Séminaire d'Analyse et Géométrie

Octobre 2014 - Juin 2015

Organisé par O. Biquard, G. Courtois et X. Ma
Le mardi à 14h00,
Barre 15-25, 5ème étage, salle 02, 4 place Jussieu, Paris 75005

juin  2015

Le 09 juin

- Ara Basmajian (New-York)
-Arcs, orthogeodesics, and hyperbolic surface identities.
-Let X be a compact hyperbolic surface with either geodesic or horocyclic boundary. The homotopy class (rel the boundary) of a non-trivial arc from the boundary to itself can be realized by an orthogeodesic - a geodesic segment perpendicular to the boundary at its initial and terminal points. This talk is about a special subclass of orthogeodesics called primitive orthogeodesics. In work with Hugo Parlier and Ser Peow Tan we show that the primitive orthogeodesics arise naturally in the study of maximal immersed pairs of pants in X and are intimately connected to regions of X in the complement of the natural collars. These considerations lead to continuous families of new identities - equations that remain constant on the space of hyperbolic structures.

Le 09 juin

-Masanori Adachi  (Nagoya)
-On a global estimate of the Diederich-Fornaess index of Levi-flat real hypersurfaces.
-The Diederich-Fornaess index is a numerical index on the strength of certain pseudoconvexity of complex domains. The index is always one for strictly pseudoconvex domains; on the other hand, it was found recently that the index is restricted to certain smaller value for weakly pseudoconvex domains. We would like to review various interpretations of this global estimate of the index for Levi-flat bounded domains and discuss its relation to the conjecture on Levi-flat real hypersurfaces in the complex projective plane. The talk is based on arXiv:1403.3179, 1410.2695 and 1410.2789 including a joint work with J. Brinkschulte.

Le 23 juin.

-Kathryn Mann  (Berkeley)
-Components of representation spaces.
-Let H be a group of homeomorphisms of the circle, and G the fundamental group of a closed surface. The representation space Hom(G, H) is a basic example in geometry and topology: it parametrizes flat circle bundles over the surface with structure group H, or H-actions of G on the circle. W. Goldman proved that connected components of Hom(G, PSL(2, R)) are completely determined by the Euler number, a classical invariant. By contrast, the space Hom(G, Homeo(S1)) is relatively unexplored - for instance, it is an open question whether this space has finitely or infinitely many components.
In this talk, we report on recent work and new tools to distinguish connected components of Hom(G, Homeo(S1)). In particular, we give a new lower bound on the number of components, show that there are multiple components on which the Euler number takes the same value, and identify certain ”geometric” representations which exhibit surprising rigidity.



Mai  2015

Le 05 mai.

- Martin Puchol (IMJ)
-Inégalités de Morse holomorphes G-invariantes et formes de torsion asymptotiques.
-Soutenance de thèse.

Le 12 mai.

-Robin Graham  (Seatle)
-Higher-dimensional Willmore energies via minimal submanifold asymptotics.
-This talk will describe a derivation of a conformally invariant energy for an even-dimensional submanifold of a Riemannian manifold generalizing the Willmore energy of a surface. The energy and its associated Euler-Lagrange equation both arise naturally upon considering the asymptotics of minimal submanifolds in asymptotically Poincaré-Einstein spaces associated to the background conformal manifold.

Le 19 mai.

-Yves de Cornulier  (Orsay)
-Présentations algébriques et remplissages.
-On s'intéresse à la fonction de Dehn des groupes de Lie, qui à un nombre r associe le plus petit A tel que tout lacet de longueur r borde un disque d'aire A. On introduit une approche algébrique de ce problème, qui permet de caractériser, parmi les groupes de Lie connexes, lesquels ont une fonction de Dehn bornée polynomialement. (En commun avec Romain Tessera).

Le 26 mai.

-Georg Schumacher  (Marburg)
-The Weil-Petersson current for moduli of vector bundles and applications to orbifolds.
-We investigate stable holomorphic vector bundles on a compact complex Kähler manifold and more generally on an orbifold that is equipped with a Kähler structure. We use the existence of Hermite-Einstein connections in this set-up and construct a generalized Weil-Petersson form on the moduli space of stable vector bundles with fixed determinant bundle. We show that the Weil-Petersson form extends as a (semi-)positive closed current for degenerating families that are restrictions of coherent sheaves. Such an extension will be called a Weil-Petersson current. When the orbifold is of Hodge type, there exists a determinant line bundle on the moduli space; this line bundle carries a Quillen metric, whose curvature coincides with the generalized Weil-Petersson form. As an application we show that the determinant line bundle extends to a suitable compactification of the moduli space.


