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Paris Diderot Sorbonne Université CNRS

Séminaire sur les Singularités


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Année 2018- 2019

Archive avant 2015

Hébergé par le projet Géométrie et Dynamique de l’IMJ

Organisateurs : Hussein MOURTADA, Matteo RUGGIERO, Bernard TEISSIER

Mardi 16h-18h
Bâtiment Sophie Germain, salle 1016


Patrick Popescu-Pampu

Une étude tropicale et logarithmique des fibres de Milnor

mardi 11 juin 2019 à 16:00 :

Je présenterai un travail fait en collaboration avec Maria Angelica Cueto et Dmitry Stepanov, expliquant comment combiner des outils tropicaux et logarithmiques afin de comprendre la structure des fibres de Milnor des singularités complexes.


Anne Pichon - Aix-Marseille université

Géométrie interne des singularités de surfaces complexes et formule de Laplacien (Exceptionnellement salle 6033)

mardi 28 mai 2019 à 14:00 :

Étant donné un germe analytique complexe (X,0) dans (C^n,0), la métrique Hermitienne standard de C^n induit naturellement une métrique par longueurs d’arcs sur (X,0), appelée métrique interne. La structure métrique interne d’un germe de singularité isolée de surface (X,0) s’étudie via une famille d’invariants numériques appelés taux internes.
Je vais expliquer comment ces taux internes peuvent se calculer à partir de la donn\’ee de la topologie de (X,0), avec la configuration d’une section hyperplane générique et de la courbe polaire d’une projection plane générique de $(X,0)$ à l’aide d’une formule de Laplacien sur l’entrelacs non archimédien de (X,0). Puis je vais donner quelques conséquences de cette formule, en particulier une approche de la question de Lê Dung Tràng sur l’existence d’une dualité entre les algorithmes de résolution des singularités de surface par une suite d’éclatements normalisés d’une part, et par une suite de modifications de Nash normalisées d’autre part.
Il s’agit d’un travail en commun avec André Belotto et Lorenzo Fantini.


Ana J. Reguera - Valladolid

Composantes irréductibles de l’espace des arcs en caractéristique positive

mardi 21 mai 2019 à 16:00 :

En 1968, J. Nash a commencé l’étude de l’espace d’arcs $X_\infty$ d’une variété algébrique singulière $X$ définie sur un corps $k$ de caractéristique zéro, dans le but de comprendre la structure des diverses résolutions des singularités de $X$. Son travail a été fait peu après la preuve de Hironaka de la Résolution des Singularités en caractéristique zéro.
Il a montré, en utilisant la Résolution des Singularités, que l’espace
des arcs centrés dans Sing $X$ (noté $X_\infty^Sing$) possède un nombre fini de composantes irréductibles.\

Ce programme de Nash s’étend aux corps de base parfaits $k$ de caractéristique $p >0$. Mais la Résolution des Singularités est toujours un problème ouvert lorsque $\textcar k=p>0$ et $\dim X \geq 4$. Dans cet exposé, nous proposerons plusieurs questions qui auraient une réponse affirmative s’il existait une résolution des singularités :
\vskip3mm

Q1 : $X_\infty^Sing$ a-t-il un nombre fini de composantes irréductibles ?

Q2 : Étant donnée une variété $X$, existe-il un morphisme propre et birationnel $Y \rightarrow X$ tel que $Y_\infty$ soit irréductible ? \newline
Nous donnerons des réponses partielles et nous expliquerons le statut de ces problèmes.


Octave Curmi - Aix Marseille Université

Topologie des singularités non-isolées de surfaces complexes

mardi 14 mai 2019 à 14:00 :

Les fibres de Milnor jouent un rôle crucial dans l’étude de la topologie d’une singularité de surface. Elles correspondent aux différents lissages possibles de cette singularité. Une description de cette fibre est connue dans certains cas particuliers, mais pas en général, même pour des singularités isolées.
D’un autre côté, l’étude de son bord est un domaine de recherche actif depuis plusieurs dizaines d’années. Dans différents contextes, il est prouvé que ce bord est une variété graphée. (Mumford, 1961, pour les singularités isolées, Michel-Pichon, 2003, 2014, pour un lissage d’une surface réduite d’espace total lisse, Némethi-Szilard, 2012, sous les mêmes hypothèses, Bobadilla-Menegon Neto, 2014, pour une surface non réduite et un espace total avec singularité isolée).
J’expliquerai comment la preuve constructive proposée par Némethi et Szilard peut être adaptée pour prouver, constructivement, le même résultat pour un lissage de surface réduite d’espace total quelconque. Ceci permet d’espérer l’obtention, à terme, d’une caractérisation des variétés lisses bordant une fibre de Milnor de lissage de surface complexe. De plus, je propose un algorithme simple pour le calcul du bord d’une fibre de Milnor, dans le cas d’une surface définie par une fonction générique sur un germe d’espace torique.


