Une conjecture de Gross et Deligne
predit certaines relations entre
les periodes des structures de Hodge
CM abelienne. Nous demontrons cette
conjecture pour certaines structures
de Hodge assez generales. La preuve
utilise de maniere essentielle la
geometrie d'Arakelov et en premier
lieu une formule de Lefschetz arithmetique
due a Koehler et Roessler. Chemin faisant,
nous introduisons plusieurs variantes
d'une conjecture reliant le degre
arithmetique de certains fibres aux valeurs
prises aux entiers negatifs par la derivee logarithmique
des fonctions L d'Artin, generalisant
les conjectures de Colmez et Gross-Deligne, etc.