Séries minimalement ramifiées et Conjecture de Lubin

(Un exposé de Chazad Movahhedi au séminaire de théorie des nombres de Chevaleret le 20 mars 2000)

Résumé :

Soient p un nombre premier et k une extension finie du corps des nombres p-adiques. Notons O_k l'anneau des entiers de k et F(X,Y) \in O_k[[X,Y]] une loi de groupe formel de dimension 1. L'anneau End_{O_k}(F) des endomorphismes de F est un anneau commutatif pour l'addition et composition des séries. Ainsi la loi F fournit des exemples des séries réversibles commutant avec des séries non-réversibles. Inversement une "conjecture" de Lubin stipule que si dans O_k[[X]], une série réversible commute avec une série non-réversible, alors il existe une loi de groupe formel définie sur O_k qui rend compte de ce phénomène. Dans cet exposé on vérifie cette conjecture pour une famille de séries à coefficients dans l'anneau Z_p des entiers p-adiques dont les réductions modulo p jouissent de remarquables propriétés de ramification que nous développerons pendant l'exposé. Nous baptisons ces séries réduites ``minimalement ramifiées" car pour p impair elles minimisent la suite des nombres inférieurs de ramification. Si le temps le permet nous détaillerons le cas particulier des polynômes de Chebyshev.