| Résume | Presque rien n’est connu sur les valeurs de la fonction gamma aux nombres rationnels : sont-elles transcendantes ? Satisfont-elles à d’autres relations algébriques que celles qui découlent des équations fonctionnelles pour la fonction gamma ? Conjecturalement, ces nombres ne peuvent pas être représentés comme l’intégrale d’une fonction rationnelle sur un domaine défini par des inégalités polynomiales, le tout à coefficients rationnels : ce ne sont pas des « périodes ». Elles constituent pourtant l’un des premiers exemples de « périodes exponentielles », un élargissement de cette notion où l’on s’autorise l’exponentielle d’une fonction rationnelle dans l’intégrande.
J’expliquerai comment le désir de comprendre quelle théorie des motifs se cachait derrière ces intégrales exponentielles nous a amené, mon collaborateur Peter Jossen et moi, vers les fonctions E. Il s’agit d’une classe de séries entières à coefficients algébriques qui satisfont à une équation différentielle et à certaines conditions de croissance de nature arithmétique. Elles ont été introduites par Siegel dans un article révolutionnaire de 1929 avec pour but de généraliser à d’autres fonctions spéciales les théorèmes de transcendance pour les valeurs de la fonction exponentielle d’Hermite-Lindemann-Weierstrass. |
