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Paris Diderot Sorbonne Université CNRS

Groupes, Représentations et Géométrie


2015 2016 2017 2018 2019

Année 2015- 2016

Adrien Brochier, Olivier Brunat, Jean-Yves Charbonnel, Olivier Dudas, Daniel Juteau, Emmanuel Letellier, Michela Varagnolo, Eric Vasserot

http://www.imj-prg.fr/grg/PHP/index.php?Sem=grg


Anton Mellit - Sissa, Trieste

Polynomiality of HLV kernels

vendredi 24 juin 2016 à 10:30 : Sophie Germain en salle 1016

8 place Aurélie Nemours, 75013 Paris

Hausel, Letellier and Villegas introduced certain generating functions, which I call HLV kernels, by taking certain sum over partitions of products of Macdonald polynomials, and decomposing the result into an infinite product. Conjecturally, terms of these HLV kernels should give mixed Hodge polynomials of character varieties of curves of arbitrary genus with arbitrarily many punctures. Certain natural deformation of these kernels, studied by Carlsson and Villegas should also compute Hodge structures of moduli spaces of Higgs bundles. From the definition it is not at all clear that these terms are polynomials. In this talk I investigate certain natural properties HLV kernels satisfy, which eventually leads to a proof of polynomiality of these terms.


Alberto Arabia - IMJ-PRG

Espaces de configuration généralisés. Espaces topologiques i-acycliques. Suites spectrales basiques.

vendredi 17 juin 2016 à 10:30 : Sophie Germain en salle 1016

8 place Aurélie Nemours, 75013 Paris

Les espaces de configuration généralisés sont les différentes sous-diagonales du produit cartésien de m copies d’un espace topologique X munies de l’action du groupe symétrique par permutation des coordonnées. Lorsque X est sans cohomologie intérieure (i-acyclique) leur étude se simplifie de manière remarquable, on est alors en mesure de donner des formules de caractères pour les représentations du groupe symétrique, de montrer la stabilité et la monotonie de représentations au sens de Church-Farb lorsque m tend vers l’infini (on parle alors de caractères polynomiaux), de montrer la dégénérescence des suites spectrales de Leray pour les projections des espaces de configuration ordonnées classiques. Le passage des cas ou X est i-acyclique au cas général se fait à travers ce que nous appelons les suites spectrales "basiques", sorte de pont entre les espaces i-acycliques et les espaces généraux. Cela nous a permis de généraliser le théorème de stabilité de Church pour les variétés différentielles, aux pseudovariétés, en particulier aux variétés algébriques complexes, quelles soient lisses ou non.


Tamas Hausel - Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne

Groupes, Représentations et Géométrie

vendredi 10 juin 2016 à 10:30 : Sophie Germain en salle 1016

8 place Aurélie Nemours, 75013 Paris

I will start with an overview of the arithmetic harmonic analysis technique to obtain information on the mixed Hodge polynomial of tame character varieties. In the second part I will discuss some wild character varieties, and how the representation theory of Yokonuma-Hecke algebras can be used to get results on the mixed Hodge polynomial of character varieties. This is joint work with Martin Mereb, Michael Wong and Dimitri Wyss.


Gus Lehrer - University of Sydney

The second fundamental theorem of invariant theory

vendredi 27 mai 2016 à 10:30 : Salle 1016, Sophie Germain

8 place Aurélie Nemours, 75013 Paris

The second fundamental theorem describes all relations among a set of generators of the invariants of an action of a group or Hopf algebra. I shall describe an algebraic geometric approach which, when combined with diagrammatic methods, yields new results in the classical context and also that of the orthosymplectic Lie algebra. This is joint work with R. Zhang, and partly with P. Deligne.


Andrei Negut - M.I.T

Tresses et faisceaux

vendredi 20 mai 2016 à 10:30 : Salle 1016, Sophie Germain

8 place Aurélie Nemours, 75013 Paris

On présente une construction qui associe à une catégorie quelconque munie d’un objet inversible (et de quelques morphismes) deux foncteurs vers et de la catégorie derivée d’espace projectif . L’application la plus importante pour nous est une correspondence entre tresses et complexes de fibrés vectoriels sur un certain espace de drapeaux d’idéals dans C[x,y]. On fait l’hypothèse que l’image directe de ce complexe sur le schéma de Hilbert est (prèsque) un invariant de la clôture de la tresse. En effet, notre construction offre une réalisation géométrique à la homologie de Khovanov. En collaboration avec Eugène Gorsky et Jacob Rasmussen. L’exposé sera en anglais.


