On introduit une série hypergéométrique (reliée aux approximants de Hermite-Padé simultanés des fonctions polylogarithmes) permettant de construire de combinaisons linéaires rationnelles de valeurs de la fonction zêta de Riemann aux entiers impairs. L'étude arithmétique et asymptotique de ces combinaisons permet d'appliquer un critère d'indépendance linéaire dû à Y. Nesterenko et de prouver le résultat suivant : la dimension de l'espace vectoriel engendré sur Q par 1 et les n premières valeurs de la fonction zêta aux entiers impairs croît au moins comme un multiple de log(n).