(F)_{tu}.

(iii) Soit b ∈ Imm. Alors cette application se restreint en un homéomorphisme de 𝔨_{b}^{+}(𝔬) sur K_{b}^{+}(𝔬).

Preuve. 1^{er} cas : le groupe linéaire. Soit V un espace vectoriel sur F de dimension N. Supposons M = GL(V). Alors 𝔪 est l’espace des endomorphismes linéaires de V. Appelons chaîne de réseaux une suite L = (L_{i})_{i∈ℤ}, où :

- les L_{i} sont des 𝔬-réseaux de V ;

- on a L_{i+1} ⊊ L_{i} pour tout i;

- il existe k ≥ 1 tel que L_{i+k} = ϖ_{F} L_{i} pour tout i, où ϖ_{F} est une uniformisante de 𝔬. Pour une telle chaîne, on note 𝔨_{L}^{+}(𝔬) l’ensemble des X ∈ 𝔪(F) tels que X conserve

chaque L_{i} et agisse par 0 sur chaque quotient L_{i}/L_{i+1}. On note K_{L}^{+}(𝔬) l’ensemble des x ∈ M(F) tels que x conserve chaque L_{i} et agisse par l’identité sur chaque quotient L_{i}/L_{i+1}. Alors 𝔪(F)_{tn} est l’ensemble des X ∈ 𝔪(F) tels qu’il existe une chaîne de réseaux L pour laquelle X ∈ 𝔨_{L}^{+}(𝔬) et M(F)_{tu} est l’ensemble des x ∈ M(F) tels qu’il existe une chaîne de réseaux L pour laquelle x ∈ K_{L}^{+}(𝔬). On définit l’exponentielle sur 𝔪(F)_{tn} par la formule évidente :

exp(X) = ∑_{n≥0} \frac{X^{n}}{n!} .

Cette série converge pour p > Ne_{F} + 1, ce qui est beaucoup plus faible que notre hypothèse. Avec cette définition et sous cette seule hypothèse p > Ne_{F} +1, les assertions (i) et (ii) sont faciles (remarquons que l’unicité du (i) résulte simplement de la densité des éléments semi-simples dans 𝔪(F)_{tn}). On voit aussi que, pour toute chaîne de réseaux L, l’exponentielle se restreint en un homéomorphisme de 𝔨_{L}^{+}(𝔬) sur K_{L}^{+}(𝔬). Mais pour tout b ∈ Imm, il existe une chaîne de réseaux L pour laquelle 𝔨_{b}^{+}(𝔬) = 𝔨_{L}^{+}(𝔬) et K_{b}^{+}(𝔬) = K_{L}^{+}(𝔬). L’assertion (iii) en résulte.

2^{ème} cas : M est adjoint. Posons G = GL(𝔪). L’application adjointe nous fournit un plongement fermé de M dans G grâce auquel on identifie M à un sous-groupe de G. Alors 𝔪 s’identifie à une sous-algèbre de 𝔤. Comme ci-dessus, on définit l’exponentielle exp : 𝔤(F)_{tn} → G(F)_{tu} (remarquons que la condition p > dim(𝔪)e_{F} +1, qui nous suffisait pour le groupe linéaire, est vérifiée). On a :

(2) soit X ∈ 𝔤(F)_{tn}; alors X ∈ 𝔪(F) si et seulement si exp(X) ∈ M(F).

Il est bien connu qu’il existe une représentation algébrique de G dans un espace V sur F̄ et une droite D ⊂ V telle que M soit le stabilisateur de D dans G et 𝔪 soit le stabilisateur de D dans 𝔤. Les formules définissant l’exponentielle et sa réciproque, le logarithme, assurent que X ∈ 𝔪 si et seulement si exp(X) ∈ M. De plus 𝔪(F) = 𝔪∩𝔤(F) et M(F) = M ∩ G(F). L’assertion (2) s’ensuit.

