IMJ-PRG
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Séminaire sur les Singularités

Année 2016- 2017

Archive avant 2015

Hébergé par le projet Géométrie et Dynamique de l’IMJ

Organisateurs : B. Teissier, H. Mourtada

Mardi 16h-18h
Bâtiment Sophie Germain, salle 2015

Walter Neumann - Analytic invariants from bilipschitz geometry

Séminaire sur les Singularités

mardi 13 juin 2017 à 16:00

(Joint work with Anne Pichon). If one considers a complex analytic germ with its outer bilipschitz geometry just as a topological object, i.e., a metric space with metric only determined up to bilipschitz equivalence, one can often still recover a large amount of analytic information about the germ. Anne Pichon, near the end of her seminar talk two weeks ago, described many of the analytic invariants of a normal surface germ that can still be seen when only its topology and bilipschitz metric are known. After reviewing this I will describe some of the techniques we use to recover these invariants.

Hossein Movasati - From Picard and Simart's books to periods of algebraic cycles

Séminaire sur les Singularités

vendredi 2 juin 2017 à 16:00

The origin of Hodge theory goes back to many works on elliptic, abelian
and multiple integrals (periods). In particular, Picard and Simart’s book
"Théorie des fonctions algébriques de deux variables indépendantes. Vol. I, II."
published in 1897, 1906, paved the road for modern Hodge theory.

The first half of the talk is mainly about these books, for instance, I am going to explain how Lefschetz was puzzled with the computation of Picard rank (by Picard and using periods) and this led him to consider the homology classes of curves inside surfaces. This was ultimately formulated in Lefschetz (1,1) theorem and then the Hodge conjecture.
In the second half of the talk I will discuss periods of algebraic cycles and will give some applications in identifying some components of the Noether-Lefschetz and Hodge locus. The talk is based on my book :
A course in Hodge Theory : With Emphasis on Multiple Integrals,

Guillaume Rond - Sur le support d'une série de Laurent algébrique sur le corps des séries formelles en plusieurs variables

Séminaire sur les Singularités

mardi 23 mai 2017 à 10:30

Salle 1004

Exceptionnellement à 10h30, salle 1004
(travail en collaboration avec Fuensanta Aroca) Un théorème de MacDonald permet de décrire les zéros de polynômes à coefficients séries formelles en plusieurs variables sur un corps de caractéristique nulle. Plus précisément cet énoncé affirme que ces zéros sont des séries de Puiseux à support dans un cône rationnel strictement convexe, mais plus grand que le premier quadrant. Cependant la réciproque n’est pas vraie : en général une série à support dans un tel cône n’est pas algébrique sur le corps des séries formelles.
Nous allons présenter des conditions pour qu’une série dont le support est inclus dans un cône rationnel strictement convexe soit algébrique sur le corps des séries formelles. Ces conditions font intervenir la forme du support de la série et la taille des "trous" de celui-ci. Enfin nous présenterons une analogie avec le problème qui consiste à déterminer des conditions pour qu’un nombre réel soit un nombre algébrique.

Arthur Forey - Densité locale motivique

Séminaire sur les Singularités

mardi 7 mars 2017 à 16:00

Je présenterai un analogue motivique au nombre de Lelong, similaire à la densité locale introduite par Kurdyka-Raby dans le cas réel et Cluckers-Comte-Loeser dans le cas p-adique. On utilise pour la définir l’intégration motivique de Cluckers-Loeser, dont je rappellerai la construction.
Comme dans les cas sus-cités, il existe un cône tangent distingué sur lequel on peut calculer la densité si on lui attache des multiplicités, qu’on définit en décomposant l’ensemble définissable étudié en graphes de fonctions (localement) 1-Lipschitziennes. Cela implique en particulier une version uniforme du théorème de Cluckers-Comte-Loeser sur la densité p-adique.

Delphine Pol - Symétrie des multi-valuations des courbes et résidus logarithmiques

Séminaire sur les Singularités

mardi 28 février 2017 à 16:00

Le semigroupe d’une courbe plane irréductible, ou plus généralement d’une courbe Gorenstein irréductible, présente une propriété de symétrie, qui a été généralisée aux courbes à plusieurs branches par Felix Delgado. L’objectif de cet exposé est de présenter une généralisation de cette symétrie qui relie les multi-valuations d’un idéal à celles de son dual. Je me suis intéressée à cette symétrie dans le but de regarder l’idéal jacobien et son dual, le module des résidus logarithmiques. Je donnerai la relation entre les multi-valuations du module des résidus logarithmiques et les multi-valuations des différentielles de Kähler, qui sont un ingrédient clef de la classification analytique des courbes planes à une ou deux branches proposée par Hefez et Hernandes.

