IMJ-PRG
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Séminaire sur les Singularités

Année 2015- 2016

Archive avant 2015

Hébergé par le projet Géométrie et Dynamique de l’IMJ

Organisateurs : B. Teissier, H. Mourtada

Mardi 16h-18h
Bâtiment Sophie Germain, salle 2015

Mickaël Matusinski - Sur l'algébricité des séries de Puiseux

Séminaire sur les Singularités

mardi 22 mars 2016 à 16:00

Bâtiment Sophie Germain, salle 2007

Travail en commun avec M. Hickel (Bordeaux).
Notre objectif est de comprendre ce qui distingue une série de Puiseux algébrique (sur K(X) le corps des fonctions rationnelles à 1 variable) d’une série de Puiseux formelle.
Plus précisément, nous résolvons les problèmes suivants :
étant donnée une équation polynomiale P(x,y)=0 , donner une formule pour les coefficients d’une série de Puiseux y(x) solution en fonction des coefficients de l’équation ;
étant donnée une série de Puiseux algébrique, reconstruire à partir de ses coefficients un polynôme annulateur.
Il existe une littérature variée sur ce thème, que j’essaierai de rapporter, avant d’aborder nos contributions, ainsi que nos motivations concernant cette question, en particulier le cas multivarié.

Roi Docampo - The Nash problem for arc spaces

Séminaire sur les Singularités

mardi 15 mars 2016 à 10:30

Bâtiment Sophie Germain, salle 2007

Algebraic varieties (zeroes of polynomial equations) often present
singularities : points around which the variety fails to be a manifold,
and where the usual techniques of calculus encounter difficulties. The
problem of understanding singularities can be traced to the very
beginning of algebraic geometry, and we now have at our disposal many
tools for their study. Among these, one of the most successful is what
is known as resolution of singularities, a process that transforms
(often in an algorithmic way) any variety into a smooth one, using a
sequence of simple modifications.
In the 60’s Nash proposed a novel approach to the study of
singularities : the arc space. These spaces are natural higher-order
analogs of tangent spaces ; they parametrize germs of curves mapping
into the variety. Just as for tangent spaces, arc spaces are easy to
understand in the smooth case, but Nash pointed out that their
geometric structure becomes very rich in the presence of
singularities.
Roughly speaking, the Nash problem explores the connection between the
topology of the arc space and the process of resolution of
singularities. The mere existence of such a connection has sparked in
recent years a high volume of activity in singularity theory, with
connections to many other areas, most notably birational geometry and
the minimal model program.
The objective of this two-part lecture is to give an overview of the
recent developments on the Nash problem. In the first talk I will
introduce the arc space, explore its connection with valuation theory,
and give a precise description of the Nash problem. In the second part
I will discuss our contribution to the Nash problem (this is joint
work with T. de Fernex). I will give an almost complete proof of our
main theorem, which states that terminal valuations are in the image
of the Nash map. In dimension two, this provides a new proof of the
Nash conjecture (originally proven by Fernandez de Bobadilla and Pe
Pereira).

Maximiliano Leyton - Autour des déformations des espaces de m-jets d'une singularité isolée d'hypersurface

Séminaire sur les Singularités

mardi 16 février 2016 à 16:00

Bâtiment Sophie Germain, salle 2007

Soient K un corps algébriquement clos de caractéristique nulle, V une hypersurface ayant une unique singularité isolée (notée 0) et V_m, m >= 0, l’espace de m-jets associé à V. Si on considère une déformations W de V qui préserve la géométrie locale de 0 (par exemple, les déformations à type topologique constant), il est naturel de se poser la question suivante : Est-ce que W induit une déformation des espaces de m-jets V_m ? Dans cet exposé, nous discutons cette question et donnons une réponse affirmative dans le cas qu’il existe une résolution simultanée plongée de W.

Jean-Baptiste Campesato - Une fonction zêta motivique pour l'équivalence arc-analytique

Séminaire sur les Singularités

mardi 2 février 2016 à 16:00

Bâtiment Sophie Germain, salle 2007

Nous introduisons d’abord la notion d’équivalence arc-analytique. Il s’agit d’une relation d’équivalence pour les germes Nash (i.e. semialgébriques et analytiques réels). Cette notion coïncide avec l’équivalence blow-Nash mais sa définition ne fait pas intervenir de modification Nash. Ensuite, à un germe Nash, nous associons une fonction zêta motivique locale dont la construction est analogue aux fonctions zêta motiviques de Denef—Loeser. Il s’agit d’une série formelle à coefficients dans un anneau de Grothendieck R*-équivariant similaire à celui de Guibert—Loeser—Merle mais pour les ensembles AS au-dessus de R*. Cette fonction zêta généralise les fonctions zêta de Koike—Parusiński et de Fichou. Elle admet une formule de convolution permettant de calculer la fonction zêta du germe f+g à partir des fonctions zêta des germes f et g. Cette formule permet d’obtenir une classification partielle des polynômes de Brieskorn.

Wim Veys

Verdier monodromy and the Monodromy Conjecture for ideals in two variables

mardi 1er décembre 2015 à 16:00

Bâtiment Sophie Germain, salle 2018

The monodromy conjecture states that every pole of the topological (or related) zeta function of a polynomial f induces an eigenvalue of monodromy of f. This conjecture has already been studied a lot, but is in full generality proven only for zeta functions associated to polynomials in two variables. We consider a generalization, working with zeta functions associated to an ideal. First we present in arbitrary dimension a formula (like the one of A’Campo) to compute the Verdier monodromy eigenvalues associated to an ideal. This is used to prove a generalized monodromy conjecture for arbitrary ideals in two variables.


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