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Sorbonne Université CNRS Paris Diderot

Séminaire Théorie des Nombres


2018 2019

Année 2018- 2019

Voir en ligne : https://www.imj-prg.fr/tn/STN/stnj.html


Samir Siksek - University of Warwik

On the asymptotic Fermat conjecture

lundi 8 avril 2019 à 14:00 : Sophie-Germain salle 1016

The asymptotic Fermat conjecture states that for a number field K there is a constant B_K such that for primes p≥B_K the only K-rational points on the Fermat curve X^p+Y^p+Z^p=0 are the obvious ones. In this talk we survey joint work with Nuno Freitas, Alain Kraus and Haluk Sengun, on the asymptotic Fermat conjecture. In particular we prove AFC for family of number fields K=ℚ(ζ_2^r)^+.


Samuel Le Fourn - University of Warwik

La méthode de Chabauty quadratique et les courbes modulaires

lundi 25 mars 2019 à 14:00 : Jussieu salle 15-25 502

La méthode de Chabauty pour trouver les points rationnels d’une courbe nécessite que le rang de Mordell-Weil de sa jacobienne (ou d’un quotient à de celle-ci) soit strictement inférieur à sa dimension. Pour cette raison, la famille des courbes modulaires associées aux normalisateurs de sous-groupes de Cartan non déployés résistait jusqu’alors à l’étude, mais un développement récent baptisé « Chabauty quadratique » permet de s’attaquer au cas rang=dimension si on dispose d’endomorphismes supplémentaires. Dans cet exposé, j’expliquerai un travail en commun avec Dogra et Siksek consistant à prouver une version de Chabauty quadratique pour un quotient de la jacobienne (nécessitant une hypothèse supplémentaire non triviale), puis à prouver que ces hypothèses sont vérifiées pour les courbes modulaires citées, ouvrant ainsi la voie à la détermination de leurs points rationnels.


Cong Xue - University of Cambridge

Finitude de la cohomologie des champs de chtoucas comme module sur l’algèbre de Hecke, et applications

lundi 18 mars 2019 à 14:00 : Sophie-Germain salle 1016

La cohomologie des champs de chtoucas a été utilisée par V. Lafforgue pour construire la paramétrisation de Langlands pour l’espace des formes automorphes cuspidales pour les corps de fonction. Je montrerai dans cet exposé que la cohomologie à support compact des champs de chtoucas est de type fini comme module sur l’algèbre de Hecke en une place non ramifiée. Comme application, j’étendrai les opérateurs d’excursion de l’espace des formes automorphes cuspidales à l’espace de toutes les formes automorphes à support compact. Puis j’obtiendrai la paramétrisation de Langlands pour des quotients de ce dernier espace, de façon compatible avec l’induction parabolique.


Annette Huber-Klawitter - Universität Freiburg

Periods of 1-motives

lundi 11 mars 2019 à 14:00 : Jussieu salle 15-25 502

The period conjecture of Grothendieck predicts the relations between the period numbers of mixed motives. In joint work with Wüstholz we have established Kontsevich’s formulation of the conjecture (concentrating on linear rather than algebraic relations) for 1-motives. As a consequence this gives a sharp criterion for transcendence of periods of curves. The plan of this talk is to explain this result as well as the framework of conjectures behind it.


Joaquin Rodrigues Jacinto - UCL

Classes compatibles dans la cohomologie des variétés de Siegel

lundi 4 mars 2019 à 14:00 : Sophie-Germain salle 1016

Suite au travail de plusieurs mathématiciens, les systèmes d’Euler se sont avérés très importants dans l’étude de l’arithmétique des formes automorphes. Par exemple, la construction de Kato d’un système d’Euler associé à une forme modulaire lui a permis de donner une construction alternative de la fonction L p-adique de cette forme et de montrer une divisibilité dans la conjecture principale d’Iwasawa. Lei, Loeffler et Zerbes ont montré que les techniques de Kato peuvent être adaptées pour construire des systèmes d’Euler dans d’autres cadres (produit tensoriel de deux formes modulaires, formes de Hilbert, formes de Siegel pour le groupe GSp_4). On expliquera comment construire des tours de classes intéressantes dans la cohomologie des variétés de Siegel de genre 3. On étudiera leurs régulateurs complexes et on en donnera une application à la théorie d’Iwasawa. Il s’agit des travaux en commun avec A. Cauchi et F. Lemma.


