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Sorbonne Université CNRS Paris Diderot

Séminaire Variétés Rationnelles


2018 2019

Année 2018- 2019

Séminaire organisé par Cyril Demarche et Mathieu Florence.

Le séminaire a généralement lieu à Jussieu (Sorbonne Université, Paris), un vendredi par mois, entre 15h et 18h.

Voir en ligne : site du séminaire


Pierre Dèbes - Lille

L’hypothèse de Schinzel pour les polynômes.

vendredi 12 avril 2019 à 16:30 : salle 15-16-413

Jussieu

L’hypothèse de Schinzel est un énoncé conjectural célèbre sur les nombres premiers apparaissant comme valeurs de polynômes donnés, qui généralise le théorème de la progression arithmétique de Dirichlet. Nous considérons la situation où l’anneau des entiers est remplacé par un anneau de polynômes (Collaboration avec Arnaud Bodin et Salah Najib).


Urban Jezernik - Université du Pays Basque

Irrationality of generic quotient varieties

vendredi 12 avril 2019 à 15:00 : salle 15-16-413

Jussieu

We will take a look at some recent advances in tackling the rationality problem, focusing especially on quotient varieties by linear actions of finite groups. After considering particular examples, we will analyse the situation of a quotient by a "generic" group. This is joint work with Jonatan Sánchez.


Damian Gvirtz - Imperial College

Groupes de Brauer pour les surfaces diagonales.

vendredi 15 mars 2019 à 16:30 : salle 15-16-413

Jussieu

Dans un travail commun avec A. Skorobogatov, nous proposons une méthode pour déterminer le groupe de Brauer d’une surface diagonale projective X sur un corps de nombres k. Notre approche utilise des résultats pour la cohomologie complexe des variétés de Fermat (Pham, Looijenga) et les représentations de Galois associées (Weil, Katz, Shioda, Ulmer). Quand k=Q ou Q(i), on classifie le groupe de Brauer pour toutes les surfaces quartiques diagonales avec des coefficients rationnels.


Olivier Benoist - ENS Paris

La méthode de Clemens-Griffiths sur un corps non algébriquement clos.

vendredi 15 mars 2019 à 15:00 : salle 15-16-413

Jussieu

Le problème de Lüroth demande si toute variété unirationnelle est rationnelle. Dans cet exposé, je considérerai cette question pour des variétés géométriquement rationnelles sur un corps non algébriquement clos k. En adaptant la méthode de Clemens et Griffiths dans cette situation, je construirai de nouveaux exemples de k-variétés géométriquement rationnelles, k-unirationnelles, mais pas k-rationnelles. Il s’agit d’un travail en commun avec Olivier Wittenberg.


Lucy Moser-Jauslin - Université de Bourgogne

Structures réelles des variétés horosphériques

vendredi 8 février 2019 à 16:30 : salle 15-16-413

Jussieu

Une variété horosphérique complexe est une variété dans laquelle un groupe réductif opère avec une orbite ouverte, et telle que le sous-groupe d’isotropie d’un point de l’orbite ouverte contient un sous-groupe unipotent maximal. En particulier, les variétés toriques et les variétés des drapeaux sont des exemples des variétés horosphériques. Elles sont décrites par des données combinatoires qui généralisent les éventails des variétés toriques. Dans cet exposé, je vais montrer comment déterminer les structures réelles de ces variétés à partir de ces données. Ce travail est en collaboration avec R. Terpereau et M. Borovoi.


Philippe Gille - Lyon

Trivialité locale pour les G-torseurs

vendredi 8 février 2019 à 15:00 : salle 15-16-413

Jussieu

Il s’agit d’un travail en commun avec Parimala et Suresh (Université Emory). Soit C/R une courbe plate propre au dessus d’un anneau hensélien R. Soit G un C-schéma en groupes réductif. Sous des hypothèses techniques assez faibles, on se propose de montrer qu’un G-torseur sur C, qui est trivial sur la fibre spéciale de C, est localement trivial pour la topologie de Zariski.


