Réduction modulo $p$ de certaines
représentations de $GL_2(Q_p)$
(Un exposé d'Ariane Mézard au séminaire de
théorie des nombres de Chevaleret le 17 mai 2004)
Résumé :
Soit $p$ un nombre premier, $k>2$, $L\in E$, où $E$ est une
extension finie de ${\bf Q}_p$. Recemment Breuil a défini une
completion $B(k,L)$ de $Sym^{k-2}E^2\otimes_E Steinberg$
et a conjecturé
que la réduction modulo $p$ de la semi-simplifiée de la boule unité
de $B(k,L)$ permet de prédire la réduction modulo $p$ de la
semi-simplifiée de la représentation de
$Gal(\overline{Q_p}/Q_p)$
semi-stable non cristalline de dimension 2 de poids de Hodge-Tate
$(0,k-1)$ et d'invariant $L$. Nous présentons une preuve de cette
conjecture pour $k$ pair $k$ plus petit que $p$
et $v_p(L)\geq 0$. (Travail en cours en
collaboration avec C. Breuil).