IMJ-PRG
IMJ-PRG CNRS - UPMC - Paris Diderot

Structures algébriques ordonnées

Année 2016- 2017

Responsables : F. Delon, M. Dickmann, D. Gondard, T. Servi.
Mardi de 14h00 à 15h45, salle 1016.
Page du séminaire et programme
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Voir en ligne : http://www.logique.jussieu.fr/semsao

Ayhan Günaydin - Bogazici University

Topological Study of Pairs of Algebraically Closed Fields

mardi 13 juin 2017 à 14:10

The study of an algebraically closed field K with a distinguished algebraically closed field L goes back to Keisler’s work in 1964, where he proves a completeness result. Since then there had been many developments around such pairs and more general kinds of pairs of stable structures.

In this talk, we equip each K^n with a topology refining Zariski topology in a way that sets definable in the pair (K,L) are precisely the constructible sets of this topology.

We shall also mention the relations of this topology with Morley rank and another notion of dimension arising from a pregeometry.

Daniel Plaumann - University of Dortmund, Germany

Hyperbolic polynomials and interlacers

mardi 6 juin 2017 à 14:15

A real polynomial in one variable is real-rooted if and only if it is the characteristic polynomial of a real symmetric matrix. Hyperbolic polynomials are the multivariate generalizations of real-rooted polynomials and their relation to matrices is far more intricate. A key role is played by interlacing polynomials, whose zeros are nested in between those of a given hyperbolic polynomial. This talk will survey some known results as well as work in progress.

Tim Netzer - University of Innsbruck

On non-commutative quantifier elimination in real algebra

mardi 30 mai 2017 à 14:15

Quantifier elimination is a strong and useful tool in classical (commutative) real algebra and geometry. Non-commutative real algebra and geometry is a recently emerging area of research, with many interesting applications in pure and applied mathematics. Quantifier elimination would be a highly desirable tool here as well. There are some results in that direction, mostly negative. We will give a survey on this question, presenting some new results, among which is also a first positive one.

Christopher Miller - Ohio State University

Component-closed expansions of the real line

mardi 23 mai 2017 à 14:15

We consider expansions M of the real line (R,<) having the property that, for all sets E definable in M, each connected component of M is definable in M ; we then say that M is "component closed". Some notable examples are : (a) o-minimal M ; (b) M=(R,<,+,x,Z) ; and (c) the "component closure" of M (defined in an obvious way). I will demonstrate that, in contrast to cases (a) and (b), the question "Is M component closed ?" can be difficult to answer even if the model theory of M is well understood. This is very preliminary joint work with Athipat Thamrongthanyalak.

Françoise DELON - Université Paris 7-Denis Diderot

Dérivabilité des fonctions définissables dans un corps valué C-minimal

mardi 16 mai 2017 à 14:15

Dans une expansion o-minimale d’un corps réel clos, une fonction définissable unaire est dérivable presque partout. La preuve est facile (il n’y a quelque chose à montrer que si la structure du corps est enrichie, puisqu’une fonction définissable dans le pur corps est algébrique par morceaux). Que se passe-t-il dans un corps valué C-minimal ? On appelle ainsi un corps valué tel que, dans n’importe laquelle de ses extensions élémentaires, toute partie définissable est combinaison booléenne de boules. Un pur corps valué C-minimal n’est rien d’autre qu’un corps valué algébriquement clos. La caractéristique peut être positive, il y a alors des fonctions nulle part dérivables, c’est le cas du Frobenius inverse. La question est ouverte en caractéristique nulle. Nous considérerons plus précisément le cas des corps valués dans Q et complets. Il s’agit d’un travail en commun avec Pablo Cubides-Kovacsics.