Fernando Rodriguez-Villegas - I.C.T.P

Character and quiver varieties

vendredi 13 mai 2016 à 10:30 : Salle 1016, Sophie Germain

8 place Aurélie Nemours, 75013 Paris

I will start by discussing the conjectures made in joint work with T. Hausel and E. Letellier about the mixed Hodge structure of the character varieties classifying certain finite dimensional representations of the fundamental group of a Riemann surface. The conjectures relate this mixed Hodge structure to the cohomology of certain associated quiver varieties. I will then outline the connection of all of this with : work of Garsia and Haiman on Hilbert schemes of points, Kac’s conjecture on quivers and the combinatorics of Tutte polynomials of graphs.


Alexander Kleshchev - University of Oregon

Stratifications of Khovanov-Lauda-Rouquier algebras and RoCK blocks of Hecke algebras

vendredi 6 mai 2016 à 10:30 : Salle 1016, Sophie Germain

8 place Aurélie Nemours, 75013 Paris

We review standard module theory for KLR algebras of finite and affine types, its connections with PBW bases in quantum groups, and affine highest weight categories. We give an applications to blocks of symmetric groups and Hecke algebras : we describe the blocks up to derived equivalence as certain explicit Turner double algebras. Turner doubles are Schur-algebra-like ``local’’ objects, which replace wreath products of Brauer tree algebras in the context of the Broué abelian defect group conjecture for blocks of symmetric groups with non-abelian defect groups. The latter result is joint with Anton Evseev.


Olivier Dudas - IMJ-PRG

Actions catégoriques sur les représentations unipotentes

vendredi 8 avril 2016 à 10:30 : Sophie Germain en salle 1016

8 place Aurélie Nemours, 75013 Paris

(Travail en commun avec M. Varagnolo et E. Vasserot) La classification et l’étude des représentations des groupes réductifs finis passe par le calcul des règles d’induction et restriction parabolique (ou de Harish-Chandra). Dans une première partie, j’expliquerai la combinatoire sous-jacente à ces règles dans le cas des représentations unipotentes en caractéristique zéro, entièrement similaires à celles des groupes de Weyl. Pour les groupes classiques, ces règles se traduisent élégamment en des actions d’algèbres de Lie affines et les représentations que l’on obtient sont certains espaces de Fock de niveau 1 ou 2.
En caractéristique positive la situation est plus complexe mais elle peut être résolue en se plaçant du point de vue de la catégorie des représentations, et non plus du seul point de vue des caractères. On obtient alors des actions catégoriques d’algèbres de Lie affines, assez riches pour déterminer les graphes de branchement de l’induction/restriction et produire des équivalences dérivées entre blocs. Je terminerai en expliquant comment ces actions se généralisent au cadre de l’induction de Lusztig.


Cédric Lecouvey - Université de Tours

Fonctions harmoniques sur les graphes et application à la théorie des représentations

vendredi 1er avril 2016 à 10:30 : Sophie Germain en salle 1016

8 place Aurélie Nemours, 75013 Paris

La première partie de l’exposé sera introductive et consacrée aux fonctions harmoniques sur les graphes de Young. Il s’agira de rappeler comment cette notion se relie aux caractères des groupes symétriques infinis ainsi qu’aux morphismes de l’algèbre des fonctions symétriques dans les réels (travaux de Kerov et Vershik). Je montrerai aussi qu’elles contrôlent le conditionnement de certaines marches aléatoires naturelles (travaux d’ O’ Connell).
Dans la deuxième partie, j’expliquerai que ces notions admettent des généralisations intéressantes hors du cadre de la théorie des représentations des groupes symétriques ou de celle des groupes linéaires.


