Séminaire sur les Algèbres Enveloppantes

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Séance en commun avec le séminaire d'algèbre.

Afin de présenter les post-doctorants de la Fondation Sciences Mathématiques de Paris dans les équipes Théorie des Groupes et Groupes finis, une matinée est organisée le 12 décembre. Les exposés auront lieu en salle 6C01 et le programme est le suivant :\\ 10h00-10h30 Benjamin WILSON (Infinite-dimensional Lie algebras) ;\\ 10h40-11h10 Sophie MORIER-GENOUD (Théorie de Lie algébrique) ;\\ 11h30-12h00 Britta SPAETH (Finite reductive groups).

I will interpret the equivariant cohomology of the cotangent bundle of a flag variety F as the XXX Bethe algebra of a suitable Yangian module. Under this identification the dynamical connection of the XXX model turns into the quantum connection of Braverman-Maulik-Okounkov.
This gives a relation between the quantum integrable chain models and quantum cohomology algebras, the relation discussed in physics literature by Nekrasov and Shatashvili.

Let L be a finite dimensional Lie algebra over a field k of characteristic zero and let S(L) be its symmetric algebra, equipped with its natural Poisson structure. We collect some general facts on the Poisson center of S(L), including some simple criteria regarding its polynomiality, and also on certain Poisson commutative subalgebras of S(L). These facts allow us to give an explicit description for the Poisson center for all complex, nilpotent Lie algebras of dimension at most seven. Among other things, we also provide in each case a polynomial, maximal Poisson commutative subalgebra of S(L), enjoying additional properties. As a by-product we show that a conjecture by Milovanov is valid in this situation. Finally, all these results easily carry over to the enveloping algebra U(L) of L.

Dans cet exposé nous exposerons les grandes lignes d'une démonstration, obtenue en collaboration avec W. Soergel et G. Williamson, de la formalité de la dg-algèbre des auto-extensions de la somme directe des faisceaux parité sur la variété des drapeaux d'un groupe réductif, pour la stratification de Bruhat, et pour des coefficients dans un corps fini de caractéristique supérieure à une borne explicite. Cette dg-algèbre ``contrôle'' cette catégorie dérivée constructible; ce résultat permet donc d'en donner une description ``combinatoire''. Il permet également de construire un analogue modulaire de la dualité de Koszul de Beilinson-Ginzburg-Soergel.

Let $X$ be an irreducible smooth projective algebraic curve of genus $g \geq 2$ over the ground field $\mathbb{C}$ and let $G$ be a semisimple simply connected algebraic group. The aim of this talk (joint work with C.S. Seshadri) is to introduce the notion of \textit{semistable and stable parahoric} torsors under a certain Bruhat-Tits group scheme $\mathcal{G}$ and construct the moduli space of semistable parahoric $\mathcal{G}$-torsors; we also identify the underlying topological space of this moduli space with certain spaces of homomorphisms of Fuchsian groups into a maximal compact subgroup of $G$. The results give a generalization of the earlier results of Mehta and Seshadri on parabolic vector bundles.

I will discuss the problem of tensor product of semistable and polystable Hitchin pairs in positive characteristics. The problem is closely connected to the work of Serre and others on tensor products of semisimple modules in positive characteristics.

I will discuss the character formulas for certain modules over affine Lie superalgebras. These formulas were conjectured by V. Kac and M. Wakimoto in 1988.

The category of Soergel bimodules is a certain full monoidal subcategory of bimodules over a polynomial ring. Soergel bimodules have many useful and beautiful properties. I will try to explain why Soergel bimodules become even more interesting when one considers them over the real numbers. It turns out that they have all of the properties that one expects from the real cohomology of smooth algebraic varieties! In this way one obtains enough structure to give a proof of Soergel's conjecture (by adapting arguments due to de Cataldo and Migliorini). Corollaries are a proof of the positivity of Kazhdan-Lusztig polynomials and an algebraic proof of the Kazhdan-Lusztig conjecture. (Joint work with Ben Elias.)

