| Résume | La théorie de Ramsey de dimension infinie est une branche de la théorie de Ramsey dans laquelle on cherche à obtenir des sous-structures homogènes de structures données lorsqu'on colorie des suites infinies d'éléments de cette structure. Son théorème fondateur est le théorème de Galvin-Prikry, mais de nombreux théorèmes similaires ont été démontrés par la suite. Tous reposent sur un principe des tiroirs, c'est-à-dire un résultat dans lequel on colorie non pas des suites de points, mais seulement des points.
Le premier résultat de type Ramsey sans principe des tiroirs a été démontré par Gowers dans les années 90, dans le cadre des espaces de Banach. L'abandon du principe des tiroirs a un prix : on ne peut pas obtenir de sous-structures réellement homogènes mais seulement des sous-structures qui le sont "presque", le "presque" étant ici exprimé en terme de jeux. Dans cet exposé, je présenterai un théorème de type Ramsey sans principe des tiroir dans un cadre abstrait, généralisant à la fois le théorème de Galvin-Prikry et celui de Gowers. Ce résultat motivera l'introduction de la propriété de Ramsey stratégique, une propriété des ensembles de suites d'entiers qui, dans ZFC, est satisfaite par tous les ensembles analytiques.
J'introduira par la suite la propriété de Ramsey adverse, une propriété généralisant à la fois la propriété de Ramsey stratégique et la détermination des jeux sur les entiers. En terme d'implications, cette propriété se situe entre la détermination des jeux sur les réels et celle des jeux sur les entiers, mais on ne sait pas exactement où ; j'énoncerai quelques résultats concernant la propriété de Ramsey adverse pour les ensembles projectifs sous des hypothèses supplémentaires de théorie des ensembles, qui permettront de mieux la situer. |
