IMJ-PRG
IMJ-PRG CNRS - UPMC - Paris Diderot

Autour des cycles algébriques

Année 2017- 2018

Organisateurs : A. Cadoret - F. Charles - J. Fresán - M. Morrow

Hélène Esnault et Adrian Langer

Séminaire Autour des cycles algébriques

mercredi 21 février 2018 à 14:30

Jussieu, couloir 15-16, salle 413

Hélène Esnault (Freie Universität Berlin)
Cohomologically rigid complex local systems with finite determinant and quasi-unipotent monodromies at infinity are integral.
14:30—15:30 : Miscellaneous on companions
16:00—17:00 : The Betti to ℓ-adic proof.
Joint work with Michael Groechenig.
If we dropped ‘Cohomologically’ from the title, this would be a complete (positive) answer to Simpson’s conjecture.
We prove the conjecture under the (perhaps ?) stronger assumption that the local systems are cohomologically rigid. Our proof can’t be extended to the case of rigid connections, and I shall explain why.
Initially, in the projective case, our proof consisted in going to the de Rham side, showing that the restriction of the connection on the p-adic varieties is a Frobenius isocrystal, descend mod p, considering the ℓ-adic companions (the existence of which has been proven recently by Abe and myself) and going back to the complex numbers by showing that the induced local systems stemming from the companions are still cohomologically rigid. This last step requires the study of weights and the L-functions of the companions.
The new proof is purely Betti-ℓ-adic. To produce ℓ-adic companions, one has to be able to descend the representation completed at an integral place to the arithmetic fundamental group of the mod p-variety. This requires a variant of a classical argument of Simpson. In doing so one has to make sure that one keeps the conditions at infinity. The companions one uses are now ℓ-adic and have been constructed a few years ago by Drinfeld. One then proves that the formation of companions in our situation preserves the conditions at infinity (this relies on a theorem of Deligne) and one proves, again using weights, that the induced complex local systems are cohomologically rigid as well.
This proof does not request the projective geometry one needs to prove the F-isocrystal theorem mentioned above. For this reason it can be performed in this generality.
We thank Pierre Deligne for putting us under pressure so we do not restrict our proof to the projective case. His understanding of intersection cohomology of the local systems considered plays an important role in the proof.
For lack of time, I won’t lecture on the F-isocrystals

17:30—18:30 : Adrian Langer (Uniwersytet Warszawski)
Rigid representations of projective fundamental groups
I will talk about some results related to Simpson’s conjecture : rigid irreducible representation of the fundamental group of a smooth complex variety comes from some family of smooth projective varieties. I will sketch the proof of this conjecture in case of rank 3 representations. This is a joint work with Carlos Simpson.

Luis Garcia, Nicolas Bergeron et Salim Tayou

Séminaire Autour des cycles algébriques

mercredi 24 janvier 2018 à 14:00

Jussieu, couloir 15-16, salle 413

14:00 — 15:00 : Luis Garcia (University of Toronto, IHES)
Superconnections and applications to special cycles
I will discuss a construction, using Quillen’s superconnections, of some natural differential forms on the period domains parametrizing polarized Hodge structures on a fixed rational vector space V. These forms depend on a vector v of V and have a Gaussian shape that peaks on the locus where v becomes a Hodge class. For hermitian symmetric domains we will see that they agree with some forms introduced by Kudla and Millson to study special cycles on Shimura varieties. As an application (joint work with S. Sankaran) we will define natural Green forms for special cycles and will compute the corresponding archimedean local heights, making progress on a conjecture of Kudla.

15:30 — 16:30 : Nicolas Bergeron (Paris UPMC)
Transgression de la classe d’Euler et cohomologie d’Eisenstein de GL_N (Z)
Dans un travail en cours avec Pierre Charollois, Luis Garcia et Akshay Venkatesh nous donnons une construction nouvelle de certains classes d’Eisenstein pour GL_N (Z) déjà considérées par Nori et Sczech. Le point de départ de cette construction est un théorème de Sullivan sur l’annulation de la classe d’Euler rationnelle d’un SL_N (Z)-fibré vectoriel et la transgression explicite de cette classe d’Euler par Bismut et Cheeger. Leur construction produit en effet une forme universelle qui peut être considérée comme un noyau pour un relevé thêta régularisé associé à la paire réductive duale (GL_1, GL_N). Ceci suggère de regarder les généralisations possibles du cocycle d’Eisenstein associées aux paires duales (GL_k, GL_N) avec k>1. On est conduit à des relevés arithmétiques intéressants.