Natalia García-Fritz - Pontificia Universidad Católica de Chile

Extensions of the truncated Nevanlinna-Cartan’s theorem in the context of function fields

lundi 25 février 2019 à 14:00 : Jussieu salle 15-25 502

In 1996, Noguchi and Wang independently proved analogues of Nevanlinna-Cartan’s Second Main Theorem with truncated counting functions for function fields. As in Cartan’s theorem, the level of truncation was equal to the dimension of the ambient projective space. Using the theory of omega-integral curves studied by Vojta, we prove extensions of Noguchi-Wang’s theorem with other truncations. In particular, we obtain a bound of the height of a non-constant morphism from a curve to the projective plane in terms of the number of intersections (without multiplicities) of its image with a divisor of a particular kind. This proves some new special cases of Vojta’s conjecture with truncated counting functions in the context of function fields.


Hector Pasten - Pontificia Universidad Católica de Chile

Shimura curves and the abc conjecture

lundi 18 février 2019 à 14:00 : Sophie-Germain salle 1016

Elliptic curves over the rationals admit maps from various Shimura curves, and the comparison ratio of the degrees of these maps recovers important information on abc-triples. On the other hand, this ratio can be controlled by the Arakelov height of CM points. This requires a number of tools : zero-density estimates for L-functions, integral models for various objects, Galois representations, and some complex-analytic estimates. The final outcome is an unconditional estimate for the product of p-adic valuations of abc-triples, which lies beyond the reach of existing methods in the context of the abc conjecture such as linear forms in logarithms. Our methods also yield other results. For instance, for totally real fields F of bounded degree, we prove that the Faltings height of modular elliptic curves E over F is bounded linearly on log(modular degree of E) + log(Disc. of F). The logarithmic dependence of the discriminant of F can be seen as evidence towards Vojta’s conjecture on algebraic points of bounded degree.


Daniel Bertrand - IMJ-PRG

Rencontres exceptionnelles dans les familles de variétés semi-abéliennes

lundi 11 février 2019 à 14:00 : Jussieu salle 15-25 502

Selon une remarquable conjecture de R. Pink, qui généralise celles de Manin-Mumford, Mordell-Lang, André-Oort, et de Bombieri-Masser-Zannier et Zilber, une sous-variété irréductible Y d’une variété de Shimura mixte S ne peut rencontrer de façon Zariski-dense la réunion des sous-variétés spéciales de S de codimension >dim(Y) que si elle est contenue dans une sous-variété spéciale stricte de S . On explicitera cette conjecture, et on la vérifiera, quand S est le torseur de Poincaré sur une courbe elliptique à multiplications complexes. Il s’agit d’un travail avec H. Schmidt (ArXiv 1803.04835), et avec B. Edixhoven.


Jan Vonk - University of Oxford

Modules singuliers pour les corps quadratiques réels

lundi 4 février 2019 à 14:00 : Sophie-Germain salle 1016

Le 12ème problème de Hilbert nous met au défi de construire des extensions abéliennes des corps de nombres. Je discuterai une construction p-adique pour les corps quadratiques réels, en utilisant des invariants qui se comportent comme étants des « valeurs spéciales de j(z) ». Ceci est un travail en commun avec Henri Darmon.


Alexei Skorobogatov - Imperial College London

On uniformity conjectures for abelian varieties and K3 surfaces

lundi 28 janvier 2019 à 14:00 : Jussieu salle 15-25 502

There are several conjectures about K3 surfaces and abelian varieties of bounded dimension defined over number fields of bounded degree. They state that there are only finitely many possibilities for (1) the endomorphism algebra of an abelian variety, (2) the Neron-Severi lattice of a K3 surface, and (3) the Galois invariant subgroup of the geometric Brauer group. I will explain how these conjectures are related and what is known about them. This is a joint work with Martin Orr and Yuri Zarhin.


