Compter des points rationnels sur certaines variétés algébriques

(Un exposé de Régis de la Bretèche au séminaire de théorie des nombres de Chevaleret le 17 janvier 2000)

Résumé :

Nous nous intéressons à l'estimation asymptotique du nombre de points de hauteur bornée par B sur les variétés de Fano. Manin a conjecturé que, pour V une variété de Fano sur k un corps de nombres à laquelle on associe une fonction h des hauteurs anticanoniquement, il existe un ouvert U de V, tel que

N_U(B):=card{P\in U/ h(P)¾B}~CB (logB)^{r-1},

où r est le rang du groupe de Picard de V et C une constante non nulle. Nous expliquons comment, par des méthodes de théorie analytique des nombres, on peut démontrer la conjecture de Manin pour les surfaces V de del Pezzo de degré 5. Comme cela a été déjà fait par Salberger, nous serons amené à compter des points sur un sous-ensemble du torseur universel au-dessus de V.