Sur les points rationnels des courbes de Fermat
(Un exposé de Alain Kraus au séminaire de théorie
des nombres de Chevaleret le 11 mars 2002)
Résumé :
Soient $a$, $b$ et $c$ trois entiers non nuls.
Si $p$ est un nombre premier, on note
$C_p$ la courbe de Fermat d'équation $ax^p + by^p + cz^p = 0.$
L'objectif de cet exposé est de présenter des résultats
obtenus avec
E. Halberstadt sur
le problème de l'existence d'une infinité de nombres
premiers $p$ tels que
$C_p(\Q)$ soit réduit aux points triviaux ($xyz = 0$).
Nous utilisons deux méthodes pour aborder ce problème.
La première est la méthode modulaire, désormais
classique, et
certains de ses raffinements.
Une autre approche consiste à examiner le comportement des courbes
de
Fermat vis à vis des
obstructions locales ; nous formulons à ce
sujet une conjecture et démontrons quelques résultats
dans sa direction.