| Résume | Le problème planétaire est une approximation newtonienne presque intégrable des équations du Système solaire, où des planètes se meuvent autour d'un soleil très massif. En première approximation, les planètes décrivent des ellipses de Kepler. À cause de l'attraction mutuelle des planètes, les éléments elliptiques varient lentement au fil des révolutions (c'est la "variation des constantes"). Mais ces variations sont-elles de moyenne nulle, comme les théorèmes de stabilité de Laplace-Lagrange l'affirment en partie, ou peuvent-elles s'accumuler ?
Le "théorème d'Arnold" montre qu'un ensemble de mesure strictement positive de conditions initiales conduit à des mouvements quasipériodiques, donc sans collisions ni éjections, le long desquels les invariants adiabatiques ne subissent que des variations de moyenne nulle. Ce théorème n'interdit toutefois pas de grandes instabilités, comme anticipé par Poincaré, comme conjecturé plus précisément par Arnold en 1964, et comme constaté dans les simulations numériques à long terme par Laskar et d'autres à partir des années 1990 pour notre Système solaire.
Il s'avère en effet que, dans le problème à trois planètes (ou plus, conjecturalement), un ensemble de conditions initiales lui aussi de mesure strictement positive conduit à des comportements aléatoires, permettant par exemple le retournement du sens de révolution d'une planète, ou encore la croissance du demi grand axe d'une autre planète dans un rapport arbitrairement fixé. Nous décrirons une stratégie de démonstration de ce type de résultat. |
