| Résume | L'algèbre de Mackey d'un groupe fini, introduite par Thévenaz et Webb en 1995, présente de nombreuses similarités avec l'algèbre du groupe : l'analogue du théorème de Maschke est vrai, on a une bonne théorie de décomposition pour passer de caractéristique $0$ en caractéristique $p>0$, la matrice de Cartan correspondante est symétrique et non singulière, ses blocs sont paramétrés par des blocs d'algèbres de groupes, on dispose de foncteurs d'induction et de restriction mutuellement adjoints à gauche et à droite, etc... Mais il y a aussi des différences importantes : ce n'est presque jamais une algèbre symétrique, par exemple. De même, le déterminant de la matrice de Cartan est très rarement une puissance de $p$ : dans cet exposé, je donnerai une formule explicite pour ce déterminant, qui montre l'origine de ses diviseurs premiers ``exotiques''. Parallèlement, je considérerai les questions similaires pour l'algèbre de Mackey cohomologique, pour laquelle la situation est très différente : en général, la matrice de Cartan est singulière. J'expliquerai comment calculer explicitement son rang, et je caractériserai les groupes finis pour lesquels cette matrice est non-singulière. Ces résultats peuvent s'étendre aux blocs des algèbres de Mackey cohomologiques, ce qui conduit à une caractérisation en ces termes des blocs nilpotents à groupes de défaut cycliques. |