Soit b ∈ Imm. On se propose de prouver que l’exponentielle se restreint en un homéomorphisme de 𝔨_{b}^{+}(𝔬) sur K_{b}^{+}(𝔬). Pour cela, on remarque que 𝔨_{b}^{+}(𝔬) = 𝔪(F)∩𝔨_{b}^{+}(𝔬^{nr}) et K_{b}^{+}(𝔬) = M(F)∩K_{b}^{+}(𝔬^{nr}). On voit alors qu’il suffit de prouver l’assertion analogue où l’on remplace le corps de base F par F^{nr}. Travaillons donc sur le corps de base F^{nr}. On remarque que le réseau 𝔪_{b}^{+}(𝔬^{nr}) et le groupe K_{b}^{+}(𝔬^{nr}) ne dépendent de b que par la facette de l’immeuble qui contient b. Cela va nous permettre ci-dessous de modifier b de façon convenable. Pour tout r ∈ ℝ, introduisons le réseau de Moy-Prasad 𝔨_{b,r}(𝔬^{nr}) (cf. [MP] 3.3). L’application r ↦ 𝔨_{b,r}(𝔬^{nr}) est continue à gauche, localement constante en dehors d’un ensemble localement fini de sauts, et vérifie 𝔨_{b,r+1}(𝔬^{nr}) = ϖ_{F} 𝔨_{b,r}(𝔬^{nr}). En ne conservant que les sauts de la filtration, on obtient une chaîne de réseaux L = (𝔨_{b,r_{i}}(𝔬^{nr}))_{i∈ℤ}. On peut supposer r_{0} = 0, d’où 𝔨_{b}(𝔬^{nr}) = 𝔨_{b,r_{0}}(𝔬^{nr}) et 𝔨_{b}^{+}(𝔬^{nr}) = 𝔨_{b,r_{1}}(𝔬^{nr}). En modifiant b dans sa facette, on peut supposer que tous les sauts r_{i} sont rationnels, de dénominateur premier à p. On a :

(3) M(F^{nr}) ∩ K_{L}^{+}(𝔬^{nr}) = K_{b}^{+}(𝔬^{nr}). D’après [D] lemme 3.2.8, on a l’inclusion K_{b}^{+}(𝔬^{nr}) ⊂ K_{L}^{+}(𝔬^{nr}). Réciproquement, soit x ∈ M(F^{nr}) ∩ K_{L}^{+}(𝔬^{nr}). D’après [D] lemme 3.2.8, x appartient au fixateur de la facette de l’immeuble de M contenant b. Notons S_{b} ce fixateur dans M(F^{nr}). On a déjà remarqué que l’hypothèse sur p entraîne que le quotient S_{b}/K_{b}(𝔬^{nr}) est d’ordre premier à p. Puisque x ∈ K_{L}^{+}(𝔬^{nr}), x est topologiquement unipotent. Puisqu’il appartient à S_{b}, il appartient nécessairement à K_{b}(𝔬^{nr}). On sait que K_{b} = K_{b}(𝔬^{nr})/K_{b}^{+}(𝔬^{nr}) est un groupe réductif connexe sur 𝔽̄_{q} et 𝔨_{b} = 𝔨_{b}(𝔬^{nr})/𝔨_{b}^{+}(𝔬^{nr}) s’identifie à son algèbre de Lie. Plus précisément, notons x l’image de x dans K_{b}. Alors l’action adjointe de x dans 𝔨_{b} s’identifie avec l’action sur 𝔨_{b}(𝔬^{nr})/𝔨_{b}^{+}(𝔬^{nr}) déduite de l’action adjointe de x. Or cette dernière action est l’identité puisque x ∈ K_{L}^{+}(𝔬^{nr}). Donc x agit par l’identité sur 𝔨_{b}. Remarquons que l’hypothèse sur p assure que l’on peut travailler avec notre groupe K_{b} comme si l’on était en caractéristique nulle. Alors x appartient au centre de K_{b}. Mais il est aussi unipotent, puisque x est topologiquement unipotent. Donc x = 1 et x ∈ K_{b}^{+}(𝔬^{nr}), ce qui prouve (3).

On a aussi :

(4) 𝔪(F^{nr}) ∩ 𝔨_{L}^{+}(𝔬^{nr}) = 𝔨_{b}^{+}(𝔬^{nr}).

On sait que, pour tous r, s ∈ ℝ, on a l’inclusion :

[𝔨_{b,r}(𝔬^{nr}), 𝔨_{b,s}(𝔬^{nr})] ⊂ 𝔨_{b,r+s}(𝔬^{nr}).

