Soit $E$ une courbe elliptique sur $\bf Q$ sans multiplication
complexe sur $\overline{\bf Q}$. Un th\'eor\`eme de Serre affirme
qu'il existe un entier $B$ tel que, pour tout nombre
premier $N$ sup\'erieur \`a $B$, la repr\'esentation de
$Gal(\overline{\bf Q} /{\bf Q})$ induite par l'action de
Galois sur les points de $N$-torsion de $E$ soit surjective. Serre
a
pos\'e la question suivante : peut-on choisir $B$ ind\'ependamment
de
$E$ ? Ce probl\`eme se ram\`ene \`a montrer la trivialit\'e, pour $N$
assez grand, des points rationnels de quatre familles de courbes
modulaires, \`a savoir $X_0 (N)$, $X_{split} (N)$,
$X_{non-split} (N)$ et $X_{{\frak A}_4}$ (on dira qu'un point
d'une de ces courbes est trivial si c'est une pointe, ou bien si la
classe d'isomorphismes de courbes elliptiques qu'il d\'efinit a
multiplication complexe sur $\overline{\bf Q}$). Le cas de
$X_{{\frak A}_4} (N)$ a \'et\'e \'elimin\'e par Serre. Le fait que
$X_0 (N)({\bf Q} )$ n'est compos\'e que de pointes pour $N>163$ est
un
c\'el\`ebre th\'eor\`eme de Mazur. Dans cet expos\'e, on donnera
un
crit\`ere de trivialit\'e de $X_{split} (N)({\bf Q})$, et on
montrera qu'il est v\'erifi\'e pour les nombres premiers satisfaisant
certaines congruences explicites.