Représentations de de Rham et normes universelles
(Un exposé de Laurent Berger au séminaire de
théorie des nombres de Chevaleret le 12 janvier 2004)
Résumé :
Dans cet exposé, nous expliquerons la démonstration d'une conjecture
de Nekovár concernant les normes universelles pour les
représentations $p$-adiques de de Rham.
L'origine de ce problème est le calcul (par Mazur, Hazewinkel,
Schneider, Coates et Greenberg, Perrin-Riou, ...) de la limite projective
pour les applications trace de $E(K_n)$ où $E$ est (par
exemple) une courbe elliptique et $\{K_n\}_n$ est l'extension cyclotomique
de $K=\mathbf{Q}_p$. Cette limite projective est nulle si $E$ est
supersingulière et c'est un $\Lambda$-module de rang $1$ si
$E$ est ordinaire.
On peut, via la théorie de Kummer, reformuler ce résultat en termes de
la représentation $p$-adique associée à $E$, et Nekovár en a
proposé une généralisation à toutes les représentations de de
Rham. Perrin-Riou a proposé une démonstration de cette
généralisation pour les représentations absolument cristallines.
J'expliquerai comment des résultats récents permettent de démontrer
cette conjecture en général: en utilisant l'équation
différentielle $p$-adique associée à une représentation de de
Rham, et la formule de réciprocité de Cherbonnier et Colmez, on
ramène le problème à une application du lemme de Wronski.