Minimal length elements in a conjugacy of a finite Coxeter group were first studied by Geck-Pfeiffer, which have several remarkable properties with respect to conjugation. These properties are very useful in the study of finite Hecke algebras and Delinge-Lusztig varieties. In this lecture, I will talk about the extensions of such properties in the affine Weyl group case and their applications on affine Hecke algebras and affine Delinge-Lusztig varieties. This is based on joint work with X. He.

Soit $G$ un groupe $p$-adique réductif et connexe, et $K$ un sous-groupe compact-ouvert maximal. Soit $(\pi,V)$ une représentation lisse irréductible de $G$. La question est de décrire la restriction (simple) de $\pi$ à $K$, qui se décompose en une somme directe d'une infinité de représentations irréductible de $K$, chacune de dimension fini, et avec une multiplicité fini. Nous discuterons nos motivations, des résultats récents pour des cas particuliers, et les prochains pas.

The goal of this talk is to construct irreducible bounded weight modules for the Lie algebra of vector fields on a torus. These modules have a weight decomposition with finite-dimensional weight spaces and possess the property that the energy operator has spectrum bounded from below. We use vertex operator methods to give explicit realizations for a family of such representations.
The modules in this family are irreducible unless they belong to the chiral de Rham complex, introduced by Malikov, Schechtman and Vaintrob.
This is a joint work with Slava Futorny.

Travail commun avec Christian Stump (Hanovre).
Je présenterai une formule énumérative qui compte le nombre de factorisations d'un élément de Coxeter en produit de réflexions, dans les groupes de réflexions complexes finis bien engendrés (par exemple, les groupes de Coxeter finis). Elle généralise le cas de la longueur minimale traité par Deligne (puis Bessis pour le cas complexe). Notre formule est particulièrement simple, mais elle attend encore une explication satisfaisante : la démonstration se fait au cas par cas, via la classification des groupes de réflexions complexes et la connaissance de leurs représentations irréductibles. J'essaierai également d'expliquer d'où vient l'intérêt des combinatoristes (et donc le mien) pour ce type de problèmes, en évoquant le très vaste domaine de l'énumération de ``cartes'', autre nom donné aux factorisations dans le groupe symétrique.

A lot of recent research has sprung out of work towards a conjecture of Guralnick: There is a constant $c$ such that for any finite group $G$ and irreducible, faithful representation $V$ for $G$, the dimension of $H^1(G,V)$ is less than $c$. This conjecture reduces to the case of simple groups. New computer calculations of F. Luebeck and a student of L. Scott show that it is likely that the conjecture is wrong, but if one fixes either the dimension of $V$ or the Lie rank of $G$ then there do exist bounds, due to Parshall--Scott (defining characteristic) and Guralnick--Tiep (cross characteristic). The latter is explicit and the former has now been made explicit by some recent work of A. Parker and myself. There are many more general results, however. I'll give an overview of the area.

We will discuss a few questions of cohomological nature related with current Lie algebras, i.e. algebras formed as the tensor product of a Lie algebra and an associative commutative algebra. We will describe deformations of a certain class of such Lie algebras (generalizing an old result of Lecomte and Roger), give applications to the question of finitness of a number of cohomologically nontrivial modules of a fixed finite dimension, and to some questions about varieties of Lie algebras.

En m'appuyant sur l'exemple du groupe $SL_2(q)$, j'exposerai les différents problèmes rencontrés lors de l'étude des représentations des groupes réductifs finis en caractéristique nulle puis positive, et les solutions que la théorie de Deligne-Lusztig peut apporter, dont beaucoup sont encore à l'état de conjectures.

On considère $G$ un groupe classique (SLn, GLn, On, SOn,Sp2n) et $W$ la somme directe de p copies de la représentation standard de $G$ et de q copies de sa représentation duale, où p et q sont des entiers positifs. On s'intéresse alors au schéma de Hilbert invariant, noté $H$, qui paramètre les sous-schémas fermés $G$-stables $Z$ de $X$ tels que $k[Z]$ soit isomorphe à la représentation régulière de $G$.
Dans cet exposé, nous donnons des familles d'exemples pour lesquelles $H$ est une variété lisse, et donc pour lesquelles le morphisme de Hilbert-Chow $\gamma: H \rightarrow W//G$ est une résolution canonique des singularités du quotient catégorique $W//G (=Spec(k[X]^G))$. Nous verrons ensuite que le schéma $H$ est généralement singulier mais que, dans de nombreux cas, la composante principale de $H$ fournit encore une résolution privilégiée de $W//G$. Cette composante peut alors être étudié via la théorie des variétés sphériques.