Laurent Demonet - Université de Nagoya

Algèbres de triangulations partielles

vendredi 25 mars 2016 à 10:30 : Sophie Germain en salle 1016

8 place Aurélie Nemours, 75013 Paris

Nous introduisons une classe d’algèbres de dimension finie provenant des triangulations partielles de surfaces marquées (une triangulation partielle est un sous-ensemble d’une triangulation). Cette classe contient les algèbres jacobiennes des triangulations de surfaces marquées et les algèbres de graphes de Brauer. Ces algèbres sont symétriques pour les surfaces sans bord, elles sont de type de représentation fini ou apprivoisé et nous introduisons une généralisation combinatoire des flips sur les triangulations partielles qui induit (dans presque tous les cas) des équivalences dérivées entre les algèbres correspondantes. De plus, nous donnons une formule explicite calculant la dimension de ces algèbres.


Noah White - University of Edinburgh

Monodromy of the Gaudin system in type A

vendredi 11 mars 2016 à 10:30 : Sophie Germain en salle 1016

8 place Aurélie Nemours, 75013 Paris

The Gaudin Hamiltonians are a set of commuting operators depending on a set of complex parameters. These operators act on tensor products of irreducible representations of the general linear Lie algebra. The problem of understanding the spectrum of these operators has attracted significant attention recently. We describe the monodromy of the spectrum of the Hamiltonians for real values of the parameters and show that it is related to the tensor structure on the category of crystals for the general linear Lie algebra. In a special case, the spectrum of the Hamiltonians is isomorphic to the spectrum of the centre of the rational Cherednik algebra in type A. Using the geometry of the centre of the rational Cherednik algebra, Bonnafe and Rouquier have given a conjectural construction of Kazhdan-Lusztig cells (for all complex reflection groups). The monodromy action we describe recovers the Kazhdan-Lusztig cells of the symmetric group.


Ivan Marin - Université de Picardie

Groupes d’Artin et algèbres de Yokonuma-Hecke

vendredi 4 mars 2016 à 10:30 : Sophie Germain en salle 1016

8 place Aurélie Nemours, 75013 Paris

Le but de cet exposé est d’introduire une extension $C_W $de l’algèbre d’Iwahori-Hecke associée à un groupe de Coxeter $W$. Dans le où $W$ est le groupe de Weyl d’un groupe réductif $G$, cette algèbre se plonge essentiellement dans l’algèbre de Yokonuma-Hecke associée, c’est à dire l’algèbre de convolution des fonctions sur les doubles classes $U\backslash G/U$, pour $U$ le radical unipotent de $G$. Nous montrons d’autre part que cette construction s’étend aux algèbres de Hecke associées aux groupes de réflexions complexes, par exemple aux algèbres d’Ariki-Koike. Ceci mène naturellement à une généralisation de la conjecture de Broué, Malle et Rouquier sur la structure de ces algèbres.
Dans la première partie de l’exposé on rappellera les constructions et propriétés fondamentales de l’algèbre d’Iwahori-Hecke associée à un système de Coxeter, puis on définira l’algèbre de Yokonuma-Hecke et l’algèbre $C_W$ quand $W$ est un groupe de Coxeter.
Dans la deuxième partie, on étudiera la relation entre le groupe d’Artin associé à $W$ et l’algèbre $C_W$, et on étudiera l’extension de la construction au cas où $W$ est un groupe de réflexions complexes.


Francesco Sala - University of Western Ontario

Hall algebras and sheaves on surfaces

vendredi 19 février 2016 à 10:30 : Sophie Germain en salle 1016

8 place Aurélie Nemours, 75013 Paris

Hall algebras play a prominent role in the interactions between algebraic geometry and representation theory. Recently, ``refined’’ versions of them, called K-theoretic Hall algebras, were introduced by Schiffmann and Vasserot. They have notable connections with the geometric Langlands correspondence, the theory of quantum groups and gauge theories.
In the first part of the talk, I will give an overview of the theory of Hall algebras. In the second part, I will describe some (new) examples of K-theoretic Hall algebras. These algebras are related to some stacks of a certain kind of sheaves on noncompact surfaces. (Work in progress with Olivier Schiffmann.)


Christopher Bowman - London City University

The co-Pieri rule for Kronecker coefficients

vendredi 12 février 2016 à 10:30 : Sophie Germain en salle 1016

8 place Aurélie Nemours, 75013 Paris

A central problem in algebraic combinatorics is to provide an algorithm for calculating the coefficients arising in the decomposition of a tensor product of two simple representations of the symmetric group. The coefficients in such a decomposition are known as the ``Kronecker coefficients’’ ; these coefficients include the Littlewood—Richardson coefficients as a special case. In this subcase, the solution to the problem takes the form of a tableaux counting algorithm known as the Littlewood—Richardson rule. The ultimate goal in this area is to generalise the Littlewood—Richardson rule to the general case. We shall discuss recent work with Maud De Visscher and John Enyang in which this problem is solved for Kronecker coefficients labelled by ``co-Pieri triples’’ of partitions.


