| Résume | Travail commun avec Aaron Lauda et David Rose, \href{http://arxiv.org/abs/1212.6076}{arXiv:1212.6076} Cautis, Kamnitzer et Licata ont récemment introduit une dualité entre les groupes quantiques Uq(sln) et Uq(slm), qui permet une description explicite des morphismes de représentations de Uq(sln), lesquels forment les blocs de base dans la construction du polynôme de Jones et de ses extensions sln. Le tressage, en particulier, est identifié dans ce processus à l'action du groupe de Weyl quantique de Uq(slm).
Cette réinterprétation, outre les résultats qu'elle a engendrés concernant la présentation des catégories de morphismes, présente l'avantage d'être aisée à catégorifier : l'objet de notre travail est de donner une instance de cette catégorification en termes de cobordismes, dans laquelle on retrouve les homologies de Khovanov sl2 et sl3. Plus précisément, nous montrons que les constructions combinatoires de Khovanov se réalisent via une famille de 2-représentations du groupe quantique catégorifié Uq(slm). Ce travail, en particulier, réalise un lien clair entre la catégorification combinatoire des invariants de Reshetikhin-Turaev et la catégorification diagrammatique des groupes quantiques. |
