Résume | Récemment, en plusieurs collaborations avec Bertrand Patureau-Mirand, Nathan Geer et Christian Blanchet, nous avons construit une nouvelle famille de ``théories topologiques des champs quantiques`` (TQFT) dont un des ingredients essentiels est l'utilisation d'une catégorie non semi-simple de représentations d'une version du groupe quantique $U_q(sl_2)$ aux racines de l'unité. Le but de cet exposé est de donner une introduction à ces constructions pour des non-topologues. Je commencerai par rappeler la définition de TQFT et discuter comment en construire.
Après avoir fait un survol sur le lien entre TQFTs et théories des représentations des groupes quantiques, j'introduirai la version ``déroulée'' de $U_q(sl_2)$ ; puis, je discuterai la structure de la catégorie de ses représentations.
Si le temps me le permettra, je terminerai en essayant de mettre en evidence les enjeux et les difficultés de notre construction, ainsi que les pistes de recherche ouvertes. |