Jacob Greenstein - Riverside University

Bases canoniques doubles

vendredi 29 janvier 2016 à 10:30 : Sophie Germain en salle 1016

8 place Aurélie Nemours, 75013 Paris

En 1990, Lusztig a construit la base canonique pour la partie positive $U_q^+ (\mathfrak g)$ de l’algèbre enveloppante quantifiée de Jimbo-Drinfeld $U_q(\mathfrak g)$ correspondant à une algèbre de Kac-Moody $\mathfrak g$ et puis une base canonique dans une modification de $U_q(\mathfrak g)$. Dans cette exposé, nous allons décrire la construction d’une base canonique dans le double de Heisenberg et de Drinfeld de $U_q^+(\mathfrak g)$ (donc aussi dans $U_q(\mathfrak g)$ non-modifiée) à partir de la base canonique duale de $U_q^+ (\mathfrak g)$. Puis nous décrirons ses propriétés et quelques applications récentes motivées par cette construction (travail en commun avec Arkady Berenstein).


Dan Ciubotaru - Oxford University

Dirac operators for graded affine Hecke algebras and rational Cherednik algebras

vendredi 22 janvier 2016 à 10:30 : Sophie Germain en salle 1016

8 place Aurélie Nemours, 75013 Paris

We define uniformly the notions of Dirac operators and Dirac cohomology in the framework of the Hecke algebras introduced by Drinfeld (1986). In particular, these constructions apply to Lusztig’s graded affine Hecke algebras, where we recover results previously obtained in joint work with D. Barbasch and P. Trapa, and to rational Cherednik algebras. An important feature of this theory is the existence of a Dirac morphism between the irreducible representations of certain double covers of reflection groups and the central characters of the algebra. I will explain the relation between this morphism and Springer theory or finite Weyl groups in the graded affine Hecke algebra case $\hbox{}$(joint, in part, with X. He), and Lusztig’s two sided cells for finite reflection groups in the case of rational Cherednik algebra at $t=0$.


Guy Henniart - Université Paris-Sud, Orsay

Représentations modulo p de groupes réductifs p-adiques

vendredi 15 janvier 2016 à 10:30 : Sophie Germain en salle 1016

8 place Aurélie Nemours, 75013 Paris

L’étude des formes modulaires mène naturellement à celle des représentations complexes de groupes tels $GL(2,\mathbb{Q}_p)$.
L’étude des congruences entre formes modulaires inclut celle des représentations du même groupe dans des espaces vectoriels finis. Le cadre général est celui des représentations d’un groupe réductif $p$-adique quelconque, dans des espaces vectoriels sur un corps $R$. Dans un premier temps on tâche de comprendre les représentations irréductibles. Il se trouve que la caractéristique $l$ de $R$ influe beaucoup sur la classification qu’on peut obtenir.
Dans une première partie, j’expliquerai, dans le cas de $GL(2)$, le cadre et les différences selon $l$. Dans une seconde partie j’expliquerai la classification générale dans le cas où $l$ vaut $p$ (travail en commun avec N. Abe, F. Herzig, M.-F. Vignéras).