Avril  2015

Le 07 avril.

-Mark Haskins (Londres)
-New G2 holonomy cones and exotic nearly Kähler structures on the 6-sphere and on the product of two 3-spheres.
-A long-standing problem in almost complex geometry has been the question of existence of (complete) inhomogeneous nearly Kähler 6-manifolds. One of the main motivations for this question comes from geometry: the Riemannian cone over a nearly Kähler 6-manifold is a singular space with holonomy G2. Viewing Euclidean 7-space as the cone over the round 6-sphere, the induced nearly Kähler structure is the standard G2-invariant almost complex structure on the 6-sphere induced by octonionic multiplication. We resolve this problem by proving the existence of exotic (inhomogeneous) nearly Kahler metrics on the 6-sphere and also on the product of two 3-spheres. This is joint work with Lorenzo Foscolo, Stony Brook.

Le 14 avril.

-Juan Souto  (Rennes)
-Counting geodesics in hyperbolic surfaces.
-Let S be a hyperbolic surface of genus g at least 2 with n cusps. It is well-known that the cardinality of the set of all geodesics in S of length at most T grows exponentially when T tends to infinity. On the other hand, the number N(T, c) of geodesics of length at most T which are in the mapping class group orbit of a simple closed geodesic c grows polynomially. In fact, if c is a simple closed curve then Mirzakhani proved that the limit of N(T, c)/T6g−6+2n exists and is positive. In this talk I will describe some related results for non-simple closed curves. This is joint work with Viveka Erlandsson.


Mars 2015

Le 03 mars.

-Ngaiming Mok (Hong Kong))
-Structures et sous structures géométriques sur les variétés projectives uniréglées.
-Avec J.-M. Hwang nous avons développé une théorie géométrique sur les variétés projectives uniréglées X modelées sur les variétés de tangentes rationnelles minimales Cx(X)⊂PTx(X). Hong-Mok a établi un principe de continuation analytique, dit le principe de Cartan-Fubini, pour les germes d’applications holomorphes f: (Z;z0)→(X;x0) qui envoient les variétés de tangentes rationnelles minimales dans les sections linéaires des variétés de tangentes rationnelles minimales. Récemment avec Y. Zhang nous avons considéré les sous structures géométriques C(S) ⊂ PT(S) sur des germes de sous variétés (S;x0) ⊂ (X;x0) qui s’obtiennent des intersections des espaces tangents avec les variétés de tangentes rationnelles minimales, C(S):=C(X)∩PT(S). Ceci améliore les résultats de Hong-Mok et Hong-Park sur la caractérisation de certains plongements équivariants X0 =G0/PG→G/P=X entre variétés homogènes rationnelles de nombre de Picard égal a 1, à savoir on a établi un théorème de rigidité pour les germes de sous variétés (S;0)⊂(X;0) munis de certaines sous structures géométriques C(S)⊂C(X) sans qu’il y aient d’applications holomorphes sous-jacentes. Par exemple, un germe de sous variété muni d’une structure sous-grassmannienne de rang ≥2 est standard, ce qui montre a fortiori que la structure est plate au sens de la théorie des G-structures. En même temps nous avons établi un principe de prolongement analytique des sous structures géométriques sur les variétés projectives uniréglées par des droites sous condition que les sous variétés de tangentes rationnelles minimales sont linéairement non dégénérées et qu’elles vérifient un nouveau critère de non dégénérescence par rapport à la deuxième forme fondamentale des paires de sous variétés projectives C0(X0)⊂C0(X). Zhang a également classifié les sous structures appartenant aux paires admissibles (G0/P0,G/P) de variétés symétriques de nombre de Picard égal à 1, montrant en même temps qu’il existent toujours des sous variétés S⊂G/P modelées sur (G0/P0,G/P)qui ne sont pas standards une fois la condition de non dégénérescence n’est pas vérifiée.

Le 10 mars.

-Philippe Eyssidieux  (Grenoble)
-Représentations linéaires de groupes kählériens et conjecture de Shafarevich.
-On réduira la conjecture de Shafarevich de convexité holomorphe à un énoncé héréditaire sur les groupes fondamentaux et on
introduit une méthode pour fournir des exemples potentiellement intéressants de groupes de Kähler.