Christopher Deninger - Universität Münster

Dynamical systems for arithmetic schemes

lundi 21 janvier 2019 à 14:00 : Sophie-Germain salle 1016

We construct infinite-dimensional continuous-time dynamical systems attached to integral normal schemes which are flat and of finite type over the spectrum of the integers. We study the periodic orbits and connectedness properties of these systems and ask several questions.


Bruno Chiarellotto - Università degli studi di Padova

Comparison of relatively unipotent log-de Rham fundamental groups

lundi 14 janvier 2019 à 14:00 : Jussieu salle 15-25 502

We investigate, in characteristic 0, the compatibilities of various definitions of relatively unipotent log-de Rham fundamental groups for certain proper log-smooth integral morphisms of log-schemes. All the definitions are algebraic : this will allow us to give a purely algebraic proof of the p-adic good reduction criterium for curves (as given by Andreatta-Iovita-Kim). This is a joint work with Di Proietto and Shiho.


Ian Petrow - ETH Zürich

La loi de Weyl pour les tores algébriques

lundi 7 janvier 2019 à 14:00 : Sophie-Germain salle 1016

Une question fondamentale mais difficile dans la théorie analytique des formes automorphes est la suivante : étant donné un groupe réductif G et une représentation r de son groupe-L, combien y a-t-il de représentations automorphes de conducteur analytique borné ? Dans cet exposé, je présenterai une réponse à cette question dans le cas où G est un tore sur un corps de nombres.


Vytautas Paškūnas - Universität Duisburg-Essen

On some consequences of a theorem of J. Ludwig

lundi 17 décembre 2018 à 14:00 : Jussieu salle 15-25 502

We prove some qualitative results about the p-adic Jacquet–Langlands correspondence defined by Scholze, in the GL(2 ;Q_p), residually reducible case, by using a vanishing theorem proved by Judith Ludwig. In particular, we show that in the cases under consideration the p-adic Jacquet–Langlands correspondence can also deal with principal series representations in a non-trivial way, unlike its classical counter-part. The paper is available at http://arxiv.org/abs/1804.07567


Sarah Zerbes - UCL

Euler systems and p-adic L-functions for GSp(4)

lundi 10 décembre 2018 à 14:00 : Sophie-Germain salle 1016

Euler systems are compatible families of Galois cohomology classes attached to a global Galois representation, and they play an important role in proving cases of the Bloch—Kato conjecture. In my talk, I will explain the construction both of an Euler system and of a p-adic L-function attached to the spin representation of a genus 2 Siegel modular form. I will also sketch a strategy for proving an explicit reciprocity law, relating the bottom class of the Euler system to values of the p-adic L-function. This is work in progress with David Loeffler, Vincent Pilloni and Chris Skinner.


Alexander Schmidt - Ruprecht-Karls-Universität Heidelberg

Anabelian geometry with étale homotopy types

lundi 3 décembre 2018 à 14:00 : Jussieu salle 15-25 502

Anabelian geometry with étale homotopy types generalizes in a natural way classical anabelian geometry with étale fundamental groups. We show that, both in the classical and the generalized sense, any point of a smooth variety over a field k which is finitely generated over Q has a fundamental system of (affine) anabelian Zariski-neighbourhoods. This was predicted by Grothendieck in his letter to Faltings. (Joint work with J. Stix)


Paul Breutmann - IMJ-PRG

Functoriality of Moduli Spaces of Global G-Shtukas

lundi 19 novembre 2018 à 14:00 : Jussieu salle 15-25 502

Moduli spaces of global G-shtukas play a crucial role in the Langlands program over function fields. We analyze their functoriality properties concerning a change of the curve and a change of the group scheme G under various aspects. In the end we discuss a potential application to a proof of the non-emptiness of minimal KR-strata.