Serge Bouc - LAMFA, Université de Picardie

Représentations des ensembles finis et correspondances

vendredi 8 janvier 2016 à 10:30 : Sophie Germain en salle 1016

8 place Aurélie Nemours, 75013 Paris

[travail en commun avec Jacques Thévenaz] Étant donné un anneau commutatif $k$, soit $kC$ la catégorie dont les objets sont les ensembles finis, et les morphismes les combinaisons $k$-linéaires de correspondances. Soit $CF_k$ la catégorie des foncteurs de correspondances (sur $k$), i.e. la catégorie des foncteurs $k$-linéaires de $kC$ vers la catégorie des $k$-modules.
La catégorie abélienne $CF_k$ possède des propriétés remarquables. Lorsque $k$ est noethérien, un sous-foncteur d’un foncteur de type fini est lui-même de type fini. Lorsque $k$ est un corps, les foncteurs de type fini sont caractérisés par le comportement exponentiel de leur dimension, et ce sont exactement les foncteurs de longueur finie. De même, lorsque $k$ est un corps, un foncteur de type fini est projectif si et seulement si il est injectif.
Nous associons un foncteur à correspondances $F_T$ à un treillis fini $T$ quelconque. La construction qui à $T$ associe $F_T$ s’étend en un foncteur pleinement fidèle d’une catégorie convenable $kL$ de treillis finis vers la catégorie $CF_k$, et ce foncteur est compatible à la dualité. Nous montrons aussi que $F_T$ est projectif si et seulement si $T$ est distributif.
Nous associons également un foncteur fondamental $S_E$ à tout ensemble ordonné fini E. Cela nous permet de décrire complètement les objets simples de $CF_k$, lorsque $k$ est un corps, et en particulier, de déterminer les dimensions de leurs évaluations. Un sous-produit de cette description est celle de tous les modules simples pour l’algèbre du monoïde des relations sur un ensemble fini.


Alexis Bouthier - University of California, Berkley

Faisceaux pervers sur les espaces d’arcs et facteurs L-locaux

vendredi 18 décembre 2015 à 10:30 : Sophie Germain en salle 1015

8 place Aurélie Nemours, 75013 Paris

Dans un premier temps, nous expliquerons un travail en commun avec B.C. Ngô et Y.Sakellaridis qui donne une interprétation géométrique des facteurs L locaux non-ramifiés. Cela nous amène naturellement à considérer des espaces d’arcs de certaines variétés algébriques ainsi que certains faisceaux pervers dessus. Plus précisément, nous n’avons été en mesure que de construire des fonctions qui devraient venir de tels faisceaux. Dans un deuxième temps, nous expliquerons notre récent travail avec D. Kazhdan où l’on construit une bonne catégorie de faisceaux pervers sur les espaces d’arcs, qui nous permet de compléter l’étude entreprise sur les facteurs $L$-locaux ainsi que de répondre à d’autres questions en théorie géométrique des représentations.


Bertrand Toen - Université de Toulouse

Factorisations matricielles et cycles évanescents

vendredi 11 décembre 2015 à 10:30 : Sophie Germain en salle 1015

8 place Aurélie Nemours, 75013 Paris

Pour une variété algébrique complexe $X$ munie d’une fonction $f$, on associe d’une part $MF(X,f)$ la catégorie des factorisations matricielles de $f$, et d’autre part sa cohomologie évanescente. Il est bien connu que ces deux constructions sont reliées : la cohomologie évanescente s’identifie à l’homologie périodique de $MF(X,f)$. Dans cet exposé, j’expliquerai comment généraliser cela au cas de la caractéristique positive mais aussi de la caractéristique mixte. Pour cela, je présenterai la notion de réalisation motivique d’une (dg-)catégorie, dont la réalisation $l$-adique s’identifie à la cohomologie $l$-adique évanescente.
(Travail en commun avec Blanc, Robalo et Vezzosi).


Paul-Emile Paradan - Université de Montpellier2

Questions de stabilité des coefficients de branchements

vendredi 4 décembre 2015 à 10:30 : Sophie Germain en salle 1015

8 place Aurélie Nemours, 75013 Paris

Nous donnerons un aperçu du préprint arXiv:1510.05080 où nous étudions
le comportement asymptotique des coefficients de branchements associé à un morphisme $G \rightarrow G’$ entre deux groupes de Lie compacts connexes.


You Qi - Yale University

Categorification of small quantum groups

vendredi 27 novembre 2015 à 10:30 : Sophie Germain en salle 1015

8 place Aurélie Nemours, 75013 Paris

We propose an algebraic approach to categorification of quantum groups at a prime root of unity, with the scope of eventually categorifying Witten-Reshetikhin-Turaev three-manifold invariants. This is joint work with Mikhail Khovanov.