Le 17 mars.

-Oscar Garcia-Prada  (Madrid)
-Involutions of Higgs bundle moduli and Lagrangian submanifolds.
-We consider the moduli space of G-Higgs bundles over a compact Riemann surface, where G is a complex semisimple Lie group. In this talk we describe Lagrangian submanifolds with respect to the three basic holomorphic symplectic structures defined by the hyperkahler structure of the moduli space, and analyse their relation with representations of the fundamental group of the surface.

Le 24 mars.


-Jean-Pierre Demailly  (Grenoble)
-Autour de la conjecture de Kobayashi sur l'hyperbolicité générique des hypersurfaces et intersections complètes.
-La conjecture de Kobayashi stipule qu’une hypersurface très générale de dimension n≥2 et de degré 2n+1 dans lespace projectif complexe est hyperbolique au sens de Kobayashi. Notre approche repose sur une preuve de la conjecture de Green-Griffiths-Lang, qui a une solution positive sous l'hypothèse que la variété considérée soit "fortement de type général". Sous réserve de contrôler certaines dégénérescences possibles de singularités, une confirmation de la conjecture de Kobayashi pour des degrés assez grands paraît accessible par cette méthode, jusqu'à éventuellement une borne quasi optimale..

Le 31 mars.


-Gilles Carron  (Nantes)
-Transformée de Riesz sur les variétés dont la courbure décroît quadratiquement.
-La transformée de Riesz est l’opérateur de type intégral singulière R=d∆−1/2 qui est borné sur L2 grâce au théorème spectral. On s’intéresse à la caractérisation géométrique de l’ensemble des réels p>1tels que la transformée de Riesz s’étend en un opérateur borné sur Lp. On se concentrera notamment sur les variétés dont la courbure (de Ricci) décroît quadratiquement.



Février 2015

Le 03 février.

-Shin-ichi Matsumura (Kagoshima)
-Versions of injectivity and extension theorems.
-In this talk, I give an injectivity theorem with multiplier ideal sheaves of singular metrics with transcendental singularities. This result can be seen as a generalization of various injectivity and vanishing theorems. The proof is based on a combination of the theory of harmonic integrals and the L²-method for the ̄∂-equation. To treat transcendental singularities, after regularizing a given singular metric, we study the asymptotic behavior of the harmonic forms with respect to a family of the regularized metrics. Moreover we obtain L²-estimates of solutions of the ̄∂-equation by using the Cech complex. As applications of this injectivity theorem, I give some extension theorems for holomorphic sections of pluri-logcanonical bundle from subvarieties to the ambient space. Moreover, by combining techniques of the minimal model program, we obtain some results for semi-ampleness related to the abundance conjecture in birational geometry. This talk is based on the preprint in arXiv:1308.2033v2 and a joint work with Y. Gongyo in arXiv:1406.6132v1.

Le 10 février.

-Sebastien Boucksom  (Polytechnique)
-Géométrie non-archimédienne et K-stabilité.
-La K-stabilité est une condition algébro-géométrique censée prédire l’existence de métriques à courbure scalaire constante. Je vais présenter un travail en commun avec Mathias Jonsson et Tomoyuki Hisamoto, dans lequel nous donnons une interprétation de cette condition via la géométrie non-archimédienne. Ceci nous permet en particulier d’obtenir une compactification naturelle de l’espace des «configurations test».

Le 24 février.


-Ruadhai Dervan  (Cambridge)
-Stability of twisted constant scalar curvature Kähler metrics.
-An important problem in Kähler geometry is to understand the existence of constant scalar curvature Kähler metrics. One way of constructing such metrics in certain cases is by first solving an auxiliary equation, namely the twisted constant scalar curvature equation. We show that the existence of solutions to this equation implies a form of algebro-geometric stability.


Janvier 2015

Le 06 janvier.

-Ilia Smilga (Orsay)
-Pavages affines et invariants de Margulis.
-En 1983, Margulis a exhibé un groupe discret de transformations affines, libre et agissant proprement sur l’espace affine, fournissant ainsi un contre-exemple à une conjecture formulée par Milnor. Pour cela, il a défini pour certaines transformations affines un invariant (scalaire) lié à leurs parties de translation le long de leurs ”axes” (sous espaces stables). En construisant un invariant analogue mais à valeurs dans un espace vectoriel, j’ai pu fabriquer de nombreux autres contre-exemples. Je vais expliquer comment utiliser cet invariant pour construire des groupes ayant les propriétés requises..

