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Sorbonne Université CNRS Paris Diderot

Séminaire Variétés Rationnelles


2018

Année 2018- 2019

Séminaire organisé par Cyril Demarche et Mathieu Florence.

Le séminaire a généralement lieu à Jussieu (Sorbonne Université, Paris), un vendredi par mois, entre 15h et 18h.

Voir en ligne : site du séminaire


Rachel Newton - Reading

Number fields with prescribed norms

vendredi 14 décembre 2018 à 16:30 : salle 15-16-413

Jussieu

Let G be a finite abelian group, let k be a number field, and let x be an element of k. We count Galois extensions K/k with Galois group G such that x is a norm from K/k. In particular, we show the existence of such extensions. This is joint work with Christopher Frei and Daniel Loughran.


Anna Cadoret - IMJ-PRG

Relèvements des représentations du groupe fondamental étale

vendredi 14 décembre 2018 à 15:00 : salle 15-16-413

Jussieu

Soit X une variété propre et lisse sur un corps fini k et D un diviseur de Cartier effectif sur D. On montre que pour tout premier l suffisamment grand, tout F_l-faisceau localement constant constructible de rang r, irréductible de déterminant trivial et à ramification bornée par D se relève de façon unique en un Z_l-faisceau lisse (dont le Q_l-faisceau associé est également irréductible de déterminant trivial et à ramification bornée par D). Il s’agit d’une variante d’une conjecture de de Jong. La preuve repose sur les correspondances de Langlands l-adique et ultraproduit pour GL_r et la conjecture des compagnons.


Zhizhong Huang - Hanovre

Vers une version locale du principe de Batyrev-Manin-Peyre.

vendredi 30 novembre 2018 à 16:30 : salle 15-16-413

Jussieu

Le principe de Batyrev-Manin-Peyre prédit une équirépartition globale des points rationnels sur les variétés algébriques. Nous proposons une version raffinée, en intégrant le travail de D. McKinnon et M. Roth, qui nous permet d’obtenir divers phénomènes locaux intéressants. Nous présenterons des résultats pour certaines variétés toriques et nous proposerons également une formule asymptotique empirique.


Jean-Louis Colliot-Thélène - Orsay

Obstruction de Brauer-Manin pour les surfaces de Markoff.

vendredi 30 novembre 2018 à 15:00 : salle 15-16-413

Jussieu

C’est un problème difficile de décider quand une surface cubique affine a un point entier, et si les points entiers sont denses (en divers sens). Ghosh et Sarnak ont récemment étudié la famille des surfaces de Markoff, données par une équation x^2+y^2+z^2-xyz=m, où m est entier. Ces surfaces admettent un groupe discret d’automorphismes, avec un domaine fondamental borné pour les solutions entières. Ghosh et Sarnak montrent que le principe de Hasse entier est souvent en défaut. Certains de leurs arguments utilisent la loi de réciprocité quadratique. Dans un travail commun avec Dasheng Wei et Fei Xu, nous examinons dans quelle mesure l’obstruction de Brauer-Manin entière rend compte de leurs résultats. Un travail similaire au nôtre a été effectué par Loughran et Mitankin.


Claire Voisin - Collège de France

Décomposition de la diagonale et nilpotence

vendredi 19 octobre 2018 à 16:30 : Institut Henri Poincaré, amphi Hermite

La notion de décomposition de la diagonale est due à Bloch et Srinivas, au moins à coefficients rationnels. À coefficients entiers, elle a joué récemment un rôle majeur dans les questions de rationalité, fournissant une condition nécessaire pour la rationalité stable d’une variété. On discutera dans cet exposé le lien entre décomposition de Chow de la diagonale et décomposition cohomologique de la diagonale, à la fois à coefficients entiers et rationnels.


Bas Edixhoven - Leiden

Geometric interpretation of quadratic Chabauty

vendredi 19 octobre 2018 à 15:00 : Institut Henri Poincaré, amphi Hermite

Joint work with Guido Lido. Chabauty’s method to find all rational points on a curve C over Q of genus g > 1 is to intersect, for a suitable prime p, inside the p-adic Lie group J(Q_p) (with J the jacobian of C), the 1-dimensional p-adic manifold C(Q_p) with the closure of J(Q). This closure is a p-adic Lie group of dimension at most r, the rank of J(Q). If r < g then this works well. Minhyong Kim has a program called "nonabelian Chabauty", where deeper quotients of the fundamental group of C are exploited (J corresponds to the abelianisation). The recently developed "quadratic Chabauty method" (Balakrishnan, Dogra, Muller, Tuitman, Vonk) can treat cases where r is larger and J has sufficiently many symmetric endomorphisms, notably the "cursed curve". In this lecture I will give a geometric description of the quadratic Chabauty method in terms of the Poincare torsor on J times its dual.


Adam Chapman - Tel-Hai

Common Slots of Bilinear and Quadratic Pfister Forms

vendredi 19 octobre 2018 à 11:30 : Institut Henri Poincaré, amphi Hermite

We say that I^n(F) is m-linked if every m bilinear n-fold Pfsiter forms have a common (n-1)-fold factor. In a recent publication, Karim Becher pointed out that when F is a global field, I^n(F) is m-linked for every positive integer m, and raised the question of whether I^n(F) being 3-linked implies that it is m-linked for every positive integer m. In the special case of characteristic 2, this question can be phrased in two versions - one for bilinear forms and another for quadratic forms. We will provide negative answers to both versions of the question in characteristic 2, and discuss some open problems


Frédéric Déglise - Université de Bourgogne

Suite spectrale de Leray homotopique

vendredi 19 octobre 2018 à 10:00 : Institut Henri Poincaré, amphi Hermite

Comme conjecturée par Beilinson, et suivant Voevodsky, le formalisme de la théorie des motifs mixtes triangulés est maintenant comparable à son modèle, la théorie des faisceaux l-adiques de Grothendieck. Il manque toutefois un élément clé à la théorie motivique, la t-structure motivique, pour laquelle la réalisation l-adique est t-exacte, vis à vis de la t-structure perverse. Toutefois, sur un corps, la théorie de Voevodsky vient naturellement avec une t-structure qu’il appelle "homotopique". Le coeur de cette t-structure est donnée par les faisceaux invariants par homotopie avec transferts, qui sont la clé de voute de la théorie de Voevodsky. Sur une base quelconque, on dispose maintenant, après des travaux initiaux d’Ayoub, d’une extension de cette théorie qui satisfait de bonnes propriétés. Elle est en particulier non dégénérée, et permet donc de définir une suite spectrale de type Leray associée à une "fibration".
Dans l’exposé, je rappellerai la construction, obtenue en collaboration avec Bondarko, de cette t-structure homotopique dans le cas relatif, ainsi que les calculs qu’elle permet. On peut ainsi calculer le motif des courbes relatives (affine ou projectives), et déterminer la dimension cohomologique des foncteur f^*, f_*, f_ !, f^ !. Je ramenerai ensuite la suite spectrale de type Leray induite par cette t-structure à une suite spectrale concrète, liée au coniveau des fibres de la fibration et donnerai quelques applications.