Olivier Schiffmann - C.N.R.S, Université d'Orsay - Paris XI

Polynômes de Kac de carquois et de courbes

vendredi 20 novembre 2015 à 10:30 : Sophie Germain en salle 1015

8 place Aurélie Nemours, 75013 Paris

Au début des années 80, Kac a démontré que le nombre de représentations (absolument) indécomposables d’un carquois $Q$ sur un corps fini $\mathbb{F}_q$, de vecteur dimension $d$ fixé, est donné par l’évaluation en $q$ d’un certain polynôme $A_{Q,d}(t)$ à coefficients entiers. Il a également conjecturé que les termes constants de ces polynômes, (pour un $Q$ fixé et un $d$ variable) donnent le caractère de l’algèbre de Lie (de Kac-Moody) $\mathfrak{g}_Q$ naturellement associée à $Q$. Cette conjecture a depuis été démontrée par Hausel.
Nous donnerons une interprétation similaire de tous les coefficients des polynômes de Kac, maintenant en termes du Yangien $Y(\mathfrak{g}_Q)$. C’est un travail en collaboration avec E. Vasserot.
Nous montrerons également l’existence de polynômes de Kac dans d’autres contextes : courbes projectives lisses, certains carquois avec relations, et des carquois à boucles (travaux en collaboration avec P.-G. Plamondon, T. Bozec)


Nicolas Perrin - Université de Versailles

Positivité en K-théorie quantique

vendredi 13 novembre 2015 à 10:30 : Sophie Germain en salle 1015

8 place Aurélie Nemours, 75013 Paris

Je vais commencer par rappeler les définitions de la cohomologie quantique et de la K-théorie quantique essentiellement dans le cadre des espaces homogènes rationnels projectifs. J’expliquerai ensuite comment certains calculs d’invariants de Gromov-Witten peuvent se ramener à un calcul de Schubert classique et comment la géométrie des courbes rationnelles, notamment la connexité rationnelle de certaines sous-variétés des courbes conduisent à des résultats de positivité en K-théorie quantique. Cet exposé est tiré d’un projet en collaboration avec A. Buch, P.-E. Chaput et L. Mihalcea.


Christophe Letellier - Université de Rouen

Théorie des noeuds et gabarits pour une description des attracteurs chaotiques

vendredi 6 novembre 2015 à 10:30 : Sophie Germain en salle 1015

8 place Aurélie Nemours, 75013 Paris

Les invariants topologiques, notamment les nombres d’enlacement utilisés en théorie des nœuds et le concept de gabarits (knot-holder en anglais), sont très souvent utilisés pour décrire les propriétés topologiques des attracteurs chaotiques solutions des systèmes dynamiques très dissipatifs tridimensionnels. Dans cet exposé, nous introduirons brièvement la notion d’attracteurs chaotiques et la manière dont ils se structurent autour d’un squelette d’orbites périodiques instables, ces dernières pouvant être considérées comme des nœuds. Une grande classe des attracteurs chaotiques se structurent sur une population d’orbites périodiques construites au cours d’une cascade de doublements de période. Ces orbites périodiques – qui peuvent être considérées comme inscrites sur un espace tangent (un ruban) dont on étudie les propriétés – se caractérisent par des invariants topologiques pouvant être prédits à partir d’une dynamique symbolique avec l’aide d’une représentation par des tresses « torsadées » (framed braids).
Dans la seconde partie, nous développerons plus en détails le concept de gabarit (synthétisant les propriétés topologiques des orbites périodiques qu’il contient). Un gabarit peut être décrit algébriquement par une matrice d’enlacement. Nous introduisons deux conventions de manière à n’obtenir qu’un gabarit possible pour une matrice d’enlacement donnée. Nous proposons ensuite une loi additive et une loi multiplicative pour ces matrices d’enlacement qui permettent de manipuler (combiner) les différents mécanismes qui peuvent être distingués sur un attracteur chaotique (torsion, repliement, déchirement, mélange, etc.). Le tout sera agrémenté d’exemples de gabarits décrivant des attracteurs chaotiques plus ou moins connus.


Christian Kassel - C.N.R.S, Université de Strasbourg

Dénombrement d’idéaux de codimension finie

vendredi 30 octobre 2015 à 10:30 : Sophie Germain en salle 1015

8 place Aurélie Nemours, 75013 Paris

En dénombrant les idéaux de codimension finie de l’algèbre des polynômes de Laurent à deux variables sur un corps fini $k$, Christophe Reutenauer et moi avons découvert une famille $P_n$ de polynômes aux propriétés remarquables : ils sont réciproques et leurs coefficients sont des entiers positifs ou nuls. Chaque coefficient de $P_n$ est égal au nombre de diviseurs de $n$ dans un certain intervalle. Nous calculons aussi les valeurs de $P_n$ en $1$, $-1$ et aux racines de l’unité d’ordre 3, 4, 6 ; ces valeurs forment des suites bien connues en théorie des nombres. Comme conséquence immédiate de nos dénombrements, nous obtenons une formule exacte pour la fonction zêta locale du schéma de Hilbert de $n$ points dans un tore bidimensionnel. La réciprocité des polynômes $P_n$ se traduit pour la fonction zêta par une équation fonctionnelle analogue à celle que la dualité de Poincaré implique pour la fonction zêta d’une variété projective lisse.


