$3$-rangs de corps quadratiques
(Un exposé de Jean-Francois Mestre au séminaire de
théorie des nombres de Chevaleret le 7 février 2005)
Résumé :
Si $p$ est un nombre premier et $k$ un corps quadratique,
notons $h_p(k)$ le $p$-rang du groupe des classes de
$k$. Pour $p=2$, la théorie des formes ambiges de Gauss permet de
montrer que $h_2(k)$ n'est pas borné lorsque $k$ parcourt l'ensemble des
corps quadratiques. Par contre, pour tout $p\geq 3$, on
ignore si $h_p(k)$ est borné ou non; nous montrons ici qu'il existe une
infinité de corps quadratiques réels $k$ (donc aussi une infinité
de corps quadratiques imaginaires, par le
principe du miroir) pour lesquels $h_3(k)\geq 5$.