Anne Frühbis-Krüger - Hanovre

Two algorithms in Algebraic Geometry based on ideas from Hironaka’s resolution of singularities

mardi 19 mars 2019 à 16:00 :

In his famous proof of the existence of a resolution of singularities in characteristic zero (1964) Hironaka also introduced several constructive/algorithmic ideas, most prominently the notion of standard bases which have become important tools in computational algebraic geometry nowadays. Other constructive aspects, however, seemed to be without further practical applications.
In this talk I shall explain solutions to two tasks of very different flavour in computational algebraic geometry, which profit each in their own way from Hironaka’s work : A massively parallel algorithm to decide non-singularity of a variety arises from the termination criterion of desingularization and makes use of descent in ambient dimension by means of hypersurfaces of maximal contact. On the other hand, when counting subrings (in the sense of order zeta-functions) p-adic integrals arise for which the domain of integration seems rather inaccessible at first glance. However, a suitable desingularization transforms the task into a number of easier problems each of which can be tackled by standard methods.


Hema Srinivasan, - University of Missouri

A gluing operation on Semigroup Rings

mardi 12 mars 2019 à 16:00 :

First we will discuss the numerical semigroup rings, which are subsemigroups of the natural numbers. In this case, these rings are also the homogeneous coordinate rings of the monomial curves. Given two semigroups A and B, we will construct the minimal homogenous resolution of the semigroup C obtained by gluing A and B. From this construction, we can read off the formulae for the invariants of C in terms of A and B. There is not yet a complete generalization of gluing in higher dimensions. We will give some partial results in higher dimensions as well as some instances where a gluing is impossible.


Dale Cutkosky - University of Missouri

Generating sequence of valuations in finite extensions

mardi 26 février 2019 à 16:00 :

Suppose that $(K,\nu)$ is a valued field and $(L,\omega)$ is a finite extension, where $L=K[z]/(f)$. Further suppose that $A$ is a local domain which is dominated by $\nu$ and the unitary polynomial $f(z)$ is in $A[z]$. We consider the problem of computing a generating sequence for $\omega$ in $A[z]/(f)$ and computing the structure of the associated graded ring of $A[z]/(f)$ along $\omega$ as an extension of the associated graded ring of $A$ along $\nu$.

The problem of constructing generating sequences in a Noetherian local domain $A$ which is dominated by a valuation is extremely difficult, and little is known about this problem in general. It is well understood in the case that $A$ has dimension one, and for regular local rings of dimension two. It is known for certain valuations dominating two dimensional quotient singularities and for certain valuations dominating three dimensional regular local rings.

The problem of computing generating sequences for an extension $\omega$ of $\nu$ to R_\nu[z]/(f) where R_\nu is the valuation ring of $\nu$ and computing the structure of the associated graded ring of R_\nu[z]/(f) along $\omega$ as an extension of the associated graded ring of R_\nu along $\nu$ has been solved, in papers of MacLane for discrete valuations, and for general valuations by Vaquié.

In joint work with Hussein Mourtada and Bernard Teissier, we establish several theorems showing that MacLane’s algorithm can often be used to compute the generators and relations of extensions of associated graded rings along a valuation.
We assume that $A$ contains an algebraically closed field $k$ such that $A/m_A\cong k$ and that the residue field of $\nu$ is isomorphic to $k$.
If the characteristic $p$ of $k$ does not divide the degree of $f$, then we give a very simple algorithm in $A[z]/(f)$ if $\omega$ is the unique extension of $\nu$.
The associated graded ring of $A[z]/(f)$ along $\omega$ is then a finitely generated and presented module over the associated graded ring of $A$ along $\nu$.

If any of the above assumptions are removed, then we give examples showing that the conclusions of the theorem do not hold

We obtain generalizations of this theorem to the case when the extension of the valuation is not unique and when we have not restriction on the degree of the field extension, which we will discuss.


Takahiro Saito

Computation of Milnor monodromies with mixed Hodge modules

mardi 16 octobre 2018 à 16:00 :

Milnor fibers and Milnor monodromies are the most basic invariants of the hypersurface singularities.
I will explain the way to study them, with mixed Hodge modules.
The cohomologies of Milnor fibers have canonical mixed Hodge structures.
If a singular point is an isolated singular point, their weight filtrations are the monodromy weight filtrations, which have the data of the Jordan normal forms of the Milnor monodromies.
To compute them, we express the mixed Hodge structures of the cohomologies of the Milnor fibers in terms of nearby cycle sheaves as mixed Hodge modules.
Then, thanks to the power of the functorial properties of the mixed Hodge modules, we can compute the mixed Hodge structures and the Milnor monodromies of the cohomologies of the Milnor fibers.
In this talk, first, I will introduce the definition of the Milnor fibrations, Milnor fibers and Milnor monodromies of hypersurface singular points.
Second, I will briefly explain the basic notions of mixed Hodge structures and mixed Hodge modules.
Finally, I will demonstrate how to compute the mixed Hodge structures and the Milnor monodromies of the cohomologies of Milnor fibers, with nearby cycle sheaves as mixed Hodge modules.