L’inclusion du terme de droite de l’égalité (4) dans le terme de gauche s’en déduit. Pour prouver l’inclusion inverse, introduisons l’espace sur 𝔽̄_{q} :

𝔪 = ⊕_{r∈ℝ/ℤ}(𝔨_{b,r}(𝔬^{nr})/𝔨_{b,r+}(𝔬^{nr})),

où 𝔨_{b,r+}(𝔬^{nr}) = 𝔨_{b,r+ϵ}(𝔬^{nr}), pour ϵ > 0 assez petit. Cette définition est loisible car l’application r ↦ 𝔨_{b,r}(𝔬^{nr})/𝔨_{b,r+}(𝔬^{nr}) se quotiente en une application définie sur ℝ/ℤ : pour r ∈ ℝ et n ∈ ℤ, la multiplication par ϖ_{F}^{n} se quotiente en un isomorphisme de 𝔨_{b,r}(𝔬^{nr})/𝔨_{b,r+}(𝔬^{nr}) sur 𝔨_{b,r+n}(𝔬^{nr})/𝔨_{b,r+n+}(𝔬^{nr}). On munit 𝔪 d’une structure d’algèbre de Lie de la façon suivante. Soient X̄ ∈ 𝔨_{b,r}(𝔬^{nr})/𝔨_{b,r+}(𝔬^{nr}), Ȳ ∈ 𝔨_{b,s}(𝔬^{nr})/𝔨_{b,s+}(𝔬^{nr}), choisissons des relèvements X ∈ 𝔨_{b,r}(𝔬^{nr}) de X̄ et Y ∈ 𝔨_{b,s}(𝔬^{nr}) de Ȳ. Alors [X̄, Ȳ] est l’image de [X, Y] ∈ 𝔨_{b,r+s}(𝔬^{nr}) dans 𝔨_{b,r+s}(𝔬^{nr})/𝔨_{b,r+s+}(𝔬^{nr}), cf. [D] 4.2. On a montré en [W] 2.3 que cette algèbre 𝔪 était en fait l’algèbre de Lie du groupe réductif sur 𝔽̄_{q} associé aux mêmes données de racines que M. C’est donc l’algèbre de Lie d’un groupe adjoint et, pour tout X̄ ∈ 𝔪, X̄ ≠ 0, il existe Ȳ ∈ 𝔪 tel que [X̄, Ȳ] ≠ 0. Soit alors X ∈ 𝔪(F^{nr}) ∩ 𝔨_{L}^{+}(𝔬^{nr}), X ≠ 0. Soit i le plus grand entier tel que X ∈ 𝔨_{b,r_{i}}(𝔬^{nr}), notons X̄ l’image de X dans 𝔨_{b,r_{i}}(𝔬^{nr})/𝔨_{b,r_{i}+}(𝔬^{nr}) ⊂ 𝔪. On a X̄ ≠ 0. En appliquant la propriété précédente, on voit qu’il existe s ∈ ℝ et Y ∈ 𝔨_{b,s}(𝔬^{nr}) tel que [X, Y] ∉ 𝔨_{b,r_{i}+s+}(𝔬^{nr}). Puisque X ∈ 𝔨_{L}^{+}(𝔬^{nr}), on a en tout cas [X, Y] ∈ 𝔨_{b,s+}(𝔬^{nr}). Ces relations entraînent r_{i} > 0. Mais alors X ∈ 𝔨_{b}^{+}(𝔬^{nr}), ce qui prouve (4).

Puisque l’exponentielle exp : 𝔤(F^{nr})_{tn} → G(F^{nr})_{tu} se restreint en un homéomorphisme de 𝔨_{L}^{+}(𝔬^{nr}) sur K_{L}^{+}(𝔬^{nr}), les propriétés (2) (qui est aussi vrai sur F^{nr}), (3) et (4) entraînent qu’elle se restreint en un homéomorphisme de 𝔨_{b}^{+}(𝔬^{nr}) sur K_{b}^{+}(𝔬^{nr}). Comme on l’a dit, cela entraîne aussi que l’exponentielle exp : 𝔤(F)_{tn} → G(F)_{tu} se restreint en un homéomorphisme de 𝔨_{b}^{+}(𝔬) sur K_{b}^{+}(𝔬). Puisque 𝔪(F)_{tn} est la réunion des 𝔨_{b}^{+}(𝔬) quand b parcourt Imm et M(F)_{tu} est la réunion des K_{b}^{+}(𝔬) quand b parcourt Imm, cette exponentielle se restreint aussi en un homéomorphisme de 𝔪(F)_{tn} sur M(F)_{tu}. Cette application restreinte hérite des propriétés de l’application de départ. On voit alors qu’elle satisfait toutes les propriétés requises.

