Les travaux dont je parlerai ont été faits en collaboration avec Yuri Tschinkel.
Une conjecture de Batyrev et Manin raffinée par Peyre prédit un développement asymptotique du nombre de solutions rationnelles de taille (hauteur) donnée de certains systèmes d'équations polynômiales à coefficients entiers, lorsque cette taille tend vers l'infini. Ce développement fait intervenir des invariants de type géométrique (le cône effectif dans le groupe de Picard), cohomologiques et arithmétiques (mesures de Tamagawa). Cette conjecture, bien que fausse en général, est vérifiée dans de nombreux cas où l'analyse harmonique joue un rôle important (formules de Poisson, séries d'Eisenstein, méthode du cercle,...)
Le problème voisin de compter le nombre de solutions entières a connu récemment une activité importante notamment dans le cas des espaces homogènes (Duke, Rudnick, Borovoi, Sarnak, Eskin, McMullen, Mozes, Sah, etc.)
Nous montrerons comment la conjecture de Batyrev-Manin se généralise au cas du décompte de solutions entières et montrerons comment certaines méthodes précédemment utilisées pour compter les solutions rationnelles peuvent s'adapter pour obtenir des résultats dans cette direction, notamment dans le cas des variétés toriques.