Dans cet exposé, je définirai un noyau explicite qui devrait réaliser la fonctorialité d'Arthur-Langlands géométrique locale au niveau Iwahori à l'aide des variétés de Steinberg et de l'isomorphisme de Kazhdan-Lusztig. Après avoir rappelé brièvement la correspondance de Howe et les grandes lignes de sa géométrisation, je relierai le noyau de la correspondance de Howe et le noyau explicite de la fonctorialité géométrique au niveau Iwahori pour les paires $(GL_1, GL_m)$.

Kostka polynomials are certain family of polynomials indexed by two copies of simple modules of a Weyl group W. They are intimately connected with the (generalized) Springer correspondences, and they admits a characterization by the Lusztig-Shoji algorithm.
In this talk, we reinterpret the Lusztig-Shoji algorithm (of a complex reflection group) in terms of homological algebra. This naturally upgrades Kostka polynomials to a family of indecomposable modules that we call Kostka systems. They give a new characterization and computation method of Kostka polynomials arising from the generalized Springer correspondences in the sense of Lusztig.

Almost every specialist in modern representation theory and related geometry faced the problem of dealing with the affine symmetrizer, the one defined for the affiine Weyl group or its deformation in terms of the corresponding affine Hecke algebra. Its action in DAHA modules appeared a surprisingly deep theory. The classical p-adic spherical functions, the Hall polynomials, the Kac-Moody characters and the affine Demazure characters are among special cases of this new theory. The key results are the proportionality of the DAHA symmetrizer to the Satake map and the clasification of the DAHA coinvariants of higher levels.
The level-one case is directly related to the theory of q-analogs of Mehta-Macdonald integrals with many important aspects in the range from the strong Macdonald conjecture (Fishel, Grojnowski, Teleman) to the theory of global spherical functions, one of the main applications of DAHA so far.

Travail commun avec Aaron Lauda et David Rose, arXiv:1212.6076 Cautis, Kamnitzer et Licata ont récemment introduit une dualité entre les groupes quantiques Uq(sln) et Uq(slm), qui permet une description explicite des morphismes de représentations de Uq(sln), lesquels forment les blocs de base dans la construction du polynôme de Jones et de ses extensions sln. Le tressage, en particulier, est identifié dans ce processus à l'action du groupe de Weyl quantique de Uq(slm).
Cette réinterprétation, outre les résultats qu'elle a engendrés concernant la présentation des catégories de morphismes, présente l'avantage d'être aisée à catégorifier : l'objet de notre travail est de donner une instance de cette catégorification en termes de cobordismes, dans laquelle on retrouve les homologies de Khovanov sl2 et sl3. Plus précisément, nous montrons que les constructions combinatoires de Khovanov se réalisent via une famille de 2-représentations du groupe quantique catégorifié Uq(slm). Ce travail, en particulier, réalise un lien clair entre la catégorification combinatoire des invariants de Reshetikhin-Turaev et la catégorification diagrammatique des groupes quantiques.

L'étude des invariants séparant est une nouvelle tendance en théorie des invariants qui marque un retour à l'essentiel : les invariants en tant qu'outils de classification. Pour une action linéaire d'un groupe fini sur un espace vectoriel, un ensemble séparant est tout simplement un sous-ensemble de l'anneau des invariants dont les éléments séparent les orbites de l'action. En général, un tel ensemble n'engendre pas l'anneau des invariants. Dans cet exposé, nous donnons une borne inférieur pour la taille d'un ensemble séparant dépendant de la géométrie de l'action. Nous obtenons ce résultat via l'étude de la cohomologie à support dans un arrangement de sous-espaces linéaire naturellement associé à l'action du groupe. (collaboration avec Jack Jeffries)

The Baum-Connes conjecture states that a purely topological object of a group coincides with a purely analytical one. The coarse Baum-Connes conjecture is a geometric analogue of the Baum-Connes conjecture. We proved the coarse Baum-Connes conjecture for (the Cayley graph of) relatively hyperbolic groups. In this talk, first I will briefly explain these conjectures and introduce the relatively hyperbolic groups. If time permits, I will also explain the idea of the proof of our result.
This is talk based on the joint work with Shin-ichi Oguni.