Le 13 janvier.

-Yoshihiko Matsumoto  (Tokyo)
-Proper harmonic maps between asymptotically hyperbolic manifolds.
-In 1990s, P. Li and L.-F. Tam studied the asymptotic Dirichlet problem on proper harmonic maps between the hyperbolic spaces, and showed the existence and uniqueness under the C¹ boundary regularity. We generalize their result to asymptotically hyperbolic manifolds. Analogously to Eells–Sampson’s theorem for closed manifolds and Hamilton’s theorem for compact manifolds-with-boundary, the unique existence in each relative homotopy class is shown under some assumption. This talk is based on a joint work with K. Akutagawa.

Le 20 janvier.


-Colin Guillarmou  (ENS)
-Problème de rigidité du bord et transformées rayon X.
-Le problème de rigidité du bord consiste en la question d’identification d’une métrique Riemannienne sur une variété à bord à partir de mesures au bord (en particulier les longueurs des géodésiques reliant deux points du bord). On présente quelques nouveaux résultats obtenus pour des variétés qui ne sont pas « simples ».

Le 27 janvier.


-Dan Popovici  (Toulouse)
-Positivité et dualité entre les bidegrés (1,1) et (n-1,n-1) sur les variétés complexes compactes n-dimensionnelles.
-Soit X une variété complexe compacte de dimension n. Nous introduisons le cône de Gauduchon de X comme étant le cône convexe ouvert formé par les classes de cohomologie d’Aeppli représentables par la puissance (n-1)-ème d’une métrique de Gauduchon et le cône fortement Gauduchon (fG) consistant en les classes associées à des métriques fG. Nous présenterons plusieurs résultats récents fondés sur la dualité entre le cône pseudoeffectif de X et l’adhérence du cône de Gauduchon par la dualité entre la cohomologie de Bott-Chern en bidegré (1,1) de X et sa cohomologie d’Aeppli en bidegré (n-1,n-1).


Décembre 2014

Le 02 décembre.

-Frederik Witt (Münster)
-Ends of the moduli space of Higgs bundles.
-Hitchin’s existence theorem asserts that a stable Higgs bundle of rank 2 carries a unitary connection  satisfying Hitchin’s self-duality equation. In this talk we discuss a new proof, via gluing methods, for elements in the ends of the Higgs bundle moduli space and identify a dense open subset of the boundary of the compactification of this moduli space.

Le 09 décembre.

-Christophe Dupont (Rennes)
-Rigidité de Kummer pour les automorphismes des surfaces projectives.
-Soient X une surface complexe projective et f:X→X un automorphisme holomorphe d'entropie topologique strictement positive. L’application f possède alors une unique mesure d’entropie maximale. Celle-ci peut s’obtenir comme l’intersection de deux courants d’Ahlfors faiblement laminaires. Nous montrons que si cette mesure est absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue, f:X→X est un exemple de Kummer généralisé : quitte à effectuer une modification rationnelle, X est une variété abélienne et f est un automorphisme linéaire de X. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Serge Cantat..

Le 16 décembre.


-Gérard Besson  (Grenoble)
-Quelques variétés ouvertes de dimension 3.
-Je décrirai quelques exemples de variétés ouvertes (non compactes) de dimension 3 pour lesquelles la géométrie Riemannienne est essentiellement inconnue. Je présenterai les rares résultats existants et surtout les nombreuses questions qui se posent.

Novembre 2014

Le 04 novembre.

-Matias Carrasco (Orsay)
-Espaces d’Orlicz et quasi-isométries de groupes de Heintze.
-La cohomologie LP d’un espace métrique mesuré a géométrie bornée est un invariant de quasi-isométrie de l’espace. Il s’agit d’un outil important dans l’étude de la géométrie à grande échelle des espaces hyperboliques au sens de Gromov. Elle a été beaucoup étudiée, en particulier par Pansu, dans le cas des espaces homogènes à courbure négative (groupes de Heintze). Néanmoins, la cohomologie LP n’arrive pas à « détecter » des caractéristiques asymptotiques plus fines, ou de second ordre, pour une classe intéressante de ces groupes. Dans cet exposé, on introduit une cohomologie basée sur les espaces d’Orlicz. On montre comment cette cohomologie donne des nouvelles applications portant sur les quasi-isométries de certains groupes de Heintze..

