Autour de la fonction $L$ du produit triple
(Un exposé de Michael Harris au séminaire de théorie
des nombres de Chevaleret le 17 mars 2003)
Résumé :
Si $f$, $g$, et $h$ sont trois formes modulaires, vecteurs propres
de (presque) tous les op\'erateurs de Hecke, ou plus g\'en\'eralement,
trois repr\'esentations automorphes cuspidales de ${\rm GL}(2,F)$,
ou $F$ est un corps de nombres, on peut d\'efinir la fonction
$L(s,f,g,h)$ qui est un produit eul\'erien o\`u (presque) tous les
facteurs
locaux sont de degr\'e 8. Une repr\'esentation int\'egrale de
cette
fonction $L$ a \'et\'e d\'ecouverte par Garrett dans le cas classique,
puis etendue au cas g\'en\'eral par Piatetski-Shapiro et Rallis.
Une conjecture de Jacquet relie la non-annulation de $L(s,f,g,h)$
au centre de sym\'etrie \`a la non-trivialit\'e d'une certaine
famille de produits scalaires (dont $<f,gh>$ et des analogues) sur
les formes int\'erieures de ${\rm GL}(2,F)$. Avec Kudla nous
avions demontr\'e
cette conjecture en 1991, pour les formes modulaires classiques.
Gr\^ace aux progr\`es r\'ecents, d\^us \`a Kim et Shahidi, sur les
conjectures
generalis\'ees de Ramanujan et de Selberg, nous avons r\'ecemment
demontr\'e la conjecture de Jacquet en g\'en\'eral. Entre temps,
les
sp\'ecialistes de th\'eorie analytique des nombres ont trouv\'e des
liens entre les formules que nous avons obtenues avec Kudla et
le chaos quantique; une version tres pr\'ecise de ce lien a \'et\'e
\'etablie dans la th\`ese de T. Watson \`a Princeton.
Je vais pr\'esenter mes resultats avec Kudla, et les raffinements
d\^us a Watson, ainsi que les applications au chaos quantique.