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Paris Diderot Sorbonne Université CNRS

Séminaire sur les Singularités


Composantes irréductibles de l’espace des arcs en caractéristique positive

Ana J. Reguera - Valladolid

mardi 21 mai 2019 à 16:00

En 1968, J. Nash a commencé l’étude de l’espace d’arcs $X_\infty$ d’une variété algébrique singulière $X$ définie sur un corps $k$ de caractéristique zéro, dans le but de comprendre la structure des diverses résolutions des singularités de $X$. Son travail a été fait peu après la preuve de Hironaka de la Résolution des Singularités en caractéristique zéro.
Il a montré, en utilisant la Résolution des Singularités, que l’espace
des arcs centrés dans Sing $X$ (noté $X_\infty^Sing$) possède un nombre fini de composantes irréductibles.\

Ce programme de Nash s’étend aux corps de base parfaits $k$ de caractéristique $p >0$. Mais la Résolution des Singularités est toujours un problème ouvert lorsque $\textcar k=p>0$ et $\dim X \geq 4$. Dans cet exposé, nous proposerons plusieurs questions qui auraient une réponse affirmative s’il existait une résolution des singularités :
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Q1 : $X_\infty^Sing$ a-t-il un nombre fini de composantes irréductibles ?

Q2 : Étant donnée une variété $X$, existe-il un morphisme propre et birationnel $Y \rightarrow X$ tel que $Y_\infty$ soit irréductible ? \newline
Nous donnerons des réponses partielles et nous expliquerons le statut de ces problèmes.

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