Régis de la Bretèche - IMJ-PRG

Sommes de Gál et applications à la minoration de valeur de la fonction zêta de Riemann sur la droite critique

lundi 12 novembre 2018 à 14:00 : Sophie-Germain salle 1016

Nous expliquerons comment l’étude des sommes de Gál permet d’obtenir des informations nouvelles concernant des valeurs de la fonction zêta de Riemann sur la droite critique. Ce travail a été réalisé en collaboration avec Gérald Tenenbaum et précise notamment les travaux de Bondarenko et Seip.


Joseph Oesterlé - IMJ-PRG

Multizêtas et sommes d’Apéry multiples (d’après P. Akhilesh)

lundi 5 novembre 2018 à 14:00 : Jussieu salle 15-25 502

Dans cet exposé, nous introduirons la notion de somme
d’Apéry multiple et montrerons que tout multizêta peut s’exprimer
comme une combinaison Z-linéaire de telles sommes. Il y a même une
manière canonique de le faire. Cela place dans un contexte théorique
unifié de nombreuses identités éparses dans la littérature et fournit
un moyen systématique d’en engendrer de nouvelles dont certaines,
étonnamment simples, n’avaient pas été découvertes auparavant.


Anand Kumar Narayanan - IMJ-PRG

Drinfeld Modules, Hasse Invariants and Factoring Polynomials over Finite Fields

lundi 22 octobre 2018 à 14:00 : Jussieu salle 15-25 502

We present three novel algorithms to factor polynomials in
one variable over finite fields using the arithmetic of Drinfeld modules.
The first algorithm estimates the degree of an irreducible factor of
a polynomial from Euler-Poincare characteristics of random Drinfeld
modules. Knowledge of a factor degree allows one to rapidly extract
all factors. The second algorithm is a random Drinfeld module analogue of Berlekamp’s algorithm, partly inspired by Lenstra’s elliptic
curve method for integer factorization. The third algorithm employs
Drinfeld modules with complex multiplication and will be the primary
focus of the talk. The main idea is to compute a lift of the Hasse invariant with Deligne’s congruence playing a critical role. We will discuss
practical implementations and complexity theoretic implications of the
algorithms.


Vincent Pilloni - CNRS, ENS-Lyon

Sur la conjecture de Hasse-Weil pour les courbes de genre 2

lundi 15 octobre 2018 à 14:00 : Sophie-Germain salle 1016

Hasse et Weil conjecturent que les fonctions Zeta des variétés définies sur les corps de nombres admettent un prolongement méromorphe au plan complexe et satisfont une équation fonctionnelle. Pour les courbes de genre 1 sur les rationnels, cela résulte des travaux de Wiles et Breuil, Conrad, Diamond, Taylor qui expriment la fonction Zeta à l’aide d’une forme modulaire de poids 2 ... On expliquera comment prouver un résultat analogue pour les courbes de genre 2 en utilisant des formes modulaires sur des groupes de rang supérieur. Travail en commun avec G. Boxer, F. Calegari, T. Gee.


Vesselin Dimitrov - University of Cambridge

Diophantine properties of harmonic arithmetic varieties

lundi 8 octobre 2018 à 14:00 : Jussieu salle 15-25 502

We focus on a datum of a projective variety X over a global field K and an ample and semipositive adelically metrized line bundle L, such that all of Zhang’s successive minima are equal (to 0, without loss of generality). In other words : the associated height function on the \barK-points of X is assumed to be non-negative and also to realize the infimum 0 as a limit value under some Zariski-generic sequence. Since the basic example is given by Rumely’s capacitary height functions on the projective line, where the Chern form of L=O(1) is the harmonic measure on a compact planar set, we propose to call such a datum a "harmonic arithmetic variety." We shall start by outlining a proof that the set of harmonic subvarieties of X is stable under taking an intersection. For reasons that shall be explained, this result can be considered as an abstract generalization of the Bogomolov conjecture, in whose background there is no algebraic group or dynamical system present. We shall conclude by stating some further results, problems and conjectures concerning harmonic arithmetic varieties and the distribution of their algebraic points with respect to the natural height function.