Critères arithmétiques d'algébricité pour les germes de variétés formelles et les feuilletages algébriques sur les corps de nombres

(Un exposé de Jean-Benoît Bost au séminaire de théorie des nombres de Jussieu le 22 mai 2000)

Résumé :

Soit X une variété algébrique lisse sur un corps de nombres K et F un sous-fibré involutif (i.e, stable par crochet de Lie) du fibré tangent T_X. Soient P un point de X(K), s un plongement de K dans C et F la feuille contenant P_s du feuilletage holomorphe de X_s(C) défini par F_s. Nous montrons que, si

• F satisfait à la propriété de Liouville, (par exemple, est l'image par une application holomorphe d'une variété algébrique), et
• pour presque tout idéal premier p de l'anneau des entiers O_K de K, la réduction modulo p du fibré F est stable par l'opération de puissance p-ième (où p désigne la charactéristique du corps résiduel O _K/p),

alors la feuille F est une sous-variété algébrique de X_s(C) (définie sur K.)

Ce résultat permet notamment de caractériser les sous-algèbres de Lie algébriques des algèbres de Lie des groupes algébriques sur un corps de nombres K par la stabilité, pour presque tout idéal premier p de O _K, de leur réduction modulo p par puissance p-ième, et de redémontrer le théorème des isogénies de Faltings pour les courbes elliptiques sur Q.

Le critère d'algébricité ci-dessus découle d'un second critère d'algébricité concernant les germes de sous-variétés formelles, qui se démontre au moyen de techniques ``de transcendance" reformulées dans le cadre de la géométrie d'Arakelov.

Ces critères étendent des résultats antérieurs des Chudnovsky, d'André et de Graftieaux.