| Résume | L'arithmétique de Skolem est la théorie du premier ordre des entiers naturels munis de la multiplication (sans l'addition). Cet exposé proposera un aperçu des principaux résultats de décidabilité autour de (N,*) et ses extensions, ainsi que des liens avec les automates. On présentera d'abord la preuve par Mostowski de la décidabilité de (N,*), basée sur les produits de structures et la décidabilité de l'arithmétique de Presburger, puis la preuve de Hodgson, basée sur les automates. On montrera ensuite comment la notion de produit généralisé introduite par Feferman et Vaught permet d'obtenir des extensions décidables de (N,*), comme par exemple (N,*,"x et y ont autant de diviseurs premiers") ou (N,*,"x et y sont premiers et x < y"). On verra enfin que ce dernier exemple (dû à F.Maurin), conduit à une notion naturelle d'automate pour les mots sur un alphabet infini. |
