Séminaire d'Algèbre

salle 001, rez de chaussée, Institut Henri Poincaré, 11 rue Pierre et Marie Curie - 75005 Paris

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Lundi 8 octobre 2018 à 14h00

François BERGERON (UQAM), Modules de polynômes harmoniques diagonaux. image d'un calendrier
[Depuis le début des années 1990, l’étude des polynômes symétriques de Macdonald, et des opérateurs pour lesquels ils sont des fonctions propres, a entraîné un grand intérêt pour l’étude des $S_n$-modules de polynômes harmoniques diagonaux, où $S_n$ est le groupe symétrique. Rappelons que ces polynômes harmoniques sont les polynômes en plusieurs jeux de $n$-variables qui sont annihilés par tout opérateur de dérivation invariant pour l’action de $S_n$, c.-à-d celle qui permute “diagonalement” chacun des jeux de variables. Le lien de ces modules de polynômes harmoniques avec les polynômes de Macdonald apparaît lorsqu’on cherche a décrire explicitement leur caractère gradué. D’autre part, via les algèbres de Hall elliptiques, une vaste expansion de cette problématique s’est mise en place récemment. Cependant, il y manquait jusqu’ici tout le volet théorie de la représentation analogue. Après avoir bien rappelé le contexte, nous allons décrire les modules que nous proposons pour rendre compte de cette généralisation, et esquisser les très intéressantes propriétés qu’ils semblent avoir.]


Lundi 15 octobre 2018 à 14h00

Sondre KVAMME (Orsay), La catégorie des singularités d'une sous-catégorie dZ-amassée basculante. image d'un calendrier
[La catégorie des singularités d'un anneau noethérien a été introduite par Buchweitz comme un invariant utile d'anneaux. C'est une catégorie triangulée qui peut, par exemple, détecter si la dimension globale de l'anneau est finie. Le but de cet exposé est d'expliquer un lien entre la théorie d'Auslander-Reiten supérieure qui a été introduite par Iyama, et la catégorie des singularités. Plus précisément, pour une catégorie exacte ayant assez de projectifs et avec une sous-catégorie dZ-amassées basculante, la catégorie des singularités possède une sous-catégorie dZ-amassées basculante. Nous allons aussi parler un peu de la demonstration de cette affirmation, qui utilise la description de la catégorie des singularités comme l'extension d'une catégorie co-suspendue obtenue par Keller et Vossieck.]


Lundi 22 octobre 2018 à 14h00 en salle 421

Lucie JACQUET-MALO (Amiens), Réalisation géométrique des catégories amassées supérieures et réduction d'Iyama-Yoshino. image d'un calendrier
[Nous allons démontrer qu'une sous-catégorie de la catégorie $m$-amassée de type $\tilde{D_n}$ est isomorphe à une catégorie construite à partir d'arcs dans un $(n-2)m$-gone muni de deux $(m-1)$-gones en son centre. On démontre que la mutation de carquois colorés au sens de Buan et Thomas est compatible avec la mutation des objets $m$-amas-basculants, ainsi qu'avec le flip des $(m+2)$-angulations.
Dans cet exposé, nous allons étudier les réalisations géométriques des catégories $m$-amassées de type Dynkin $A$, $D$, $\tilde{A}$ et $\tilde{D}$. On démontre dans ces quatre cas qu'il y a une bijection entre les $(m+2)$-angulations et les classe d'isomorphie des objets basiques $m$-amas-basculants. Ainsi, les flips des $(m+2)$-angulations correspondent aux mutations des objets $m$-amas-basculants. La stratégie pour prouver ceci est de démontrer qu'effectuer la réduction d'Iyama-Yoshino revient à couper le long d'un arc dans la réalisation géométrique. On peut ainsi espérer généraliser ce résultat aux surfaces de Riemann dans le cas $m$-amassé.]



Lundi 29 octobre 2018 à 14h00

Andrea PASCUAL (Uppsala), Self-injective Jacobian algebras from Postnikov diagrams. image d'un calendrier
[A Postnikov diagram is a collection of curves in a disk subject to some axioms depending on two integers $1\leq k\leq n$. The arising combinatorics is related to that of the cluster structure of the coordinate ring of the Grassmannian of $k$-subspaces of $\mathbb C^n$.
To a Postnikov diagram one can associate a finite-dimensional Jacobian algebra, by work of Oh-Postnikov-Speyer. Baur-King-Marsh later proved that the Jacobian algebra is isomorphic to the stable endomorphism algebra of a cluster tilting object in a 2-Calabi-Yau category introduced by Jensen-King-Su. In this talk I will explain how to characterise self-injectivity of this Jacobian algebra combinatorially.
I will also show some new examples of planar self-injective quivers with potential one gets in this way (the terminology is that of Herschend-Iyama), and explain a connection to 2-dimensional Auslander-Reiten theory.]