Fred WEHRUNG - Université de Caen

Espaces spectraux de groupes réticulés Abéliens

mardi 2 mai 2017 à 14:15

Le spectre X d’un groupe réticulé Abélien G est l’ensemble de ses l-idéaux premiers, muni de la topologie dont les fermés sont les ensembles d’idéaux premiers contenant un l-idéal donné. Il est connu depuis longtemps que X est un espace spectral généralisé, c’est à dire que tout fermé irréductible est l’adhérence d’un unique singleton (on dit que X est sobre) et les ouverts quasi-compacts de X forment une base de la topologie de X, close par intersection de deux membres quelconques. Il est également connu que X est complètement normal, c’est à dire que pour tous points x, y, z de X, si x et y appartiennent à la fermeture de z, alors x appartient à la fermeture de y ou y appartient à la fermeture de x. Un exemple de Delzell et Madden montre que ces propriétés ne caractérisent pas les spectres de groupes réticulés Abéliens. Cependant, cet exemple n’a pas une base dénombrable d’ouverts. Le but de cet exposé est d’esquisser ma preuve (aussi longtemps qu’elle survit...) que tout espace spectral généralisé, complètement normal, à base dénombrable, est le spectre d’un groupe réticulé Abélien. L’étape préliminaire de la preuve est la réduction du problème à un problème de théorie des treillis, en l’occurrence la caractérisation des treillis d’idéaux principaux de groupes réticulés Abéliens (disons l-représentables). Dans le cas dénombrable, les l-représentables sont caractérisés au premier ordre, alors que dans le cas général, les l-représentables ne peuvent pas être décrits par une classe d’énoncés L_\infty,\omega.

Algèbres quasi-analytiques d'Ilyashenko et o-minimalité

journée thématique

mardi 28 mars 2017 à 10:00

Sophie Germain, salles 2015 et 1016

Le problème de Dulac à paramètres concerne l’existence de bornes uniformes sur le nombre de cycles limites d’une famille de champs de vecteurs analytiques dans le plan.
Une approche au problème de Dulac à travers la o-minimalité a été explorée, sous certaines hypothèses, par Kaiser, Rolin et Speissegger en 2009.
Cette journée est dédiée à l’exposition des travaux en cours des orateurs, dans l’esprit d’une solution du problème de Dulac à paramètres grâce à des techniques o-minimales.

Programme de la journée :
10:00 -11:30 Sophie Germain, salle 2015 (2ème étage)
Orateur : Patrick Speissegger (Konstanz/McMaster)
Titre : Quasianalytic Ilyashenko algebras I
14:00 - 15:00 Sophie Germain, salle 1016 (1er étage)
Orateur : Tobias Kaiser (Passau)
Titre : A holomorphic extension theorem for log-exp-analytic functions
15:15 - 15:45 Sophie Germain, salle 1016 (1er étage)
Oratrice : Zeinab Galal (Paris Diderot)
Titre : Quasianalytic Ilyashenko algebras II

Résumés :
- Quasianalytic Ilyashenko algebras I (Patrick Speissegger)
In 1923, Dulac published a proof of the claim that every real analytic vector field on the plane has only finitely many limit cycles (now known as Dulac’s Problem). In the mid-1990s, Ilyashenko completed Dulac’s proof ; his completion rests on the construction of a quasianalytic class of functions. Unfortunately, this class has very few known closure properties. For various reasons I will explain, we are interested in constructing a larger quasianalytic class that is also a Hardy field. This can be achieved using Ilyashenko’s idea of superexact asymptotic expansion. (Joint work with Zeinab Galal and Tobias Kaiser)
- A holomorphic extension theorem for log-exp-analytic functions (Tobias Kaiser)
The germs of functions definable in the o-minimal structure R_an,exp are known to be real analytic and therefore have holomorphic extensions on some complex domains. We give a precise description of domains on the Riemann surface of the logarithm on which they have biholomorphic extensions, and we show that these extensions are maximal in a certain sense. As an application, we obtain an upper bound on the complexity of a term defining the compositional inverse of a germ f, in terms of the complexity of the term defining f itself. (Joint work with Patrick Speissegger)
- Quasianalytic Ilyashenko algebras II (Zeinab Galal)
As our goal is to prove o-minimality of the structure generated by the functions in the Ilyashenko algebra constructed earlier, we need an extension to several variables stable under certain operations (such as blow-up substitutions). As a first step towards the several variable extension, we construct a one-variable extension where the monomials are allowed to be any so-called principal monomial in R_an,exp. This can done thanks to the holomorphic extension theorem for the germs in the Hardy field H of R_an,exp. The resulting Hardy field also extends H itself. (Joint with Tobias Kaiser and Patrick Speissegger)

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