Théorèmes élémentaires de divisibilité des 0-cycles
sur les variétés abéliennes sur un corps fini
(Un exposé d' Hélène Esnault au séminaire de
théorie des nombres de Chevaleret le 19 janvier 2004)
Résumé :
Si $X$ est une variété abélienne
définie sur un corps $k$, alors pour tout fibré $L\in
Pic(X)$ de rang 1, la self-intersection $g$ fois
$L^g$ est un zéro cycle de degré divisible par $g!$.
Il n'est pas vrai que $L^g$ soit toujours divisible par $g!$
en tant que 0-cycle, pas meme en cohomologie étale motivique,
contrairement à l'espoir formulé par Bruno Kahn, meme
si $k$ a dimension cohomologique 1. Mais si $k$ est fini,
et $X$ est une jacobienne, une polarisation principale géométrique
vérifie la divisibilité. Cela donne peut-etre une chance pour une
réponse positive sur un corps fini en général.