Bernard Teissier - Comment approximer une valuation de dimension zéro par des semi-valuations d’Abhyankar

Séminaire sur les Singularités

mardi 6 décembre 2016 à 16:00

Je montrerai comment réaliser une telle approximation dans des anneaux locaux noetheriens complets et équicaractéristiques et indiquerai de possibles applications à l’uniformisation locale.

Alicia Dickenstein - From chemical reaction networks to Descartes' rule of signs

Séminaire sur les Singularités

mardi 29 novembre 2016 à 16:00

In the context of chemical reaction networks with mass-action and other rational kinetics, a major question is to preclude or to guarantee multiple positive steady states. I will explain this motivation and I will present necessary and sufficient conditions in terms of sign vectors for the injectivity of families of polynomials maps with arbitrary real exponents defined on the positive orthant. These conditions extend existing injectivity conditions expressed in terms of Jacobian matrices and determinants, obtained by several authors. In the context of real algebraic geometry, this approach can be seen as the first partial multivariate generalization of the classical Descartes’ rule, which bounds the number of positive real roots of a univariate real polynomial in terms of the number of sign variations of its coefficients. This is joint work with Stefan Müller, Elisenda Feliu, Georg Regensburger, Anne Shiu and Carsten Conradi. I will also present some further advances in this multivariate generalization obtained in collaboration with Frédéric Bihan, together with applications to biochemical MESSI systems obtained in collaboration with Mercedes Pérez Millán.

Olivier Thom - Paires de fonctions de Morse

Séminaire sur les Singularités

mardi 15 novembre 2016 à 16:00

Je vais vous présenter la classification des paires de fonctions de Morse sur $C^n$ localement au voisinage de $0$. Ce problème est un cas particulier du problème plus général : classifier les paires de germes de fonctions $(f,g)$ où $f$ et $g$ sont des fonctions connues (le cas où $f$ et $g$ sont régulières transverses est trivial, et le cas où $f$ est régulière et $g$ de Morse est déjà connu). Comme on le verra, ce cas particulier est déjà suffisamment complexe pour donner un aperçu du problème général.

Alicia Dickenstein - Arithmetics and combinatorics of tropical Severi varieties of univariate polynomials

Séminaire sur les Singularités

mardi 8 novembre 2016 à 16:00

Severi varieties are classical objects in algebraic geometry which give parameter spaces for nodal hypersurfaces. Mikhalkin’s correspondence theorem from 2005
allows to compute tropically the degree of the Severi varieties of nodal curves with a fixed number of nodes defined by polynomials with support in a given lattice polygon.
The tropical curves appearing in Mikhalkin’s correspondence theorem can be described by the associated regular subdivision of the support. That is, the set of tropical
curves with a specified combinatorial type counted in Mikhalkin’s formula, correspond to polyhedral cones in the associated secondary fan associated with the lattice points in the polygon.
However, these cones are a fraction of all possible cones in the associated tropical Severi variety. E. Katz noted in 2009 that there are maximal cones that are not supported in cones
of the secondary fan. Thus, the combinatorial description of the curves is not enough in many cases to decide if a tropical curve given by a tropical polynomial lies in the corresponding Severi variety.
This behavior was also observed by J. J. Yang, who gave a partial description of the tropicalization of the Severi varieties in 2013 and 2016.

We explore this phenomenon and give a full characterization in the univariate setting, that is, we describe all the cones in the tropical Severi variety defined
by the tropicalization of the variety of univariate polynomials with fixed degree and two double roots. Through Kapranov’s theorem, this goal is achieved
by a careful study of the possible valuations of the elementary symmetric functions of the roots of a polynomial with two double roots. Despite its apparent simplicity,
the computation of the tropical Severi variety has both combinatorial and arithmetic ingredients. Joint work with Maria Isabel Herrero and Luis Felipe Tabera.


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