Daniel Juteau - C.N.R.S, Université de Caen

Faisceaux pervers modulaires sur les cônes nilpotents

vendredi 23 octobre 2015 à 10:30 : Sophie Germain en salle 1015

8 place Aurélie Nemours, 75013 Paris

La correspondance de Springer relie les faisceaux pervers (équivariants) sur le cône nilpotent d’une algèbre de Lie réductive aux représentations du groupe de Weyl W de cette dernière. Elle peut se résumer par la façon dont se décompose le faisceau de Springer, faisceau pervers obtenu comme image directe du faisceau constant par la résolution de Springer du cône nilpotent, qui est muni d’une action de W. On peut définir un foncteur d’induction à partir des faisceaux pervers sur le cône nilpotent d’une sous-algèbre de Levi. Alors le faisceau de Springer s’interprète comme l’induit du gratte-ciel en 0 du cône nilpotent (réduit à 0) d’une sous-algèbre de Cartan. On appelle cuspidal un faisceau pervers simple n’apparaissant pas comme quotient d’un induit à partir d’une sous-algèbre de Levi propre. Lusztig a montré que l’ensemble des faisceaux pervers simples est partionné en séries, chaque série consistant en les quotients simples de l’induit d’un cuspidal, et que de plus chaque série est en bijection avec les représentations irréductibles d’un groupe de Weyl relatif.

J’ai étudié un analogue modulaire (avec des coefficients en caractéristique > 0) de la correspondance de Springer dans ma thèse, et plus récemment de la version généralisée dans une série d’articles avec P. Achar, A. Henderson et S. Riche. Nous avons des résultats sur la classification des cuspidaux (partielle pour les types exceptionnels en mauvaise caractéristique), et dans certains cas une description combinatoire explicite. Je parlerai de ces résultats, ainsi que d’une "cleanness conjecture" pour le cas où la caractéristique des coefficients est "assez bonne", ainsi que de ses conséquences sur la structure de la catégorie dérivée équivariante, en lien avec la notion de "supercuspidalité". Nous espérons que ce travail permettra de mieux comprendre les représentations modulaires des groupes réductifs finis en caractéristique non naturelle.


Michel Brion - C.N.R.S, UJF-Grenoble

Extensions de groupes algébriques avec quotient fini

vendredi 16 octobre 2015 à 10:30 : Sophie Germain en salle 1015

8 place Aurélie Nemours, 75013 Paris

Un résultat très classique affirme que tout groupe algébrique G s’obtient de façon unique comme extension d’un groupe fini étale F par un groupe algébrique connexe. Dans cet exposé, on montrera que F se relève en un sous-groupe fini de G, qui peut être choisi étale si le corps de base est parfait. On présentera plusieurs applications de ce résultat à la structure des groupes algébriques.


Bernard Leclerc - Université de Caen

Algèbres amassées et bases canoniques

vendredi 9 octobre 2015 à 10:30 : Sophie Germain en salle 2018

8 place Aurélie Nemours, 75013 Paris

Soit $C[N]$ l’anneau des fonctions polynomiales sur un sous-groupe unipotent maximal $N$ d’un groupe algébrique simple complexe de type A,D,E.
Fomin et Zelevinsky ont muni $C[N]$ d’une structure d’algèbre amassée, et ont conjecturé que l’ensemble des monômes d’amas est contenu dans la base canonique duale de $C[N]$ (au sens de Lusztig). Cette conjecture a été récemment démontrée par Qin, et par Kang-Kashiwara-Kim-Oh par des méthodes différentes. J’essaierai d’expliquer les idées principales de la preuve de K-K-K-O, qui reposent sur la catégorification de la base canonique en termes d’algèbres de Hecke carquois.