Invariants de Legendre supérieurs
(Un exposé de Leonardo Zapponi au séminaire de
théorie des nombres de Chevaleret le 22 novembre 2004)
Résumé :
Soit $K$ un corps $p$-adique, avec $p>2$ et $E$ une courbe elliptique sur $K$. Un
théorème de Deuring affirme que la (potentielle) bonne réduction de $E$ ne dépend
que de la valuation de l'invariant modulaire absolu $j(E)$ de $E$. De manière plus
précise, ce resultat permet de décrire explicitement le modèle stable de la
courbe. Dans cet exposé, nous proposons une généralisation de ce résultat dans
la direction suivante: on considère des paires $(E,P)$, $E$ étant une courbe
elliptique sur $K$ et $P$ un point de $p$-torsion de $E$. Il est possible de définir la
notion de modèle stable de $(E,P)$, notre but étant celui de le décrire de manière
explicite. Nous introduisons un invariant $l$ attaché à $(E,P)$; c'est un élément de
$K$ construit de manière analogue à l'invariant $j$. Le resultat central permet de
decrire le modèle stable en fonction des valuations de $j$ et de $l$ uniquement.
On en déduit, en particulier, des critères de
rationalité et une nouvelle description des courbes a réduction supersingulière.
On termine en donnant une interprétation modulaire de ce résultat: l'invariant
$l$ definit un revètement fini $X_1(p)--> P^1$ non ramifié en dehors de trois
points; qui n'est pas le revètement canonique $X_1(p)-->longrightarrow X(1)$.