Cas général. Le groupe M est maintenant quelconque. Considérons l’application naturelle :

Z_{M}^{0} × M_{SC} → M.

Montrons qu’elle se restreint en un homéomorphisme :

(5) Z_{M}^{0}(F)_{tu} × M_{SC}(F)_{tu} → M(F)_{tu}.

Evidemment, l’image du terme de gauche est inclus dans M(F)_{tu}. Soit x ∈ M(F)_{tu}, choisissons z ∈ Z_{M}^{0} et y ∈ M_{SC} tels que x = zy. On a déjà remarqué que Z_{M_{SC}} était d’ordre premier à p, sous nos hypothèses sur p. Notons c cet ordre. Pour σ ∈ Γ_{F}, on a σ(x) = x, donc σ(y) ∈ Z_{M_{SC}}y. Alors σ(y^{c}) = y^{c}, donc y^{c} ∈ M_{SC}(F). De même z^{c} ∈ Z_{M}^{0}(F). Puisque lim_{n→∞}x^{p^{n}} = 1, y^{p^{n}} appartient à un voisinage aussi petit que l’on veut de Z_{M_{SC}} quand n est assez grand. Cela entraîne que lim_{n→∞}y^{cp^{n}} = 1, autrement dit y^{c} ∈ M_{SC}(F)_{tu}. De même z^{c} ∈ Z_{M}^{0}(F)_{tu}. Soit c′ l’inverse de c dans ℤ_{p}. On a remarqué en 5.2 que, les éléments z^{c} et y^{c} étant topologiquement unipotents, on pouvait définir (z^{c})^{c′} et (y^{c})^{c′}, qui sont aussi topologiquement unipotents. Alors x = (z^{c})^{c′}(y^{c})^{c′}, ce qui prouve la surjectivité de l’application (5). Son injectivité résulte immédiatement du fait que l’ordre de Z_{M_{SC}} est premier à p.

On montre facilement que l’on a l’égalité :

𝔷_{M}(F)_{tn} ⊕ 𝔪_{SC}(F)_{tn} = 𝔪(F)_{tn}.

On peut appliquer ces relations en remplaçant le groupe M par son groupe adjoint M_{AD}. On obtient que les flèches verticales du diagramme ci-dessous sont des homéomorphismes. On définit alors exp : 𝔪_{SC}(F)_{tn} → M_{SC}(F)_{tu} comme l’unique application telle que ce diagramme soit commutatif :

𝔪_{SC}(F)_{tn} →^{exp} M_{SC}(F)_{tu}
↓  ↓
𝔪_{AD}(F)_{tn} →^{exp} M_{AD}(F)_{tu}

On définit exp : 𝔷_{M}(F)_{tn} ⊕ 𝔪_{SC}(F)_{tn} → Z_{M}^{0}(F)_{tu} × M_{SC}(F)_{tu} comme le produit de l’application du lemme B sur 𝔷_{M}(F)_{tn} et de celle que l’on vient de définir sur 𝔪_{SC}(F)_{tn}.

On définit ensuite exp : 𝔪(F)_{tn} → M(F)_{tu} comme l’application qui rend le diagramme ci-dessous commutatif :

𝔷_{M}(F)_{tn} ⊕ 𝔪_{SC}(F)_{tn} →^{exp} Z_{M}^{0}(F)_{tu} × M_{SC}(F)_{tu}
↓  ↓
𝔪(F)_{tn}  →^{exp}  M(F)_{tu}

A partir du lemme B et du cas déjà traité du groupe adjoint M_{AD}, la vérification des propriétés de cette application est aisée, on la laisse au lecteur. □

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[W2]———————— : L’endoscopie tordue n’est pas si tordue : facteurs de transfert, en préparation

Institut de Mathématiques de Jussieu CNRS 175 rue du Chevaleret 75013 Paris