Le 18 novembre.

-Hirokazu Maruhashi (IHES)
-Vanishing of cohomology and parameter rigidity of actions of solvable Lie groups.
-We study smooth actions of noncompact connected Lie groups on closed manifolds. An action ρ of G on M is called parameter rigid if any action of G on M with the same orbit decomposition as that of ρ is conjugate to ρ. Namely an action is parameter rigid if it is determined only by its orbit structure. Rigidity is often related to vanishing of some first cohomology. This is the case for parameter rigidity of actions of nilpotent Lie groups as I have shown before. In this talk we discuss a generalization of this to actions of solvable Lie groups.

Le 25 novembre.


-Dan Coman  (New York)
-Geometric properties of upper level sets of Lelong numbers on projective spaces .
-If T is a positive closed current on a complex manifold M and α≥0, we consider the following upper level set of the Lelong numbers of T, E+α (T)={z∈M, ν(T,z)>α}. We present joint results with Tuyen Trung Truong on geometric properties of this set in the case of projective spaces. For instance, if M = Pn and ‖T‖is the mass of T with respect to the Fubini-Study form, we have the following theorems:
Theorem 1. If T is a positive closed current of bidimension (p,p) on Pn, 0 < p < n, with ‖T‖ = 1, then the set E+(p+1)/(p+2)(T,Pn) is contained in a p-dimensional linear subspace of Pn.
Theorem 2. If T is a positive closed current of bidimension (p,p) on Pn, 0 < p < n, with ‖T‖ = 1, then the set E+p/(p+1)(T,Pn) is either contained in a p-dimensional linear subspace of Pn or else it is a finite set a
nd |E+p/(p+1))(T,Pn) :L|=p for some line L.


Octobre 2014

Le 07 octobre.

-Olivier Biquard (UPMC & ENS)
-Métriques d'Einstein en dimension 4.
-On expliquera quelques résultats nouveaux sur la formation des singularités dans les variétés d’Einstein de dimension 4.

Le 14 octobre.

-Richard Wentworth (Maryland)
-Le flot de Yang-Mills sur une variété kählérienne.
-Étant donné un fibré hermitien sur une variété kählérienne compacte, le théorème de Donaldson et Uhlenbeck-Yau entraîne la convergence lisse du flot de Yang-Mills pour une connexion unitaire et intégrable dans le cas où la structure holomorphe est stable. Ce résultat se généralise aux faisceaux cohérents sans torsion par le travail de Bando et Siu, qui ont introduit certaines métriques hermitiennes singulières (dites «admissibles»). Ils ont également formulé une conjecture sur le comportement du flot dans le cas où le fibré holomorphe initial n’est pas stable, qui dit que la limite (au sens d’Uhlenbeck et Tian) et les singularités qui se forment à l’infini sont complètement déterminées par la structure holomorphe de départ. J’expliquerai la résolution de cette conjecture.

Le 21 octobre.


-Mehdi Lejmi  (Bruxelles)
-Le J-flot et la stabilité.
-Le J-flot est un flot parabolique introduit par Donaldson. Dans cet exposé, nous présentons une condition algébro-géométrique de stabilité qui serait équivalente sous forme de conjecture à l’existence de solutions de l’équation critique du J-flot. Nous présentons aussi des exemples dûs à Fang et Lai et expliquons comment ces exemples sont reliés à la condition de stabilité. Ceci est un travail en commun avec Gabor Székelyhidis.

Le 28 octobre.


-Junjiro NOGUCHI  (Université de Tokyo)
-Some remarks to the proofs of fundamental theorems of analytic function theory in several variables.
-K. Oka proved three fundamental coherence theorems on 1) O(Cn), 2) ideal sheaf of analytic subset, 3) normalization of analytic space (Oka VII, VIII), and solved Levi problem for (unramified) Riemann domain (Oka IX). Although they form now a classical theory, I would like to discuss several points which seem not to be noticed very much. For example, I will discuss an algorithmical improvement in the proof of the coherence of O(Cn). I will also discuss why there are two versions of the paper Oka VII, and a simplified proof of L. Schwartz' finiteness theorem due to Demailly, which was used in the proof of Cartan-Serre's theorem and as well Grauert's proof of Oka's theorem (Oka IX).


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