La problématique de la rigidité en dynamique holomorphe regroupe deux types de questions, abordées par Fatou, Julia et Ritt dès les années 1920: quand une transformation holomorphe f sur un espace complexe X est-elle “spéciale"? Sous quelles conditions deux transformations holomorphes f et g sont elles “algébriquement liées”?
Dans cet exposé nous allons aborder ces problèmes sous un angle spectral, inspiré par la question culte de Mark Kac: “can one hear the shape of a drum?”. Dans ce contexte, les fréquences fondamentales sont les multiplicateurs des points périodiques, et nos deux questions deviennent: quelles sont les applications ayant un spectre “spécial”? Est ce que le spectre détermine f?
Mon objectif est de faire le point sur le cas des applications rationnelles en dimension 1, pour lesquelles ce programme est en voie d’achèvement. Si le temps le permet j’évoquerai quelques travaux récents en collaboration avec Serge Cantat qui abordent le cas des automorphismes polynomiaux du plan. | 
