Sur le calcul des coefficients des formes modulaires
(Un exposé de Bas Edixhoven au séminaire de
théorie des nombres de Chevaleret le 12 décembre 2005)
Résumé :
Il s'agit d'un travail en commun avec Jean-Marc Couveignes et
Robin de Jong. On démontre (en cours de rédaction) que pour f une
forme modulaire fixée, de poids quelconque, propre pour les opérateurs
de Hecke, on peut calculer la représentation galoisienne mod l en
temps polynomial en l. Cela a pour conséquence que les coefficients
a_p(f) de f avec p premier se calculent en temps polynomial en
log(p). Par exemple, tau(p), avec tau la fonction de Ramanujan et p
premier, se calcule en temps polynomial en log(p). Les méthodes
utilisées sont: congruence mod l pour se ramener au cas de poids 2,
calculs approchés sur les courbes modulaires,
théorie d'Arakelov pour estimer la précision requise des calculs.