| Résume | Comme on le voit dans l'exposé de Pablo du 9 novembre, un corps p-minimal est toujours définissablement complet. Il satisfait même une forme forte de complétude définissable. Un corps C-minimal n'a aucune raison d'être définissablement complet, mais s'il l'est alors, modulo une additionnelle sur le groupe de valuation, il satisfait une forme forte très semblable de complétude définissable. Ce résultat vaut pour n'importe quelle structure C-minimale et est le sujet de l'exposé. Il a déjà été utilisé pour montrer des résultats allant dans le sens de la trichotomie dans les structures C-minimales géométriques (selon laquelle une telle structure interprète un groupe si la géométrie est non triviale et un corps si elle est non modulaire).
Rappels : un corps p-minimal est un corps p-adiquement clos enrichi dans lequel les sous-ensembles à un variable définissables sont déjà définissables dans le pur corps, et si la même propriété est vraie dans toute structure élémentairement équivalente.
Une C-relation, comme on l'a rappelé Marie-Hélène dans son exposé du 21 octobre, est un affaiblissement ternaire d'une distance ultramétrique, situation où elle est donnée ainsi :
C(x,y,z) ssi d(x,y) = d(x,z) > d(y,z), id est : y et z sont plus près l'un de l'autre que de x.
Une structure dans un langage contenant C plus d'autres choses est C-minimale si tout sous-ensemble à une seule variable définissable est définissable sans quantificateurs dans le pur langage { C }, et idem dans toute structure élémentairement équivalente. C'est la même chose de dire qu'un tel ensemble est une combinaison booléenne de ce qui généralise les boules ouvertes et fermées (id est de cônes et cônes épais ou '' 0-levelled sets '').
Dans notre contexte les C-relations sont de plus supposées denses : pour tous x et y distincts, il existe z plus près de x que de y. |
