Les nombres de Bell, P_n, apparaissent en combinatoire énumérative, associés aux nombres de Stirling de première et deuxième espèce. Ils sont définis de diverses manières :
Combinatoirement: P_n = le nombre de partitions d'un ensemble à n éléments en sous-ensembles non vides,
Par leur fonction génératrice exponentielle : \sum_{n\geq 0} P_n {x^n\over n!} = e^{e^x-1}\ ,
Par leur fonction génératrice ordinaire:
sum_{n\geq 0} P_n x^n = \sum_{n\geq 0} {x^n\over (1-x)\cdots (1-nx)}\ .
Ils possèdent de nombreuses propriétés arithmétiques. En particulier ils satisfont les congruences suivantes conjecturées par M. Zuber et démontrées par des méthodes élémentaires par A. Gertsch et A. Robert:
P_{np}\equiv P_n \bmod np{\bf Z},\ p\neq 2; \quad P_{2n}\equiv P_n \bmod n{\bf Z}
Nous en donnons une preuve (plus compliquée) qui relie ces congruences à des propriétés de prolongement analytique de la fonction génératrice ordinaires des nombres de Bell. Elle montre le lien entre les nombres de Bell et une extension algébrique de Q_p. Cette méthode se généralise aisément.