Sur les corps de nombres à ramification prescrite
(Un exposé de Gaetan Chenevier au séminaire de
théorie des nombres de Chevaleret le 17 janvier 2005)
Résumé :
Soit E un corps CM décomposé au dessus d'une place finie v
de son sous-corps totalement réel maximal, soit l un nombre premier qui
est premier à v, et soit S l'ensemble fini des places de E divisant lv. Si
E_S désigne une extension algébrique maximale
de E non ramifiée hors de S,
et si u est une place finie de E divisant v, de complétion E_u, on démontrera
que les applications naturelles:
(*) Gal(\bar{E_u}/E_u) ---> Gal(E_S/E),
sont injectives. Notre preuve repose de manière essentielle sur le
théorème de Harris et Taylor décrivant la cohomologie l-adique des
variétés de Shimura simples. Si le temps le permet, nous discuterons des
liens entre des généralisations naturelles de (*) et certaines
propriétés
conjecturales des formes automorphes.