Dans un article récent ([DP]) S. David et P. Philippon ont énoncé une conjecture très générale concernant la minoration de la hauteur normalisée dans une puissance du groupe multiplicatif. Cette conjecture contient à la fois le problème de Lehmer classique, sa généralisation en dimension supérieure et l'analogue de la conjecture de Bogomolov ``explicite" dans une puissance du groupe multiplicative. Dans cette exposée, nous ferons le point sur des résultats récents, obtenus en collaboration avec S. David, qui montrent que cette conjecture est vraie ``à une puissance de log près".