Les algèbres amassées (cluster algebras en anglais) ont été définies par Fomin et Zelevinsky au début des années 2000. Ce sont des algèbres commutatives dont les générateurs et les relations sont construits de manière récursive. Parmi ces algèbres se trouvent les algèbres de coordonnées sur les grassmanniennes, les variétés de drapeaux et beaucoup d'autres variétés en géométrie et théorie des représentations. Dans cet exposé, je parlerai de la catégorification des algèbres amassées (sans et) à coefficients. En particulier, je parlerai de quelques applications de la théorie de représentations dans l'étude de ces algèbres.

Nous présentons dans cet exposé plusieurs constructions de nouvelles représentations intégrables pour l'algèbre toroïdale quantique (double affinisation du groupe quantique), appelées représentations l-extrémales. Leur définition a été proposée par Hernandez en 2009, en s'inspirant des travaux de Kashiwara sur les représentations extrémales des algèbres affines quantiques. L'application principale, comme dans la théorie de Kashiwara, est la construction de représentations de dimension finie de l'algèbre toroïdale quantique, obtenues par spécialisation du paramètre quantique aux racines de l'unité.

I will introduce a construction of a critical cohomological Hall algebra A associated to an arbitrary quiver $Q$, following the work of Kontsevich and Soibelman. This algebra turns out to have several surprising properties: firstly, it is a free commutative algebra. Secondly, the Kac polynomials are the characteristic polynomials of its generators. Finally, despite being defined in terms of vanishing cycles, the underlying vector space of A admits a much simpler description (in fact many such descriptions) in terms of ordinary compactly supported cohomology. I will explain these properties, and why they add up to a new proof of the Kac positivity conjecture.

In the representation theory of reductive groups in positive characteristic, there is a very special class of objects called tilting modules. Two important theorems state that the class of tilting modules is closed under tensor product and restriction to Levi subgroups.
Similarly, on (generalized) flag varieties, there is a special class of geometric objects called parity sheaves. I will explain two newer theorems that are analogues of the tensor product and restriction theorems mentioned above.
The main goal of the talk will be to explain how these two pictures fit together.
This is based on joint work with Daniel Juteau and Geordie Williamson.

(joint work with Francesco Cavazzani) In how many ways can a positive integer be expressed as a repeated sum of elements of a fixed list of positive integers? Generalizing this question, the vector partition function counts in how may ways a vector with integer coordinates can be written as a linear combination with nonnegative integer coefficients of the elements of a list of vectors with integer coordinates. This function is ``piecewise quasi-polynomial'', and its local pieces generate a module over the Laurent polynomials. We describe this and several related modules and algebras. Then we show that these modules and algebras can be``geometrically realized'' as the equivariant K-theory of some manifolds that have a nice combinatorial description.We also propose a more natural and general notion of duality between these modules, which corresponds to a Poincaré duality-type correspondence for equivariant K-theory.

Nous établissons un algorithme en termes d'algèbres amassées pour calculer les q-caractères des modules de Kirillov-Reshetikhin des algèbres affines quantiques de tous types (non tordus). Nous démontrons ainsi une formule de q-caractères géométrique pour les produits tensoriels de modules de Kirillov-Reshetikhin. En types simplement lacés, cette formule généralise la formule de Nakajima pour les modules standards en termes d'homologie des variétés carquois graduées.
Il s'agit d'un travail en commun avec B. Leclerc.