Emiliano Ambrosi - Ecole Polytechnique

Borne uniforme des groupes de Brauer des formes en caractéristique positive

vendredi 25 janvier 2019 à 16:30 : salle 15-16-413

Jussieu

Soit k un corps de type fini et de caractéristique p > 0, X/k une variété propre et lisse. Un travail récent de Cadoret-Hui-Tamagawa montre que si X satisfait la conjecture de Tate l-adique pour tout les l ≠ p, alors la torsion première à p des invariants par Galois du groupe de Brauer géométrique est fini. Dans cet exposé, on démontre une borne uniforme pour les formes de X : pour tous les entiers d > 0, il existe une constante C :=C(X,d) tel que le cardinal de ce groupe soit inférieur à C pour toutes les k’-formes Y de X et toutes les extensions k’ de k de degré inférieur à d. Ce théorème étend en caractéristique positive un résultat de Orr-Skorobogatov en caractéristique zéro.


Ambrus Pál - Imperial College

The fibration method over real function fields

vendredi 25 janvier 2019 à 15:00 : salle 15-16-413

Jussieu

Let F be the function field of a smooth, irreducible projective curve over the reals. Let X be a smooth, projective, geometrically irreducible variety equipped with a dominant morphism f onto a smooth projective rational variety with a smooth generic fibre over F. Assume that the cohomological obstruction introduced by Colliot-Thélène is the only one to the local-global principle for rational points for the smooth fibres of f over F-valued points. I will talk about how to show that the same holds for X, too, by adopting the fibration method. Joint work with Endre Szabó.


Rachel Newton - Reading

Number fields with prescribed norms

vendredi 14 décembre 2018 à 16:30 : salle 15-16-413

Jussieu

Let G be a finite abelian group, let k be a number field, and let x be an element of k. We count Galois extensions K/k with Galois group G such that x is a norm from K/k. In particular, we show the existence of such extensions. This is joint work with Christopher Frei and Daniel Loughran.


Anna Cadoret - IMJ-PRG

Relèvements des représentations du groupe fondamental étale

vendredi 14 décembre 2018 à 15:00 : salle 15-16-413

Jussieu

Soit X une variété propre et lisse sur un corps fini k et D un diviseur de Cartier effectif sur D. On montre que pour tout premier l suffisamment grand, tout F_l-faisceau localement constant constructible de rang r, irréductible de déterminant trivial et à ramification bornée par D se relève de façon unique en un Z_l-faisceau lisse (dont le Q_l-faisceau associé est également irréductible de déterminant trivial et à ramification bornée par D). Il s’agit d’une variante d’une conjecture de de Jong. La preuve repose sur les correspondances de Langlands l-adique et ultraproduit pour GL_r et la conjecture des compagnons.


Zhizhong Huang - Hanovre

Vers une version locale du principe de Batyrev-Manin-Peyre.

vendredi 30 novembre 2018 à 16:30 : salle 15-16-413

Jussieu

Le principe de Batyrev-Manin-Peyre prédit une équirépartition globale des points rationnels sur les variétés algébriques. Nous proposons une version raffinée, en intégrant le travail de D. McKinnon et M. Roth, qui nous permet d’obtenir divers phénomènes locaux intéressants. Nous présenterons des résultats pour certaines variétés toriques et nous proposerons également une formule asymptotique empirique.


Jean-Louis Colliot-Thélène - Orsay

Obstruction de Brauer-Manin pour les surfaces de Markoff.

vendredi 30 novembre 2018 à 15:00 : salle 15-16-413

Jussieu

C’est un problème difficile de décider quand une surface cubique affine a un point entier, et si les points entiers sont denses (en divers sens). Ghosh et Sarnak ont récemment étudié la famille des surfaces de Markoff, données par une équation x^2+y^2+z^2-xyz=m, où m est entier. Ces surfaces admettent un groupe discret d’automorphismes, avec un domaine fondamental borné pour les solutions entières. Ghosh et Sarnak montrent que le principe de Hasse entier est souvent en défaut. Certains de leurs arguments utilisent la loi de réciprocité quadratique. Dans un travail commun avec Dasheng Wei et Fei Xu, nous examinons dans quelle mesure l’obstruction de Brauer-Manin entière rend compte de leurs résultats. Un travail similaire au nôtre a été effectué par Loughran et Mitankin.