17:00 — 18:00 : Salim Tayou (Université Paris-Sud)
Équirépartition du lieu de Hodge de variations de structure de Hodge de type K3
Étant donnée une variation de structure de Hodge entière de type K3 au dessus d’une courbe complexe quasi-projective, c’est un résultat classique dû à Green-Voisin que le lieu de Hodge correspondant est dénombrable et dense dès lors que la variation est simple et non-triviale. Dans cet exposé, on étudiera l’équirépartition de ce lieu pour la mesure induite par intégration de la classe de Chern du fibré de Hodge. On donnera une estimée asymptotique du nombre de points sur la base ayant une classe de Hodge de carré donné. On discutera ensuite quelques applications à l’étude des fibrations elliptiques dans les familles de surfaces K3 sur une courbe ainsi que la distribution des classes paraboliques dans les familles de variétés hyperkähleriennes sur une courbe.

Enlin Yang et Yigeng Zhao

Séminaire Autour des cycles algébriques

mercredi 13 décembre 2017 à 16:00

Jussieu, couloir 15-16, salle 413.

L’exposé de 14:30 est annulé
14:30—15:30 : Jean-Louis Colliot-Thélène (Université Paris-Sud)
Spécialisation des types birationnels
Sur un corps de caractéristique zéro, une spécialisation lisse d’une variété projective et lisse rationnelle est stablement rationnelle. Ce résultat de Nicaise et Shinder (9 août 2017) a été précisé (la rationalité se spécialise) et étendu par Kontsevich et Tschinkel (18 août 2017). L’exposé sera pour l’essentiel consacré à ce dernier travail.

16:00—17:00 et 17:30—18:30 : Enlin Yang et Yigeng Zhao (Université de Ratisbonne)
Characteristic class and the epsilon factor of a constructible étale sheaf
In this talk, we will firstly recall the definitions and the properties of singular support and characteristic cycle of a constructible étale sheaf on a smooth variety. The singular support, defined by Beilinson, is a closed conical subset of the cotangent bundle. The characteristic cycle, constructed by Saito, is a $\mathbb Z$-linear combination of irreducible components of the singular support. This theory is an algebraic analogue of that studied by Kashiwara and Schapira in a transcendental setting.
In the second part of this talk we will focus on the joint work with Umezaki. We prove a conjecture of Kato-Saito on a twist formula for the epsilon factor of a constructible étale sheaf on a projective smooth variety over a finite field. In our proof, Beilinson and Saito’s theory plays an essential role.

Giuseppe Ancona, Javier Fresán

Séminaire Autour des cycles algébriques

mercredi 15 novembre 2017 à 15:30

15:30—16:30 : Giuseppe Ancona (Université de Strasbourg).
Sur la conjecture standard de type Hodge pour les variétés abéliennes
Soient S une surface et V le Q espace vectoriel des diviseurs modulo équivalence numérique. Le produit d’intersection définit un accouplement parfait sur V. On sait depuis les années Trente qu’il est de signature (1,n). Dans les années Soixante Grothendieck a conjecturé une généralisation de cet énoncé aux cycles de codimension quelconque sur des variétés générales. En caractéristique zéro cette conjecture est une conséquence des relations de Hodge Riemann. En caractéristique positive assez peu est connu. A l’aide de formules du produit classiques sur les formes quadratiques nous allons traduire cette question de signature en un problème p-adique. Il se trouve que ce dernier peut être attaqué avec la théorie de Hodge p-adique. Cela nous permettra de démontrer la question originale pour les variétés abéliennes de dimension quatre.

17:00—18:00 : Javier Fresán (École Polytechnique).
Annulation générique, convolution abélienne et sommes exponentielles
Sur une variété abélienne complexe, la cohomologie d’un faisceau pervers tordu par un caractère est génériquement concentré en degré zéro d’après un théorème de Krämer et Weissauer. Leur preuve est intimement liée à l’existence d’une catégorie tannakienne de faisceaux pervers munis de la convolution « abélienne ». J’expliquerai comment l’analogue de ce résultat sur les corps finis permet de démontrer l’équidistribution de certaines sommes exponentielles. Ceci généralise des travaux récents de Katz dans le cadre du groupe multiplicatif et les courbes elliptiques.

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