Lundi 5 novembre 2018 à 14h00 en salle 005

Laura FEDELE (Paris), Generators for quantum finite W-algebras in type A. image d'un calendrier
[A major contribution to the theory of quantum finite W-algebras in type A comes from the work of J. Brundan and A. Kleshchev who, investigating the relationship between W-algebras and Yangians, achieved important results concerning both their structure and their representation theory.
In this framework, for a quantum finite W-algebra in type A, associated to any nilpotent element and arbitrary good grading, we can construct a matrix of Yangian type L(z) which encodes its generators and relations, generalizing the results of A. De Sole, V. Kac and D. Valeri for classical affine W-algebras. We can then express L(z) in a nicer form: when the good grading is associated to a pyramid that is aligned to the right, we use a recursive formula to explicitly construct a matrix W(z) which provides us with a finite set of generators for the W-algebra satisfying Premet's conditions, and prove that the matrix L(z) can be obtained as a generalized quasideterminant of W(z). Finally, we explain how to generalize these results to an arbitrary good grading (and an arbitrary choice of an isotropic subspace), using fundamental results about the structure of quantum finite W-algebras due to W.L. Gan and V. Ginzburg, and J. Brundan and S. Goodwin.
This is a joint work with A. De Sole and D. Valeri.]



Lundi 12 novembre 2018 à 14h00 en salle 005

Adrien BROCHIER (Paris), Dualisabilité des catégorie tensorielles tressée. image d'un calendrier
[En théorie de Morita, les algèbres associaitves, bimodules et morphismes de bimodules forment naturellement une 2-catégorie. Chaque algèbre définit alors une certaine théorie topologique des champs (TFT) en dimension 1 à valeur dans cette 2-catégorie, et modulo des hypothèses de finitudes restrictives on obtient une TFT en dimension 2. La valeur de ces TFT sur des variétés bien choisies retrouve et organise un certain nombre de structures et de propriétés en théorie des représentations (par exemple, l'image du cercle donne la ``trace'' de l'algèbre, ou l'homologie de Hochschild dans un cadre dérivé, les conditions de finitudes supplémentaires imposent la semi-simplicité etc..).
Dans cet exposé, j'esquisserai une variante de cette construction pour les catégories tensorielles et tensorielles tressées. Là encore, via l'hypothèse du cobordisme de Baez--Dolan récemment prouvée par Lurie, on obtient des TFT's en dimension 2,3 ou 4 suivant les hypothèses de finitudes imposées. On discutera un certain nombre d'applications, notamment en appliquant cette construction à la catégorie des représentations d'un groupe quantique. Cet exposé est basé sur une collaboration avec D. Ben-Zvi, D. Jordan et N. Snyder.]



Lundi 19 novembre 2018 à 14h00

Baptiste ROGNERUD (Bielefeld), Les ensembles ordonnés de Tamari sont Calabi-Yau fractionnaires. image d'un calendrier
[Les ensembles ordonnés de Tamari sont des ordres (partiels) classiques et bien étudiés. Ils apparaissent de façon naturelle en théorie des représentations des algèbres comme ensemble ordonnés des modules basculants sur un carquois équiorienté de type $A$ mais aussi comme ensemble cambrien du même type.
Chapoton a été un des premiers à se rendre compte que la théorie des représentations des algèbres d'incidences de ces ensembles est en elle-même extrêmement fascinante. Il démontre en 2004 que les matrices de Coxeter des ensembles ordonnés de Tamari sont périodiques. Peu de temps après, il conjecture un résultat plus fort : les catégories dérivées bornées des algèbres d'incidences des ensembles ordonnés de Tamari sont Calabi-Yau fractionnaires. c'est-à-dire qu'une certaine puissance de leur foncteur de Serre est isomorphe à un foncteur de décalage.
Dans cet exposé, après avoir donné des exemples élémentaires d'ensembles ordonnés Calabi-Yau fractionnaires, je présenterai les ingrédients principaux de la démonstration de cette conjecture.]



Lundi 26 novembre 2018 à 14h00

Emmanuel LETELLIER (Paris).


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Groupes, représentations et géométrie.
Dernière modification : le 12/10/2018

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