Sous-convexité, périodes et équirépartition de points spéciaux
(Un exposé de Philippe Michel au séminaire de
théorie des nombres de Chevaleret le 21 mars 2005)
Résumé :
Dans cet exposé nous exposons certains cas récents du problème de
sous-convexité pour les fonctions $L$: celui des fonction des
Rankin-Selberg associées à des paires de représentations automorphes sur
$GL_2 x GL_2$ (non-nécessairement cuspidales), l'une des représentations
étant "fixe" (mais de type arbitraire \`a l'infini) l'autre de conducteur
croissant et de caractère central arbitraire. Nous exposons deux méthodes
qui ne sont pas totalement indépendantes.
La première méthode marche sur Q, et utilise des méthodes classiques
de la théorie analytique des nombres. Elle peut etre également utilisée
pour résoudre des questions de non-annulation de fonctions $L$
(travail en commun avec G. Harcos.)
La seconde méthode est basée sur, et étend, l'approche très récente du
problème de sous-convéxite de A. Venkatesh, qui utilise directement
les périodes. Elle marche pour les corps de nombres arbitraires
(travail en commun avec A. Venkatesh.)
Si le temps le permet, certaines applications de ces résultats seront
evoquées: le problème de majorer non-trivialement la norme $L^\infty$
des formes de Maass de grand niveau et le problème de l'equirépartition
des sous-orbites toriques (notamment les orbites galoisiennes) de points
spéciaux pour les variétés de Shimura associées aux algèbres de
quaternions sur les corps totalement réels.