In this talk I will describe geometric realizations of level-one highest weight representations of the Kac-Moody algebra of type $A_n$ on the equivariant cohomology of moduli spaces of rank one framed sheaves on certain root toric stacks. Moreover, I will characterize some (Carlsson-Okounkov type) vertex operators arising from the study of these moduli spaces. These results can be interpreted as AGT type correspondences for abelian (quiver) gauge theories on ALE spaces of type $A_n$. (This talk is based on a joint work with Mattia Pedrini and Richard J. Szabo).

Moment graph techniques have been applied in the study of non-critical blocks of category O for affine Kac-Moody algebras, while in the critical case these methods have not been developed yet. Inspired by the fact that non-critical representations are controlled by the Hecke algebra H, while critical level representations are expected to be governed by the periodic module M, we prove the moment graph analogue of a result by Lusztig which bridges H and M, and believe that it should provide us with new tools to attack the critical level case.

Les polynômes de Macdonald symétriques sont des polynômes invariants par le groupe de Weyl, dont les coefficients sont des fonctions rationnels en q,t, et qui se spécialisent aux caractères irréductibles des algèbres de Lie quand q=t=0. La K-théorie quantique est une généralisation de la cohomologie quantique. Les modules de Kirillov-Reshetikhin (KR) sont certains modules de dimension finie pour les algèbres de Lie affines. Braverman et Finkelberg ont relié les polynômes de Macdonald spécialisés à t=0 à la K-théorie quantique des variétés de drapeaux. Avec S. Naito, D. Sagaki, A. Schilling, et M. Shimozono, j'ai prouvé que la même spécialisation des polynômes de Macdonald est égal au caractère gradué d'un produit tensoriel des modules de KR (de type colonne). Je vais discuter la combinatoire qui sous-tend ces connexions.

Dans cet exposé, j'explicite les isomorphismes de graphes cristallins pour les représentations de Fock du groupe quantique de type A affine. J'explique comment les interpréter en termes de représentations modulaires des groupes de réflexions grâce aux théorèmes de catégorification d'Ariki et de Shan.

On the affine quantum algebras $U_q$ Drinfeld introduced a coproduct $\Delta$ with values in a completion $V$ of the tensor product $U_q\otimes U(q)$ (in particular it is different from the standard coproduct defined on the generators $E_i, F_i, K_i^{\pm 1}$, which has values in $U_q\otimes U_q$). The Drinfeld coproduct is defined on the Drinfeld generators $X_{i,r}^{\pm}, H^{i,r}, C^{\pm 1}, K_i^{\pm 1}$, but has not yet been proved to be well defined in the general case. In this talk we prove that it is well defined both on the affine quantum algebras and on the quantum affinizations, where it is the only coproduct since the standard one is not defined. The proof depends on the study of some (well defined) derivations of a subalgebra of $V$.

I will review a few general facts about multiplicative actions and outline a proof that algebraic $C^*$-actions on $C^3$ are linearizable. A recent extension to arbitrary fields of characteristic zero is:
Forms of $G_m$-actions on $A^3$ are linearizable. As a corollary one finds that forms of $A^3$ that admit an action of an infinite reductive group are trivial.

À une catégorie monoïdale tressée on peut associer une théorie topologique des champs (TFT) en dimension 4, étroitement liée à la TFT de dimension 3 de Reshetikhin-Turaev et aux invariants de Crane-Yetter.
Le but de cet exposé est de donner une description explicite de la valeur de cette TFT sur les surfaces à bord. Dans le cas où la catégorie en question est celle des modules sur le groupe quantique associé à un groupe de Lie semi-simple G, on obtient une quantification uniforme des catégories de G-système locaux sur les surfaces. Remarquablement, dans le cas du tore épointé on retrouve une certaine catégorie de D-modules quantiques sur G, expliquant et généralisant un certain nombre de résultats de la littérature. Ce projet est un travail en commun avec David Ben-Zvi et David Jordan.

Given any affine Lie algebra the associated current algebra is a particular maximal parabolic subalgebra. The category of graded representations of the current algebra have close connections with the category of finite--dimensional representations of the quantum affine algebra.
In this talk, we shall first review these connections. We then discuss a BGG type reciprocity result for current algebras and the relationship with Macdonald polynomials.