Séminaires : Séminaire d'Algèbre

Equipe(s) : gr,
Responsables :J. Alev, D. Hernandez, B. Keller, Th. Levasseur, et S. Morier-Genoud.
Email des responsables : Jacques Alev <jacques.alev@univ-reims.fr>, David Hernandez <david.hernandez@imj-prg.fr>, Bernhard Keller <bernhard.keller@imj-prg.fr>, Thierry Levasseur <Thierry.Levasseur@univ-brest.fr>, Sophie Morier-Genoud <sophie.morier-genoud@imj-prg.fr>
Salle : à distance
Adresse :IHP
Description
 

 


Orateur(s) Polyxeni LAMPROU - Saint-Étienne,
Titre Une nouvelle interprétation des nombres de Catalan
Date11/01/2016
Horaire14:00 à 15:00
RésumeEn étudiant le cristal $B(\infty)$ de Kashiwara, Joseph a introduit des ensembles $H^t$, $t\in \mathbb{N}$ de fonctions données par des classes d'équivalence de partitions non-ordonnées satisfaisant certaines conditions limites. Nous avons montré que le cardinal de $H^t$ est le $t$-ième nombre de Catalan $\mathcal{C}_t$. C'est une nouvelle réalisation des nombres de Catalan qui admet de plus quelques propriétés remarquables. On associe à $H^t$ un graphe numéroté $\mathscr{G}_t$ qui se décompose canoniquement en une réunion de $(t-1)!$ sous-graphes chacun ayant $2^{t-1}$ sommets. On peut décrire ces sous-graphes comme hypercubes numérotés dans $\mathbb{R}^{t-1}$ dont quelques arêtes sont effacées. On montre que le nombre d'hypercubes distincts obtenus de cette façon est encore un nombre de Catalan, à savoir $\mathcal{C}_{t-1}$. Ils définissent des fonctions qui dépendent d'un ensemble de coefficients non-négatifs. Quand ces coefficients sont non-nuls et deux-à-deux distincts, les sommets des hypercubes décrivent des fonctions distinctes. De plus, cette propriété est encore vraie si on efface certaines arêtes et si on identifie certains sommets. En particulier, quand ces coefficients sont tous égaux et non-nuls, on montre que tout hypercube dégénère en un simplex, donnant précisément $t$ fonctions distinctes, qui sont par exemple les fonctions nécessaires pour la description de $B(\infty)$ en type $A$. Ce travail est joint avec A. Joseph (\href{http://arxiv.org/abs/1512.00406}{arXiv:1512.00406}).
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