| Résume | Le spectre X d'un groupe réticulé Abélien G est l'ensemble de ses l-idéaux premiers, muni de la topologie dont les fermés sont les ensembles d'idéaux premiers contenant un l-idéal donné. Il est connu depuis longtemps que X est un espace spectral généralisé, c'est à dire que tout fermé irréductible est l'adhérence d'un unique singleton (on dit que X est sobre) et les ouverts quasi-compacts de X forment une base de la topologie de X, close par intersection de deux membres quelconques. Il est également connu que X est complètement normal, c'est à dire que pour tous points x, y, z de X, si x et y appartiennent à la fermeture de z, alors x appartient à la fermeture de y ou y appartient à la fermeture de x. Un exemple de Delzell et Madden montre que ces propriétés ne caractérisent pas les spectres de groupes réticulés Abéliens. Cependant, cet exemple n'a pas une base dénombrable d'ouverts. Le but de cet exposé est d'esquisser ma preuve (aussi longtemps qu'elle survit...) que tout espace spectral généralisé, complètement normal, à base dénombrable, est le spectre d'un groupe réticulé Abélien. L'étape préliminaire de la preuve est la réduction du problème à un problème de théorie des treillis, en l'occurrence la caractérisation des treillis d'idéaux principaux de groupes réticulés Abéliens (disons l-représentables). Dans le cas dénombrable, les l-représentables sont caractérisés au premier ordre, alors que dans le cas général, les l-représentables ne peuvent pas être décrits par une classe d'énoncés L_\infty,\omega. |