Claire Voisin - Collège de France

Décomposition de la diagonale et nilpotence

vendredi 19 octobre 2018 à 16:30 : Institut Henri Poincaré, amphi Hermite

La notion de décomposition de la diagonale est due à Bloch et Srinivas, au moins à coefficients rationnels. À coefficients entiers, elle a joué récemment un rôle majeur dans les questions de rationalité, fournissant une condition nécessaire pour la rationalité stable d’une variété. On discutera dans cet exposé le lien entre décomposition de Chow de la diagonale et décomposition cohomologique de la diagonale, à la fois à coefficients entiers et rationnels.


Bas Edixhoven - Leiden

Geometric interpretation of quadratic Chabauty

vendredi 19 octobre 2018 à 15:00 : Institut Henri Poincaré, amphi Hermite

Joint work with Guido Lido. Chabauty’s method to find all rational points on a curve C over Q of genus g > 1 is to intersect, for a suitable prime p, inside the p-adic Lie group J(Q_p) (with J the jacobian of C), the 1-dimensional p-adic manifold C(Q_p) with the closure of J(Q). This closure is a p-adic Lie group of dimension at most r, the rank of J(Q). If r < g then this works well. Minhyong Kim has a program called "nonabelian Chabauty", where deeper quotients of the fundamental group of C are exploited (J corresponds to the abelianisation). The recently developed "quadratic Chabauty method" (Balakrishnan, Dogra, Muller, Tuitman, Vonk) can treat cases where r is larger and J has sufficiently many symmetric endomorphisms, notably the "cursed curve". In this lecture I will give a geometric description of the quadratic Chabauty method in terms of the Poincare torsor on J times its dual.


Adam Chapman - Tel-Hai

Common Slots of Bilinear and Quadratic Pfister Forms

vendredi 19 octobre 2018 à 11:30 : Institut Henri Poincaré, amphi Hermite

We say that I^n(F) is m-linked if every m bilinear n-fold Pfsiter forms have a common (n-1)-fold factor. In a recent publication, Karim Becher pointed out that when F is a global field, I^n(F) is m-linked for every positive integer m, and raised the question of whether I^n(F) being 3-linked implies that it is m-linked for every positive integer m. In the special case of characteristic 2, this question can be phrased in two versions - one for bilinear forms and another for quadratic forms. We will provide negative answers to both versions of the question in characteristic 2, and discuss some open problems


Frédéric Déglise - Université de Bourgogne

Suite spectrale de Leray homotopique

vendredi 19 octobre 2018 à 10:00 : Institut Henri Poincaré, amphi Hermite

Comme conjecturée par Beilinson, et suivant Voevodsky, le formalisme de la théorie des motifs mixtes triangulés est maintenant comparable à son modèle, la théorie des faisceaux l-adiques de Grothendieck. Il manque toutefois un élément clé à la théorie motivique, la t-structure motivique, pour laquelle la réalisation l-adique est t-exacte, vis à vis de la t-structure perverse. Toutefois, sur un corps, la théorie de Voevodsky vient naturellement avec une t-structure qu’il appelle "homotopique". Le coeur de cette t-structure est donnée par les faisceaux invariants par homotopie avec transferts, qui sont la clé de voute de la théorie de Voevodsky. Sur une base quelconque, on dispose maintenant, après des travaux initiaux d’Ayoub, d’une extension de cette théorie qui satisfait de bonnes propriétés. Elle est en particulier non dégénérée, et permet donc de définir une suite spectrale de type Leray associée à une "fibration".
Dans l’exposé, je rappellerai la construction, obtenue en collaboration avec Bondarko, de cette t-structure homotopique dans le cas relatif, ainsi que les calculs qu’elle permet. On peut ainsi calculer le motif des courbes relatives (affine ou projectives), et déterminer la dimension cohomologique des foncteur f^*, f_*, f_ !, f^ !. Je ramenerai ensuite la suite spectrale de type Leray induite par cette t-structure à une suite spectrale concrète, liée au coniveau des fibres de la fibration et donnerai quelques applications.