Groupes de Brauer des surfaces sur un corps fini
(Un exposé de Qing Liu au séminaire de
théorie des nombres de Chevaleret le 17 octobre 2005)
Résumé :
Soit X une surface projective lisse sur un corps fini. Lorenzini,
Raynaud et moi-meme venons de montrer que l'ordre du groupe de
Brauer Br(X), s'il est fini (conjecturalement vrai), est alors
nécessairement un carré. Ceci est à mettre en parallèle avec le
fait que l'ordre du groupe de Tate-Shafarevich d'une variéte
abélienne principalement polarisée sur un corps global (conjecturalement
fini également) est un carré ou 2 fois un carré. On verra que
la ressemblance n'est pas du tout un hasard et que notre
preuve s'appuie sur les résultats de Poonen-Stoll concernant le groupe
de Tate-Shafarevich, de Kato-Trihan sur la conjecture de
Birch-Swinnerton-Dyer, de Milne sur la conjecture d'Artin-Tate,
et de notre précédent travail sur la relation entre ces
deux conjectures.
Il est amusant de noter que, pendant longtemps on pensait
que l'ordre du groupe de Tate-Shafarevich est toujours un carré,
et qu'inversement, celui de Br(X) ne l'est pas toujours.
La réponse plus de trente ans après est exactement le contraire !